第三章 研究方法
第一節 資料包絡分析法
此小節將對於資料包絡分析法的基本概念、操作程序、特性與基本模式進 行說明。
一、資料包絡分析法基本概念
資料包絡分析法(Data Envelopment Analysis)此名稱最早出現於 Charnes, Cooper, and Rhodes 於 1978 年所發表的文章中(Charnes, et al., 1978)，資料包絡 分析法是一種非參數法（non-parametric method），亦即在無須預設生產函數型 式的情況下，可將各受評估單位(decision making unit)的多項投入與多項產出資 料利用線性規劃的數學模式運算，求得生產邊界上的點，生產邊界上的點在經 濟意義上是指對受評單位最有利的投入產出組合，亦是所謂的相對有效率單 位，將這些效率單位連結起來，所構成之效率前緣(efficiency frontier)，即所謂 的包絡線。接著，將表示各受評估單位投入產出比例的觀測值與效率前緣比較，
就可衡量出各受評估單位的相對效率以及為達到具有效率的狀態，所需改善的 方向。
二、資料包絡分析法的使用程序
根據Golany and Roll (1989)所歸納的系統化資料包絡分析法應用程序，共可 分為四大步驟：
1. 決策單位之定義與選擇
受評估單位為資料包絡分析法所要評估的對象，為使各受評估單位在相同的 立足點上接受評估，因此必須確認每個受評單位具有同質性(homogeneous)，
亦即有相同的目標、執行相似的工作與在相同的市場條件下運作。而在受評 估單位的個數上，依照 Golany and Roll (1989)所提出的經驗法則，受評估單 位的個數至少應為投入項個數與產出項個數和的兩倍。
2. 投入產出項之選取
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投入產出項與受評估單位的相對效率評估密切相關，因此在選取上必須根據 受評估單位的經營特性並確認組織的營運目標。對於所選取的投入產出項，
都必須檢定投入產出項的相關程度，亦即投入與產出項之間需符合同向性 (isotonicity)，表投入的數量增加時，產出的數量不能反而減少。
3. 評估模式之選定
在評估模式的選擇上，需視研究的目標與決策所需的資訊來選擇適用的模式。
4. 結果之分析與解釋
資料包絡分析法的分析結果必須可以解釋各受評估單位績效之優劣以及可提 供改善之建議以回饋給決策者作為經營改進之參考。因此分析結果通常應包 含效率值分析、差額變數分析、以及提供管理上之建議等。
三、資料包絡分析法之特性
根據高強、黃旭男與 Sueyoshi(2003)、薄喬萍(2007)、孫遜(2004)之研究，
可將資料包絡分析法的特性彙整如下：
1. 不需預設投入與產出項的生產函數關係。
2. 可同時處理多項投入與多項產出的評估問題。
3. 容許使用不同計量單位的投入與產出項，不因計量單位不同而影響效率值。
4. 不須事先預設投入與產出項的權重，權重是經由線性規劃模式運算產生，較 為客觀，不受人為因素的影響。
5. 所求得之效率值為單一的綜合效率指標，為相對效率而非絕對效率。
6. 可同時處理定量(quantitative)與定性(qualitative)的資料，在資料處理上更具 彈性。
7. 具相對效率的決策單位需滿足產出項與投入項之加權比值為1之嚴格要求。
8. 藉由評估結果了解受評單位的資源使用狀況，可作為管理者的決策參考依 據。
四、基本模式
Farrell(1957)首先提出以生產前緣(production frontier)的概念來評估多項投 入與多項產出的相對效率，Charnes，Cooper and Rhodes(Charnes, et al., 1978)這 三位學者於 1978 年根據 Farrell 的方法加以改良，利用線性規劃的技巧求解在固 定規模報酬的假設下，擁有多項投入與多項產出之受評估單位的生產前緣，並
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以此生產前緣作為衡量比較之基礎來計算各個受評估單位的相對效率，此即所 謂的資料包絡分析法(Data Envelopment Analysis, DEA)，此模式亦被成稱為 CCR 模式。
假設現有 n 個具同質性(homogeneous)的受評估單位(Decision Making Unit, DMU)，Xij 、Yrj 分別為第 j 個單位(j=1,...,n)之第 i (i=1,...,m)項投入與第 r 項產 出(r=1,…,s)之數量，則單位 k 之效率E 如方程式(3.1)所示。 k
