臺中市國民中學三年級學生相似形單元錯誤類型之分析研究

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(1)國立臺中教育大學教育學系課程與教學碩士在職專班論文. 指導教授：曾榮華. 博士. 臺中市國民中學三年級學生相似形單元學習錯誤之分析研究. 研究生：趙千翔撰. 中華民國 102 年 7 月.

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(5) 謝辭能夠順利的兩年從研究所畢業，取得碩士學位。得之於人者多，出之於己者少，心中除了感激，還是感激。在求學過程中，首先，也是最感謝的，是我的指導教授曾榮華博士。在繁忙的公務中仍不斷撥空，指導論文寫作的方向，激勵論文寫作的動力，也不忘提醒學術要精進，也不要忘了注意身體健康，要長長久久的走下去。在此，謹以最誠摯的心，致上我最高的敬意。感謝林原宏教授與賴志峰教授於計畫口試與口試期間，仔細的審閱我待完善的論文，提出寶貴的見解、建意與修正，使得本論文內容更為充實，結構更為完整。感謝當初約我一起去考研究所的同事，如果沒有你們，我也沒有機會和你們一起分享學術精進，開拓視野的成就感。感謝與我同班的同學，因為你們，讓每個上課的夜晚充滿期待，學習滿行囊。感謝每位協助我的朋友：為我審論文、發問卷、拿課本，有了你們，學術的路途不漫長。最後，感謝我的妻子與家人，在我每個缺席的夜晚，為我分擔家務，給我支持、關懷與溫暖，讓我能同時兼願事業、學業與家庭。學位的取得，不只是知識與經驗的累積，更需要人與人之間互相幫助的溫暖。僅此，獻給所有幫助我的人，沒有你們，就沒有這篇論文。千翔. 102.7.10.

(6) 臺中市國民中學三年級學生相似形單元錯誤類型之分析研究. 摘要本研究主要目的是探討臺中市國民中學三年級學生在相似形單元的錯誤情形、歸納錯誤原因與推論錯誤類型。本研究共分成二個階段進行：第一階段為紙筆測驗，研究工具為研究者自編相似形單元問卷，研究對象為兩所臺中市公立國民中學三年級學生，共有 7 個班，195 名，用以收集錯誤情形與歸納錯誤原因的基本紙本資料；第二階段為半結構式訪談，研究對象的選取是依據第一階段的問卷中，錯誤原因具代表性，並願意接受訪談之學生接受訪談。用以推論學生在問卷中錯誤原因，後面真正錯誤類型為何。本研究的主要結果如下：一、錯誤情形錯誤率最高的題型都屬於應用問題。. 二、錯誤原因分成以下五步驟： 1. 理解題意(看不懂題目)的錯誤。 2. 概念認知（不會列式）的錯誤。 3. 連結文字幾何與代數（用錯公式）的錯誤。 4. 代數運算（運算錯誤）的錯誤。 5. 作答和檢驗（粗心，答非所問）的錯誤。. 三、錯誤類型分成以下七大項： 1. 不瞭解題意或圖形的述敘 2. 先備知識不足 3. 定義、性質或公式的概念有誤 4. 將數值代入公式錯誤或計算錯誤. I.

(7) 5. 誤解所求或看錯數值 6. 對題目敘述或圖形數據進行無據的推論 7. 時間不夠或無心作答. 關鍵字：相似形、學習錯誤、錯誤類型. II.

(8) Analysis of the learning mistakes on the Similar figures of Mathematics in Junior High School in Taichung City Adviser: Juan-Hau Tseng Graduate student: Qianxiang Zhao. Abstract The main purpose of this study was to explore the mistakes that junior high school students made at similar figures and to analyze the error types and the reasons that caused mistakes.The study was divided into two phases. The first phase, I surveyed the error types that students made at similar figures with written test. The objects of my study were 195 ninth graders of Taichung City. The second phase of the study was based on the results of the first phase. I chosed some representative studends to be interviewed for understanding and analyzing the reasons of why the mistakes happened. The main results of this study were as follows:. A. The test results of similar figures made by the students were as following: 1. The problems of the top three highest mistake rate were application questions. 2. Most of the problems of the top three lowest mistake rate were differentiate questions. 3. Most of the problems of the top three highest blank rate were application questions at the end of test. 4. the problems of the top four lowest blank rat were differentiate questions which figures were placed side by side at the start of test.. B. The problem solving steps were divided into five phases as following:. III.

(9) 1. Understanding of problem. 2. Perception of concept. 3. Transition between arithmetic and algebra 4. Calculation of algebra. 5. Check of answer.. C. The error types were divided into the following seven items: 1. The understanding errors. 2. The deficiency of prior knowledge errors. 3. The cognitive errors. 4. The calculating erros. 5. The carelessness or miscalculation errors. 6. The speculate errors. 7. The forsaken errors.. key words: similar figures, learning error, error type. IV.

(10) 目次目次 .............................................................................................................. V 表次 .......................................................................................................... VIII 圖次 .............................................................................................................. X 第一章緒論 ............................................................................................... 1 第一節研究緣起及動機 ....................................................................... 1 第二節研究目的與待答問題 ............................................................... 4 第三節名詞釋義 ................................................................................... 4 第四節研究範圍與限制 ....................................................................... 5 第二章文獻探討 ....................................................................................... 9 第一節皮亞傑的幾何認知理論 ........................................................... 9 第二節. van Hiele 的幾何思考理論 ..................................................... 11. 第三節. Duval 的幾何認知理論........................................................... 15. 第四節九年一貫課程綱要與相似形 ................................................. 17 第五節解題歷程 ................................................................................. 21 第六節相似形的相關研究 ................................................................. 22 第七節錯誤類型的相關研究 ............................................................. 24 第八節. S-P 表分析理論....................................................................... 27. V.

(11) 第三章研究設計與實施 ......................................................................... 33 第一節研究對象 ................................................................................. 33 第二節研究工具 ................................................................................. 34 第三節研究流程 ................................................................................. 35 第四章研究結果之分析與討論 ............................................................. 43 第一節錯誤情形分析 ......................................................................... 43 第二節錯誤原因分析 ......................................................................... 46 第三節錯誤類型訪談與探究 ............................................................. 69 第五章結論與建議 ................................................................................. 81 第一節. 結論 ........................................................................................ 81. 第二節. 建議 ........................................................................................ 84. 參考文獻 ..................................................................................................... 86 附錄 ............................................................................................................. 94 附錄一錯誤類型相關論文 ................................................................... 94 附錄二第四階段能力指標（國中一至三年級） ............................. 107 附錄三九年級能力指標分年細目 ..................................................... 108 附錄四專家問卷 ................................................................................. 109 附錄五預試問卷 ................................................................................. 135. VI.

(12) 附錄六正式問卷 ................................................................................. 143 附錄七半結構式訪談綱要 ................................................................. 151. VII.

(13) 表次表 2-1 相似形相關的能力指標 ................................................................ 20 表 2-2 相似形相關研究............................................................................. 22 表 2-3 學生作答情況................................................................................. 29 表 2-4 已排序學生作答情況 .................................................................... 29 表 2-5 學生問題......................................................................................... 30 表 3-1 專家問卷九年級幾何分年細目 .................................................... 35 表 3-2 專家問卷題目刪除原因 ................................................................ 36 表 3-3 預試試題難度與鑑別度統計 ........................................................ 38 表 3-4 試題診斷分析................................................................................. 40 表 4-1 錯誤情形統計................................................................................. 44 表 4-2 學生學習類型分布 ........................................................................ 46 表 4-3 錯誤原因相對次數 ........................................................................ 47 表 4-4 第 1 題錯誤原因分析 .................................................................... 48 表 4-5 第 2 題錯誤原因分析 .................................................................... 50 表 4-6 第 3 題錯誤原因分析 .................................................................... 51 表 4-7 第 4 題錯誤原因分析 .................................................................... 52 表 4-8 第 5 題錯誤原因分析 .................................................................... 53. VIII.

(14) 表 4-9 第 6 題錯誤原因分析 .................................................................... 55 表 4-10 第 7 題錯誤原因分析 .................................................................. 56 表 4-11 第 8 題錯誤原因分析................................................................... 57 表 4-12 第 9 題錯誤原因分析 .................................................................. 59 表 4-13 第 10 題錯誤原因分析 ................................................................ 60 表 4-14 第 11 題錯誤原因分析................................................................. 62 表 4-15 第 12 題錯誤原因分析 ................................................................ 63 表 4-16 第 13 題錯誤原因分析 ................................................................ 65 表 4-17 第 14 題錯誤原因分析 ................................................................ 66 表 4-18 第 15 題錯誤原因分析 ................................................................ 67. IX.

