一般鎖相迴路大多是使用比例積分回授控制作為控制方法，原因不外乎因為比例積 分回授控制結構十分簡單，對於暫態響應和高頻抑制上也都有不錯的表現，而且由於比 例積分回授控制發展久遠在設計上有較多方法和經驗被提出，讓這種控制方式在各種不 同的系統要求下足以選出最佳的控制之參數，本節將利用最大的相位裕度設計讓比例積 分控制器參數達到最佳化設計。
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3.1.1 比例積分回授控制系統之最大相位裕度設計
比 例 積 分 回 授 控 制 的 分 析 及 設 計 在 [24] 中 主 要 是 利 用 對 稱 最 佳 化 設 計 法 (symmetrical optimum method)[25]對比例積分控制器的參數做詳盡的分析與設計的探 討，本節僅將簡略的分析以及探討其比例回授控制之暫態響應與高頻抑制的影響。
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圖 3.2 參數𝑔和相位裕度之關係圖
3.1.2 比例積分回授控制系統的暫態響應之分析
鎖相迴路之暫態的性能要求是在系統發生相位或頻率變化時快速地達到相位和頻 率的穩定追蹤效果，因此系統穩定時間的快慢是鎖相迴路最重要的暫態響應要求。為探 討比例積分回授控制的參數對於暫態響應之影響，將(3.7)代入(3.1)中則系統之開路轉 移函數改寫為：
G(s) = 𝑔𝜔𝑐2𝑠 + 𝜔𝑐3
𝑠2(𝑠 + 𝑔𝜔𝑐) (3.10) 由(3.10)式可知輸入相位和輸出預估相位之閉迴路轉移函數為
ϕ̃1+(s)
ϕ1+(s)= 𝑔𝜔𝑐2𝑠 + 𝜔𝑐3
𝑠3+ 𝑔𝜔𝑐𝑠2+ 𝑔𝜔𝑐2𝑠 + 𝜔𝑐3
= 𝜔𝑐2[(2𝜁 + 1)𝑠 + 𝜔𝑐]
(𝑠 + 𝜔𝑐)[𝑠2+ 2𝜁𝜔𝑐𝑠 + 𝜔𝑐2] , 𝑔 = 2𝜁 + 1 (3.11) 當輸入相位發生步階變化如(3.12)，則輸出之預估相位的響應將為(3.13)所示。
ϕ1+(𝑠) =𝐴
𝑠 (3.12) ϕ̃1+(s) = 𝐴𝜔𝑐2[(2𝜁 + 1)𝑠 + 𝜔𝑐]
𝑠(𝑠 + 𝜔𝑐)[𝑠2+ 2𝜁𝜔𝑐𝑠 + 𝜔𝑐2] (3.13) 將(3.13)取反拉式轉換後可以得到在時域上的表示式，由不同阻尼係數的範圍分別表示 為以下三種:
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當𝜁 < 1時輸出相位的預估函數為:
ϕ̃1+(𝑡) = 𝐴 {𝑒−𝑡+ 𝜁
1 − 𝜁𝑒−𝜔𝑐𝑡− 1
1 − 𝜁𝑒−𝜔𝑐𝑡cos [(𝜔𝑐√1 − 𝜁2) 𝑡]} (3.14) 當𝜁 = 1時輸出相位的預估函數為:
ϕ̃1+(𝑡) = 𝐴{𝑒−𝑡− 𝑒−𝜔𝑐𝑡− 𝜔𝑐𝑡𝑒−𝜔𝑐𝑡+ 2𝜔𝑐2𝑡2𝑒−𝜔𝑐𝑡} (3.15) 當𝜁 > 1時輸出相位的預估函數為:
ϕ̃1+(𝑡) = 𝐴 {𝑒−𝑡+ 1
1 − 𝜁𝜁𝑒−𝜔𝑐𝑡−1
2𝑒−(𝜁+√𝜁2−1)𝜔𝑐𝑡−1
