國中八年級一元二次方程式段考試題研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：謝豐瑞博士. 國中八年級一元二次方程式段考試題研究. 研究生：陳旻怡. 中華民國一０二年七月.

(2) 謝誌研究所生涯終於走到這一刻，一切的一切是如此地不真實卻充滿了感動！這三年來學習的日子裡，感謝能擁有老師的教導與關懷、同門學長姊與學弟妹的幫助與相伴、研究所同學們的互相切磋與分享、好朋友們與球隊夥伴的支持與鼓勵，讓我以充實且溫暖的心情渡過這些日子。謝謝我的指導教授：謝豐瑞博士，在我猶豫懷疑的時候給我方向與鼓勵，在修課與論文指導的期間給我引導，讓我能表達自己的想法，更深入的思考問題，在老師的教導與薰陶下獲得許多學術知識、更開拓了視野，生活中也時而給予關心與問候，讓我收穫良多與備感溫暖，心中無限感激。謝謝口試委員邱守榕教授與施皓耀教授，感謝您在百忙之中抽空前來給予指導與提供寶貴的意見，讓我能看見自己的盲點，使這本論文能更加豐富且完整。謝謝書志學長、佳叡學長、婷瑩學姐、國亨學長、佩蓁學姐、啟台學長、志瑋學長、慈宜學姐、世偉學長、嵐婷學姐、桂銘學長，在課間與課後給予深入的見解與建議。謝謝佳叡學長，總是給予我鼓勵與引領；謝謝婷瑩學姐總是不厭其煩的為我解惑，給我建議、提供多元的想法，給我許多信心，感謝有妳讓我感到踏實與安心；謝謝佩蓁學姐與啟台學長，每次的深入討論問題以及給予建議與想法；謝謝國亨學長在忙碌之中給予許多協助與建議；謝謝志瑋學長與慈宜學姐，從我還是小碩一時一起做報告、深入的討論問題，到後來給予論文的建議與幫助；謝謝嵐婷學姐總是給予教學現場面向的建議，提供了更多的論文想法。謝謝昭慧學長、玉惇學姊、雅霙學姐、筱芸學姐、長民學長、文婉學姊、鈺傑、韋樺、怡寶，幾位新進的學弟妹這些日子以來的協助與幫忙，每週六一同討論的時光，總是令人難忘。謝謝共同編碼者韋樺，這些日子非常感謝妳的幫忙，也感謝常常協助的球隊學妹欣樺。謝謝一路上鼓勵我、協助我的人，讓我能不斷奮鬥、克服一關又一關的難關，謝謝我的室友與好友們，你/妳們的關心讓我有努力的動力。謝謝我的爸爸與媽媽，這三年來的支持、鼓勵、體諒與包容，讓我能夠無後顧之憂的攻讀碩士學位，你/妳們一直是我努力前進的動力，將這份榮耀獻給你/ 妳們。 102 年 8 月.

(3) 摘要本研究探討一元二次方程式章節中段考試題題型分布情形；一元二次方程式的段考試題中，著重哪些一元二次方程式主題，以及試題評測的表現等級分布情形。本研究的研究樣本為北部（臺北市與新北市）30 所，南部（臺南市與高雄市）30 份所學校八年級第三次段考試卷，共 60 份。依統計資料分析試題題型的分布。本研究根據發展出的 72 個「一元二次方程式主題」，將試題依所評測的主題給予編碼，統計次數分析試題評測的主題。另以國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心發展的『國民中學學生學習成就評量』之表現等級，分析試題能夠評測的學生表現等級為何。本研究的研究結果如下： 1.北部平均單份試卷的題數約為 25 題，南部平均單份試卷的題數約為 28 題，南部評測的題數平均多北部 3 題。其中，平均單份試卷評測一元二次方程式主題的試題佔七成以上，高雄市更高達八成以上，表示在國中八年級上學期的第三次段考，一元二次方程式單元佔了很高的比例。 2.以所有一元二次方程式主題來看，單一主題平均評測題數為 25.4，單一主題評測題數的中位數為 13，單一主題評測題數最多的是主題 65，其次為主題 64，再者為主題 23，這三個主題的評測題數都超過 200 題，最受到重視。單一主題評測題數在 50～100 之間的有 6 個主題，重視程度次之，單一主題評測題數在 25.4 ～50 之間的有 12 個主題，單一主題評測題數在 13～25.4 之間的有 15 個主題，但仍非最不受到重視，因為低於單一主題評測題數的中位數 13 的有 35 個主題，其評測題數都極低，最不受到重視。 3.一元二次方程式的段考試題以評測 B 及 C 等級的試題較多，比例依序為 20.97% 及 65.55%，C 等級的試題佔了六成以上；D 等級為 12.60%；A 等級為 0.88%。. 關鍵字：試題題型、一元二次方程式、表現等級.

(4) 目錄目錄................................................................................................................................. i 表次目錄...................................................................................................................... iii 圖次目錄....................................................................................................................... iv 第壹章. 緒論................................................................................................................ 1. 第一節. 研究動機.............................................................................................. 1. 第二節研究目的.................................................................................................. 2 第三節名詞釋義.................................................................................................. 2 第貳章. 文獻探討........................................................................................................ 3. 第一節評量.......................................................................................................... 3 第二節一元二次方程式...................................................................................... 8 第參章. 研究方法...................................................................................................... 10. 第一節研究架構................................................................................................ 10 第二節研究方法與研究設計............................................................................ 11 第三節研究對象................................................................................................ 12 第四節研究工具................................................................................................ 14 第五節研究步驟................................................................................................ 15 第六節研究限制................................................................................................ 16 第肆章. 研究結果...................................................................................................... 17. 第一節一元二次方程式的試題題型................................................................ 17 第二節一元二次方程式主題的評測題數........................................................ 25 第三節一元二次方程式試題評測的主題數量................................................ 58 一、. 評測一個主題的試題.................................................................. 58. 二、. 評測兩個主題的試題.................................................................. 77. 三、. 評測三個主題的試題.................................................................. 81. 四、. 評測四個主題的試題.................................................................. 84. 五、. 試題評測主題之分布狀態.......................................................... 87. 第四節適用不同主題求解的一元二次方程式試題........................................ 89 i.

