S-P 表分析理論

適應

失衡 平衡 同

化

第二章 文獻探討

本章文獻探討依序討論幾何學習的理論、九年一貫課程設計、相關研究中與 相似形相關的論述與 S-P 表分析理論。細分為第一節、皮亞傑的幾何認知理論。

第二節、van Hiele 的幾何思考理論。第三節、Duval 的幾何認知理論。第四節、

九年一貫課程綱要與相似形。第五節、解題歷程。第六節、相似形的相關研究。

第七節、錯誤類型與錯誤原因的相關研究。第八節、S-P 表分析理論。

第一節 皮亞傑的幾何認知理論

1971 年，皮亞傑以認知心理學的角度，分析人類認知的發展，提出了基模、

認知結構、失衡、適應、調適、同化與平衡等概念。主張認知結構或基模經由同 化或調適的適應歷程，導致知識增加與智力成長。

圖 2-1 皮亞傑認知組織

1929 年，皮亞傑開始研究兒童的幾何概念的形成與發展，經過二、三十年的 觀察後，皮亞傑與幾位學者發現兒童幾何概念並非與生俱來，幾何概念的形成是 由於日常生活環境中，圖形、物體與空間的形狀或移動的刺激，將幾何的概念內 化成內在表徵，再組合成操作系統（Piaget, Inhelder & Szeminska, 1960）。而兒童 的幾何概念的發展順序為：拓樸幾何概念、投影幾何概念與歐氏幾何概念（Piaget

& Inhelder, 1956）。兒童幾何概念的內容介紹如下：

壹、 拓樸幾何概念（Topological）

皮亞傑有幾種方式測試此階段兒童的幾何概念，例如：1.讓兒童以觀察的方

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式，詢問兒童直線上的點數、直線無限等分的結果或圖形無限減小後的形狀等問 題；2.讓兒童重繪圖形，分析兒童的繪圖結果。因為此階段兒童的認知發展屬於 前運思期，缺乏可逆性與保留性。所以兒童無法相逆次序或重建次序，造成當兒 童在重繪正方形或三角形的時候，會忽略長度、角度或大小的相對位置或關係，

將直線畫凹或畫凸，而同樣地畫成一條類似圓形的不規則封閉曲線。也就是兒童 在重繪時，圖形只能分辨為封閉圖形（例如：○）或開放圖形（例如：╳）。拓樸 幾何概念是指物體間順序的相鄰、順序和包圍的關係是正確的（例如：A-B-C-D 同構 A---B-CD），然而彼此間的距離或相對關係則易因兒童的知覺集中而被忽略。

貳、 投影幾何概念（Projective）

皮亞傑測試此階段兒童的幾何概念的方式有：1.詢問兒童如果改變光源與各 種不同的立體物體（例如：圓柱、圓錐或將其分割成的一部分）的相對位置時，

物體影子的形狀將改變為何種形狀；2.讓兒童觀察幾個建構成一條直線的非連續 圖形後，讓兒童嘗試畫出該圖形的透視圖；3.在長方形桌的同一邊或是圓形桌任 相異兩點放置兩根火柴棒，要求兒童在兩根火柴棒間放置火柴棒，並連成直線。

拓樸幾何概念階段的兒童在排列長方形桌同一邊的火柴棒時，可以藉由直線桌邊 排成直線。但在排列圓桌的火柴棒時，便會排成波浪形或不規則的曲線，而無法 利用直線投影的概念將火柴棒排成直線。而此階段兒童的認知發展為前運思期至 具體運思期，所以有能力經由視角的轉換，正確回答上列的各題。投影幾何概念 是指圖形與投影對象並非互不相關的獨立關係，而是能夠瞭解圖形和投影對象間 的投影關係。

