質因數概念學習

第一節 質因數概念學習

本節係針對質因數相關概念的學習與教學意義、質因數相關概念教學上的 困難，及數學學習與動機進行探討。

壹、質因數相關概念的教學目標與學習

因數概念的相關單元分散於五、六、七年級的數學課程當中，造成教師在 教學上無法有系統的引導學生學習，因此，造成學生學習上的不連貫，使其學 習成效更為低落。在因數教材分析當中，因數是從全部量求部分量的問題，學 生必須理解因數可以由乘除互逆算出，在最大因數應用問題當中，常常包含除 或等分除的問題。其內容綱要如下表所示：

表 2-1 因數教材學習內容綱要

學習單元 學習內容綱要

因數 透過分的紀錄來引入因數的定義

公因數 利用找出兩數的因數，圈出共同的因數

質數 某一數的因數恰好為 1 和本身

合數 某一數的因數除 1 和本身之外，還有其他因數

教育部於 2003 年公布九年一貫數學課程綱要中，將數學內容分為數與量、

幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題，其中質數與質因數的教材單元歸 入數與量的範疇中。其能力指標中明訂關於國民小學高年級質因數的教學單元

須達成下列目標：

一、 能理解因數、公因數：以幾個一數、九九乘法、除法為前置經驗，理解因 數之概念，並且用列表的方式，尋找兩數之公因數。

二、 能認識質數，並做質因數的分解(質數<20，質因數<10，被分解數<100)：

製作整數的因數表時，可以發現有一些整數不能再被分解，這些數稱為質 數，他們的因數只有 1 與自己而已。同時在記錄分解的樣式及整理中(此時 的質因數乘積不寫成指數形式)，發現不管怎麼分解，形式都一樣。

三、 能認識兩數的最大公因數與兩數互質的意義，必能將分數約成最簡分數：

最大公因數的初步教學，以列舉觀察為主，待學童熟悉其意義之後，再介 紹短除法，計算兩數的最大公因數，兩數的最大公因數是 1 稱為互質。

在國小的數學課程教學中，會先介紹因數的名詞、意義和解法，最大因數 和最小因數的找法，判斷 1~20 以內只有兩個因數的整數(暗示性提出了只有 1 和自己本身兩個因數的質數概念)，然後再介紹公因數的意義和求法，找出兩個 或兩個以上整數的公因數，並求得其最大公因數。在因數部分運用了乘法和除 法(整除)原理找某數的因數。乘法和整除的先備知識來尋找某數的因數，而且 因數的範圍僅止於正整數，要到國中的數學課程，才會擴充負整數的部分。教 材的呈現方式，是先有乘法和除法的先備知識，再學習因數的意義、求法和應 用，並進而擴展到探討質因數的關係，並進入公因數的意義、求法和應用，最 後再以公因數的知識為基礎，應用到分數的擴分和約分，亦即乘法和除法(整除) 原理是因數的先備知識，而因數除以公因數則為分數擴分和約分的先備知識。

然而，由於「數」的定義相當抽象，且涉及語意理解的問題，對學童而言 較有困難(謝堅，1997)。早在公元前三世紀的天文學家 Eratosthenes 提倡厄拉托 西尼篩子(Eratosthenes sieve)，藉以利用視覺性、操作性，等較具體的方式，來 找出質數；或是讓學童由拆解的遊戲中學習因數的組合和分析的辯證觀點(史英，

2003)。因為該階段的學童尚處於具體運思期，其測量運思尚未發展完全，故可

能會混淆除數的雙重意義，無法將等分除與包含除視為相同的問題，故古今中 外皆有學者建議，可透過圖像、情境等方式，來幫助學童習得因數的概念。

貳、質因數相關概念學習上的困難

數學科是國小學童最容易引起焦慮的科目(詹志禹，1997)，且隨著年齡的 增加，討厭數學的比例越來越高(陳淑美，1998；黃敏晃，1995)。由於年級越 高，課程的內容也會越來越抽象化，部分學童的認知發展尚不足以應付，因而 產生學習上的障礙，而對數學學習抱持著排斥的態度。特別在因數單元之後，

還有以因數為先備知識的公因數、等值分數和分數加減、乘除等單元，許多中 低程度的學生往往因為學習因數概念遭遇到瓶頸，導致往後的數學學習產生先 備知識不足的問題，而加深他們對數學學習的挫敗感與排斥感。

從因數教材的重要性來說，因數概念除了是等值分數的先備知識之外，同 時，也是比例概念的基石(劉祥通、周立勳，1999)，更是往後學習因式、倍式、

多項式、因式分解、數列與級數的重要基礎，學童若對因數產生學習障礙，對 於往後的數學學習上，勢必造成新舊知識銜接困難，更加深對數學學習之挫敗 感及障礙。國小學童對因數也存在許多的迷思概念，其中文字題方面，錯誤率 高達 85%以上，名詞混淆的情形也相當頻繁，更有許多學生即使寫出正確算式，