(5) 一、. 平方差 VS 平方根 ...................................................................... 89. 二、. 配方法 VS 公式解 ...................................................................... 90. 三、. 根與係數 VS 三主題 .................................................................. 90. 第五節試題的表現等級.................................................................................... 93 第伍章. 結論與建議.................................................................................................. 98. 第一節結論........................................................................................................ 98 第二節建議...................................................................................................... 101 參考文獻.................................................................................................................... 102 附錄一. 一元二次方程式主題................................................................................ 104. 附錄二. 『國民中學學生學習成就評量』之表現等級（一元二次方程式）.... 109. 附錄三. 表現等級各直轄市學校比例分布............................................................ 110. 附錄四. 試題評測主題之分布狀況........................................................................ 112. 附錄五. 試題評測主題之分布狀況（主題 1～72）............................................. 114. ii.

(6) 表次目錄表 2-1. 1. 國民中學學生學習成就評量數學標準表現等級分類通則 ............. 6. 表 2-1. 2. 一元二次方程式主題表現等級敘述 ................................................. 7. 表 3-1. 1. 一元二次方程式主題編號與子類別搭配表 ................................... 11. 表 3-3. 1. 100 學年各縣市國中概況統計 ........................................................ 13. 表 3-3. 2. 一元二次方程式表現等級 ............................................................... 14. 表 4-1. 1. 縣市單份試卷平均題數 ................................................................... 18. 表 4-1. 2. 題型數量與比例 ............................................................................... 20. 表 4-1. 3. 一元二次方程式主題的題型比例 ................................................... 23. 表 4-2. 1. 一元二次方程式主題編號與類別搭配表 ....................................... 25. 表 4-5. 1. 一元二次方程式表現等級 ............................................................... 93. 表 4-5. 2. 試題表現等級的數量與比例 ........................................................... 94. 表 4-5. 3. 表現等級單份試卷平均題數 ........................................................... 94. 表 4-5. 4. 各校平均表現等級比例 ................................................................... 95. iii.

(7) 圖次目錄圖 3-5. 1. 研究過程流程圖 ................................................................................. 16. 圖 4-1. 1. 試卷題數分布 ..................................................................................... 17. 圖 4-1. 2. 選擇題題數分布 ................................................................................. 21. 圖 4-1. 3. 填充題題數分布 ................................................................................. 21. 圖 4-1. 4. 開放題題數分布 ................................................................................. 22. 圖 4-2. 1. 一元二次方程式主題評測題數分布圖 ............................................. 27. 圖 4-2. 2. 主題子類別評測題數分布圖 ............................................................. 28. 圖 4-2. 3. 定義與表徵評測題數分布 ................................................................. 29. 圖 4-2. 4. 方程式的解評測題數分布 ................................................................. 30. 圖 4-2. 5. 因式分解法的概念評測題數分布 ..................................................... 31. 圖 4-2. 6. 提公因式法評測題數分布 ................................................................. 32. 圖 4-2. 7. 和或差的平方公式評測題數分布 ..................................................... 34. 圖 4-2. 8. 平方差公式評測題數分布 ................................................................. 35. 圖 4-2. 9. 十字交乘數法評測題數分布 ............................................................. 37. 圖 4-2. 10. 平方根評測題數分布 ....................................................................... 39. 圖 4-2. 11 完全平方式評測題數分布................................................................ 41 圖 4-2. 12. 配方法評測題數分布 ....................................................................... 43. 圖 4-2. 13. 公式解評測題數分布 ....................................................................... 46. 圖 4-2. 14. 判別式評測題數分布 ....................................................................... 48. 圖 4-2. 15. 情境轉化評測題數分布 ................................................................... 51. 圖 4-2. 16. 依真實世界判斷解評測題數分布 ................................................... 52. 圖 4-2. 17. 一元二次方程式的根與係數評測題數分布 ................................... 54. 圖 4-2. 18. 延伸評測題數分布 ........................................................................... 55. 圖 4-3. 1. 評測一個主題的評測題數分布圖 ...................................................... 58. 圖 4-3. 2. 主題子類別評測題數分布圖（評測一個主題） .............................. 59. 圖 4-3. 3. 定義與表徵評測題數分布（評測一個主題） .................................. 60. 圖 4-3. 4. 方程式的解評測題數分布（評測一個主題） .................................. 61. 圖 4-3. 5. 因式分解的概念評測題數分布（評測一個主題） .......................... 62 iv.