(15) 圖次圖 2-1 皮亞傑認知組織............................................................................... 9 圖 2-2 相似形單元教材地位分析 ............................................................ 20 圖 2-3 研究方法分布................................................................................. 23 圖 2-4 研究對象個數分布 ........................................................................ 24 圖 2-5 研究內容分布................................................................................. 25 圖 2-6 研究對象年級分布 ........................................................................ 25 圖 2-7 研究對象所在區域分布 ................................................................ 26 圖 2-8 錯誤原因次數................................................................................. 27 圖 2-9 相似形問題的解題歷程 ................................................................ 27 圖 2-10 試題類型分析............................................................................... 31 圖 2-11 學生學習類型分析....................................................................... 32 圖 3-1 試題診斷分析................................................................................. 41. X.

(16) 第一章. 緒論. 本章緒論分為三個小節，依序為：第一節、研究背景與動機。第二節、研究目的與待答問題。第三節、名詞釋義。. 第一節. 研究緣起及動機. 本節依據研究者在教學現場的經驗與困境，闡述研究者研究相似形的動機與前因後果。再就研究錯誤類型的動機與重要性，作進一步的論述。. 壹、研究緣起當研究者剛畢業，第一年進入學校教學時，遇到國民中學三年級學生問了一題幾何題目，題目是：△ABC中，D、E為 BC 的三等分點，H為 AC 的中點。若 BH 與 AD 、 AE 交於F、G兩點，則 BF ： FG ： GH 的比為何？這個問題讓研究者苦思良久而不得其解，後來向其他教師請益之後，才獲得解答。問題之所以想不出來有幾個原因：一、研究者在離開國中階段已久，對國民中學階段的幾何工具不夠熟悉，無法靈活運用。二、因為問題出現在國民中學三年級複習卷當中，所以研究者無法確定該用那個章節的幾何工具，才能順利解題。三、本題在求解時，需要使用輔助線，但辦斷解題是否需要輔助線，以及輔助線該如何畫，常常是國民中學的幾何問題中最為因難，又難以決定的關鍵。四、如果解題是使用三角形的全等，那麼在圖形的旋轉或鏡射後，可以找到一模一樣的圖形，幫助解題與思考。但此題使用的工具並非三角形的全等，而是平行截等比例線段，所以連猜測或試誤都不知如何下筆。如果專業的數學教師在解相似形單元題目時，都有這麼多的困難。那麼對 1.

(17) 於初學相似形單元的國民中學三年級學生而言，在解答相似形單元的題目時，勢必又會遭遇到更大的困難。自此，研究者便非常在意學生在學習相似形單元的概念，或是學習如何解題時，所遭遇到的困難。即使研究者已經從教學現場知道，相似形對於學生是抽象又複雜的單元，但是研究者在第一年教書時，仍然是充滿挫折的。國民中學三年級的考題只是把課本或習作的題目數據改一改，學生仍常常放棄作答，或是亂猜一通。長久之後，研究者常常覺得學生是不用心，而非能力不足。幾經教法改變之後，研究者也漸漸的失去了改善的動力。直到考上了研究所，研究者又想起當初教相似形單元時遭遇的困難與挫敗，便試圖以不同的角度，分析當年遭遇的挫折，以增進教學的效能。在經過文獻的收集與分析後，研究者發現 van Hiele，這位曾任教於高中的荷蘭籍教授，與研究者有同樣的困擾。更進一步的，van Hiele 架構一套幾何的知識結構與教學步驟，瞭解 van Hiele 的理論讓研究者找到施力點，使得研究者得以反省、檢視並改進自己的教學。研究者搜尋民國 100 年之前的文獻，發現與相似形相關的研究僅有 6 篇（林和田, 2003; 張佩琦, 2007; 黃國展, 2003; 楊子錕, 2010; 簡啟全, 2011; 蘇聖文, 2007），而以相似形單元為研究對象的錯誤類型論文更付之闕如。因此，激發研究者針對相似形單元，做進一步的錯誤類型研究，以瞭解學生學習相似形單元的困難，並提升研究者本身的專業知能與教學效能，以減少相似形單元學習與教學的困擾。. 貳、研究動機在文獻探討後，研究者發現梁淑坤（1996）提出：不管教學者在授課時如何用心，學生解題時仍會犯下錯誤。又因為教師和學生在數學知識的認知層次不同，教師很少懷疑自己在教材教法或專業知識能力是否有問題，反而容易認定學生學習不夠認真，而忽略學生在學習時遭遇的認知困難（張景媛，1994）。在學生不能 2.

(18) 理解數學的教學內容，而師長又誤判學生努力不足，並要求學生在不瞭解的情況下，反覆的練習，導致焦慮不安的學生被推向更大的危機（Whitney, 1985）。這也就是為什麼研究者雖然已經注意到教學困境，但仍無法實際改善學生學習情況的原因。想要推論學生在相似形單元的錯誤類型，並非單純的由日常的課室觀察或是考卷批改就可以通透的瞭解。因此，研究者依照文獻探討，歸納錯誤類型論文的研究流程，發現要推論錯誤類型，首先需瞭解學生一般性在相似形單元的錯誤情況為何，這是研究動機之一。為了瞭解學生的錯誤情況，研究者採用紙筆測驗的方式，收集學生的作答資料。但是如何將偌大的作答分類，以利之後的錯誤類型推論，便是研究遇到的第二個問題。因此，研究者將作答資料按照解題步驟，分成不同階段的錯誤原因。而分析學生在各個步驟的錯誤原因，是研究動機之二。 Schwarzenberger（1984）在英國數學學會會長的致詞曾提出：在數學中，犯錯與正確作答是一樣重要的。有時犯錯的重要性比正確作答更有過之而無不及。因為不論是計算過程中的錯誤，或是學習概念時的錯誤，都能揭露學生在學習過程中真正的想法。從錯誤中嘗試尋找正確的答案，正是數學發展的原動力。而教師的職責，除了在教學現場正確的演示之外，還需要歸納錯誤的類型，以提醒並避免學生犯錯。Maurer（1987）提出：在學習數學時，學生所犯的錯誤是系統性的。所謂的系統性是指：這些錯誤並非隨機出現，而是永久性的一再犯錯。有時這些錯誤會自動訂正，但更多的時候，這此錯誤則會一再發生。而大部分的任課教師卻未能察覺學生錯誤的概念，導致這些錯誤概念形成另一套錯誤的理論系統，造成學生學習時的困難（黃湘武、黃寶鈿，1986）。所以，分析學生的錯誤類型對於教師與學生是雙贏的：教師藉由錯誤類型的分析，可以知道學生常犯哪些系統性的錯誤，以修正教學。而詳實的錯誤類型分析又可以發現學生學習困難之所在，並分析學生錯誤的原因為何，以改正系統性的錯誤（Brown & Burton, 3.

(19) 1978）。這是研究動機之三。. 第二節. 研究目的與待答問題. 基於瞭解學生一般性在相似形單元的錯誤情況、分析學生在各個步驟的錯誤原因與歸納學生在相似形問卷上的錯誤類型，本節探討的研究目的如下：. 壹、研究目的一、瞭解國民中學三年級學生學習相似形單元後的錯誤情形。二、分析國民中學三年級學生學習相似形單元後的錯誤原因。三、歸納國民中學三年級學生學習相似形單元後的錯誤類型。研究者基於以上的研究目的，將研究目的轉換為本研究待探討的研究待答問題如下：. 貳、待答問題一、國民中學三年級學生在學習相似形單元後的錯誤情形為何？二、國民中學三年級學生在學習相似形單元後的錯誤原因為何？三、國民中學三年級學生在學習相似形單元後的錯誤類型為何？. 第三節. 名詞釋義. 本節討論本研究重要的名詞與解釋，分別為臺中市國民中學、相似形、錯誤情形、錯誤類型與錯誤原因。. 壹、相似形兩個平面圖形，若其中一個經過縮放動作後，和另一個圖形全等，則稱這兩個平面圖形相似。此時，這兩個平面圖形之對應角相等，且對應邊長成比例。. 貳、相似形單元本研究所指相似形單元，共包含 4 個九年一貫能力指標，包含：9-s-02，能理解多邊形相似的意義。9-s-03，能理解三角形的相似性質。9-s-04，能理解平行 4.

