第四章 研究結果之分析與討論
第二節 錯誤原因分析
確
100%
A 學習穩定型 18%（36 人）
A’粗心大意型 13%（25 人）
百 分
75% B 用功不足型 13%（26 人）
B’欠缺充分型 9%（17 人）
比 50% C 學力不足型 34%（67 人）
C’學習隨興型 12%（24 人）
0 0.5 1.0
學生注意係數
第二節 錯誤原因分析
本節錯誤原因分析分為三個主題：壹、主要錯誤原因推論。貳、各題主要錯 誤原因推論。參、綜合討論與歸納。
壹、主要錯誤原因推論
研究者將解題過程重新歸納為五個步驟，分別為：一、理解題意。二、概念 認知。三、連結文字幾何與代數。四、代數運算。五、作答和檢驗。研究者在問 卷中除了表列問題，還提供正確答案讓學生在測驗完成後可以批改。當學生在批 改完問卷之後，本問卷另外設計有自評勾選格，讓學生可以依據自己的計算過程，
回想剛剛解題的情況，自行判斷自己在每一題錯誤的缺失為何，並勾選相對應的 五個錯誤原因。五個選項依序分別為：一、看不懂題目。二、不會列式。三、用 錯公式。四、運算錯誤。五、粗心，答非所問。藉由研究者分析問卷中的計算過 程與學生自行勾選的錯誤原因，統計學生在每一題試題中的錯誤原因各為何，並 繪製成統計表格，如表 4-4 錯誤原因相對次數。
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表 4-3
錯誤原因相對次數
題號
錯誤原因(佔各題錯誤人數比例，不含空白人數)
一 二 三 四 五 其他
1 6% 8% 36% 0% 7% 43%
2 4% 52% 4% 25% 12% 4%
3 10% 71% 5% 2% 0% 12%
4 17% 52% 17% 0% 13% 0%
5 5% 49% 17% 2% 24% 2%
6 4% 29% 17% 25% 17% 8%
7 5% 59% 6% 16% 6% 8%
8 4% 44% 14% 4% 19% 13%
9 11% 57% 13% 12% 2% 5%
10 6% 65% 0% 6% 11% 13%
11 13% 36% 4% 4% 36% 7%
12 21% 37% 15% 12% 2% 13%
13 6% 31% 45% 7% 3% 7%
14 16% 22% 11% 5% 44% 2%
15 11% 53% 6% 4% 21% 4%
平均 9% 44% 14% 8% 15% 10%
由錯誤原因相對次數表可以得知，錯誤比率最高的為第二步驟：不會列式。
代表學生將圖形表徵轉為代數符號的時候，常常會有找不到相對應的公式，或是 根本無法將圖形與符號相連結，導致公式列不出來，也就無法再繼續計算下去，
進而解題。
48
49
解題步驟 錯誤比例 錯誤原因
理解題意 5% 理解相似形的意義 (A)
3≠4，2≠6 所以不相似 概念認知 7% 回憶相似形定義為：
對應角相等、對應邊成比例 (A) SAS 相似 連結文字幾
何與代數
32% (A)一個圖旋轉 90 度
2：4=3：6，四個對應角皆為 90 度，所以兩圖形相似
(A)
3：2≠4：6，所以不相 似
代數運算 0%
作答和檢驗 6% 下列哪些選項中的兩個圖形 是相似形？
以為是單選題，只有寫 A
其他 38% 老師說是單選題
註：表中空白率與錯誤比例，皆為佔總錯誤人數之比例。各步驟之錯誤比例，包 含空白率才為 100%
研究者推論其他錯誤比率達 38%的原因，是因為研究者未實際到施測現場與 施測教師面對面講解，且一開始的解釋頁並未說明題目中的答案可能有複選題的 情況，導致學生只寫出部分選項，而未完整作答，導致錯誤比率偏高。
研究者推論連結文字幾何與代數錯誤比率達 32%的原因，是因為學生平常練 習的相似形判斷題目，大多將兩個圖形擺正(對應邊互相平行、對應角順序相同)，
方便學生找到對應邊與對應角，以判斷圖形相似與否。但(A)將其中一個長方形旋 轉 90 度。(B)將其中一個菱形旋轉 90 度。導致學生在判斷(A)選項時，將數字代 入相似形判別公式時，會得到比值不相等的情況；在判斷(B)選項時，發現對應角 不相等（其實順時針旋轉 90 度就相等了）。因而讓學生誤以為(A)、(B)兩組圖形 互不相似。
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表 4-5
第 2 題錯誤原因分析
題目 附圖的兩長方形ABCD、ECGF為相似形，且 AD 的對應邊為 EF 。
若 AB ＝6， FG ＝4， BG ＝25，則兩長方形的面積和為何？
A D
B C G
E F
答案 １３０ 錯誤率 32%
空白率 16%
解題步驟 錯誤比例 錯誤原因
理解題意 3% 能將題目中文字敘述的長度 正確的標記於圖形上
將 BC 標為 25
概念認知 44% 能理解兩長方形相似，且能 找到正確的對應邊
