第三章 研究方法
第二節 關聯性網路資料包絡分析法
26
率前緣上。所以若相對無效率的受評估單位欲達到相對有效率時，可藉由方程 式(3.4)、(3.5)找出改善方向。
−∗
∗
∗ = ik − i
ik X s
X θ (3.4)
+∗
∗ = rk+ r
rk Y s
Y (3.5)
27
當成投入項外，剩餘的X 與1 X 亦被生產流程 3 用來生產產出項2 Y 。令3
X
ij( )t 為受 評估單位 j 第 t 個生產流程的第 i 項投入項，t=1,2,3。則此三個生產流程的投入 項總和X
ij(1)+ X
ij(2)+ X
ij(3)將等於網路系統的投入項總和，X
ij, i=1,2，j=1,…,n。在 產出項方面，受評估單位 j 的生產流程 1 其產出為Y
1 j=Y
1( )jO+ Y
1( )jI ，其中，Y
1( )jO 為 網路系統的最終產出項，Y
1( )jI 則是被用來當成生產流程 3 的投入項。相同的，生 產流程 2 的產出為Y
2 j=Y
2( )Oj+ Y
2( )Ij，其中，Y
2( )Oj 亦為網路系統的最終產出項，而Y
2( )Ij 則是被用來當成生產流程 3 的投入項。令u 為第 r 個產出項的權重，r=1,2,3；r 令v 為第 i 個投入項的權重，i=1,2，在計算第 k 個受評估單位的整體效率時，i 除了原本整個網路系統的加權產出數不應超過加權投入數外，如限制式 3.8，每 一個生產流程亦必須滿足效率前緣的特性，亦即每個生產流程的產出總和數也 不應超過投入總和數，如限制式 3.9-3.11，其中限制式 3.9-3.11 分別表示生產流 程 1-3，如下所示：( ) ( )
1 1 2 2 3 3
u YO u YO u Y
k k k k
E =max + + (3.6)
1 1 2 2
. . vs t X k+v X k = (3.7) 1
( ) ( )
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2
(u Y
Oj+ u Y
Oj+ u Y ) ( v
j− X
j+ v X
j) ≤ 0, j = " 1, , n
(3.8)(1) (1)
1 1 1 1 2 2
u Y
j− ( v X
j+ v X
j) ≤ 0, j = " 1, , n
(3.9)(2) (2)
2 2 1 1 2 2
u Y
j− ( v X
j+ v X
j) ≤ 0, j = " 1, , n
(3.10)(3) (3) ( ) ( )
3 3 1 1 2 2 1 1 2 2
u Y
j− ( v X
j+ v X
j+ u Y
jI+ u Y
Ij) ≤ 0, j = " 1, , n
(3.11)1, 2, 3, ,1 2 0
u u u v v ≥ >ε (3.12) 在關聯性網路評估模式中，由於加入了每個生產流程的限制式，因此關聯 性網路資料包絡分析法較傳統的資料包絡分析法更為嚴謹，也因此，經由關聯 性網路資料包絡分析法所計算出之效率值將不會超過由傳統資料包絡分析法模 式所算出之效率值。此外，由於所附加的限制式來自於網路系統中的各個生產 流程，因此除非某一受評估單位其網路系統中的每一個生產流程都具有相對效 率，否則該受評估單位的整體效率值將小於 1.0。
此模式中必須注意的是，在設定權重時，只要是屬於同一投入項或是同一 產出項，該投入項或是產出項必須對應至同一個權重值 (Kao, in press)。例如，
28
對於投入項X 來說，不論是被用在生產流程 1 中當成投入項1
X
1 j(1)，生產流程 2 中當成投入項X
1 j(2)，或者是生產流程 3 中的投入項X
1 j(3)，其所對應之權重v 都1 應保持一樣。而生產流程 1 的產出項權重則固定為u ，不論是當成網路系統的1 最終產出項Y
1( )jO 或者是當成生產流程 3 的投入項Y
1( )jI 。當各要素的最適權重*
u ,1 u ,*2 u ,3* v ,1* v 經由網路模式求得後，每個生產流程的效率值可經由下列計算式*2 求得：
(1) * * (1) * (1)
1Y /(1 1 1 2 2 )
k k k k
E =u v X +v X (3.13)
(2) * * (2) * (2)
2Y /(2 1 1 2 2 )
k k k k
E =u v X +v X (3.14)
(3) * * (3) * (3) * ( ) * ( )
3Y /(3 1 1 2 2 1 1I 2 2I )
k k k k k k