(20) 線截比例線段性質及其逆敘述。9-s-05，能利用相似三角形對應邊成比例的觀念，解應用問題。所以題目設計與分類，都是以上 4 個能力指標作為標準。. 參、學習錯誤本研究所指學習錯誤包含三個部分，分別為：一、錯誤情形。二、錯誤原因。三、錯誤類型。分別討論如下：. 一、錯誤情形本研究所討論的錯誤情形，是指學生在學習完相似形單元後，在研究者自編的相似形單元測驗卷中所出現的錯誤情形。統計時依照兩個面相分析：一、依照各個題目，作答的錯誤率討論。二、依照 S-P 表分析各試題的診斷情況與學生的試題情況。. 二、錯誤原因本研究所擬定的 5 個錯誤原因為：（一）理解的錯誤。（二）連結的錯誤。（三）認知的錯誤。（四）運算的錯誤。（五）作答的錯誤。. 三、錯誤類型在解答數學問題時，依據列式或計算中產生錯誤答案的關鍵步驟歸納而成的類型，稱為錯誤類型（Kathleen, 1987）。本研究所討論的錯誤類型，僅指學習完相似形的國民中學三年級學生，在研究者自編的相似形單元測驗卷中，所出現的錯誤，而歸納出來的錯誤類型。. 第四節. 研究範圍與限制. 本節討論本研究的研究範圍與研究限制的 3 個主題如下：一、研究對象。二、研究主題。三、研究方法。後續研究者引用本文時，應注意本研究的研究範圍與研究限制，以避免錯誤引用或過度推論的可能。. 壹、研究範圍 5.

(21) 一、研究對象本研究的研究對象為一○一學年度，臺中市兩所公立國中的國中三年級學生，有 7 個常態分班班級，共 195 人。. 二、研究主題本研究的研究主題為「相似形單元」，僅包含 4 個九年一貫能力指標：9-s-02，能理解多邊形相似的意義。9-s-03，能理解三角形的相似性質。9-s-04，能理解平行線截比例線段性質及其逆敘述。9-s-05，能利用相似三角形對應邊成比例的觀念，解應用問題。. 三、研究方法本研究的研究方法分為兩個階段：第一階段為紙筆測驗，第二階段為半結構式訪談。紙筆測量的資料以量化的統計處理，半結構式訪談的資料以質性的分析處理。. 貳、研究限制一、研究對象本研究並未探討不同版本的教科書、數學分組上課或其他學生社經智力等背景困素，對錯誤原因之影響。且因問卷之施測侷限於學校的課程安排與教學環境，所以取樣的方式採立意取樣。導致所得的結論不具有一般性，只能推廣到條件相似的相同區域，無法推論到其他區域或不同條件的學生。. 二、研究主題本研究僅針對「相似形單元」進行研究，如需推論到其他的相關能力指標，其他幾何主題的單元，或是整個國中數學其他主題的錯誤情型，都需謹慎考慮。. 6.

(22) 三、研究方法本研究雖然在施測說明中已請學生將每一題的每個解題步驟、計算過程寫在空白處，但仍有部分學生未完全配合。可能的原因是：一、幾何題目的解題不著重繁複的計算過程，學生習慣在腦內構思後隨即寫出答案。二、學生習慣在作答後將過程清除，以保持試卷的清潔。三、幾何題目的解題想法不易以紙筆呈現，即使是口頭說明也不容易說清楚。因此問卷資料分析不易，研究者僅能依據學生在試卷上的畫記或是數值的標記猜測學生的錯誤類型，並於訪談時請學生確認，無法完全瞭解所有學生的錯誤。. 7.

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(24) 第二章. 文獻探討. 本章文獻探討依序討論幾何學習的理論、九年一貫課程設計、相關研究中與相似形相關的論述與 S-P 表分析理論。細分為第一節、皮亞傑的幾何認知理論。第二節、van Hiele 的幾何思考理論。第三節、Duval 的幾何認知理論。第四節、九年一貫課程綱要與相似形。第五節、解題歷程。第六節、相似形的相關研究。第七節、錯誤類型與錯誤原因的相關研究。第八節、S-P 表分析理論。. 第一節. 皮亞傑的幾何認知理論. 1971 年，皮亞傑以認知心理學的角度，分析人類認知的發展，提出了基模、認知結構、失衡、適應、調適、同化與平衡等概念。主張認知結構或基模經由同化或調適的適應歷程，導致知識增加與智力成長。. 適應. 失衡. 同. 平衡. 化圖 2-1 皮亞傑認知組織 1929 年，皮亞傑開始研究兒童的幾何概念的形成與發展，經過二、三十年的觀察後，皮亞傑與幾位學者發現兒童幾何概念並非與生俱來，幾何概念的形成是由於日常生活環境中，圖形、物體與空間的形狀或移動的刺激，將幾何的概念內化成內在表徵，再組合成操作系統（Piaget, Inhelder & Szeminska, 1960）。而兒童的幾何概念的發展順序為：拓樸幾何概念、投影幾何概念與歐氏幾何概念（Piaget & Inhelder, 1956）。兒童幾何概念的內容介紹如下：. 壹、拓樸幾何概念（Topological）皮亞傑有幾種方式測試此階段兒童的幾何概念，例如：1.讓兒童以觀察的方 9.

(25) 式，詢問兒童直線上的點數、直線無限等分的結果或圖形無限減小後的形狀等問題；2.讓兒童重繪圖形，分析兒童的繪圖結果。因為此階段兒童的認知發展屬於前運思期，缺乏可逆性與保留性。所以兒童無法相逆次序或重建次序，造成當兒童在重繪正方形或三角形的時候，會忽略長度、角度或大小的相對位置或關係，將直線畫凹或畫凸，而同樣地畫成一條類似圓形的不規則封閉曲線。也就是兒童在重繪時，圖形只能分辨為封閉圖形（例如：○）或開放圖形（例如：╳）。拓樸幾何概念是指物體間順序的相鄰、順序和包圍的關係是正確的（例如：A-B-C-D 同構 A---B-CD），然而彼此間的距離或相對關係則易因兒童的知覺集中而被忽略。. 貳、投影幾何概念（Projective）皮亞傑測試此階段兒童的幾何概念的方式有：1.詢問兒童如果改變光源與各種不同的立體物體（例如：圓柱、圓錐或將其分割成的一部分）的相對位置時，物體影子的形狀將改變為何種形狀；2.讓兒童觀察幾個建構成一條直線的非連續圖形後，讓兒童嘗試畫出該圖形的透視圖；3.在長方形桌的同一邊或是圓形桌任相異兩點放置兩根火柴棒，要求兒童在兩根火柴棒間放置火柴棒，並連成直線。拓樸幾何概念階段的兒童在排列長方形桌同一邊的火柴棒時，可以藉由直線桌邊排成直線。但在排列圓桌的火柴棒時，便會排成波浪形或不規則的曲線，而無法利用直線投影的概念將火柴棒排成直線。而此階段兒童的認知發展為前運思期至具體運思期，所以有能力經由視角的轉換，正確回答上列的各題。投影幾何概念是指圖形與投影對象並非互不相關的獨立關係，而是能夠瞭解圖形和投影對象間的投影關係。. 參、歐氏幾何概念（Euclidean）皮亞傑測試此階段兒童的何概念的方式為：將平面圖形（例如：三角形、圓形）或立體物體（例如：角柱、角錐）翻轉、旋轉或平移後置於固體上，詢問兒童圖形或物的形狀、大小是否改變。此階段的兒童不管圖形怎麼移動，都知道線 10.

(26) 段長短、角度大小、面積大小或形狀階不會改變。皮亞傑開了幾何認知理論的先河，而且對於幾何認知階段的發展也提出了獨到的見解。以皮亞傑的幾何認知理論而言，相似形單元能力指標應屬於歐氏幾何概念的階段。然而能力指標所羅列的標準，又比歐氏幾何概念的能力還要高。. 第二節. van Hiele 的幾何思考理論. 皮亞傑雖然較早提出幾何認知理論，但他的理論對於相似形的錯誤辨析僅具有認知結構性的參考，並無法作為教學的指引，且皮亞傑的對於更高的幾何能力結構並無更進一步的介紹。因此，研究者在此介紹荷蘭數學家 van Hiele 的幾何思考理論，以補足皮亞傑的不足。. 壹、 van Hiele 的理論發展背景與沿革 Pierre van Hiele 原來是高中教師，發現跟學生解釋數學的時候，既使學生很努力，但學生仍常常有聽不懂的挫敗感。過好一陣子之後，學生自己突然理解了，便向他反應：當初的「說法很難懂」。他之後也嘗試用各種不同的方法解釋，但學生仍然向他反應「說法很難懂」。在 1938 年，他開始在 Montessori 中學任教，這所學校允許教師自編教材，也讓教師有更多的時間可以與學生有密切的互動。所以他花了很多時間研究與準備教材，以降低教學時「說法很難懂」的情況。到 1951 年，他發現學生所謂的「說法很難懂」是因為學生幾何思考層次與他不同，而數學的教學除了知識的教導外，還要開發學生思考層次提升的領悟力。到了 1957 年，他的夫人 Dina van Hiele 發表了她的博士論文：The Problem of insight in connection with school children’s insight into the subject matter of geometry.討論如何以頓悟法（insight）提升學生的思考層次（van Hiele, 1986）。然而 1958 年，他的夫人卻不幸逝世。留下他獨自致力推廣他們夫妻倆的理論，並影響了整個荷蘭的中小學幾何教學與教法。研究者分列 van Hiele 的幾何思考層次、van Hiele 各層次的學習模式（van Hiele, 11.