令 CG ＝x，=25-x 將答案寫成 100+2x ( AB * BC + CG * GF ) 連結文字幾
何與代數
3% 因為對應邊成比例，能寫下 正確的比例式
6：25= CG ：4
代數運算 21% 能利用比例式的內項相乘等 於外項相乘正確的解題
6： BC =4：(25- BC )
25-6 BC =4 BC 能利用分數相等的交叉相乘
正確的解題
同上
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作答和檢驗 10% 能利用長方形面積等於兩邊 相乘，正確算出兩個長方形 的面積並相加。
答：長方形ABCD=90 長方形 ECGF=40
其他 3% BG =25 猜測 BC =18， CG =7 註：表中空白率與錯誤比例，皆為佔總錯誤人數之比例。各步驟之錯誤比例，包 含空白率才為 100%
研究者推論概念認知錯誤率達 44%的原因有二：
一、學生無法由兩長方形ABCD、ECGF為相似形推得 AB ： BC = GF ： CG 。
二、學生雖然已知 BC ： CG =6：4，但是無法利用比例式運算規則，將 BC 或 CG 的實際長度算出來。
表 4-6
第 3 題錯誤原因分析
題目 附圖是E、F、G、H、I、J六點在菱形ABCD四邊上的位置圖，其中 EF 、 GI
、 HJ 將菱形分成甲、乙、丙、丁、戊、己六個平行四邊形。若 AG ： GH
：HD ＝5：10：9， AE ： EB ＝3：5，則下列哪一圖形與菱形ABCD相似？
乙 甲
丁 丙
戊
己 A
B C
F D
E
G H
I J
答案 乙 錯誤率 30%
空白率 29%
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解題步驟 錯誤比例 錯誤原因
理解題意 7% 能將長度比標上去，並瞭解 題意所求
答：ABJH
概念認知 51% 因為裡面六個都是平行四邊 形，所以同位角均相等(對應 角相等)。要確認是否相似僅 需看對應邊是否成比例。
僅標上各長度比後即空 白
連結文字幾 何與代數
3% 令 AG =5a、 GH =10a、 HD
=9a， AE =3b、 EB =5b 列式各四邊形鄰邊比與原平 行四邊形鄰邊比
24÷10(誤算為 16)=15 AD ÷ GH = AH
答：丙、丁
代數運算 2% 判斷比例式是否相同 AE ： AG = AB ： AD 作答和檢驗 0%
其他 8% 看起來丁最像
註：表中空白率與錯誤比例，皆為佔總錯誤人數之比例。各步驟之錯誤比例，包 含空白率才為 100%
研究者推論概念認知錯誤率達 51%的原因有二：
一、覺得條件不夠。忘記平行四邊形對邊平行，可推得同位角(對應角)相等，
要找相似只要找邊成比例。
二、題目給的是比例而不是實際長度，不知如何列式。
表 4-7
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第 4 題錯誤原因分析
題目 有甲、乙、丙、丁、戊五塊三角形紙板，已知各紙板其中的兩內角分別 為甲：55 度、80 度，乙：55 度、45 度，丙：45 度、80 度，丁：55 度、
65 度，戊：45 度、55 度。在甲、乙、丙、丁四塊紙板中，哪一塊與戊不 相似？為什麼？
答案 丁 錯誤率 23%
空白率 49%
解題步驟 錯誤比例 錯誤原因
理解題意 9% 理解何謂三角形相似 概念認知 27% 判斷三角形相似需將三個角
都算出來
80 度≠55 度
連結文字幾 何與代數
9% 列出三角形內角和=180 度 未列式
代數運算 0% 正確算出第三個角
作答和檢驗 7% 選出不相似的三角形 答：甲、乙、丙、戊 其他 0%
原因推論 概念認知 看到甲的 80 度≠戊的 55 度就直接寫答 註：表中空白率與錯誤比例，皆為佔總錯誤人數之比例。各步驟之錯誤比例，包 含空白率才為 100%
研究者推論概念認知的錯誤率達 27%的可能原因是因為學生看到甲的 80 度
≠戊的 55 度就直接寫答，而未將所有的角度都算出來，就妄加判斷三角形是否相 似。
表 4-8
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第 5 題錯誤原因分析
題目 如附圖，AQ 為∠BAC的角平分線，P在 AQ 上，且 PB ⊥ AB 、 QC ⊥ AC 。
若 PB ＝3， QC ＝9， AP ＝5，則 PQ ＝？
A P Q
C B
答案 １０ 錯誤率 30%
空白率 29%
解題步驟 錯誤比例 錯誤原因
理解題意 3% 將各線段畫到圖上 3+9+5=17 概念認知 34% 經由 AA 相似，找到兩個相
似三角形
將線段標上後即空白
連結文字幾 何與代數
12% 相似三角形對應邊成比例 5：3=9： AQ
