適用不同主題求解的一元二次方程式試題

一個試題，可能有不只一種做法可以成功解題，本研究不排除在揣測教師命 題時意圖評測哪些主題，研究者在編碼時，盡量以段考試題在一元二次方程式這 個章節會想要評測什麼主題，將試題編入主題中，但仍遇到一些試題，能夠同時 適用不一樣的主題成功解題，也是編碼時與另一位編碼同學有編碼歧異產生處，

我們將這些試題視為適用不同主題求解的一元二次方程式試題，共有三個種類，

分別是平方差 VS 公式解、配方法 VS 公式解以及根與係數 VS 三主題（代入求 未知係數再解方程式、兩個一次因式相乘為 0 和配方法的步驟逆推），其評測題 數如下表 4-4.1，以下報導這些的試題：

表 4-4. 1 適用不同主題求解之種類與評測題數

種類 評測題數

平方根 VS 平方差 12

配方法 VS 公式解 48

根與係數 VS 代入 x 求未知係數再解方程式 9 根與係數 VS 兩個一次式相乘為 0 23

根與係數 VS 配方法的步驟逆推 4

一、 平方差 VS 平方根

如下題 10904，此類試題評測平方差公式子類別的主題，但可經過移項化簡 後，以平方根子類別的主題求解，研究者將此類試題歸為評測平方差公式子類別，

因為試題架構與平方差公式相似度較高，段考試題可能想評測平方差公式子類別 之主題，這類的試題共有 12 題。

解方程式：

x

²−64=0；x=_______

如下題 10517，此類試題研究者認為段考試題並非想評測平方差公式子類別 之主題，因為不需移項即可以平分根解題，故研究者將它們歸為評測平方根子類 別之主題。

請寫出下列一元二次方程式的解：

x

² =196,

x

=______

二、 配方法 VS 公式解

一元二次方程式解的公式是由配方法推導得到的，對於結構

ax

²+

bx

+ =

c

0 熟悉的學生，使用公式解也許很快可以求出方程式的解，但對於

a b c

, , 的位置與 限制容易出錯、混亂的學生，配方法可能會比較適合他們，這種試題有 48 題。

如下題 10220，因為其一次項係數即使化為整係數仍不易配方，研究者將此 題歸類於評測公式解子類別之主題 53「利用公式解需要先化簡成整係數再求解 之一元二次方程式。」，然而，也可以使用主題 43「利用配方法解需要先化簡成 整係數之一元二次方程式。」整理係數後方程式變成2

x

²+ − =

x

4 0，對於公式不 熟練的學生，使用配方法也是可以成功解題的。

一元二次方程式^{1 2 1 2} 0

3

x

+6

x

− =3 的解為何？

(A) 無解 (B) ^{1 17}

2 4

− ±

(C) ^{1 17} 4

− ±

(D) ^{1 33} 4

− ±

如下題 30325，要成功解題需要主題 1 與主題 51 先判斷什麼是一元二次方 程式後，可以知道

a

− =2 0而且

b

+ =3 0，得到

a

=2、

b

= −3，再使用公式求解，

但如果對公式不熟悉的學生，可以使用配方法解2

x

²−3

x

− =6 0，也可成功解題。

4 3 2

(

a

−2)

x

+ +(

b

3)

