第四章 研究結果之分析與討論
第三節 錯誤類型訪談與探究
經由第二章的文獻探討與第四章第二節錯誤原因分析，統整出各題的錯誤原 因推論。研究者歸納錯誤類型如下：壹、無法理解題意或是圖形的設計。貳、認 知概念的迷思錯誤。參、數字、代數與幾何間無法轉換或連結。肆、先備知識的 不足或錯誤。伍、粗心或是計算錯誤。陸、武斷猜測的答案。
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為使研究更加深入理解學生的錯誤類型，研究者選取有意願，且錯誤題數適 中的學生，進行半結構式的訪談。下列為各錯誤類型分項細目、舉例及學生訪談 紀錄：
壹、 無法理解題意或是圖形的設計
有時候題目的設計不只是測驗學生的概念，也會使用到一些能力指標並未包 含到的能力。例如下面兩點：
一、 空間能力的不足
題目的述敘中有以¯ AE 為摺線，將C摺至¯ BE 上，也就是將題目上的長方形摺到 左側，這邊需要使用到空間的能力。這項能力未出現於課綱當中，卻有可能是學 生不會的能力，例題與訪談如下：
此圖為梯形紙片ABCD，E點在¯ BC 上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90 度，¯ AD ＝3，¯ BC
＝9，¯ CD ＝8。若以¯ AE 為摺線，將C摺至¯ BE 上，使得¯ CD 與¯ AB 交於F點，則¯ BF 長 度為何？
T-1-11-u：這一題你知道它在說什麼嗎？
S-1-11-u：(點點頭)
T-1-11-n：請你把題目的線段標上去可以嗎？
S-1-11-u：(把數字標上去)
T-1-11-n：題目說把它摺過去，可以請你把摺過去的圖形畫出去嗎？
S-1-11-u：(把AECD長方形平移半格，橫跨在AE線段上)
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T-1-11-u：你知道什麼是摺過去嗎？
S-1-11-u：(搖搖頭)
二、 讀圖能力的不足
此題需要學生有辨認地圖東西南北，並在題目上標示線最的能力。這些能力 有些學生有，但有些學生卻需要更仔細的講解才能理解。例題與訪談如下：
如附圖，有A 村與一條直線型的公路，今以 A 村為基準點，向北走 4 公里可 到達公路。若由A 村向東走 6 公里，再向北走 6 公里也可到達公路，則由 A 村向 西走多少公里可到達公路？
N A
公路
T-2-12-u：這一題你知道它在說什麼嗎？
S-2-12-u：就這樣畫(過 A 作直線的垂線，並標記為 6) T-2-12-u：你現在畫的是 A 村向東走還是向北走？
S-2-12-u：向北走
T-2-12-u：可是右邊這個十字代表北邊向上喔 S-2-12-u：是喔！(把剛剛畫的擦掉)
貳、 認知概念的迷思錯誤
學生在學習概念時，或多或少會與教師的講述概念有所不同，而這微細的差 距容易造成迷思概念。而這樣的概念學生大多很難自覺，如果養成習慣的話，就 很難改變。所以認知概念的錯誤可能是一開始學習的時候未學習完整，也有可能 是被之前或之後學習到的概念所影響。各題的詳細敘述如下：
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一、 對應角相等與對應邊成比例需同時成立
兩個圖形相似的時候，每一組對應角都要相等，每一組對應邊都要成比例，
如果有任一組對應角不相等或對應邊不成比例，則兩圖形就不會相似。例題與訪 談如下：
下列哪些選項中的兩個圖形是相似的？為什麼？
(C)
120°
18 24
24 24
24 32
24 32
18
18
90° 100°
110°
T-3-1-u：你知道這題在講什麼嗎？
S-3-1-a：就判別相似形
T-3-1-a：你為什麼覺得 C 有相似 S-3-1-a：因為他的邊長比都是一樣啊 T-3-1-a：相似形的定義是什麼？
S-3-1-a：就形狀一樣，邊成倍率 T-3-1-a：什麼叫作形狀一樣？
S-3-1-a：就看起來像啊
T-3-1-a：像不是數學的定義，相似形定義是對應邊成比例，對應角…？
S-3-1-a：(想了一下)相……同？
T-3-1-a：C 的對應角有相等嗎？
S-3-1-a：好像沒有耶(抓抓頭) 二、
順攝抑制
順攝抑制是指先後學得舊的與新的概念，當要使用新的概念時，被舊的概念 所干擾，稱為順攝抑制。例題與訪談如下：
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附圖表示E、F、G、H、I、J、M、N八點在長方形ABCD四邊上的位置，其中 AE
