第四章 模型估計
第二節 美股報酬率
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表 4-6 台股指數未來模擬結果敘述統計量
平均值 中位數 標準差 偏態 峰態 最大值 最小值
0.0000197 0.0000381 0.1881 -0.0064 4.899 2.5956 -2.5069
2. 台股加權指數第三年年化報酬率分布
表 4-7 台股指數第三年年化報酬率敘述統計量
平均值 中位數 標準差 偏態 峰態 最大值 最小值
-0.005774 -0.0143 0.2068 1.0563 11.396 2.000 -1.621
圖 4-4 台股模擬之第三年年化報酬率分布
第二節 美股報酬率
一、模型配適
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模型選用 2008 年 5 月 16 日至 2018 年 5 月 18 日美國標準普爾 500 指數之週 資料作為歷史數據，資料來源為 Bloomberg 彭博數據庫。
圖 4-5 美股加權指數週資料走勢圖
與台股做法類似，將標普指數進行自然對數化及一階差分處理，計算周報酬 率。敘述統計量表顯示，標普指數的對數報酬率亦存在尖峰左拖尾特性，且近似 常態分佈。
表 4-8 美股加權指數對數報酬率敘述統計量
平均值 中位數 標準差 偏態 峰態 最大值 最小值 JB-P
0.001233 0.002454 0.025348 -1.046 9.675 0.1136 -0.2008 0.003
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
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表 4-9 美股對數報酬率 Augmented Dickey-Fuller Test 擴張的 Dickey-Fuller 單根檢定
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2 -699.978 0.0001 -14.48 <.0001 104.86 0.001 趨勢 0 -568.868 0.0001 -24.58 <.0001 302.08 0.001
1 -515.808 0.0001 -16 <.0001 128.02 0.001 2 -711.924 0.0001 -14.54 <.0001 105.74 0.001 再根據 ACF 及 PACF 識別自相關情形：
圖 4-7 美股對數報酬率 ACF 及 PACF 檢定結果
美股 ACF 及 PACF 圖顯示，滯後期為 3 和 15 期的值超過臨界值，理論上應 選用 AR(15)模式，並僅估計 3 及 15 期的係數值，以確認模型。但考慮到 4 個月 前的股票報酬率與當期報酬率之間，其統計意義之相關性不具太多實際意義，故 選擇剔除 15 期，僅以 AR(3)模式進行配適，選用的模型方程如下：
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𝑅𝑅𝑡𝑡US=∝1∗ 𝑅𝑅𝑡𝑡−3𝑈𝑈𝑈𝑈 + 𝜀𝜀𝑡𝑡
表 4-10 美股 AR 模型參數配適結果 條件式最小平方估計
參數 估計值 標準誤差 t 值 近似 Pr > |t| 滯後
AR1,1 -0.1065 0.04302 -2.48 0.0136 3 由條件式最小平方估計結果可得，模型設定為：
𝑅𝑅𝑡𝑡US= −0.1065 ∗ 𝑅𝑅𝑡𝑡−3𝑈𝑈𝑈𝑈 + 𝜀𝜀𝑡𝑡
將標普對數報酬率作去均值化處理，進行 ARCH 效果之檢定，對 ARCH 結 果進行辨識：
表 4-11 美股 ARCH 結果檢定 根據 OLS 殘差進行的 ARCH 干擾檢定
順序 Q Pr > Q LM Pr > LM