x

+

ax

+

bx

+

ab

=0，為 x 的一元二次方程式，則x=______

未提及使用配方法或公式解的試題中，研究者依一元二次方程式的一次項係數是 否容易配方作為判准，以此題為例，若使用配方法，一次項在配方時將出現分數，

較易犯錯，若使用公式解，只需瞭解結構即可，所以研究者將此題歸類於段考題 欲評測公式解子類別之主題。

三、 根與係數 VS 三主題

一元二次方程式的根與係數之關係，現在各版本的課本、習作並沒有提到，

但坊間販售之參考書籍仍有收錄，部分學校的補充教材可能也有整理，在不確定

學校是否有教授學生此內容的情況下，許多能以一元二次方程式根與係數求解的 試題，在不以根與係數求解情況下，試題評測哪些其它的一元二次方程式主題呢，

以下分別介紹三大類型：

1.根與係數 VS 代入

x 求未知係數再解方程式

如下題 10109，此類試題可以使用主題 3「一元二次方程式根已知下，求未 知的係數」與主題 21「利用十字交乘法解型如

ax

²+

bx

+ =

c

0型式之一元二次方 程式。」成功解題，先將

x

=5代入方程式中求得未知係數

b

，再使用十字交乘法 解一元二次方程式，得到方程式的另一個解。研究者將這類試題歸類為主題 3 與主題 21，各校段考題想評測將解代入方程式的概念，以及利用十字交乘法解 方程式。

5 是一元二次方程式2

x

²−

bx

+ =5 0的解，則下列哪一個數也是此方程式的解？

(A) 11 (B) −11 (C) ¹

2 (D) ¹

−2

然而，這類試題也可以使用主題 66 或主題 67「一元二次方程式的兩根與方程式 係數之關係」成功解題，因為已知方程式的一個根為 5，由兩根相乘是⁵

2，可以 很快得到方程式的另一個解，部份將根與係數納入補充教材的學校，學生可能會 使用根與係數求解，這類試題共有 9 題。

如下題 40121，研究者將此類試題歸為評測主題 66 的試題，段考試題想評 測一元二次方程式兩根與係數的關係，從試題中欲求(

p

+

q

)²−

pq

，與根與係數 的結構相符，兩根的和

p

+

q

可得到 5、兩根的積 pq 可以得到 3，此題若使用配 方法或公式解也可成功解題，但過程須經過較多步驟且開放較繁瑣，學生易犯 錯。

如果 p 、 q 是方程式

x

²−5

x

+ =3 0的兩根，試求(

p

+

q

)²−

pq

=? 2.根與係數 VS 兩個一次式相乘為 0

如下題 40613，研究者將此類試題歸為評測主題 6「兩根為α β 之 x 的一元,

二次方程式為(

x

−α)(

x

−β)=0」，將已知寫成

m x

( +4)(

x

−7)=0，展開後得到

2 3 28 0

mx

−

mx

−

m

= ，經過比較係數，可以知道

m

=1，所以此一元二次方程式為

2 3 28 0

x

−

x

− = ，即求得 a,b。主題 6 是基礎概念中的主題，大部份的學生皆會使 用這個主題，相較於根與係數主題，主題 6 較可能是各校段考試題評測的主題。

設−4, 7皆為方程式

x

²+

ax

+ =

b

0的根，則 (A)

a

= −3,

b

= −28

(B)

a

= −28,

b

=3 (C)

a

= −3,

b

=28 (D)

a

=3,

b

= −28

此樣的題目也可以使用主題 66，評測學生一元二次方程式根與係數的關係，兩 根的和可得到 a、兩根的積可以得到 b。這樣的試題有 23 題。

3.根與係數 VS 配方法的步驟逆推

如 21518，這樣的題目研究者將它們歸類於評測主題 48，雖然此題在題目並 沒有提到「使用配方法解一元二次方程式的兩個解」，如此會提示學生使用配方 法的步驟逆推得原方程式的句子，但視為段考試題想評測主題 48，將一元二次 方程式的解，經配方法的逆向操作，推得原一元二次方程式。

有一個一元二次方程式，其

x

²項係數為 1，方程式的兩根分別為− +2 5及 2 5

− − ，求此方程式為何？

(A)

x

²−4

x

− =1 0 (B)

x

² −4

x

+ =1 0 (C)

x

² +4

x

+ =1 0 (D)

x

²−4

x

− =1 0

這樣的試題也可以使用主題 66 成功解題，評測一元二次方程式

ax

²+

bx

+ =

c

0的 兩根與方程式係數之關係。因為兩根相加可以消去根號的部份，兩根相乘也可以 使用平方差公式求值，計算不致於太複雜，即可得到一次項、常數項。這類的試 題有 4 題。

在文檔中 國中八年級一元二次方程式段考試題研究 (頁 97-101)