2𝑒−(𝜁−√𝜁2−1)𝜔𝑐𝑡} (3.16) 方程式(3.14)至(3.16)發現無論阻尼係數的值為多少系統的收斂速度和增益穿越頻率 𝜔𝑐有很大的直接關係，越大的𝜔𝑐造成系統越快速的收斂速度。圖 3.3 與圖 3.4 為線性化 後增益穿越頻率為 27 Hz 鎖相迴路系統相位發生單位步階變化時不同的阻尼係數對於系 統之穩定時間和最大超越量之影響，可以發現主要影響系統響應速度的為增益穿越頻率，
但當阻尼係數小於 0.5 時因為系統過於震盪，所以其穩定時間明顯較慢，且阻尼係數 𝜁 > 0.7後系統的穩定時間因響應速度變慢而上升。系統的最大超越量則是隨阻尼係數越 大而降低，當阻尼係數介於 0.5 至 1 之間時是較好的選擇區間。
圖 3.3 阻尼係數對穩定時間之影響
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圖 3.4 阻尼係數對最大超越量之影響
3.1.3 比例積分回授控制高頻雜訊抑制能力之分析
增益穿越頻率除了影響整個系統反應速度，同時也關係著鎖相迴路系統對於高頻雜 訊的抑制能力，當增益穿越頻率越高時雖然系統的響應速度會越快，但高頻雜訊的抑制 能力便會越差。探討高頻雜訊的輸入對於輸出之關係可以了解不同增益穿越頻率的影響，
由圖 3.1 可以得知高頻雜訊輸入對於輸出估測相位的轉移函數為:
𝐺𝑑(s) = ϕ̃1+(s)
𝑣̃𝑞(s) = 𝑔𝜔𝑐2𝑠 + 𝜔𝑐3
𝑠3+ 𝑔𝜔𝑐𝑠2+ 𝑔𝜔𝑐2𝑠 + 𝜔𝑐3 (3.17) 圖 3.5 表示增益穿越頻率為 25 Hz 時開迴路轉移函數和高頻雜訊之轉移函數的波德圖，
圖中可知系統的開路轉移函數與高頻雜訊之轉移函數在高頻率的時候頻率與增益間的 關係兩者間的效果是相同的，因此對於高頻雜訊其振幅的衰減可以由系統之開路轉移函 數的近似結果得到:
atten𝜔ℎ = |𝐺𝑜𝑙(𝑗𝜔ℎ)| ≈ −20𝑙𝑜𝑔𝜔ℎ
𝜔𝑐 − 20𝑙𝑜𝑔𝜔ℎ
𝜔p (3.18)
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圖 3.5 開路轉移函數和干擾的轉移函數之波德圖
3.6 阻尼係數對高頻抑制能力和之影響
由於電網中換相器的特性以及雙通用積分器是利用瞬時對稱分量法作為消去不平 衡故障的方式，所以第一個諧波真正影響到鎖相迴路的頻率為負五倍或正七倍的基頻，
且由於帕克轉換的關係實際上進入系統中的雜訊頻率為電網基頻的正六倍和負六倍，以 台灣電網的頻率 60 Hz 為例，則第一個高頻諧波的頻率為±360 Hz。圖 3.6 為當系統的 增益穿越頻率為 27 Hz 時對於正六倍基頻雜訊的抑制效果，越小的阻尼係數相當於系統 的極點越接近原點，對於高頻的抑制效果越好。另外增益穿越頻率的高低也影響著系統
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虛擬微分回授(Pseudo-derivative feedback ,PDF)的控制方法[26]最早是由 R.M.
Phelan 於 1977 年時提出，這種控制方式雖然沒有像比例積分回授控制那般常見，但其 暫態響應的效果十分良好，而且結構也很簡單。不過虛擬微分回授制是利用結構上的改 變使得系統擁有微分特性的好處，但是實際上並不會因為零點的關係而使得系統有較大 的最大超越量以及較差的高頻抑制效果。