(8) 圖 4-3. 6. 提公因式法評測題數分布（評測一個主題） .................................. 63. 圖 4-3. 7. 和或差的平方公式評測題數分布（評測一個主題） ...................... 64. 圖 4-3. 8. 平方差公式評測題數分布（評測一個主題） .................................. 65. 圖 4-3. 9. 十字交乘法評測題數分布（評測一個主題） .................................. 66. 圖 4-3. 10. 平方根評測題數分布（評測一個主題） ........................................ 67. 圖 4-3. 11. 完全平方式評測題數分布（評測一個主題） ................................ 68. 圖 4-3. 12. 配方法評測題數分布（評測一個主題） ........................................ 70. 圖 4-3. 13. 公式解評測題數分布（評測一個主題） ........................................ 72. 圖 4-3. 14. 判別式評測題數分布（評測一個主題） ........................................ 73. 圖 4-3. 15. 情境轉化評測題數分布（評測一個主題） .................................... 74. 圖 4-3. 16. 一元二次方程式的根與係數評測題數分布（評測一個主題） .... 76. 圖 4-3. 17. 延伸評測題數分布（評測一個主題） ............................................ 77. 圖 4-3. 18. 評測兩個主題的試題其評測題數分布圖 ........................................ 78. 圖 4-3. 19. 評測二個主題為相同子類別的評測題數分布圖 ............................ 78. 圖 4-3. 20. 評測兩個主題為相異子類別的評測題數分布圖 ............................ 80. 圖 4-3. 21. 評測三個主題的試題其評測題數分布圖 ........................................ 81. 圖 4-3. 22. 評測三個主題為三相同子類別的評測題數分布圖 ........................ 82. 圖 4-3. 23. 評測三個主題為二相同一相異子類別的評測題數分布圖 ............ 82. 圖 4-3. 24. 評測三個主題為三相異子類別的評測題數分布圖 ........................ 83. 圖 4-3. 25. 評測四個主題的評測題數分布圖 .................................................... 85. 圖 4-3. 26. 評測四個主題為二同二相異子類別評測題數分布圖 .................... 86. 圖 4-3. 27. 評測四個主題為四相異子類別評測題數分怖圖 ............................ 87. 圖 4-3. 28. 提公因式法評測題數分布（評測一個主題與多個主題） ............ 88. v.

(9) 第壹章第一節. 緒論研究動機. 研究者在一次的家教中，教導我的國中八年級學生一元二次方程式的應用問題，發現列式後的解題，往往都是十字交乘法解方程式，於是研究者心中有個疑問，在這個章節中，還有提公因式法、和或差的平方公式、平方差公式、配方法，甚至是公式解，為什麼在應用問題中卻不常出現呢？回想自己過往的學習經驗中，面對一個一元二次方程式，如果公式的架構不明顯，就會猜測是要利用十字交乘法。評量是指搜集、統整和解釋訊息，以幫助教師做成決定的一種歷程(Airasian & Russell, 2008; Hart, 1994)。評量的目的是在蒐集訊息幫助教師做成下列的決定：（1）診斷學生的問題；（2）評斷學生的表現；（3）提供回饋給學生；（4）安置學生；（5）計畫和執行教學；和（6）建立並維持教室的社會平衡（余民寧，2012）。依據教學歷程及評量目的，教學評量可分成：安置性評量、形成性評量、診斷性評量和總結性評量。教師在整個課程結束後，想瞭解學生學習結果是否達到預期的學習目標，以便作為評定成績等第或學習成就的依據，此時所進行的教學評量，即為「總結性評量」(summative assessment)。以國中階段來說，三次的段考即為總結性評量，可以瞭解學生的學習成果是否達到預期的學習目標。從這個做為出發點，在一次段考範圍內，老師命題的時候，會想評測學生什麼主題？是否可能比較重視某些數學主題，或是平均地命題。國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心發展的『國民中學學生學習成就評量標準』旨在建置與國民中小學九年一貫課程綱要能力指標相對應的評量標準，以補足目前課綱各學習領域未提供評量檢核指標之不足，並作為全國教師在進行教學評量時的統一參照依據（引自國民中學學生學習成就評量標準）。訂定內容標準、表現標準，內容標準包含學科主題、學科次主題，表現標準包括表現等級。表現標準的描述以「門檻」概念進行撰寫，學生若能成功解 C 等級試題，僅表示具備 C 等級能力，不一定有 B 等級的能力。而每一個試題能夠評測的表現等級也不同，命題時，試題中評測哪些表現等級？然而，不同題型評測的能力也有所不同，例如：A 等級的試題達到分析層面，若以選擇題、填充題作為題型，學生成功解題則無法評斷其能力是否達到 A 等級，所以試卷中的題型如 1.

(10) 何分布也是研究者好奇的。研究者欲從此評量標準的角度去探討段考試題評測的表現等級分布情形。根據以上研究動機，本研究欲探討段考試題題型的分布與試題評測哪些一元二次方程式主題，以及從評測一元二次方程式主題的試題中，討論它們能夠評測『表現等級』中的哪個等級？. 第二節. 研究目的. 本研究之研究目的為探討一元二次方程式章節中： 1.段考試題的試題題型分布情形。 2.段考試題評測了哪些一元二次方程式主題及各主題在試卷中出現題數為何。 3.段考試題評測的表現等級分布情形。. 第三節. 名詞釋義. 1.試題題型：本研究意指是非題(true-false items)、選擇題(multiple-choice items)、配合題(matching items)、填充題(completiom items)與開放題( open constructed-response items)，此開放題包含計算題、應用題、挑戰題等。 2.一元二次方程式主題：一元二次方程式章節中，參考『國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域』，各版本課本、習作，以及參考書籍等，可將數學內容分為基礎概念、因式分解法解一元二次方程式、配方過程、方程式解的公式過程，以及應用，其下又可再細分為一元二次方程式的定義表徵、一元二次方程式解的意義等細項，本研究稱這些細項為「主題」。 3.表現等級：依據國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心發展的『國民中學學生學習成就評量標準』，表現等級訂為 A-E 五級，其代表意義如下：A 表「優秀」、B 表「良好」、C 表「基本」、D 表「不足」、E 表「落後」，各個領域與主題也有更詳細的敘述。說明學生完成一個階段的課程學習後，呈現其知識與技能所達到的程度，當學生接受相同的學習內容，卻呈現出不同的表現程度時，必須透過「表現等級」加以區分。本研究所指的表現等級，意指試題能夠評測的等級為何，若學生能成功解一題 C 等級的試題，僅能說學生具備 C 等級的能力，不保證學生具備 B 等級的能力。. 2.