(27) 1986）與 Van Hield 的幾何思考理論和皮亞傑的幾何認知理論的比較（吳德邦, 1999）如下：. 貳、 van Hiele 的幾何思考層次及其特性 van Hiele 認為學習幾何時，有五個不同的思考層次：視覺的層次、描述的層次、理論的層次、形式邏輯的層次、邏輯法則本質的層次。依照 van Hiele 在 1986 年提出的層次分列如下（van Hiele, 1986）：. 一、視覺的層次（visual）此階段兒童的幾何概念受視覺影響很大，兒童依視覺觀察各種圖形或物體的外形輪廓辦認圖形。例如門就是長長瘦瘦的長方形、太陽就是圓圓的圓形。然而圖形只要旋轉過（例如：□轉為◇）兒童便認為這兩個圖形不同（第一個是正方形，但第二個不是正方形），或者是看的時候未注意到橢圓形是扁的，而將橢圓形看成圓形。. 二、描述的層次（descriptive）此階段的兒童能觀察構成圖形要素（例如：頂點、邊或角），所以可以依據圖形的特徵分辦不同的圖形，具有基本的幾何概念。例如：圓形沒有邊、三角形有三個邊、正方形有等長的四個邊。但是卻無法理解長方形、菱形、正方形與平行四邊形之間的關係；或是長方形與正方形的邊長不相等，但面積可能相等的可能。也就是兒童知道圖形的基本幾何性質（例如：菱形四邊相等），卻不知幾何性質的意義（正方形四邊也相等，正方形也是菱形）。. 三、理論的層次（theoretical）此階段的兒童能瞭解並能運用圖形的幾何性質，更能進一步發現各種不同圖形之間的包含關係（非形式推理）。平行四邊形有一角為直角，則為長方形；三角形的任一外角，等於兩內對角的和。此階段的兒童能舉例或說明各個不同圖形的 12.

(28) 包含關係，但卻無法以數學的語言解釋彼此的包含關係。例如：菱形的四邊相等、平行四邊形的兩雙對邊平行，菱形有的性質平行四邊形都有，所以菱形是平行四邊形的一種。但卻無法證明菱形的四邊相等會造成平行四邊形的兩雙對邊平行。. 四、形式邏輯的層次（formal logic）此階段的兒童能經由抽象推理的方式，由起始條件證明最後的結論（例如：證明菱形的四邊相等可推得兩雙對邊平行），而且知道證明的方法可以有很多種。所以兒童可以藉由推論得到幾何問題的性質或結論，而不用再只依靠記憶背誦，或是實物的操弄。. 五、邏輯法則本質的層次（the nature of logical laws）此階段是最高的層次，此階段的兒童能經由不同的幾何公設系統，建立其系統特有的定理，甚至能分析或比較不同公設系統間的理論（例如：比較歐氏幾何與非歐幾何間的異同），或是理解抽象的幾何概念（高等微積分）。九年級的相似形單元，在 van Hiele 的幾何思考層次中，應屬於第四階段：形式邏輯的層次。因為學生不只是瞭解圖形間的關係或性質（理論的層次），還可以利用邏輯推理的方式判斷圖形間的關係，並利用圖形的幾何性質解題，而不只是靠記憶背誦或是實物操弄。. 參、 van Hiele 各層次的學習模式 van Hiele 將教學模式分成五個階段（van Hiele, 1986）：學前諮詢／訊息（Inquiry/Information）、定向探索（guided orientation）、交流表述（explicitation）、自由探索（free orientation）與統整（integration），依照 van Hiele 在 1986 年提出的順序分列如下（van Hiele, 1986）：. 一、學前諮詢教師於教學前與學生溝通有兩大目的：1.藉由教師的觀察與提問評估學生的 13.

(29) 先備知識與思考層次，以作為教學安排與引導的參考。2.將教學使用的專有名詞介紹給學生，避免教學時的專有名詞使得學生有不懂或誤會的情形（Bilistein, Libeskind & Lott, 1993）。. 二、定向探索學生在上個階段大致瞭解指引的方向，但對於相關資料與知識結構的組織仍嫌不足。藉由教師教材資料的安排和教學活動的進行，使得學生確認教學的目的，而對數學的概念與結構也將更加熟悉，進而理解幾何的概念（van Hiele-Geldof, 1984）。. 三、交流表述學生在上個階段逐漸理解幾何的概念，藉由教師引導學生繼續討論，可促使學生理解幾何概念。在此階段特別強調學生應透過討論，使用正確的數學語言或符號，表達學生所觀察到的數學結構與其他的意見。這時教師應注意學生使用的字詞並適應的精練之，可以促進學生在表達、交流與詰辯的方面有所進展（van Hiele-Geldof, 1984）。. 四、自由探索在此階段的學生可以進一步思考，教師選擇適當的教材或幾何題目（含開放的、非唯一解的題目），鼓勵學生思考或解答之。在此階段學生應發展解題的策略與關連，並經由嘗試錯誤與成功的經驗刺激後，探索出屬於自己的迅速的解題方法（van Hiele-Geldof, 1984）。. 五、統整在此階段教師藉由提供整體的概念引導學生統整幾何概念與知識，以鼓勵與啟發學生理解並運用學得的幾何概念解決遇到的各種問題（van Hiele-Geldof, 1984）。 14.

(30) 肆、 van Hiele 的幾何思考理論和皮亞傑的幾何認知理論的比較對於教學而言，van Hiele 的理論明顯較皮亞傑的具有教育意義，因為皮亞傑認為認知發展的過程屬於生物性的階段，應自然發生。van Hiele 則強調經由正確的學習過程，可以加速或提升學生的幾何認知水準到各個不同的層次。van Hiele 寫道：學習過程若是一再重複，就會產生新的行為，也就是新頓悟的發生（van Hiele, 1986）。所以對於教師而言，在教學上使用 van Hiele 的幾何思考理論較皮亞傑的幾何認知理論佳。對於相似形的錯誤分析而言，皮亞傑介紹了認知結構，van Hiele 提供了教學步驟與更完整的幾何思考層次。在瞭解這兩位的理論之後，便能為學生的相似形錯誤類型，作更為完整的分析。. 第三節. Duval 的幾何認知理論. 本節分成兩個主題討論 Duval 的幾何認知理論，分別為：壹、Duval 的幾何認知理解類型。貳、Duval 幾何認知理解歷程。參、Duval 的幾何認知教學主張。. 壹、幾何認知理解類型法國數學教育學家 Duval（1995）提出四種理解幾何圖形的類型，分別為：一、知覺型理解。二、構圖型理解。三、推論型理解。四、操作型理解。這四種類型只是分類學習者理解幾何圖形的方式，並沒有所謂的優劣的分別。研究者就此四種類型，詳細的介紹如下：. 一、知覺型理解（perceptual apprehension）對於這型的學習者而言，學習幾何圖形時通常使用視覺或是觸覺等感官的體驗，以瞭解圖形的形狀或大小，並且用自己的想法或語言來表達幾何圖形，如長 15.

(31) 方形、三角形或圓形等。而學習者在理解新的圖形的時候，必定經由感官的體驗，而回憶起一個或多個學習者熟思的圖形，以幫助學習者建構新的圖形而切割的子圖形未必完全建立在母圖形的結構上。例如：將長方形以對角線切割成兩個直角三角形。. 二、構圖型理解（sequential apprehension）對於這型的學習者而言，學習幾何圖形時，通常依照圖形是以何種工具（如圓規或直尺），按照被畫出來的順序來理解圖形的，而不是依照視覺的線索。藉由思考圖形被畫的順序，學習者才能領悟幾何圖形的概念。而理解的方式，除了親眼看到工具實際的操作外，學習者也可以介由文字，或是他人的敘述想像圖形如何構成的。然而，如果使用的工具是學習者所無法理解的，那麼圖形本身的數學性質便無法與工具相連結，導致學習者無法理解圖形。. 三、推論型理解（discursive apprehension）對於這型的學習者而言，學習幾何圖形時，可以經由語言或文字的敘述來理解圖形的性質，或是進行推理的歷程。相較於其他種眼見為真的理解方式，這種理解可以破除，每個人在理解同一個圖形時，所見的脈絡與性質其實都不盡相同的分歧。所以推論型理解，通常出現在對於幾何圖形的命名、定義或是推理的過程中。例如：正方形、長方形與菱形雖然看起來很像，但是經由不同的定義與數學性質的推論，便能理解圖形間相同或相異的性質為何。. 四、操作型理解（operative apprehension）對於這型的學習者而言，學習幾何圖形時，通常使用三種方法改變圖形，以建構圖形的理解，分別為：（一）分解／組合圖形。（二）放大／縮小圖形（三）平移／旋轉圖形。經由圖形在心智或是真實世界中的改變，使得學習者得以察覺圖形的特殊變化，以得到解題的靈感。. 16.

