3.2 雙通用積分器鎖相迴路利用虛擬微分回授控制之分析
3.2.1 虛擬微分回授控制和比例積分回授控制的比較
由於虛擬微分回授控制和比例積分回授控制的結構以及系統的性質十分相似，所以 常會將此兩種控制方法做比較，本小段將比較這種兩種控制方式分別對一個相同的一階 系統做控制，簡略地闡述兩者系統以及單位步階響應的差異，在[27]和[28]中則有較為 詳盡的分析和比較。圖 3.7 為利用比例積分回授控制一個簡單之一階的受控系統，由圖 中可以得知此系統之閉迴路轉移函數為
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠) = 𝐾𝑝𝑠 + 𝐾𝐼
𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 + 𝐾𝐼 (3.21)
圖 3.7 比例積分回授控制簡單的一階系統
由轉移函數(3.21)可以得知系統轉移函數中分子和分母的係數可藉由調整𝐾𝑝和𝐾𝐼而改 變，一旦決定系統所需之極點位置時，其零點的位置後也隨之固定。由於比例積分回授 控制的系統中存在了一個零點，而此零點使得整個系統有別於標準的二階系統，若利用 標準二階系統來分析則系統之阻尼係數和自然無阻尼頻率為:
ξ = 𝐾𝑝
2√𝐾𝐼 (3.22) 𝜔𝑛 = √𝐾𝐼 (3.23) 在標準二階系統的轉移函數中，系統的單位步階響應的反應速率和自然無阻尼頻率成正 比的關係，而且系統的阻尼係數決定暫態響應中最大超越量的大小，越大阻尼係數則代 表越小的最大超越量。但因為比例積分回授控制的系統擁有一個零點，使得其暫態響應 和標準的二階系統的響應並不相同。零點在此系統中相當於是對誤差做微分的效果，因
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此對其暫態響應的影響是增加系統的最大超越量並且加快系統的上升時間，而對穩定時 間則沒有任何顯著的影響，但當系統在阻尼係數超過一的條件下，最大超越量依然會存 在於暫態響應之中，並無法像標準的二階系統般令最大超越量降至零，這是利用比例積 分回授控制一個明顯的缺點。
將虛擬微分回授控制運用於一樣的一階受控系統，則其系統方塊圖如圖 3.8 所示，
並且系統的輸入和輸出之閉迴路轉移函數為:
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)= 𝐾𝐼
𝑠2+ 𝐾𝐷𝑠 + 𝐾𝐼 (3.24)
圖 3.8 虛擬微分回授控制簡單的一階系統
由(3.24)可知系統的閉迴路轉移函數一樣是改變𝐾𝐷和𝐾𝐼來決定轉移函數的極點位置，和 比例積分回授控制的轉移函數差別只在於分子項並沒有零點，而且此轉移函數為標準的 二階系統，由標準的二階系統分析可以得到其阻尼係數和自然無阻尼頻率為:
ξ = 𝐾𝐷
2√𝐾𝐼 (3.25) 𝜔𝑛 = √𝐾𝐼 (3.26) 虛擬微分回授控制的暫態響應和比例積分回授控制有些類似的特性，自然無阻尼頻率一 樣關係著系統暫態響應的速度，阻尼係數也一樣決定系統最大超越量的大小。由於轉移 函數的分子並不存在一個零點，因此由標準二階系統的分析得知當系統的阻尼係數ξ ≥ 1 時系統的最大超越量為零。
當這兩個系統的開路轉移函數在相同的增益穿越頻率的條件下，比較虛擬微分回授 控制和比例積分回授控制對於單位步階響應的暫態關係之差異。由圖 3.9 得知阻尼係數
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對於穩定時間和最大超越量的影響。當阻尼係數增加時不論是比例積分回授控制或虛擬 微分回授控制其最大超越量皆有逐漸變小的趨勢，但僅有虛擬微分回授控制在阻尼係數 大於 1 後最大超越量降為零。穩定時間的影響則是當阻尼係數約小於 0.6 時，兩者的穩 定時間皆隨之下降，但當大於 0.6 後比例積分回授控制其穩定時間有逐漸增加的趨勢，
而虛擬微分回授控制則是依然隨著阻尼係數增加而持續漸少，直到當阻尼係數大於一後 穩定時間才大約維持在一個固定的值。
圖 3.9 阻尼係數對穩定時間及最大超越量之影響
除了用穩定時間和最大超越量比較兩種控制方式的優劣外，也利用誤差絕對值積分 (Integer Absolute Error, IAE)和誤差平方積分(Integer Square Error, ISE)作為指 標，當這兩個指標的數值越小時代表著輸出和輸入間的誤差越小，控制器的效果也就越 好，其中誤差絕對值積分和誤差平方積分的公式為：
IAE = ∫ |𝑒(𝑡)|𝑑𝑡
𝑡 0
(3.27) ISE = ∫ 𝑒𝑡 2(𝑡)𝑑𝑡
0
(3.28) 圖 3.10 是比例積分回授控制和虛擬微分回授控制的阻尼係數對於這兩種指標的比較，
由圖中可以發現誤差絕對值積分和誤差平方積分兩個指標的數值皆隨著阻尼係數的增 加而降低，在誤差平方積分的指標中兩者的結果十分接近，不過在誤差絕對值積分的指 標中虛擬微分回授控制的效果是較比例積分回授控制擁有較好的結果。
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圖 3.11 阻尼係數對高頻抑制能力之影響
由以上的分析可知虛擬微分回授控制的暫態響應以及高頻抑制的效果較比例積分 回授控制好，且在誤差絕對值積分和誤差平方積分的兩種指標比較中，雖然誤差平方積 分兩者的差距是十分微小，但在誤差絕對值積分中的表現較為優良。這些代表虛擬微分 回授控制比起比例積分控制在各方面都比較突出，不過在系統穩態誤差的表現上比例積 分回授控制較好，因為比例積分回授控制為一個型態二的系統，所以不論是步階或是斜 坡的穩態誤差都是零，但虛擬微分回授控制是型態一的系統，當系統發生斜坡變化時穩 態誤差將固定為一個非零的常數。