(11) 第貳章. 文獻探討. 第一節. 評量. 評量是一個通用的名詞，泛指教師蒐集訊息所使用的各種方法（余民寧， 2012）。NCTM(2000)提到，評量(assessment)應該支持重要的數學學習，以及提供老師、學生有用的訊息。（一）. 評量的題型. 在教育上用的評量，即為教育測驗，依據不同的教育目標，可以分成認知測驗（1）認知測驗；（2）情意測驗；（3）動作技能測驗。余民寧（2011）提到根據不同的試題類型來分，教育測驗的題型可以分成（1）選擇型試題，如：選擇題、是非題、配合題、填充題、題組型試題；（2）補充型試題，如：簡答題、限制反應題、申論題。國際學生能力評量計劃(the Programme for International Student Assessment)的. 數學素養評量重視學生在日常生活運用數學知識的能力，所以其試題透過不同情境問題呈現。PISA 數學試題使用四種題型：選擇題、多重是非題、封閉式問答題以及開放式問答題。以下引自臺灣 PISA 國家研究中心（2012）對 PISA 題型的釋義： 1.多重是非題包括由二~四題是非題所組成的，通常必須全對才能得分。 2.封閉式問答題通常會先要求學生從「是」或「否」兩個正反陎的立場中圈選出合理的答案，再要求提供計算或數學論證來支持自己所選擇的答案。 3.開放式問答題的主要目的在於讓學生自己建構答案，由作答者提出自己的觀點以及支持的理由和論證。國際數學和科學趨勢研究(Trends in International Mathematics and Science Study)的題型有：選擇題(multiple-choice)和建構反應題(constructed-response)。大學入學考試的指定考試科目考試，其題型有：選擇題（單選題、多選題）、選填題及非選擇題。由以上各種測驗所使用的題型，可以大致將測驗中試題的題型分為兩大類型：選擇型試題、補充型試題。選擇型試題能夠評量各種不同程度的學習成果，但卻無法看到解題的歷程，補充型試題則可以藉由解題的過程、提出支持的理由與論. 3.

(12) 證等，瞭解學生的數學語言、推理、反應等能力。參考上述各種題型，將本研究的試題題型界定為是非題、選擇題、配合題、填充題、開放題（計算題、應用題、挑戰題等）五種。（二）. 評量數學內容. 教學上使用最廣的評量為認知測驗中的成就測驗，國內外也有許多測驗於數學評量架構上將評量內容訂定規準： PISA 在數學素養評量中將數學內容領域(mathematics content domains)分為四個部份，分別為改變與關係(Change and relationships)、空間與形狀(Space and shape)、數量(Quantity)、不確定性與資料分析(Uncertainty and data )(OECD ,2010)。 TIMSS(2011)在數學評量架構中將數學科分為兩個向度，數學內容向度 (mathematics content domains)、數學認知向度(mathematics cognitive domains)。數學內容向度是指評量的內容，分為四個部份，分別為數(number)、代數(algebra)、幾何(geometry)、統計(Data and Chance)。數學認知向度是指學生若能正確回應試題，除了熟悉數學內容之外，可能需展現的認知技能，分別為認識(knowing)、應用(applying)、推理(reasoning)。 101 年國民中學學生基本學力測驗試題說明【國民中學學生基本學力測驗推動工作委員會】（民 101）提到數學科之數學評量內容以『國民中小學九年一貫課程綱要』數學領域的能力指標為命題依據，其試題結構之能力分布分為三個部份，分別為記憶與理解、操作與使用、解題與思考。教育部（民 97）於『國民中小學九年一貫課程綱要』數學學習領域提到，其數學內容可分為五大主題，分別為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結。由以上各個測驗對數學內容提出的架構，可以瞭解評量數學內容時，除了評量數學概念之外，也包含評量數學認知的技能。關於認知領域，Bloom et al.(1956) 提出六個認知層次，將認知領域的教學目標可分成知識、理解、應用、分析、綜合與評鑑六個層次。Anderson et al.(2001)修訂 Bloom 教育目標分類，修訂認知的分類為認知歷程向度(cognitive process Dimension)及知識向度(Knowledge Dimension)，其中記憶、瞭解、應用、分析、評鑑與創作為六個認知歷程，事實知識(factual knowledge)、概念知識(conceptural knowledge)、程序知識(procedural knowledge)與後設認知知識(meta-cognitive knowledge)為四個知識向度。 4.