(32) 貳、幾何認知理解歷程 Duval（1998）認為學生在學習幾何概念時，應該會經歷三種認知過程，分別為：一、視覺過程。二、構圖過程。三、推理過程。詳列如下：. 一、視覺（visualization）過程學習者可能以三個方式，認知圖形，分別是：（一）純粹的圖形表象，例如：線條或是形狀的組合。（二）幾何意義的洞察，例如：角、平行、垂直、等距或等面積。（三）圖形的再現，根據文字或敘述在心智或是真實世界中重現圖形。. 二、構圖（construction）過程依照作圖工具的操作順序，重現圖形的建構，以幫助學習者發現或是理解圖形中的幾何意義。. 三、推理（reasoning）過程依照定義或假設進行邏輯推理的過程。例如：說明、證明等。. 參、幾何認知的教學主張 Duval（1998）認為教師在幾何教學上，有兩點是需要注意的：一、視覺、構圖與推理的幾何認知過程彼此可獨立發展。二、在學習幾何的時候，應該讓學習者精熟三種認知過程，才能夠精通幾何。以我國現行的數學課程設計來看：國小較重視視覺過程，培養圖形的直覺。國二的時候學習尺規作圖，培養構圖的過程。國三的時候便要求能認識證明的意義。而在相似形單元，也包含了以上三種幾何認知的過程。. 第四節. 九年一貫課程綱要與相似形. 本節以九年一貫課程綱要（教育部，2011）作為研究素材，以不同的角度探討九年一貫中與相似形的關連。分成：壹、幾何與相似形。貳、推理與相似形。參、連結與相似形。肆、相似形相關能力指標，等 4 個主題。討論九年一貫中相 17.

(33) 似形的角色、地位與重要性。. 壹、幾何與相似形九年一貫在第四階段（國民中學一至三年級）的幾何教學目標有一、學習三角形及圓的基本幾何性質。二、認識線對稱。三、認識圖形縮放的概念。與四、學習簡單的幾何推理。而其中相似形與相似形有關的，就佔了三項。相似形是第五冊的第一章，第一節開始學習的是多邊形的相似，討論相似形的對應角相等，對應變成比例，是三、認識圓形縮放的概念。在第二節便簡化多邊形的相似，專講三角形的相似及其應用。之後的第二章銜接圓，討論各種三角形及圓的基本幾何性質。到了第三章便以相似形的結論與幾何圖形的思考方法，討論幾何證明與應用。由課程的安排與設計可以發現：相似形在國民中學三年級上學期的課程中，具有承先啟後，提綱挈領的定位，更是在整個國民中學課程的幾何單元中集大成的角色。. 貳、推理與相似形九年一貫的數學能力主軸，除了數學知識之外，還包含培養演算能力、抽象能力與推論能力。而數學能力除了傳統強調的觀念或演算之外，擁有連貫而完整的數學感覺（數學經驗），也是同等重要的。而培養這樣的能力的重點，就需要重視數學的推理能力。不論是計算數值、解答應用問題，或是在在求出答案後，對答案是否合理的檢驗或篩選，都是推理能力培養的一部分。國民中學的幾何目標有二：一、提供核心幾何知識與背景。二、展示數學推理證明的方法、過程與推廣的威力。國小學習幾何時，是以應用、操作與操作為基礎，認識各種幾何的要素與性質，而不刻意強調歐氏幾何的公設與推論。如果國小學習幾何是在海邊撿貝殼，那麼國民中學學習幾何就是以理解與推理為藏寶圖，一場追尋寶藏的冒險，。因為國民中學的幾何，是以國民小學的幾何直覺經 18.

(34) 驗作為前導，經由定義或性質的推理證明，探索幾何的現象，所以國民中學的數學教育，特別強調閱讀與推理幾何的定義、性質與幾何相關量的計算或代數運算。學習推理的時候，有兩種基本的方向可以分進合擊，分別為定性與定量。定性，包含對稱、全等與相似形等，一般實數量的特殊情況；定量，包含面積公式、畢氏定理和相似形的比例關係等，可以代入連續值的一般性結果。推理不只是盲目的資料堆疊，而是經由觀察、判斷與嘗試之後，分析歸納出可能的方法，並得到一般性的結果，也就是由定性推廣到定量的過程。而相似形單元正好橫跨在定性與定量兩個方向，既能檢視學生定性的歸納能力，也能檢驗定量的推理能力。所以相似形單元習得的性質與結論不論在定性與定量，都具有重要的地位與廣泛的應用。. 參、連結與相似形數學的特點是以具體事物表象的觀察，探究其內部抽象而深層的模式與結構。因此，數學的敘述常常是精鍊的文字，而這樣抽象的文字常常是一般人學習數學最大的阻礙，也讓學生覺得數學與生活沒有連結。然而數學並非孤芳自賞的獨門學問：以外部連結來說，數學的結論常常應用在物理、化學、生物或統計等方面。例如：在求實際距離或是高度時，可以利用相似形的方法，見微知著，而不用一段一段的實際測量；以內部連結來說，計算、代數、幾何與證明常常是一體的兩面，互相呼應。例如：在求線段長度時，可以透過解析幾何的方式，將數據與平面坐標結合；也可以透過相似形單元中，平行截等比例線段的概念，和比與比例式的單元結合。. 19.

(35) 下表為相似形單元與其他數學單元的教材地位分析（陳冒海等，2007）：已習教材放大與縮小（國小六年級）平面坐標（第二冊第二章）比例式（第二冊第三章）全等三角形（第四冊第三章）. 本章教材. 1-1 比例線段 1. 平行線截比例線段 2. 由比例線段判別平行線. 未習教材. 學習幾何證明（第五冊第三章）. 1-2 相似形 1. 相似形的意義 2. 相似三角形的判別 3. 相似形的應用. 平行與四邊形（第四冊第四章）. 圖 2-2 相似形單元教材地位分析. 肆、相似形相關能力指標九年一貫課程綱要中，把數學能力指標分為五大主題，分別為：數與量、幾何、代數、統計與機率和連結。幾何主題當中與相似形相關的能力指標表列如下：表 2-1 相似形相關的能力指標能力指標指標敘述 S-3-04. 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。. S-4-01. 能理解常用幾何形體之定義與性質。. S-4-02. 能指出滿足給定幾何性質的形體。. S-4-03. 能透過形體之刻畫性質，判斷不同形體之包含關係。. S-4-04. 能利用形體的性質解決幾何問題。. S-4-07. 能理解平面上兩平行直線的各種幾何性質。. S-4-10. 能根據直尺、圓規操作過程的敘述，完成尺規作圖。（續） 20.

(36) 能力指標指標敘述 S-4-14. 能理解圖形縮放前後不變的幾何性質。. S-4-15. 能理解三角形和多邊形的相似性質，並應用於解題和推理。. S-4-19. 能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明。. 而當中與相似形單元較有關的能力指標有：S-3-04、S-4-04、S-4-07、S-4-14、 S-4-15 與 S-4-19 等 6 項。然而此能力敘述較為廣泛，故研究者之後改用九年級幾何分年細目討論，較能符合九年級的題目。. 第五節. 解題歷程. 本節依照發表年份，簡介 Polya、Schoenfeld 與 Lester，這三位學者的解題歷程，並依照三位學者的解題歷程，協助研究者分類解題過程中的錯誤原因。. 壹、 Polya 解題歷程 Polya（1957）是最早有系統提出學生解決問題時，如何使用解題策略的學者。在他出版一『如何解題』（How to solve it）一書中，將解題歷程分為四個階段，依序為：一、瞭解題意問題：在解決數學問題的歷程中，先瞭解題目的敘述中，已知數、未知數、條件與所求各為何，對題目的意思與設計有初步的瞭解。二、擬定解題計畫：依照條件，找出已知數與未知數之間的關係，以擬定解題計畫。三、執行解題計畫：實行前一步驟擬定的解題計畫，並能校核每一步驟是否確實完成。四、回顧與反省答案：在完成所有解題步驟後，能檢核解答是否合理，是否正確。. 貳、 Schoenfeld 解題歷程 Schoenfeld（1985）重視的是解題歷程中所使用的啟發過程，他定義啟發過程為能否增進解題者在解題歷程中，更加瞭解問題或解決問題的一般性建議或技巧。他將解題歷程分為六個階段，依序為：一、讀題：閱讀題目。二、分析：將題目重述或是化簡，以瞭解問題。三、探討：將題目中的已知條件、未知條件與 21.