參、 歐氏幾何概念（Euclidean）

皮亞傑測試此階段兒童的何概念的方式為：將平面圖形（例如：三角形、圓 形）或立體物體（例如：角柱、角錐）翻轉、旋轉或平移後置於固體上，詢問兒 童圖形或物的形狀、大小是否改變。此階段的兒童不管圖形怎麼移動，都知道線

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段長短、角度大小、面積大小或形狀階不會改變。

皮亞傑開了幾何認知理論的先河，而且對於幾何認知階段的發展也提出了獨 到的見解。以皮亞傑的幾何認知理論而言，相似形單元能力指標應屬於歐氏幾何 概念的階段。然而能力指標所羅列的標準，又比歐氏幾何概念的能力還要高。

第二節 van Hiele 的幾何思考理論

皮亞傑雖然較早提出幾何認知理論，但他的理論對於相似形的錯誤辨析僅具 有認知結構性的參考，並無法作為教學的指引，且皮亞傑的對於更高的幾何能力 結構並無更進一步的介紹。因此，研究者在此介紹荷蘭數學家 van Hiele 的幾何思 考理論，以補足皮亞傑的不足。

壹、 van Hiele 的理論發展背景與沿革

Pierre van Hiele 原來是高中教師，發現跟學生解釋數學的時候，既使學生很 努力，但學生仍常常有聽不懂的挫敗感。過好一陣子之後，學生自己突然理解了，

便向他反應：當初的「說法很難懂」。他之後也嘗試用各種不同的方法解釋，但學 生仍然向他反應「說法很難懂」。在 1938 年，他開始在 Montessori 中學任教，這 所學校允許教師自編教材，也讓教師有更多的時間可以與學生有密切的互動。所 以他花了很多時間研究與準備教材，以降低教學時「說法很難懂」的情況。到 1951 年，他發現學生所謂的「說法很難懂」是因為學生幾何思考層次與他不同，而數 學的教學除了知識的教導外，還要開發學生思考層次提升的領悟力。到了 1957 年，他的夫人 Dina van Hiele 發表了她的博士論文：The Problem of insight in connection with school children’s insight into the subject matter of geometry.討論如何 以頓悟法（insight）提升學生的思考層次（van Hiele, 1986）。然而 1958 年，他的 夫人卻不幸逝世。留下他獨自致力推廣他們夫妻倆的理論，並影響了整個荷蘭的 中小學幾何教學與教法。

研究者分列 van Hiele 的幾何思考層次、van Hiele 各層次的學習模式（van Hiele,

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1986）與 Van Hield 的幾何思考理論和皮亞傑的幾何認知理論的比較（吳德邦, 1999）如下：

貳、 van Hiele 的幾何思考層次及其特性

van Hiele 認為學習幾何時，有五個不同的思考層次：視覺的層次、描述的層 次、理論的層次、形式邏輯的層次、邏輯法則本質的層次。依照 van Hiele 在 1986 年提出的層次分列如下（van Hiele, 1986）：

一、 視覺的層次（visual）

此階段兒童的幾何概念受視覺影響很大，兒童依視覺觀察各種圖形或物體的 外形輪廓辦認圖形。例如門就是長長瘦瘦的長方形、太陽就是圓圓的圓形。然而 圖形只要旋轉過（例如：□轉為◇）兒童便認為這兩個圖形不同（第一個是正方 形，但第二個不是正方形），或者是看的時候未注意到橢圓形是扁的，而將橢圓形 看成圓形。

二、 描述的層次（descriptive）

此階段的兒童能觀察構成圖形要素（例如：頂點、邊或角），所以可以依據圖 形的特徵分辦不同的圖形，具有基本的幾何概念。例如：圓形沒有邊、三角形有 三個邊、正方形有等長的四個邊。但是卻無法理解長方形、菱形、正方形與平行 四邊形之間的關係；或是長方形與正方形的邊長不相等，但面積可能相等的可能。