(13) TIMSS(2011)在數學評量架構中將數學認知向度分為認識(knowing)、應用 (applying)、推理(reasoning)三個認知技能。認識可分為（1）回憶；（2）辨認；（3）計算；（4）擷取；（5）測量；（6）分類和排序。應用分為（1）選擇；（2）表徵；（3）模式化(model)；（4）執行；（5）解例行性問題。推理分為（1）分析；（2）一般化；（3）分析綜合；（4）證明；（5）解非例行性問題。（三）. 評量標準. 十二年國民義務教育的免試入學實施方案，在作法與理念上與許多國家所執行的「學校本位評量」(School-Based Assessment)有相似之處，強調以學生為學習主體、提供適性與優質的教育機會，由常模參照轉變為標準參照。澳洲昆士蘭省的課程評量報告(Queensland Curriculum, Assessment and Reporting)指出，昆士蘭省的國中和高中皆採用校本評量，在畢業成績部分，採共識性調節，透過昆士蘭省外部調整校本評量(externally moderated school-based assessment)系統，由受過訓練的教師審查者共同開會，討論各校的課程、評量標準、評量品質等，最後並以隨機抽查學生評量成績，來確認評量方式的合理性與正確性(Queensland Studies Authority, 2010)。國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心發展的『國民中學學生學習成就評量標準』，以下簡稱評量標準，評量標準的構成元素可分為內容標準、表現標準、評分規準與作業示例。數學學習領域的評量標準依據『國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域』將各階段能力指標明確界定出國中階段各年級所需學習的知識範疇，採分年描述。訂定內容標準分為學科主題與學科次主題，表現標準則包括表現等級。以下節錄評量標準（試行版）數學學習領域（2013）：一、內容標準（一）學科主題：分年細目學年規劃之學習內容分為四項主題：數與量、幾何、代數、統計與機率。（二）學科次主題：依據課綱各學年規劃之學習內容，參考教材的章節名稱，再配合教學現場老師的諮詢意見撰寫。二、表現標準（一）表現等級訂為 A-E 五級，其代表意義如下：A 表「優秀」；B 表「良好」； C 表「基本」；D 表「不足」；E 表「落後」。 5.

(14) （二）表現標準的描述以「門檻」概念進行撰寫，為該年級學生學完該章節後，所要達到的最低表現標準為主要考量。（三）表現標準的制定由學科研究員及輔導團老師依照課程綱要之分年細目，先草擬 C 等級的表現標準，再撰寫其他等級表現敘述，草擬的內容經過測驗專家、學科教授及輔導團教師多次討論和修正後，完成初步結果。故表現標準中的表現等級，以 C 等級為基本等級，學生學完該章節後，應該至少能夠處理 C 等級的試題，才能算是達到最低的門檻，若是無法處理 C 等級的試題，可能是在該章節內容的學習上，有落後的情況，需要補救。數學科表現表現標準為例如下表 2-1.1：表 2-1. 1. 國民中學學生學習成就評量數學標準表現等級分類通則. 數學科表現標準 1 A 1.能分析問題，利用所學數學知識與能力，提出支持性的理由. 1.能延伸、應用基本的概念 2 B. 表現等級. 2.能應用所學數學知識與能力解決問題 3 1.能理解基本的數學概念 4. C. 2.能作基本的數學運算 1.能認識簡易的數學概念 5. D E. 2.能作簡易的數學運算 6 未達 D 級. 資料來源：國民中學學生學習成就評量數學學習領域（試行版）（2013） C 等級的表現內容主要描述能理解「基本」的數學概念或處理「基本」的數學運算，其表現內容是學生在該單元學習完畢後，應該習得的內容。B 等級則以「應用」數學知識，以及應用數學能力解決問題。A 等級的表現內容描述要能「分析」問題，利用所學的數學能力提出自己想法的理由，需要較多的數學能力，分 1. 分析問題，利用所學的數學能力提出支持自己想法的理由. 2. 理解課綱中由基本概念延伸的內容與方法. 3. 能應用 C 等級所學到的知識與能力，解決應用問題. 4. 若學不會，會影響國中三年的學習；為學習國中課程不可或缺的基礎知識與能力. 5. 為 C 等級的先備知識. 6. 此運算只是為了解釋簡易的數學概念或國小已學過的概念 6.

(15) 析問題可能包括發展一個適當的數學模式(modelling)，解題後提出支持的理由可能需要數學語言、數學溝通。D 等級的描述則是「認識」簡單的數學概念，以及能作簡單的運算，以簡單為主。研究者欲探討的一元二次方程式主題，其表現等級的詳細敘述如下表：表 2-1. 2. 一元二次方程式主題表現等級敘述. 表現等級 A. B. C. D. E. 1.能分析未知. 1.能利用一元. 1.能利用因式分解來解. 1.能認識一元. 未達. 數量的關係，. 二次方程式的一元二次方程式。. 二次方程式及 D 級. 提出解題方法. 概念解決無法 2.能利用配方法 7解一元. 其解的意義。. 並說明支持性. 直接由題目列二次方程式。. 的理由。. 式的應用問. 3.能利用公式解來解一. 題。. 元二次方程式。 4.能利用判別式判斷一元二次方程式解的性質。 5.能利用一元二次方程式的概念，解決直接由題目列式的應用問題。. 資料來源：國民中學學生學習成就評量數學學習領域（試行版）（2013）. 7. 在 C 等級配方法的練習主要以二次項的係數為 1，一次項的係數為偶數為主。 7.

(16) C 等級為描述認識一元二次方程式的概念、能利用方法解一元二次方程式，屬於基本的數學概念。D 等級為認識一元二次方程式以及解的意義。B 等級能應用一元二次方程式的概念，解決應用問題，此處的應用問題，研究者將其視為問題，不一定挶限於應用問題。A 等級需要能分析未知數量的關係，提出解題方法、策略，並說明支持性的理由。各等級的關鍵動詞：認識、理解、應用、分析，與 Anderson et al.(2001)的認知歷程向度(cognitive process Dimension)的六個認知歷程：記憶、瞭解、應用、分析、評鑑與創作，相似度極高。若思考表現描述中闡述的數學能力，C、D 等級的描述皆提到運算與運用數字和其他符號進行運算的能力有關。A 等級描述中提到「分析未知數的數量關係，提出解題方法」，發展一個解題方法，需要經過一些嘗試，和分析與發展數學模式的能力有關，提出支持性的理由，則是和數學語言、數學溝通的能力有關。. 第二節. 一元二次方程式. 教育部於民國 97 年公布國民中小學九年一貫課程綱要，詳細列出各年級的能力指標，有關「一元二次方程式」的學習，安排在國中八年級的課程中，詳細的分年細目與能力指標內容共有四項，如下表 2-2.1：表 2-2. 1. 分年細目 8-a-09. 一元二次方程式分年細目與能力指標. 能力指標 A-4-06. 內容能在具體情境中認識一元二次方程式，並理解其解的意義。. A-4-16. 8-a-10. A-4-16. 能利用因式分解來解一元二次方程式。. 8-a-11. A-4-16. 能利用配方法解一元二次方程式。. 8-a-12. A-4-16. 能利用一元二次方程式解應用問題。. 資料來源：國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域（教育部，民 97）由上表可以瞭解一元二次方程式的概念內容包含：一元二次方程式的意義、一元二次方程式解的意義、因式分解法解一元二次方程式、配方法解一元二次方程式。8-a-12 則是描述應用一元二次方程式的概念解應用問題。洪有情（2004）於九年一貫暫行綱要之一元二次方程式能力指標詮釋研究中，對一元二次方程式提出概念分析，分析暫行綱要中能力指標 A-4-11「能利用配方 8.