(37) 問題所求連結在一起。四、擬定計畫：擬定計畫，並評估計畫是否與所求有關或計畫是否適當。五、執行：執行計畫，並檢視計算過程是否依計畫執行。六、驗證：檢視計算出來的的結果是否正確或合理。. 參、 Lester 解題歷程 Lester（1980）強調解題的階段雖然不同，而是階段之間是互相關連的。他將解歷的歷程分為六個階段，依序為：一、問題的知覺：能夠查覺到情境中的問題，並有解決問題的意願。二、問題的理解：這個階段包含兩個子階段，分別為轉譯，將題目以自己的語句瞭解，與內化，解題者依據相關訊息判斷他的關連程度。三、目標分析：將題目轉變，以便符合自己熟悉的解題技巧與策略。四、計畫的發展：擬定計畫，認清可能的策略，將各子目標排序並運算的方法。五、計畫的執行：確定策略的使用與步驟順序是否正確。六、程序和解答的評估：檢查答案是否有意義，並分析整個計算過程是否都合理。. 第六節. 相似形的相關研究. 本篇所討的相似形相關研究，是以臺灣博碩士論文加值系統以「相似形」查詢篇名，所得與數學相關之 7 篇學位論文，列於表 2-2 如下：表 2-2 相似形相關研究論文名稱. 作者. 年度研究方法. 研究對象個數. 運用互動式電子白板於國民中學三年級學生. 王源豐. 2012 準實驗研究法. 70. 簡啟全. 2011 實驗研究法. 397. 楊子錕. 2010 個案研究法. 12. 數學教學成效之研究－以相似形單元為例國中數學科「相似形」單元電腦化測驗與診斷模式研發以數學建模教學方式進行國中三年級學生相似形概念之補救教學 22. （續）.

(38) 論文名稱. 作者. 年度研究方法. 研究對象個數. 運用臆測教學提昇國民中學三年級學生數學. 張佩琦. 2007 準實驗研究法. 71. 國中相似形 GSP 電腦輔助教學之成效研究. 蘇聖文. 2008 準實驗研究法. 72. 數學連結教材與活動研究---相似形. 林和田. 2003 行動研究法. 71. 國民中學三年級學生解相似形問題之歷程分. 黃國展. 2003 個案研究法. 6. 學習成效-以相似形為例. 析研究. 壹、依研究方法分析研究者將以上七篇相似形相關研究的研究方法分為：行動研究、個案研究、準實驗研究與實驗研究等四個類別，得到研究方法分布如下：. 行動研究 14%. 實驗研究 14% 準實驗研究 43%. 個案研究 29%. 圖 2-3 研究方法分布發現相似形相關研究以準實驗研究（3 篇）為主，個案研究（2 篇）、行動研究（1 篇）與實驗研究（1 篇）為輔。然而卻仍未有研究用以質輔量的研究方法，整合並深入探究相似形的錯誤類型，所以本研究使用以質輔量的研究方法，以增進對相似形的錯誤類型的瞭解。. 貳、以研究對象個數分析將研究對象個數分為個人（1~15 人）、班級（30~80 人）與群體（100 人以上），可得研究對象個數分布如下：. 23.

(39) 個人 29%. 群體 14%. 班級 57% 圖 2-4 研究對象個數分布由圖表可發現相似形相關研究的研究對象個數大多為班級（4 篇），個人（2 篇）次之，群體（1 篇）最少。可發現相似形少有群體的量化研究，大多為 2 個班級交互比較的準實驗研究。所以本研究收集了七個班，195 位學生，以群體的量化研究，作為相似形的進階研究。. 第七節. 錯誤類型的相關研究. 本篇所討論的錯誤類型相關研究，是以臺灣博碩士論文加值系統以「錯誤類型」查詢篇名，並限制對象為國民中學學生的數學相關論文為樣本，再選取錯誤類型與原因在摘要述敘完整的論文共 36 篇，列表於附錄一。. 壹、依研究內容的所在章節分析若將每篇的研究內容計為 1 單位，跨章節的各計為 0.5 單位，可得研究內容. 6 5 4 3 2 1 0 指數四因數與分數四一元一二元一坐標平一元一多項式乘法公商高定平方根因式分一元二則運算倍數則運算篇數. 1. 1. 3. 次方程次方程式式 2. 1. 面 1. 次不等四則運式算 3. 2. 式. 理. 24. 四則運算. 解. 0.5. 1. 1.5. 3. 數列三角形平行與歷屆基次方程 (數形圓單元幾何的全等截線測式關係) 6. 5. 1. 1. 2. 1. 1.

(40) 的所在章節如下：圖 2-5 研究內容分布由研究內容分布可以發現：錯誤類型的相關研究在選取研究內容時，並非平均分布，而是集中在特定主題。例如：一元二次方程式與或數形關係各有 6 篇與 5 篇，分數四則運算與一元一次不等式有 3 篇，其他內容都不及 3 篇，或是根本未被研究（例如相似形）。如果以數與量、代數、幾何與機率統計等四大主題來分：最高的為代數，有 24 篇、數與量與幾何各有 5 篇及 7 篇、機率統計沒有。代表幾何主題在錯誤類型的論文中仍屬於少數。雖然葉欣怡（2001）有對幾何評量教材部分進行錯誤類型之分析，但並未針對相似形進行錯誤類型分析，而是以整個幾何為研究對象。所以本研究以相似形單元為主題，以補足幾何單元中不足的一塊。. 貳、依研究對象的年級分析若將每篇研究的研究對象依所在的年級計數為 1 單位，橫跨年級的研究對象各累計為 0.5 單位，則可發現錯誤類型相關研究的研究對象分布如下：國三 22%. 國一 22%. 國二 56%. 圖 2-6 研究對象年級分布由圓 2-6 可發現，以國二為研究對象的研究佔大多數（20 篇，56%），而國一與國民中學三年級的研究對象相對少，所以錯誤類型的研究應增加國一或國民中學三年級的研究對象。然而相似形為國民中學三年級的教學單元，所以本研究的研究對象鎖定為國民中學三年級學生，以補足對國三學生的錯誤類型的瞭解。 25.

(41) 參、依研究對象的所在區域分析如果將臺灣分成北部（臺北市、新北市）、中部（臺中市、彰化縣市）、南部（臺南市、高雄市、屏東縣市）及離島（澎湖縣）等四區，可以得到區域分布如下：離島 3%. 北部 14% 中部 6%. 南部 77%. 圖 2-7 研究對象所在區域分布由圖 2-7 可發現，錯誤類型的相關研究中，以南部（臺南市、高雄市與屏東縣）為研究區域的研究佔絕大多數（28 篇，77%），而其他研究區域的研究佔少數，所以錯誤類型的相關研究應擴大其研究區域，故本研究針對中部的臺中市地區進行研究，以補足中部地區錯誤類型的不足。. 肆、依錯誤原因分析研究者將 36 篇錯誤類型相關論文的錯誤原因分類，得出常見（出現的次數超過總數的一半，18 篇）的錯誤原因次數如下：. 40 30 20 10 26. 0 篇數. 無法理解題意或設計. 代數和幾何數字之間無法完整連結. 定義概念觀念的錯誤. 先備知識的不足. 新舊知識互相的干擾造成概念的混淆. 粗心或計算錯誤. 24. 18. 33. 31. 32. 29.

(42) 圖 2-8 錯誤原因次數經由文獻探討歸納學生在解一般性的題目時常見的錯誤，而研究者又針對幾何主題的論文結論，發現幾何單元中特有的錯誤原因為：學生可能有利用圖形隨意猜測（葉欣怡，2011；黃昭智，2010）。研究者依照第四節的解題歷程與上列錯誤原因歸納，將錯誤原因重新歸納為五個步驟，分別為：一、理解題意。二、概念認知。三、連結文字幾何與代數。四、代數運算。五、作答和檢驗。. 理解題意. 連結文字幾何與代數. 概念認知. 作答檢驗. 代數運算. 圖 2-9 相似形問題的解題歷程而錯誤類型符應解題步驟重新歸納為五大類，括號內為相關研究歸納之原因，分別為：一、理解的錯誤（無法理解題意或設計）。二、連結的錯誤（無法將文字或圖形模式轉為代數模式）。三、認知的錯誤（先備知識的不足、新舊知識互相的干擾、概念的混淆或定義概念觀念的錯誤）。四、代數運算的錯誤（粗心或四則運算的錯誤）。五、作答和檢驗的錯誤（解的格式錯誤或不合理的解）。. 第八節. S-P 表分析理論. 本篇所討論的 S-P 表分析理論，分為四個主題：壹、S-P 表簡介。貳、S-P 表 27.

