研究緣起及動機

第一章 緒論

本章緒論分為三個小節，依序為：第一節、研究背景與動機。第二節、研究 目的與待答問題。第三節、名詞釋義。

第一節 研究緣起及動機

本節依據研究者在教學現場的經驗與困境，闡述研究者研究相似形的動機與 前因後果。再就研究錯誤類型的動機與重要性，作進一步的論述。

壹、 研究緣起

當研究者剛畢業，第一年進入學校教學時，遇到國民中學三年級學生問了一 題幾何題目，

題目是：△ABC中，D、E為 BC 的三等 分點，H為 AC 的中點。若 BH 與 AD

、 AE 交於F、G兩點，則 BF ： FG ： GH 的比為何？

這個問題讓研究者苦思良久而不得

其解，後來向其他教師請益之後，才獲得解答。問題之所以想不出來有幾個原因：

一、研究者在離開國中階段已久，對國民中學階段的幾何工具不夠熟悉，無法靈 活運用。二、因為問題出現在國民中學三年級複習卷當中，所以研究者無法確定 該用那個章節的幾何工具，才能順利解題。三、本題在求解時，需要使用輔助線，

但辦斷解題是否需要輔助線，以及輔助線該如何畫，常常是國民中學的幾何問題 中最為因難，又難以決定的關鍵。四、如果解題是使用三角形的全等，那麼在圖 形的旋轉或鏡射後，可以找到一模一樣的圖形，幫助解題與思考。但此題使用的 工具並非三角形的全等，而是平行截等比例線段，所以連猜測或試誤都不知如何 下筆。如果專業的數學教師在解相似形單元題目時，都有這麼多的困難。那麼對

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於初學相似形單元的國民中學三年級學生而言，在解答相似形單元的題目時，勢 必又會遭遇到更大的困難。自此，研究者便非常在意學生在學習相似形單元的概 念，或是學習如何解題時，所遭遇到的困難。

即使研究者已經從教學現場知道，相似形對於學生是抽象又複雜的單元，但 是研究者在第一年教書時，仍然是充滿挫折的。國民中學三年級的考題只是把課 本或習作的題目數據改一改，學生仍常常放棄作答，或是亂猜一通。長久之後，

研究者常常覺得學生是不用心，而非能力不足。幾經教法改變之後，研究者也漸 漸的失去了改善的動力。

直到考上了研究所，研究者又想起當初教相似形單元時遭遇的困難與挫敗，

便試圖以不同的角度，分析當年遭遇的挫折，以增進教學的效能。在經過文獻的 收集與分析後，研究者發現 van Hiele，這位曾任教於高中的荷蘭籍教授，與研究 者有同樣的困擾。更進一步的，van Hiele 架構一套幾何的知識結構與教學步驟，

瞭解 van Hiele 的理論讓研究者找到施力點，使得研究者得以反省、檢視並改進自 己的教學。研究者搜尋民國 100 年之前的文獻，發現與相似形相關的研究僅有 6 篇（林和田, 2003; 張佩琦, 2007; 黃國展, 2003; 楊子錕, 2010; 簡啟全, 2011; 蘇聖 文, 2007），而以相似形單元為研究對象的錯誤類型論文更付之闕如。因此，激發 研究者針對相似形單元，做進一步的錯誤類型研究，以瞭解學生學習相似形單元 的困難，並提升研究者本身的專業知能與教學效能，以減少相似形單元學習與教 學的困擾。

貳、 研究動機

在文獻探討後，研究者發現梁淑坤（1996）提出：不管教學者在授課時如何 用心，學生解題時仍會犯下錯誤。又因為教師和學生在數學知識的認知層次不同，

教師很少懷疑自己在教材教法或專業知識能力是否有問題，反而容易認定學生學 習不夠認真，而忽略學生在學習時遭遇的認知困難（張景媛，1994）。在學生不能

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理解數學的教學內容，而師長又誤判學生努力不足，並要求學生在不瞭解的情況 下，反覆的練習，導致焦慮不安的學生被推向更大的危機（Whitney, 1985）。這也 就是為什麼研究者雖然已經注意到教學困境，但仍無法實際改善學生學習情況的 原因。

想要推論學生在相似形單元的錯誤類型，並非單純的由日常的課室觀察或是 考卷批改就可以通透的瞭解。因此，研究者依照文獻探討，歸納錯誤類型論文的 研究流程，發現要推論錯誤類型，首先需瞭解學生一般性在相似形單元的錯誤情 況為何，這是研究動機之一。

為了瞭解學生的錯誤情況，研究者採用紙筆測驗的方式，收集學生的作答資 料。但是如何將偌大的作答分類，以利之後的錯誤類型推論，便是研究遇到的第 二個問題。因此，研究者將作答資料按照解題步驟，分成不同階段的錯誤原因。

而分析學生在各個步驟的錯誤原因，是研究動機之二。

Schwarzenberger（1984）在英國數學學會會長的致詞曾提出：在數學中，犯 錯與正確作答是一樣重要的。有時犯錯的重要性比正確作答更有過之而無不及。

因為不論是計算過程中的錯誤，或是學習概念時的錯誤，都能揭露學生在學習過 程中真正的想法。從錯誤中嘗試尋找正確的答案，正是數學發展的原動力。而教 師的職責，除了在教學現場正確的演示之外，還需要歸納錯誤的類型，以提醒並 避免學生犯錯。Maurer（1987）提出：在學習數學時，學生所犯的錯誤是系統性 的。所謂的系統性是指：這些錯誤並非隨機出現，而是永久性的一再犯錯。有時 這些錯誤會自動訂正，但更多的時候，這此錯誤則會一再發生。而大部分的任課 教師卻未能察覺學生錯誤的概念，導致這些錯誤概念形成另一套錯誤的理論系 統，造成學生學習時的困難（黃湘武、黃寶鈿，1986）。所以，分析學生的錯誤類 型對於教師與學生是雙贏的：教師藉由錯誤類型的分析，可以知道學生常犯哪些 系統性的錯誤，以修正教學。而詳實的錯誤類型分析又可以發現學生學習困難之 所在，並分析學生錯誤的原因為何，以改正系統性的錯誤（Brown & Burton,

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1978）。這是研究動機之三。