1 50.2024 <.0001 49.9616 <.0001 2 67.4547 <.0001 54.31 <.0001 3 98.0324 <.0001 69.5226 <.0001 4 107.7327 <.0001 69.582 <.0001 5 119.8447 <.0001 72.5826 <.0001
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7 174.1746 <.0001 93.1782 <.0001 8 177.5905 <.0001 97.7574 <.0001 9 178.6943 <.0001 98.2041 <.0001 10 179.2753 <.0001 100.6026 <.0001 11 179.5488 <.0001 100.6515 <.0001 12 185.3593 <.0001 102.8874 <.0001
P 值均小於 0，表明美股對數報酬率亦存在 ARCH 情形，可進行 GARCH 模 型的配適。
表 4-12 美股 GARCH 模型參數配適結果 參數估計值
變數 自由度 估計值 標準誤差 t 值 近似 Pr > |t|
ARCH0 1 0.0000332 0.0000112 2.96 0.0031 ARCH1 1 0.2797 0.0339 8.24 <.0001 GARCH1 1 0.6803 0.0433 15.72 <.0001
參數估計結果顯示，美股對數報酬率配適 GARCH(1,1)模型呈現顯著，承前 之 AR(3)，模型完整配適結果為：
𝑜𝑜𝑚𝑚 � 𝑆𝑆&𝑃𝑃𝑡𝑡
𝑆𝑆&𝑃𝑃𝑡𝑡−1� = 𝑅𝑅𝑡𝑡𝑈𝑈𝑈𝑈 = −0.1065 ∗ 𝑅𝑅𝑡𝑡−3𝑈𝑈𝑈𝑈 + 𝜀𝜀𝑡𝑡
𝜀𝜀𝑡𝑡= 𝜎𝜎𝑡𝑡𝑉𝑉𝑡𝑡, 𝑉𝑉𝑡𝑡~𝑚𝑚. 𝑚𝑚. 𝑑𝑑. (0,1)
𝜎𝜎𝑡𝑡2 = 0.0000332 + 0.2797𝜀𝜀𝑡𝑡−12 + 0.6803𝜎𝜎𝑡𝑡−12
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其中，𝑆𝑆&𝑃𝑃𝑡𝑡為標準普爾指數第 t 週的指數值；𝑅𝑅𝑡𝑡𝑈𝑈S為第 t 週美股對數報酬 率；𝜀𝜀𝑡𝑡為去均值化的殘差項；𝜎𝜎𝑡𝑡2為第 t 期誤差項的變異數。
二、模型檢驗
同理台股部分，將配適好的 AR(3)與 GARCH(1,1)模型，模擬未來 3 年 (154 週)報酬率，再以模擬結果重新配適，對照新舊模型的差異。美股新模型方程如 下：
𝑜𝑜𝑚𝑚 � 𝑆𝑆&𝑃𝑃𝑡𝑡
𝑆𝑆&𝑃𝑃𝑡𝑡−1� = 𝑅𝑅𝑡𝑡US= −0.09574 ∗ 𝑅𝑅𝑡𝑡−3𝑈𝑈𝑈𝑈 + 𝜀𝜀𝑡𝑡
𝜀𝜀𝑡𝑡= 𝜎𝜎𝑡𝑡𝑉𝑉𝑡𝑡, 𝑉𝑉𝑡𝑡~𝑚𝑚. 𝑚𝑚. 𝑑𝑑. (0,1)
𝜎𝜎𝑡𝑡2 = 0.0000335 + 0.2815𝜀𝜀𝑡𝑡−12 + 0.6777𝜎𝜎𝑡𝑡−12
其中，𝑆𝑆&𝑃𝑃𝑡𝑡為標準普爾指數第 t 週的指數值；𝑅𝑅𝑡𝑡𝑈𝑈S為第 t 週美股對數報酬 率；𝜀𝜀𝑡𝑡為去均值化的殘差項；𝜎𝜎𝑡𝑡2為第 t 期誤差項的變異數。
GARCH (1,1)模型中，變異數理論值為 0.0000332
1−0.2797−0.6803= 0.00083，模擬美股對
數報酬的變異數為 0.00067。綜合以上，AR(3)與 GARCH(1,1)所模擬的美股報酬 率結果亦逼近真實。
三、模擬結果
1. 標普 500 指數未來 154 週之週報酬率
表 4-13 美股對數報酬率模擬結果敘述統計量
平均值 中位數 標準差 偏態 峰態 最大值 最小值
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0.000149 -0.00028 0.21027 0.4274 106.9396 13.875 -11.453
2. 美股未來第三年年化報酬率
表 4-14 美股未來第三年年化報酬率敘述統計量
平均值 中位數 標準差 偏態 峰態 最大值 最小值
0.00577 -0.0143 0.2068 1.0563 11.3964 2.000 -1.621
圖 4-8 美股第三年年化報酬率分布