＝ EF ＝ FB ＝ DG ＝ GH ＝ HC ，且 AI ＝ IJ ＝ JD ＝ BM ＝ MN ＝ NC 。若長方形
ABCD的周長為 32，對角線長為 12，則 EI 、 FJ 、 BD 、 MG 、 NH 五線段的長度 和為何？
A I J
B C
E
F
M N H G D
T-4-10-a：你把FJ標為 6，EI標為 3，是為什麼呢？
S-4-10-a：因為它們等長(手指AD邊)
T-4-10-a：你是指這三段(手指者AI 、 IJ 、 JD )等長嗎？
S-4-10-a：等長的時候，中線長為底邊的一半 T-4-10-a：EI跟FJ誰是中點連線？
S-4-10-a：EI是FJ的中點連線 T-4-10-a：FJ是BD的中點連線嗎？
S-4-10-a：因為他等長
T-4-10-a：如果J是中點，那兩段等長？
S-4-10-a：AJ=J…(靜默)
三、 倒攝抑制
倒攝抑制是指先後學得舊的與新的概念，當要使用舊的概念時，被新的概念 所干擾，稱為倒攝抑制。例題與訪談如下：
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下列哪些選項中的兩個圖形是相似的？為什麼？
(A)
4
2 6 3
T-5-1-a：這張是你寫的嗎？
S-5-1-a：嗯
T-5-1-a：你這邊(選項 a 旁邊)為什麼寫 SAS？
S-5-1-a：就……相似的理由
T-5-1-a：SAS 是什麼東西的相似才在用的？
S-5-1-a：三角形
T-5-1-a：那長方形怎麼用？
S-5-4-a：(靜默)…
四、 對應邊未正確對應
對應邊未正確對應是指，學生在解題的時候，未將相似形間的對應邊正確對 應，便以錯誤的比例計算，導致答案錯誤。例題與訪談如下：
如圖，邊長 12 的正方形ABCD中，有一個小正方形EFGH，其中E、F、G分別在¯ AB
、¯ BC 、¯ FD 上。若¯ BF ＝3，則小正方形的邊長為何？
T-13-13-a：為什麼EF=5？
S-13-13-a：因為EBF是 3-4-5 三角形
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T-13-13-a：你怎麼知道EBF是 3-4-5 三角形？
S-13-13-a：因為CDF是 3-4-5 三角形，而且他跟EBF相似
T-13-13-a：如果角CDF是a度，CFD是b度，角BFE跟BEF各是幾度？
S-13-13-a：BFE是a度，BEF是b度 T-13-13-a：那a對的是 3 還是 4？
S-13-13-a：3
T-13-13-a：那BF對誰？
S-13-13-a：b
T-13-13-a：這樣還是 3-4-5 嗎？
S-13-13-a：啊……
參、 數字、代數與幾何間無法轉換或連結
研究者發現，學生即使理解題意，卻無法將資料轉化成幾何的表徵。或者是 圖形都看得懂，但是卻無法將題目的數值轉化成代數式，以執行之後的運題步驟，
例如：
一、 無法將題目的敘述標記在圖形上
如附圖，將一個大三角形剪成一個小三角形及一個梯形。若梯形上、下底的長分 別為 6、14，兩腰長為 12、16，則小三角形的三邊長各為多少？
T-6-8-u：這張是你寫的嗎？
S-6-8-n：是
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T-6-8-u：第 8 題為什麼沒有寫？
S-6-8-n：不知道怎麼寫 T-6-8-u：這裡有那些形狀？
S-6-8-u：三角形跟梯形 T-6-8-n：那為什麼不會寫？
S-6-8-n：他沒有說梯形的那邊是那邊 T-6-8-n：上底 6 在那裡？
S-6-8-n：(在上底標 6，下低標 14，然後發呆) T-6-8-n：為什麼不標兩腰長度？
S-6-8-n：他沒有說那段是 12，那段是 16 T-6-8-n：你覺得那段是 12？
S-6-8-n：不知道，它沒說
二、 無法將圖形的數字代入公式
附圖的兩長方形ABCD、ECGF為相似形，且 AD 的對應邊為 EF 。
若 AB ＝6， FG ＝4， BG ＝25，則兩長方形的面積和為何？
A D
B C G
E F
T-7-2-n：為什麼把線段標上之後就空白了？
S-7-2-n：不知道要做什麼 T-7-2-n：看到什麼圖形？
S-7-2-n：長方形……兩個長方形
T-7-2-n：兩個長方形之間是什麼關係？
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S-7-2-n：相似
T-7-2-n：你令BC=x，CG=25-x，之後要怎麼列式？
S-7-2-n：(沉默)
T-7-2-n：兩個長方形相似，什麼成比例？