卻無法真正瞭解算則的意義(林珮如、邱慧珍，2002)。黃耀興與邱易斌(1999) 在研究中也指出，有 30%以上的小朋友對於因數的名詞意思常常混淆，因為這 些小朋友都會認為「因數」就是利用「除法分解」的方式求解而已，也有部分 學生在學習因數的概念上缺乏因數關係形成和類化的能力，導致無法理解因數、

倍數的概念(何東墀、蕭金土，1996)。

從因數的定義來看，因數屬於 Gagnge 所提的概念學習(魏明通，1997)，是 由整除的概念抽象後而得的概念，對學童而言，此類概念的行程需經由定義學 習，無法直接透過觀察獲得(黃國勳、劉祥通，2002)。就五年級的學生而言，

尚處於具體運思期，其思維能力只限於眼見的具體情境或熟悉經驗，因此因數

的概念學習，對其是相當困難的。林珮如(2002)以依據 Mayer 及 Brainbridge 解 題理論和直觀法則理論自編的因數迷思概念診斷工具，分析歸納學童在因數方 面的解題策略，探討學童的因數迷思概念和成因，發現：(1)國小學童在「因數 迷思概念診斷工具」中的答題表現不佳；(2)國小學童在學習因數時的錯誤解題 策略和原因，包括用乘除解題時錯誤連結、逐步列出對應方式解題時，粗心、

計算錯誤、缺乏閱讀解釋問題能力而誤解題意和採用關鍵字解題錯誤等；(3)國 小學童學習因數時的迷思概念共計有概念混淆不清、概念遺漏與概念錯誤三大 類，原因包括先備知識理解不清產生錯誤連結、相類似的知識造成混淆干擾、

缺乏閱讀解釋問題能力，以致於誤解題意等。

由上述可知，因數學習對學童而言，的確是一項相當大的挑戰，因此，教 師在教導質因數之際，需設計質因數之意義課程，以讓學童更易於連結其經驗，

而能形成正確的概念，並熟稔演算技巧的過程，透過各種互動學習，降低學童 對質因數學習的恐懼、挫敗感，而能夠有更好的學習成效。

參、學習動機與數學學習

學習動機在個人的成長歷程中，是讓自己能夠不斷精進的重要因素，而在 數學學習的環境當中，動機的考量更是不可忽視的一環。許多心理學者與教育 學者都表示，學習動機是影響學習成就的主因之一，對學習者的重要性是必須 重視的。動機(Motivation)的含意，根據張春興(1996)表示為一種促使個體進行 各種行為的內在動力，是指引起個體活動，維持已引起的活動，並導致該活動 朝向某一目標的內在歷程，因此，學習動機可做為支撐學習者努力意志的動力。

學習動機是學習過程中影響學習成敗的因素之一(謝宜君、紀文章，2003)，不 論學習者動機類型為何，皆會對學習者的學習行為產生某種程度的影響，引導 學習者從事促進學習的活動。

學習動機應包含下列兩種意義：一為「引起」，不論動機的來源是外在或內 在都必須先引起學習者的注意；再者是「維持」，要引起學生的注意並不是一件

困難的事，因為不論小孩或成人，人類與生俱來的好奇心、個別的興趣皆是引 起學習動機的重要因素(許繼徳，2002)。學習動機更分為外在及內在兩種，外 在動機是由於環境因素，外來的獎賞而令個體有某種行為表現；內在動機則由 於學習本身給個體帶來滿足感，而令個體樂於有該種學習行為。張春興(1996) 也認為動機型態，可分成外在動機以及內在動機兩部分；外在動機的影響，如 獎賞或懲罰，內在學習動機是因內在需求而產生的，如：認為學習是有價值的，

學習者對自己好奇、感興趣與具挑戰性的學習活動，自動自發投入，並因此獲 得滿足。

學習動機在學習過程中扮演重要的角色，如何引發學生認真學習的行為原 動力是教師教學活動的首要步驟，有些學生學習表現欠佳，原因不在於能力差，

而是缺乏成就動機所導致。關於學習動機的研究，有多種學派觀點從不同角度 切入探討：

1. 成就動機理論：Atkinson 於 1957 年提出成就動機理論，認為個體在預 期事情將成功時，個體會決定追求，反之則會放棄，而成就動機高的學生，通 嘗試帶有成功的希望大於失敗的恐懼，因此將容易接受具有挑戰性的工作，以 獲得成功的樂趣。McClelland (1976)認為成就動機是指個人從事其認為重要或 具有價值的工作，並且力求完美的內在動力，而且成就動機是屬於社會劃過後 的動機，是決定個人成就差異的重要因素。

2. 行為學派之動機理論：行為學派的動機理論認為人類的動機是學習而 來的，由內外在的刺激產生需要，為了滿足需要產生驅力，驅力產生行為動機，

再經由增強作用學習。李永吟(2001)認為學習動機是外控的，是學習而來的，

屬於外在動機的一種，在條件過程中因刺激與反應的連結而產生學習。

3. 歸因理論：歸因理論主要指個體對於自己的表現或是環境事件發生進

3. 歸因理論：歸因理論主要指個體對於自己的表現或是環境事件發生進