E =u v X +v X +u Y +u Y (3.15) 此一關聯性網路資料包絡分析法的另一項特色，即在於此模式可將網路系 統之整體效率依各個生產流程進行階段式績效分解，而各個生產流程分解後之 效率值乘積將等於整體的系統效率值；此外，亦可利用差額變數分析技巧，提 供各個生產流程的改進方向。然而，要對於網路系統進行績效分解或是差額變 數分析時，必須先將網路系統轉換成序列式結構以及平行式結構(Kao & Hwang, 2008)，其中序列式結構之功能在於可將受評估單位的整體效率以各階段效率的 乘積表達；而平行式結構之功能則是可利用同一階段中不同生產流程的差額變 數加總求出該階段需改善之差額變數總和。因此，在此模式中，必須在生產流 程 3 之前導入虛擬生產流程 4，以及在生產流程 1 與生產流程 2 之後導入虛擬生 產流程 5，如圖 3。對於所導入的虛擬生產流程，需設定其產出項與投入項相同。
在導入虛擬生產流程後，原來的網路系統就可表達成二階段的序列結構，且每 個階段中皆為平行結構，亦即階段一中包含了生產流程 1、4、2，而階段二中包 含了生產流程 3 與生產流程 5。
29
圖3 階段式績效分解模式圖
此時若與原來的網路系統比較，則可發現新的網路系統增加了兩個生產流 程，亦即生產流程 4 與生產流程 5，因此為了要計算新系統的效率，此時必須將 生產流程 4 與生產流程 5 之限制式加入新的模式中，但因為虛擬生產流程的產 出 項 即 為 其 投 入 項 ， 例 如 虛 擬 流 程 4 的 限 制 式 為
(3) (3) (3) (3)
1 1 2 2 1 1 2 2
( v X
j+ v X
j) ( − v X
j+ v X
j) ≤ 0
，此式恆成立，所以此限制式可當成多餘之 限制式而忽略不計。由此可知，加入虛擬生產流程的限制式後，新系統的運算 結果與原系統之運算結果仍是相同的。根據 Kao and Hwang(2008)所提出的序列模式，可得知網路系統效率值為系 統中各階段效率值之乘積，以圖 3 來說，網路系統效率Ek =EkI×EkII，其中E 與kI
II
E 分別為第一階段與第二階段之效率值。因此，受評估單位 k 第一階段的效率k
為：
( ) * * (3) * (3) * * *
1Y +(1 1 1 2 2 ) 2Y2 /( 1 1 2 2 )
I
k k k k k k k
E =⎡⎣u v X +v X +u ⎤⎦ v X +v X (3.16) 同理，第二階段之效率值如下式所列：
( ) * ( ) * (O) * * * (3) * (3) *
1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2
( Y Y Y )/ Y +( ) Y
II O
k k k k k k k k
E = u +u +u ⎡⎣u v X +v X +u ⎤⎦ (3.17) 因上述網路系統模式為一線性規劃模式、因此可轉換為其對偶型式。如下 所示：
30
1 2 3 1 2
( ) ( )
1 1 1 1
1 1
( ) ( )
2 2 2 2
1 1
3 3 3
1
(1) (2) (3)
1 1 1 1 1
1 1 1
(1) (2)
2 2
1 1
min ( )
. .
n n
I O
j j j j k
j j
n n
I O
j j j j k
j j
n
j j k
j
n n n
j j j j j j k
j j j
n n
j j j j j
j j j
s s s s s s t
Y Y s Y
Y Y s Y
Y s Y
X X X s X
X X
θ ε
α γ
β γ
γ
α β γ θ
α β γ
+ + + − −
+
= =
+
= =
+
=
−
= = =
= =
− + + + +
− − =
− − =
− =
+ + + =
+ +
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ ∑ ∑
∑ ∑
2(3) 2 21
, , 0, 1,..., .
n
j k
j j j
X s X
j n
θ α β γ
−
=
+ =
≥ =
∑
(3.18)
在此對偶型式中有五個功能限制式，分別對應至系統的三個產出項與二個 投入項，若θ =1 且s1+ =s2+ =s3+ =s1− =s2− = ，此時代表系統是有效率的；否則，0 系統就必須分別針對Y1( )kO 、Y2( )kO 與Y3k增加s1+、s2+、與s3+；並對於X 與1k X2k分 別減少[(1-θ )X +1k s1−]以及[(1-θ )X2k+s2−]，來讓受評估單位 k 達到有效率。
31