(17) 法或十字交乘法解一元二次方程式」之概念包含以下幾項： 1.能利用圖形表徵具體操作因式分解一元二次式。 2.認識一元二次方程式及其解的意義。 3.知道「若 ab = 0 則 a = 0 或 b = 0 」。 4.能利用因式分解法（含提出公因式、十字交乘法、乘法公式）解一元二次方程式。 5.能解 x 2 = b ， b ≥ 0 。 6.能利用圖形表徵具體操作理解配方法原理。. a a 7.知道 x 2 ± ax 加上 ( ) 2 後能配成 ( x ± ) 2 。 2 2 8.能解 ( x ± a ) 2 = b, b ≥ 0 , b ≥ 0 的一元二次方程式。 9.能利用配方法解一元二次方程式。由此分析可知，利用配方法或十字交乘法解一元二次方程式的過程中，包含許多概念，如因式分解法的概念（若 ab = 0 則 a = 0 或 b = 0 ）、解平方根與將多項式配成完全平方式等。一元二次方程式相關研究：陳宏岳（2006）認為學生學完一元二次方程式之後需具備的數學能力，包含有：能解決日常生活的相關問題；會解高次方程式，二次不等式；計算能力；能夠將生活上的問題用方程式列出來；能利用各種因式分解的分法找出問題的解；數學語言的理解能力；分析能力；拆解數學結構的能力、邏輯推理能力、符號理解能力。李家豪（2008）認為學生在「配方法解一元二次方程式」的另有概念主要計有：多項式和方程式混淆；忽略一元二次多項式中 x 項係數可以為婦，可利用差的平方公式進行配方；平方根概念有誤，只取正平方根，不取負平方根；誤用十字交乘法無法求出解；和（差）的平方公式概念有誤，無法正確配成完全平方式。解一元二次方程式包含許多概念，包括先備知識平方根、平方差公式、和或差的平方公式與十字交乘法等等，一元二次方程式與日常生活問題結合，也能評測學生數學語言能力與邏輯推理能力等等數學能力。. 9.

(18) 第參章. 研究方法. 第一節. 研究架構. 本研究的研究架構是依據研究目的所發展出來的，架構圖如下圖 3-1.1，本研究在分析時分為三個部分，第一部分從試卷各種試題的題型，看題型在單份試卷中的分配比例，第二部分分析試題評測哪些一元二次方程式主題，將試卷中的試題依照評測的一元二次方程式主題（參考附錄一）給予主題編碼，第三部分分析一元二次方程式主題的試題，其能夠評測的表現等級為何，採用國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心發展的『國民中學學生學習成就評量』之表現等級作為分類的依據（參考附錄二）。. 試卷. 試題題型. 一元二次方程式主題. 表現等級. 是非題. 1. 選擇題. 2. A B C D E. 配合題. 3 .... 填充題計算題. 71 72 圖 3-1. 1. 研究架構圖. 本研究關注一元二次方程式主題在試卷中的評測情況，而此一元二次方程式主題的形成，首先以國中九年一貫課程綱要（97 年），國民中學補救教學基本學習內容（數學學習領域），市佔率高的課本、習作，參考書籍等為藍本，作為一元二次方程式主題的主要大綱，進行資料分析時，再以試卷中的試題類型修改大綱，加入、刪減大綱中的一元二次方程式主題，最後經由焦點團體討論後確定各個主題。 10.

(19) 研究者將本研究依據主題與主題之間相似的性質，分為 16 個子類別，即定義與表徵、方程式的解、因式分解法的概念、提公因式、和或差的平方公式、平方差公式、十字交乘法、平方根、完全平方式、配方法、公式解、判別式、情境轉化、依真實世界判斷解、一元二次方程式的根與係數、延伸，其主題編號和子類別的搭配如下表。表 3-1. 1. 一元二次方程式主題編號與子類別搭配表. 主題子類別. 主題編號. 定義與表徵. 1. 方程式的解. 2~4. 因式分解法的概念. 5,6. 提公因式法. 7~11. 和或差的平方公式. 12~16. 平方差公式. 17~20. 十字交乘法. 21~26. 平方根. 27~32. 完全平方式. 33~38. 配方法. 39~49. 公式解. 50~56. 判別式. 57~62. 情境轉化. 63,64. 依真實世界判斷解. 65. 一元二次方程式的根與係數. 66,67. 延伸. 68~72. 第二節. 研究方法與研究設計. 根據本研究目的，探討一元二次方程式的段考試題題型、其試題評測的一元二次方程式主題與試題評測的表現等級，將本研究定位為應用型研究(applied research)。從段考試題題型的分布，探討各直轄市試題題型分布情形，再探討一元二次方程式試題評測哪些主題，以及試題評測的表現等級分布情形為何。 11.

