結論

一、 論證活動能促使數學學習高成就學生提出不同的解題方 法來解釋相同概念；並且有助於數學學習成就中、低學 生發現自己的迷思概念並產生轉變。

數學學習高成就學生在論證活動中，能指出其他成員的迷思概念並 對其他成員說明自己的想法，促使其他成員嘗試修正自己的迷思概念，

並激發自己想出不同的解題方法。例如：S1 指出 S2、S3 將「平行四邊 形切割成四等分，獲得周長值是原平行四邊形 4 倍」是錯誤的結論，為 了讓同學知道錯在哪裡，S1 除了以面積公式說明如何推導周長與面積間 的放大倍數關係。更激發自己得出第二種解釋：『需考慮 4 個「原」平行 四邊形拼起來，合併處的「周界」已在「4 倍」平行四邊形的內部，不 符合周界定義不能列入周長值計算，因此「4 倍面積」的平行四邊形，

周長值是「原」平行四邊形 2 倍。』

而數學學習中成就學生在論證活動前，原本計算周長時會受到面積公 式影響而寫出不合理的算式，論證教學後則能根據平面圖形數字的大小 以及考慮到圖形是否為規則圖形，判斷選擇要將圖形外圍「邊」的長度 加總起來或使用周長公式，表現出能夠根據題目選擇較有效率的解題策 略。

數學學習低成就學生在教學活動前，出現「自創周長公式：周長=360 度-圖形邊的長度」或以「周長值等於面積值」，後測時則表現出能清楚

知道『周長是圖形外面「邊」的長度加起來』。

二、 以論證活動進行教學後，對國小五年級不同數學學習成 就學生在周長與面積概念的學習有不同的影響。

在概念理解應用上，數學學習高成就學生在小組論證中，不僅達成 解題的目標，亦能設想該如何解釋自身解題過程，並修改表達的方式以 利於同儕瞭解。數學學習中成就學生在概念理解應用時則出現有過度推 論的情形，例如在：「面積相等形狀不同的圖形，認為面積相等周長亦相 等」與「周長相等形狀不同的圖形，認為周長相等面積亦相等」相同概 念不同題型中，在前者教學活動將小組共識「形狀不同的圖形彼此間，

面積值與周長值不一定相等」的結論，作為後者教學活動的推論「因形 狀不同的圖形彼此間，面積與周長不一定相等；所以形狀不同的圖形彼 此間，周長與面積也不一定相等」的結論，也認為她所得到的結論，如 同面積公式一樣可以作為解釋的基礎。數學低成就學生對面積、周長概 念的理解上則因為學習有困難與數學表達能力有限，可能跟不上同儕的 思考，因此往往只專注在結論是否和同儕一致，解題過程試圖以形成不 同的假設使結論(答案)或解題過程看似合理化(對自身而言)，表現出在概 念理解應用上表現出較少的一致性。

三、 不同數學學習成就學生，在小組論證時提出論證內容中 包含的論證元素成分有差異。

數學學習高成就學生對小組成員提出包含「反駁」論證元素的論證 內容的動機：建議更有效率的計算方式；提醒發生在解題過程數學概念 理解錯誤；告知解題方法不符合題意。幫助小組成員與教學者了解學生 在數學概念理解應用的混淆。數學學習中成就學生的動機：提出解題步 驟計算過程的錯誤；覺得成員獲得結論差異太大；重述他人提出的反駁 表達想法相同。促使小組成員再次檢視解題步驟是否有錯誤並進行修 正。數學學習低成就學生的動機：覺得成員說得很快沒有時間思考，對 解題方法直接提出反駁；支持與自己結論相同的成員(但論據不同)。前

者促使小組成員進一步再提出更完整的解釋，後者在小組論證過程產生

「干擾」，使得成員提出的議題被打斷而未再繼續討論。

四、 小組論證平均貢獻度，數學學習高成就學生明顯高於其 他數學學習成就學生。

數學學習高成就學生相較於小組其他成員，能提出清楚完整的說明，

在小組論證過程中有多次補充說明或提出反駁，在 16 節次的平均小組論 證貢獻度為 42.8%，明顯高於數學學習中成就學生(28.3%)與數學學習低 成就學生(27%)。數學學習中成就學生提出解題過程出現迷思概念的情形 較低成就學生少，同時相較於低成就學生提出解題說明出現的「明顯的 錯誤」，其迷思概念被忽略而未能成為後續小組的論證議題，因而減少她 與成員間對話的機會，除此之外，數學學習高成就學生能立即回饋成員 提出問題或反駁，而數學學習中成就學生需要時間思考的同時，成為小 組論證過程中的「聽眾」，故小組論證貢獻度不高。而數學學習低成就學 生的解題說明不清楚、不完整或出現明顯的迷思概念，在回應成員的提 問下，提升對話頻率與小組論證貢獻度表現，故小組論證貢獻度與中成 就學生差異不大。

五、 學生以公式求面積與周長時，可能並未與面積和周長的 基本概念相連結。

以S3為例，低成就學生以公式求得周長與面積時，所運用的公式出 現混淆的情況，因為S3對「周長是封閉圖形周界的長」此概念的認知與

「周長公式」未能連結。研究者認為可能原因在於數學教材內容的呈現，

往往流於以規則的平面圖形(長方形、正方形)說明周長與面積公式，造 成學生不求甚解下死背公式。

六、 學生認為圖形周長與面積會等比例放大的迷思，可能與 測量和觀察的經驗有關。

以 S2 為例，中程度學生存有『2 倍周長的圖形，面積亦是「原」圖 形 2 倍』的迷思概念，可能原因在於 S2 以測量經驗做出感覺的判斷，認

為「2 倍周長」的線段圍出的圖形其面積也應該變大兩倍，所以面積與 周長會以等比例放大，而忽略周長與面積的概念並不同。

以 S2、S3 為例，學生存有『4 倍面積的圖形，周長亦是「原」圖形 的 4 倍』的迷思概念，可能原因在於學生比較「4 倍」面積與「原」面 積圖形，其周長放大倍數時，不自覺以「圖形內部區域大小」做為判斷 基礎，而非以「周界的長度」做為比較的基礎，而得到放大 4 倍的結論。

七、 學生習慣以公式求面積，因此面對不熟悉的圖形時，便 更改習得的面積公式以求出面積。

以S3為例，當面對愛心圖形時，S3嘗試以學習過的三角形面積公式 來求面積，並因為認為愛心與三角形並非相同圖形而且愛心看起來比三 角形大，所以將三角形面積公式更改，並假設只要寬(底)乘以高而且不 除以二便能成為愛心圖形的面積公式。顯示出學生習慣以公式求面積，

在面對不熟悉的圖形時，便更改習得的面積公式以嘗試求出面積。