(43) 的編製及其實例。參、試題注意係數與試題類型分析。肆、學生注意係數與學生學習類型分析。作為第三章第四節試題類型分析與第四章第一節錯誤情況分析（學生學習類型分析）的背景理論。. 壹、 S-P 表簡介 S-P 表（Student-Problem Chart, S-P Chart），中文翻譯為學生問題表，是由日本學者佐藤隆博（Takahiro Sato）（1969）所提出的試題資料分析分法。在 S-P 表之前的試題項目分析主要有：分析試題品質的鑑別度與難度，及分析施測工具的信度與效度。然而這些分析結果對於改善教師命題技巧、教學效能或發現學生學習困難處幫助不大（余民寧，2002；蔡小玲，2008），所以佐藤隆博便發明了 S-P 表，將學生的作答情形以圖形化的方式呈現，以分析並獲得每個試題的注意係數與每位學生的學習類型分析。藉由這些訊息協助研究者診斷測驗品質與學生表現，以作為改進教學效能、命題技巧與輔導學生的參考。. 貳、 S-P 表的編製及其實例在本段，研究者假設一組數據，並依照 S-P 表的編製程序(余民寧，2002；陳騰祥，1986；蔡小玲，2008)，將原始數據編製成 S-P 表。S-P 表的編製程度分為：一、學生作答情況列表。二、依學生總分與試題難度高低排序。三、畫出 S 曲線和 P 曲線。. 一、學生作答情況將試卷中，每位學生的各題答題情況編入題號為橫座標，座號為縱座標的方格中，答對的答案以 1 表之，答錯的答案以 0 表之。將學生作答情況建表後，算出各個學生的總分及各個試題的答對人數，以作為下一步驟排序的依據。如表 2-3：. 28.

(44) 表 2-3 學生作答情況第1題. 第2題. 第3題. 第4題. 第5題. 學生總分. 1號. 0. 1. 0. 1. 1. 3. 2號. 0. 0. 1. 1. 0. 2. 3號. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 4號. 1. 1. 1. 1. 1. 5. 5號. 0. 1. 1. 1. 1. 4. 答對人數. 1. 3. 3. 5. 3. 二、依學生總分與試題難度高低排序將表 2-3 的橫行依總分由上而下排列，如果學生的得分相同，便依照縱行的答對人數高低由左而右排列。如果得分相同，答對人數又相同者，則其排列順序不受影響。實例如表 2-4：表 2-4 已排序學生作答情況第4題. 第2題. 第3題. 第5題. 第1題. 學生總分. 4號. 1. 1. 1. 1. 1. 5. 5號. 1. 1. 1. 1. 0. 4. 1號. 1. 1. 0. 1. 0. 3. 2號. 1. 0. 1. 0. 0. 2. 3號. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 答對人數. 5. 3. 3. 3. 1. 三、畫出 S 曲線和 P 曲線 S 曲線指的是學生累加分布曲線，是以學生的總分（答對題數）為界，再將 29.

(45) 各線段連結起來，畫成一條連線的折線，研究者以紅線表之。P 曲線指的是試題累加分布曲線，是以答對人數為界，再將各線段連結起來，畫成一條連線的折線，研究者以藍線表之。如果紅線與藍線有重疊，研究者以紫線表之。將 S 曲線與 P 曲線畫在已排序學生作答情況表上，即為一個完整的學生問題表，也稱為 S-P 表。實例如表 2-5：表 2-5 學生問題第4題. 第2題. 第3題. 第5題. 第1題. 學生總分. 4號. 1. 1. 1. 1. 1. 5. 5號. 1. 1. 1. 1. 0. 4. 1號. 1. 1. 0. 1. 0. 3. 2號. 1. 0. 1. 0. 0. 2. 3號. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 試題難度. .5. .3. .3. .3. .1. 參、試題注意係數與試題類型分析在本段有兩個主題，分別是：一、試題注意係數。二、試題類型分析。在試題注意係數主題，研究者敘述試題注意係數公式。在試題類型分析主題，研究者根據佐藤隆博（Sato, 1980；Sato & Kurata, 1997）的試題分類，依照注意係數和答對試題學生人數百分比，將試題性質分為四大類型。. 一、試題注意係數對一個資料矩陣而言，假設有 N(i=1,2,…,N)位學生與 M(j=1,2,…,M)個二元計分題，將 N 個學生在 M 個試題上的反應資料矩陣，按照 S-P 表的製作步驟，將 M. N. j =1. i =1. 資料排列為資料矩陣 Y=(yij)NxM。令 yi． = ∑ yij 為第 i 位學生的總分， y．j = ∑ yij 30.

(46) 為第 j 題試題的答對人數，因為資料矩陣 Y 為 S-P 表，所以 y1•≥ y 2•≥ y 3•≥⋅ ⋅ ⋅≥y N • 且 y•1≥ y• 2≥ y•3≥⋅ ⋅ ⋅≥y• M。則第 j 個試題的注意係數 CPj 為： N. N. CPj = 1 −. ∑ ( yij )( yi．) − ( y．j ). ∑y i =1. i =1. i．. N. N. y．j. ∑ yi． − ( y．j ) i =1. ∑y i =1. i．. N. 二、試題類型分析判定類別是依據試題答對百分比與試題注意係數，以 50%及 0.5 為分界線，可以將試題的屬性分為四個區域，分別為 A、A’、B、B’，內容如圖 2-10：. 圖 2-10 試題類型分析資料來源：教育測驗與評量－成就測驗與教學評量（頁 136），余民寧，1997，台北市，心理出版社。. 肆、學生注意係數與學生學習類型分析在本段有兩個主題，分別是：一、學生注意係數。二、學生學習類型分析。在學生注意係數主題，研究者敘述試題注意係數公式。在學生學習類型分析主題， 31.

(47) 研究者根據佐藤隆博（Sato, 1980；Sato & Kurata, 1997）的試題分類，依照注意係數和答對試題學生人數百分比，將學生學習類型分為六大類型。. 一、學生注意係數延續上一段的資料矩陣，第 i 個學生的注意係數 CSi 為： M. M. CS i = 1 −. ∑(y j =1. ij. )( y．j ) − ( yi．). ∑y j =1. ．j. M. M. yi．. ∑y j =1. ．j. − ( y．j ). ∑y j =1. ．j. M. 二、學生學習類型分析判定類別是依據試題答對百分比 75%及 50%兩個分界點與學生注意係數 0.5 為界線，將學生的學習類型的屬性分為六個區域，分別為 A、A’、B、B’、C、C’，內容如圖 2-11：. 75%. 圖 2-11 學生學習類型分析資料來源：教育測驗與評量－成就測驗與教學評量（頁 136），余民寧，1997，台北市，心理出版社。 32.

(48) 第三章. 研究設計與實施. 本研究的研究目的在歸納國民中學三年級學生於相似形解題時錯誤的類型與分析錯誤的原因。揭露學生的錯誤情形，引導教師改進教學策略，避免學生學習盲點，改善學生學習效果，以提升教學成效。為達到以上研究目的，本研究的資料來源分為「紙筆測驗」與「結構式訪談」兩種方法收集。第一階段「紙筆測驗」以學完相似形單元的國民中學三年級學生為對象，以相似形單元測驗卷進行測驗，測驗完後歸納其解題方式、錯誤情形、錯誤類型，並分析其解題策略與錯誤原因。第二階段「結構式訪談」依學生測驗表現，選取具有代表性與願意配合的個案進行訪談，深入分析其錯誤情形與錯誤原因。並於訪談中調整個案的學習認知與錯誤概念，以作為以後教學的參考。第三階段綜合整理「紙筆測驗」與「結構式訪談」資料，建構相似形單元學習流程圖與盲點，作為未來教學建議與教材編排的參考與指引。本章的說明順序為：第一節、研究對象。第二節、研究方法。第三節、研究流程。. 第一節. 研究對象. 本研究的研究對象分為以研究者自編相似形單元測量卷做量化的調查研究法的研究對象與質性的結構式訪談的的研究對象。調查研究的對象的選取為立意取樣，選樣的樣本為台中市公立學生兩所，共取七班。結構式訪談的研究對象取自調查研究中具有代表性與自願性的研究對象。. 壹、研究者自編相似形單元測驗卷的研究對象本研究採立意取樣，選取台中市公立國民中學 2 所，選取三年級的常態分班班級，共 7 個班，195 人。研究對象為學習完相似形單元的國民中學三年級學生。. 貳、半結構式訪談的研究對象基於相似形單元測驗卷的計算過程與評量結果，選取各題目答錯、且願意接 33.