S-7-2-n：對應邊 T-7-2-n：BC對應誰？
S-7-2-n：CG吧(拉長音) T-7-2-n：所以式子怎麼列？
S-7-2-n：(寫下x：(25-x)) T-7-2-n：AB的對應邊是誰？
S-7-2-n：EC
T-7-2-n：EC長多少？
S-7-2-n：4
T-7-2-n：所以式子怎麼列？
S-7-2-n：(寫下 6：4)
T-7-2-n：兩個長方形相似，所以對應邊？
S-7-2-n：(在兩個比之間寫下=)
肆、 先備知識的不足或錯誤
因為題目是由基測題中選取，所以容易出現跨章節的題目，而學生需要的先備知 識也更多，例如：
一、 三角形內角和=180 度
有甲、乙、丙、丁、戊五塊三角形紙板，已知各紙板其中的兩內角分別為甲：55 度、80 度，乙：55 度、45 度，丙：45 度、80 度，丁：55 度、65 度，戊：45 度、
55 度。在甲、乙、丙、丁四塊紙板中，哪一塊與戊不相似？為什麼？
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T-8-4-c：為什麼甲跟戊不相似？
S-8-4-c：因為他的角度不一樣 T-8-4-c：那些角度不一樣？
S-8-4-c：甲有 80 度，戊有 45 度
T-8-4-c：三角形兩個角分別是 55 度跟 80 度，第三個角知不知道？
S-8-4-c：(側頭)應該可以吧
T-8-4-c：所以甲的第三個角是多少？
S-8-4-c：三角形的內角和是多少？
T-8-4-c：180 度(瞪)
S-8-4-c：(寫下 180-80-55=45)跟戊一樣耶
二、 畢氏定理
如附圖，△ABC、△DEF皆為直角三角形，D、B兩點在 AF 上， BC 與 EF 相交於G 點。若 AC ＝25， EF ＝15， BC ＝20， DE ＝9，且 DB ＝ 2
5 AB ，則 CG ＝？
B C
D E
G
F A
T-9-7-c：為什麼你把DB標長度為 2 5 ？ S-9-7-c：因為 DB ＝ 2
5 AB T-9-7-c：AB的長度是多少？
S-9-7-c：不知道
T-9-7-c：你看一下三角形ABC(用筆把ABC畫一圈)，是什麼三角形？
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S-9-7-c：直角三角形
T-9-7-c：斜邊AC長 25，高CB長 20，底AB長多少？
S-9-7-c：股勾定理(笑)
T-9-7-c：是勾股定理，所以底2+高2=……？
S-9-7-c：斜2
T-9-7-c：那就列式吧 S-9-7-c：(寫下AB2+202=252)
伍、 粗心或是計算錯誤
粗心、看錯或是計算錯誤，是學生很常見的錯誤。而在對完答案，將試卷還 給學生之後，學生常常都可以自行改正錯誤，例如：
一、 看錯
如附圖(一)，AB 為一個不等臂的蹺蹺板，O 為支點，距離地面 30 公分，A 點在地 面上，且 AO：OB＝2：1。今守守與不化蟲分別坐在 A、B 兩端，使得蹺蹺板成水 平狀態，如附圖(二)所示。則兩圖中 B 點與地面的高度相差多少公分﹖
A
O B
30 A
O 30 B
圖(一) 圖(二) T-10-14-o：這題你寫 45，可是答案是 15，為什麼？
S-10-14-o：啊！沒有看到高度相差！
二、 計算錯誤
如附圖，S、R、Q在 AP 上，B、C、D、E在 AF 上，其中 BS 、 CR 、 DQ 、 EP 皆垂 直於 AF ，且 AB ＝ BC ＝ CD ＝ DE 。若 PE ＝2 公尺，則 BS ＋ CR ＋ DQ 的長是
80
多少公尺？
A S
R Q
P
B C D E F
T-11-15-a：0.5+1+1.5=多少 S-11-15-a：3 吧…
T-11-15-a：你寫 0.5+1+1.5=5，你知道嗎？
S-11-15-a：算錯了啦(傻笑，把答案劃掉，改成 3)
陸、 武斷猜測答案
有時候學生不知道怎麼做的時候，看圖覺得看起來像是某些三角形(例如等腰 直角三角形)就直接拿該圖形的性質使用，例如：
一、
亂猜
如附圖，四邊形ABCD是正方形，E、F兩點分別在 CD 、 AD 上，延長 EF 交直線BC
於G點。若 AB ＝12， DE ＝8， DF ＝6，則四邊形AFGB面積為何？
A B
D E C
F
G
T-12-6-o：你為什麼把線段CG的長度填 4？
S-12-6-o：因為CEG是等腰直角
T-12-6-o：你怎麼知道CEG是等腰直角？
S-12-6-o：看起來就像是等腰直角
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