(20) 本研究採用內容分析法(content analysis)，樣本資料來源為臺北市、新北市、臺南市與高雄市 101 學年度上學期的第三次段考試卷，分析方法以量的分析為主，將試卷中的試題題型、試題評測的一元二次方程式主題、試題評測的表現等級，給予編碼和分類後，採用統計方法獲得量化的數據，以此量化資料作為主要分析的依據，並以試題的質性資料為輔，作客觀的分析與報導。為確定保有編碼者間信度(intercoder reliability)，除研究者外，另有一位碩士班研究生同學共同編碼。1254 題中，兩人的編碼有 29 題不同，不同的比例為 0.71%。不同編碼的部分經過詢問焦點團體中的第三人，修改成相同編碼；部分仍維持不同編碼，因該類試題為適用不同主題求解之試題，故仍保留，且在編碼時加註紀錄，將在第四章第四節研究結果中做進一步的整理與探討。. 第三節. 研究對象. 本研究以臺北市、新北市、臺南市與高雄市，共四個都會區直轄市學校八年級上學期第三次段考區（期末考）試卷為母群；研究對象為隨機抽樣的 60 所國中的八年級上學期第三次段考（期末考）試卷共 60 份。依據 100 學年各縣市國中概況統計，見下表 3-3.1，選取這四個直轄市的原因是這四個直轄市的學校數佔全國百分比中的多數，且其中兩個直轄市為北部縣市，另兩個為南部縣市，可以探討南部與北部的異同，故抽取北部學校 30 所及南部學校 30 所作為樣本，依下表學校數的比例，使用亂數表法隨機抽樣新北市 16 所，臺北市 14 所，台南市 13 所，高雄市 17 所。. 12.

(21) 表 3-3. 1. 縣. 100 學年各縣市國中概況統計. 校數. 市. 所. 總計 (總平均). %. 742 100.00. 新北市. 66. 8.89. 臺北市. 62. 8.36. 臺中市. 72. 9.70. 臺南市. 60. 8.09. 高雄市. 79. 10.65. 宜蘭縣. 25. 3.37. 桃園縣. 57. 7.68. 新竹縣. 29. 3.91. 苗栗縣. 31. 4.18. 彰化縣. 37. 4.99. 南投縣. 32. 4.31. 雲林縣. 32. 4.31. 嘉義縣. 23. 3.10. 屏東縣. 35. 4.72. 臺東縣. 22. 2.96. 花蓮縣. 23. 3.10. 澎湖縣. 14. 1.89. 基隆市. 12. 1.62. 新竹市. 13. 1.75. 嘉義市. 8. 1.08. 金門縣. 5. 0.67. 連江縣 5 資料來源：修改自教育部統計處（民 101）。. 0.67. 隨機抽樣的學校若無將段考試題上載至學校網站，或樣本有取得上的困難，則再使用亂數表隨機抽樣，以遞補方式抽取其他學校，直到蒐集的試卷數量達到樣本數為止。故此 60 份試卷，皆為網路上公布或學校老師願意提供的試卷。. 13.

(22) 第四節. 研究工具. 本研究所使用的工具為一元二次方程式主題（參考附錄一），此一元二次方程式主題的產生乃依據國中九年一貫課程綱要（97 年），國民中學補救教學基本學習內容（數學學習領域），市佔率高的課本、習作，參考書籍，作為一元二次方程式主題的大綱，進行試卷資料分析時，再以試卷中的試題類型修改大綱，加入、刪減大綱中一元二次方程式的主題，最後經由焦點團體討論後確定各個主題，並以此一元二次方程式主題作為編碼時的依據。在一元二次方程式主題中，對於各個主題的描述，研究者選擇如何能使讀者快速抓取該主題的意思，故有時以能力的形式描述，有時則以內容的形式描述。本研究所使用的另一個研究工具為國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心發展的『國民中學學生學習成就評量標準』之表現等級，其中，一元二次方程式的表現等級敘述如下表，研究者以此表作為表現等級的分類依據。表 3-3. 2. 一元二次方程式表現等級. 表現等級 A. B. C. D. E. 1.能分析未知. 1.能利用一元. 1.能利用因式分解來解. 1.能認識一元. 未達. 數量的關係，. 二次方程式的一元二次方程式。. 二次方程式及 D 級. 提出解題方法. 概念解決無法 2.能利用配方法 8解一元. 其解的意義。. 並說明支持性. 直接由題目列二次方程式。. 的理由。. 式的應用問. 3.能利用公式解來解一. 題。. 元二次方程式。 4.能利用判別式判斷一元二次方程式解的性質。 5.能利用一元二次方程式的概念，解決直接由題目列式的應用問題。. 8. 在 C 等級配方法的練習主要以二次項的係數為 1，一次項的係數為偶數為主。 14.