(49) 受訪談的學生 11 位，進行半結構式訪談，以確認學生在相似形單元犯錯的錯誤原因，及其推論背後的錯誤類型。. 第二節. 研究工具. 本研究為了深入調查相似形的錯誤類型，並探究解題時認知思考的盲點，研究工具有相似形單元測驗卷（預試與正式）與半結構式訪談兩種。測驗卷的資料用以統計錯誤情形、歸納錯誤原因與分析錯誤類型。結構式訪談用以確認錯誤原因與深入探究錯誤類型。最後依文獻分析資料，統整結論。. 一、相似形單元測驗卷研究者自行編製相似形單元測驗卷，調查學生在相似形單元的錯誤情形與類型。編製測驗卷參考 98 年課程綱要、教師手冊、相關研究、其他資深教師討論和建議與研究者本身在教學現場對學生的觀察和瞭解，分析學生在學習完相似形後應具備之最基本的能力。再請指導教授與數位碩士教師協助審題與修正，以提升測驗卷的專家效度。在正式施測前，研究者選取臺中市市區某一所公立國民中學其中兩個班的國民中學三年級學生，共計 64 名進行預備測驗。將學生的施測資料經過整理、歸納後，統計出學生在研究者自編相似形單元紙筆測驗中，各題之錯誤人數、錯誤率與鑑別度等數據，並整理成表。參考預試的結果，刪除或修改錯誤率太高或太低的題目。再依據能力指標，挑選出具有適當鑑別度，能適切展現學生錯誤情形的測驗卷，作為正式的施測測驗卷。. 二、半結構式訪談為深入探索學生錯誤背後的錯誤原因，研究者基於相似形單元測驗卷的評量結果，選取適合且願意接受訪談的個案。在訪談前準備相似形單元測驗卷空白卷，在訪談時引導個案重現解題時的思考方法、認知想法或解題策略，以便研究者觀 34.

(50) 察個案解題時記憶、理解、運算與評估等各層次的解題策略、方式與後設認知的錯誤原因。在訪談過程中錄音，以便事後分析與研究個案的錯誤原因與錯誤類型。. 第三節. 研究流程. 本研究的研究流程有七個步驟，分別為：一、蒐集資料。二、編製工具。三、進行預試。四、修改試題。五、正式施測。六、半結構式訪談。七、資料分析。各步驟詳述如下。. 一、蒐集資料為了能瞭解學生的錯誤類型，本研究參考國民中學學生基本學力測驗題本的歷屆試題題本（90 年到 100 年），選取與相似形有關的題目，形成專家問卷共 43 題，如附錄四。. 二、編製工具為了方便分類，研究者依照與相似形相關的九年一貫能力指標中，與相似形有關的九年級幾何分年細目、教師手冊、期刊與論文等文探討獻或資料整理，將 43 題題題目專家問卷的分類為四大項，依序為：一、能理解多邊形相似的意義。二、能理解三角形的相似性質。三、能理解平行線截比例線段性質及其逆敘述。四、能利用相似三角形對應邊成比例的觀念，解應用問題。分別將題目對應列如下表：表 3-1 專家問卷九年級幾何分年細目九年級幾何分年細目 9-s-02 題號 9-s-03 題號. 能理解多邊形相似的意義。. 對照指標 S-4-15. 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14 能理解三角形的相似性質。. S-4-15. 15、16、17、18、19、20、21、22、 23、24、25、26、27、28、29、30 35. （續）.

(51) 9-s-04. 九年級幾何分年細目. 對照指標. 能理解平行線截比例線段性質及其逆敘述。. S-4-07. 題號. 27、28、31、32、33、34、39、40、43. 9-s-05. 能利用相似三角形對應邊成比例的觀念，解應用問題。. 題號. S-4-15. 29、30、35、36、37、38、41、42. 三、專家效度在完成專家問卷之後，研究者根據二位教授與四位碩士教師的專業意見，將不適合的題目刪除。第一位教授的學歷為國立政治大學教育博士，研究專長為數學學習與評量、應用統計、數學教育與資訊科技、模糊理論與測驗評量與教育學方法論，現職為國立大學教授。第二位教授的學歷為國立中山大學應用數學博士，研究專長為微分方程與分析，現職為國立大學助理教授。四位碩士教師皆為已取得國立大學碩士學位，並任教三年以上的數學教師。將不適合的題目刪除後，得到預試問卷共 21 題，如附錄五。刪除的原因羅列如表 3-2：表 3-2 專家問卷題目刪除原因題號. 刪除原因. 1. 證明對應角相等，太過困難. 2. 題目印刷不清，且與第 3 題題型重複. 6. 寫成非選題時有無限多組的答案. 7. 與特殊四邊形較有關，與相似形較無關. 9. 寫成非選題時可能的答案太多，題目難度過高. 10. 解釋過程太過繁複，且與第 3 題重複. 12. 找出準確座標超出學生計算能力. 14. 都不相似不能作為答案. 18. 寫成非選題時可能的答案太多，且不相似的條件不足 36. （續）.

(52) 題號. 刪除原因. 19. 寫成非選題時可能的答案太多，且不相似的條件不足. 22. 寫成非選題時可能的答案太多，且不相似的條件不足. 23. 題目太過困難. 24. 計算太過繁複，考概念而非計算. 25. 與三角形的邊角關係較有關，與相似形較無關. 29. 題目太過簡單. 31. 與尺規作圖較有關，與相似形較無關. 34. 無圖形參考難度偏高，且題型與第 35 題、第 36 重複. 35. 無圖形參考難度偏高，且題型與第 34 題、第 36 重複. 40. 可不用相似形單元概念解題. 41. 與第 34 題重複. 42. 可不用相似形單元概念解題. 43. 與三角形的邊角關係較有關，與相似形較無關. 四、進行預試預試對象為學完相似形單元，臺中市公立某國民中學兩個常態分班的三年級學生。預試的目的，為評估預試問卷中的題目是否能確實顯露學生在相似形單元的錯誤情形。. 五、修改試題依據預試的結果，刪除錯誤率太高（>.67）、錯誤率太低（<.33）或不具有鑑別度（<.40）的題目共六題，分別為第 2 題、第 3 題、第 4 題、第 7 題、第 8 題、第 11 題。預試試題的難度與鑑別度如表 3-3：. 37.

(53) 表 3-3 預試試題難度與鑑別度統計題號. 難度. 鑑別度. 題號. 難度. 鑑別度. 題號. 難度. 鑑別度. 1. .35. .46. 8. .77. .46. 15. .48. .79. 2. .52. .38. 9. .60. .71. 16. .40. .71. 3. .83. .33. 10. .54. .83. 17. .52. .88. 4. .23. .29. 11. .79. .42. 18. .54. .83. 5. .63. .67. 12. .63. .58. 19. .38. .75. 6. .56. .63. 13. .50. .92. 20. .42. .83. 7. .71. .42. 14. .48. .88. 21. .52. .96. 註：本表所指的難度與鑑別度的計算樣本為高低組各 27 人，試題刪除標準為：難度<.33；難度>.67；鑑別度<.40，標記為加框並修改語意不清、概念或圖形不清楚的題目，以提升測驗的內容效度。最後與碩士教師及教授討論和潤飾後，選出 15 題計算題，作為紙筆測驗正式題目，如附錄六。. 六、正式施測本研究與式施測對象為兩所台中市公立國民中學，共選了七個常態分班的班級，共 195 人，作為正式調查研究的研究對象。為了能深入探討學生在解題時所犯的錯誤，所有的題目皆為計算題，並要求學生寫出解題過程或想法，以便增加資料量，利於分析。. 七、半結構式訪談針對作答有代表性，並願意與研究者訪談的研究個案，進行一對一的半結構式訪談。訪談前需準備半結構式面談大綱，如附錄七，個案的正式施測試卷與空白正式施測試卷各一份，並分析個案的錯誤情形、歸納個案的錯誤類型及推測個 38.

(54) 案的錯誤原因。實施訪談時，使用空白正式施測卷對個案施測，觀察個案是否重複測驗時的錯誤。再引導個案述敘之前正式施測解題時使用的方法、想法或策略，以便揭露個案的錯誤原因。而過程中以錄音筆記錄，以便事後分析學生錯誤的情形與原因。. 八、資料分析一、量化資料分析量化分析的資料分別來自預試與正式的作答卷各一次。就兩次的作答的正確率或錯誤率作百分比的統計，以回答待答問題一、國民中學三年級學生在學習相似形單元後的錯誤情形為何？就錯誤原因分析而言，分成：一、理解的錯誤。二、連結的錯誤。三、認知的錯誤。四、代數運算的錯誤。五、作答和檢驗的錯誤等五個類型，再各自就五個類型作相對於錯誤百分比的錯誤原因統計，以回答待答問題二、國民中學三年級學生在學習相似形單元後的錯誤原因為何？. 二、質性資料分析質性分析的資料來自正式與複本作答卷各一份、個案自陳與訪談時研究者對個案的觀察。經由與個案的對談及確認，用以深入探究學生作題時真正的錯誤類型，以作為分析與歸納之用，以回答待答問題三、國民中學三年級學生在學習相似形單元後的錯誤類型為何？質性資料分析的編碼以 4 碼編排，其中第一碼代表身分，分別以英文字母 t 表示研究者，以 s 表示學生（研究個案）；第二碼為學生編號的流水碼，分別以 1、 2、3、……，代表第一、二、三、……，位學生；第三碼為研究者自編相似形單元測驗卷的題號，分別以 1、2、3、……，代表第一、二、三、……，題；第四碼為錯誤類別碼，分別以英文字母 u、n、c、a 及 o 表示理解題意、連結文字幾何與代數、概念認知、四則運算與作答及其他等，五種不同的錯誤類別。例如： 39.