也就是兒童知道圖形的基本幾何性質（例如：菱形四邊相等），卻不知幾何性質的 意義（正方形四邊也相等，正方形也是菱形）。

三、 理論的層次（theoretical）

此階段的兒童能瞭解並能運用圖形的幾何性質，更能進一步發現各種不同圖 形之間的包含關係（非形式推理）。平行四邊形有一角為直角，則為長方形；三角 形的任一外角，等於兩內對角的和。此階段的兒童能舉例或說明各個不同圖形的

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包含關係，但卻無法以數學的語言解釋彼此的包含關係。例如：菱形的四邊相等、

平行四邊形的兩雙對邊平行，菱形有的性質平行四邊形都有，所以菱形是平行四 邊形的一種。但卻無法證明菱形的四邊相等會造成平行四邊形的兩雙對邊平行。

四、 形式邏輯的層次（formal logic）

此階段的兒童能經由抽象推理的方式，由起始條件證明最後的結論（例如：

證明菱形的四邊相等可推得兩雙對邊平行），而且知道證明的方法可以有很多種。

所以兒童可以藉由推論得到幾何問題的性質或結論，而不用再只依靠記憶背誦，

或是實物的操弄。

五、 邏輯法則本質的層次（the nature of logical laws）

此階段是最高的層次，此階段的兒童能經由不同的幾何公設系統，建立其系 統特有的定理，甚至能分析或比較不同公設系統間的理論（例如：比較歐氏幾何 與非歐幾何間的異同），或是理解抽象的幾何概念（高等微積分）。

九年級的相似形單元，在 van Hiele 的幾何思考層次中，應屬於第四階段：形 式邏輯的層次。因為學生不只是瞭解圖形間的關係或性質（理論的層次），還可以 利用邏輯推理的方式判斷圖形間的關係，並利用圖形的幾何性質解題，而不只是 靠記憶背誦或是實物操弄。

參、 van Hiele 各層次的學習模式

van Hiele 將教學模式分成五個階段（van Hiele, 1986）：學前諮詢／訊息

（Inquiry/Information）、定向探索（guided orientation）、交流表述（explicitation）、

自由探索（free orientation）與統整（integration），依照 van Hiele 在 1986 年提出 的順序分列如下（van Hiele, 1986）：

一、 學前諮詢

教師於教學前與學生溝通有兩大目的：1.藉由教師的觀察與提問評估學生的

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先備知識與思考層次，以作為教學安排與引導的參考。2.將教學使用的專有名詞 介紹給學生，避免教學時的專有名詞使得學生有不懂或誤會的情形（Bilistein, Libeskind & Lott, 1993）。

二、 定向探索

學生在上個階段大致瞭解指引的方向，但對於相關資料與知識結構的組織仍 嫌不足。藉由教師教材資料的安排和教學活動的進行，使得學生確認教學的目的，

而對數學的概念與結構也將更加熟悉，進而理解幾何的概念（van Hiele-Geldof, 1984）。

三、 交流表述

學生在上個階段逐漸理解幾何的概念，藉由教師引導學生繼續討論，可促使 學生理解幾何概念。在此階段特別強調學生應透過討論，使用正確的數學語言或 符號，表達學生所觀察到的數學結構與其他的意見。這時教師應注意學生使用的 字詞並適應的精練之，可以促進學生在表達、交流與詰辯的方面有所進展（van Hiele-Geldof, 1984）。

四、 自由探索

在此階段的學生可以進一步思考，教師選擇適當的教材或幾何題目（含開放 的、非唯一解的題目），鼓勵學生思考或解答之。在此階段學生應發展解題的策略 與關連，並經由嘗試錯誤與成功的經驗刺激後，探索出屬於自己的迅速的解題方

在此階段的學生可以進一步思考，教師選擇適當的教材或幾何題目（含開放 的、非唯一解的題目），鼓勵學生思考或解答之。在此階段學生應發展解題的策略 與關連，並經由嘗試錯誤與成功的經驗刺激後，探索出屬於自己的迅速的解題方