代數運算 2% 比例式運算 令 PQ =a a+5：9=5：3 5a+25=27
作答和檢驗 17% 確認所求 AQ =15(所求為 PQ )
其他 2% 猜測ACQ為等腰直角
55
三角形或 30-60-90 直角 三角形，錯算 AQ 註：表中空白率與錯誤比例，皆為佔總錯誤人數之比例。各步驟之錯誤比例，包 含空白率才為 100%
研究者推論概念認知的錯誤比率達 34%是因為學生未注意角平分線可得一組 對應角相等，兩垂直可得另一組對應角相等，便得相似三角形。
表 4-9
第 6 題錯誤原因分析
題目 如附圖，四邊形ABCD是正方形，E、F兩點分別在 CD 、 AD 上，延長 EF 交
直線BC於G點。若 AB ＝12， DE ＝8， DF ＝6，則四邊形AFGB面積為何？
A B
D E C
F
G
答案 １２６ 錯誤率 35%
空白率 29%
解題步驟 錯誤比例 錯誤原因
理解題意 3% 將線段標到圖形上
概念認知 21% 找到三角形 DEF 相似三角 形 CEG
標完線段即空白
連結文字幾 何與代數
12% FD：CG=DE：CE 6：8=4：CG
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代數運算 18% 正確算出 CG CE=6(算錯) 所求=(AF+BG)*AB/2 所求=(6+12)*12/2
作答和檢驗 12% 所求=144-8*6/2(算成
AFECB)
其他 6% 三角形 ECG 面積算為
4*4/2=8(看起來像等腰 直角三角形)
註：表中空白率與錯誤比例，皆為佔總錯誤人數之比例。各步驟之錯誤比例，包 含空白率才為 100%
研究者推論概念認知的錯誤率達 21%的原因有二：
一、已知線段標上後，還需利用正方形四邊相等的性質，將各線段求出。
二、再利用正方形四個角皆為直角的性質，找出三角形 DEF 相似三角形 CEG，才能找出 CG，算出答案。
表 4-10
第 7 題錯誤原因分析
題目 如附圖，△ABC、△DEF皆為直角三角形，D、B兩點在 AF 上， BC 與 EF 相
交於G點。若 AC ＝25， EF ＝15， BC ＝20， DE ＝9，且 DB ＝ 2 5 AB ， 則 CG ＝？
B C
D E
G
F A
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答案 １５.５ 錯誤率 54%
空白率 24%
解題步驟 錯誤比例 錯誤原因
理解題意 4% 能將線段標到圖上
概念認知 45% 發現角 B 與角 D 為直角，想 到畢氏定理。
ED、CD 有公垂線 AF，想到 平行線截等比例線段
AB 線段求不出來
寫到 DB=BF=6 後即空 白
連結文字幾 何與代數
5% 用畢氏定理列式 用比例線段列式
標記 DB=2/5
代數運算 12% 能正確的運算 標記 AB=15 作答和檢驗 5% 能寫出正確的答案 GB=9/2
其他 6% GB=BG=6，CG=14
註：表中空白率與錯誤比例，皆為佔總錯誤人數之比例。各步驟之錯誤比例，包 含空白率才為 100%
研究者推論概念認知的錯誤率達 45%的原因有二：
一、解題混雜畢氏定理(△ABC、△DEF皆為直角三角形)、比例式( DB ＝ 2 5 AB ) 與相似形(ED、CD有公垂線AF)，缺一不可，導致全對需經層層關卡
二、相似形左右相反，相似三角形找不到，或是對應邊找錯。
表 4-11
第 8 題錯誤原因分析
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題目 如附圖，將一個大三角形剪成一個小三角形及一個梯形。若梯形上、下 底的長分別為 6、14，兩腰長為 12、16，則小三角形的三邊長各為多少？
答案 6、9、12 錯誤率 61%
空白率 24%
解題步驟 錯誤比例 錯誤原因
理解題意 3% 將線段標上 只有標上下底、梯形的
兩腰未標 概念認知 34% 梯形定義為一雙邊對邊平
行，故小三角形與原三角形 相似
線段全標上後即空白
連結文字幾 何與代數
11% 能將對應邊成比例正確列式 令小三角形左邊為 a a：12=6：14
代數運算 3% 正確運算
作答和檢驗 14% 9(只算出一邊)
27(算周長)
其他 10% 12,6,16
(猜測剪刀剪在中點) 12,8,10
(梯形上底作平行四邊
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形下來，切剩的三角形 三邊)
註：表中空白率與錯誤比例，皆為佔總錯誤人數之比例。各步驟之錯誤比例，包 含空白率才為 100%
研究者推論概念認知的錯誤率達 34%的原因有二：
一、因為題目因未命名各點，故線段長度標記於圖形不全。
一、因為題目因未命名各點，故線段長度標記於圖形不全。