(一)比率形式
1
1
1
1
. . 1, 1, ,
0, 1, , 0, 1, ,
s r rk r
k m
i ik i
s r rj r
m i ij i r
i
u Y Max h
v X
u Y
s t j n
v X
u r s
v i m
ε ε
=
=
=
=
=
≤ =
≥ > =
≥ > =
∑
∑
∑
∑ "
"
"
(3.1)
(DMU)
k r
rj
i
ij
h k
u j r
Y j r
v j i
X j i
ε
其中 表第 個受評估單位 的效率值
表第 個受評估單位的第 個產出項的權重 表第 個受評估單位的第 個產出項的產出值 表第 個受評估單位的第 個投入項的權重
表第 個受評估單位的第 個投入項的投入值 表一極小之正值
此模式之效率值在於強調各受評估單位的「產出」相對於固定「投入」的 極大化情形，因此稱為投入導向效率(input-based efficiency)。在計算目標決策單 位之效率值E 時，其效率值不得超過 1.0，以滿足效率值上限為 1.0 之要求。另k 外，此單位可選擇對其最有利之產出項目權重u 與投入項目權重r v ，以使其效i 率值E 最大，而限制條件則是所選擇之k u 與r v 必須是正值，表任一因子均不可i 忽略不計。
在此模式中，由於每一個受評估單位都要將其投入項與產出項置入目標函 數一次，而其他受評估單位的投入項與產出項則都需被放入限制式，所以，以 此方式進行各單位的相對效率評估是較客觀且公平的。
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(二)投入導向之 DEA 模式
由於分數規劃模式求解較為複雜且可能會產生無限多解的現象，因此可將 其轉換為線性規劃模式，亦即將分數規劃模式分母設定為 1 而轉換成線性規劃 模式，如方程式(3.2)所示。
1
1
1 1
. . 1
0, 1, ,
0, 1, , 0, 1, ,
s
k r rk
r m
i ij i
s m
r rj i ij
r i
r i
Max h u Y
s t v X
u Y v X j n
u r s
v i m
ε ε
=
=
= =
=
=
− ≤ =
≥ > =
≥ > =
∑
∑
∑ ∑ "
"
"
(3.2)
(三)對偶模式
任一線性規劃的問題都會存在其對偶問題(Dual Problem)，Boussofiane, Dyson and Thanassoulis(1991)指出，在模式(3.2)中，有 s+m 個變數與 n+s+m+1 個限制式，此時限制式個數多於決策變數的個數，因此若將模式(3.2)轉換成對 偶模式，將可使整個線性模式的限制式減少至 s+m 個，因而可使模式之運算更 有效率。
無正負限制 θ
λ λ
θ λ
ε θ
, 1, , , 1, , , 1, , 0 , ,
, 1, ,
, 1, ,
. .
j n
1 j
j n
1 j
j
1 1
s r
m i
n j
s s
s r
Y s Y
m i
X s X t
s
s s
h Min
r i
rk r rj
ik i
ij
s
r r m
i i k
k
"
"
"
"
"
=
=
=
≥
=
=
−
=
= +
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
−
=
+
−
+
=
−
=
= +
=
−
∑
∑
∑
∑
(3.3)
將線性規劃模式轉成對偶模式後，還可進行差額變數分析。方程式(3.3)中 的si− 代表差額變數(Slack Variables)，表示爲達到有效率需減少的投入量，s 代r+ 表超額變數(Surplus Variables)，表示為達到效率需增加的產出量，θ 代表受評 估單位的效率值。故若採用對偶模式來計算受評估單位的效率值，要成為相對 有效率的受評估單位須符合θ∗為 1 且si−∗ 及s 均為 0，此時受評估單位位於效r+∗
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率前緣上。所以若相對無效率的受評估單位欲達到相對有效率時，可藉由方程 式(3.4)、(3.5)找出改善方向。
−∗
∗
∗ = ik − i
ik X s
X θ (3.4)
+∗
∗ = rk+ r
rk Y s
Y (3.5)