(23) 第五節. 研究步驟. 本研究的實施步驟有三個階段：準備階段、樣本蒐集階段、資料分析與論文撰寫階段。（一）. 準備階段. 1.瀏覽各版本國中課本、習作教材內容與相關文獻，搜尋感興趣之研究主題。 2.確立研究主題後，與專家共同擬定研究方向，並經討論聚焦出研究目的。 3.依據研究目的設計研究工具，在過程中常與專家、教師、研究伙伴討論，以修正研究工具的內容與確認其適當性。 4.尋找適當的抽樣時機，以隨機抽樣取得樣本，並確認是否有取得上的困難。（二）. 樣本搜集階段. 依比例確定臺北市、新北市、臺南市與高雄市的樣本數量後，以亂數表法隨機抽樣，隨機抽樣的學校段考試卷若有取得上的困難，則以遞補方式抽取其他學校，直到蒐集試卷數達到樣本數為止。故此 60 份試卷，皆為網路上公布或學校老師願意提供的試卷，代表該學校用以開放的態度面對總結性評量。（三）. 資料分析與論文撰寫階段. 1.將蒐集的試卷進行量的分析，將試卷中試題依題型進行歸類，以得到各直轄市題型的分布比例、各直轄市平均評測題數等數據。 2.將一元二次方程式試題依評測主題進行編碼，編碼過程中依試題的不同類型、先解題再探討解的過程中，使用哪些一元二次方程式主題、亦或是不同解法中，哪個主題才是段考試題想評測的主題，在資料分析的歷程中，多次與專家及研究伙伴討論各個一元二次方程式主題是否適合作為一元二次方程式主題，並修改各個一元二次方程式主題敘述，以確保其完整性。將整份一元二次方程式主題做適當的增加或刪去，最後確定一元二次方程式主題，將各個試題評測的主題歸類後得到量化的統計資料，以此數據分析哪些主題是段考題中較常評測的主題。 3.將評測一元二次方程式主題的試題依其能夠評測的表現等級進行歸類，統整後得到各直轄市評測的表現等級分布比例。資料分析的過程中，將量化的統計資料搭配質性的試題資料，作更具結構性的分析與報導。以下為研究過程的流程圖：. 15.

(24) 閱讀文獻和相關資料. 確立研究主題、與專家討論擬定研究方向. 討論、修改設計研究工具. 反省、思考實作. 選擇適合的抽樣時間，並以隨機抽樣取得樣本. 將樣本進行編碼歸類，將編碼結果進行量化統計. 資料分析. 論文撰寫圖 3-5. 1. 研究過程流程圖. 第六節. 研究限制. 1.本研究僅以臺北市、新北市、臺南市與高雄市四個都會區直轄市為母體，無採取全國抽樣，研究結果可能無法推廣到全國或非都會區的八年級一元二次方程式章節之段考試題的實際情況。 2.本研究樣本為隨機抽樣，但若樣本有取得上的困難，研究者使用亂數表隨機抽樣，以遞補方式補足樣本，所以試題來源多為網路上公布或學校老師願意提供的試卷，對於大多數未上載段考試題至網路及無法取得試題的學校，則無法瞭解其總結性評量的狀況。 3.本研究在編碼時，只意圖「揣測」教師出題可能評測的主題，在部分分類上，當一個試題可能評測兩個主題時，編碼者參考焦點團體的討論與有經驗的教學現場老師的意見作為分類的依據。. 16.

(25) 第肆章. 研究結果. 本研究所分析的 60 份試卷中，共包含 1604 題試題，其中有 1254 題是評測一元二次方程式主題的試題，即為本研究所探討的範疇；本章將探討這 60 份試卷中，評測一元二次方程式主題的題型，並分析試題評測了哪些一元二次方程式主題，以及一元二次方程式試題評測的表現等級。. 第一節. 一元二次方程式的試題題型. 60 份試卷中，僅有 2 份試卷為整卷評測一元二次方程式主題，其餘 58 份試卷除了評測一元二次方程式之外，皆評測了一元二次方程式章節的前一章節：多項式的因式分解，另有一份亦涵蓋了一元二次方程式的後續章節：等差數列。故在圖 4-1.1 呈現 60 份試卷評測全部主題（包含了一元二次方程式主題與非一元二次方程式主題）的題數，以及評測一元二次方程式主題的題數。以平均來看，平均單份試卷評測全部主題的題數為 26.7，其中單份試卷最少評測的題數為 18 題，最多評測的題數為 34 題；若只單就一元二次方程式主題來看，平均評測一元二次方程式主題的題數為 20.9，其中單份試卷最少評測 8 題（第二多為 14 題），最多評測 30 題。以中位數來看，單份試卷評測全部主題的題數是 26.5，其中評測一元二次方程式主題的題數佔 20.5，占全部比例的 77.78%，表示一元二次方程式主題在試卷中佔了很高的比例。 40 35 30 25 20 15 10 5 0 題數. 合計(全部主題). 合計(一元二次方程式主題) Min Outlier. 圖 4-1. 1. Max Outlier. Mean. 試卷題數分布. 表 4-1.1 呈現各直轄市平均單份試卷全部主題的題數，以及平均一元二次方 17.

(26) 程式主題佔單份試卷的題數。表 4-1. 1. 直轄市單份試卷平均題數. 直轄市. 試題主題. 是非題. 選擇題. 配合題. 填充題. 開放題. 合計題數. 臺北市. 全部. 0.71. 14.29. 0.07. 7.71. 2.57. 25.36. (14 份平均). 方程式. 0.64. 10.71. 0.07. 6.14. 2.21. 19.79. 新北市. 全部. 0.63. 16.19. 0.19. 6.94. 1.25. 25.19. (16 份平均). 方程式. 0.56. 12.31. 0.19. 5.31. 1.06. 19.44. 臺南市. 全部. 0.00. 10.54. 0.23. 15.15. 2.15. 28.08. (13 份平均). 方程式. 0.00. 8.00. 0.23. 10.77. 1.92. 20.92. 高雄市. 全部. 0.29. 13.65. 0.18. 12.94. 1.24. 28.29. (17 份平均). 方程式. 0.29. 10.82. 0.18. 10.71. 1.18. 23.18. 臺北市的學校平均單份試卷評測的題數為 25.36，其中評測一元二次方程式主題的試題佔 19.79 題。平均單份試卷中，是非題佔 0.71 題，其中評測一元二次方程式主題的題數為 0.64，然而，臺北市試卷中有以是非題作為試題的學校只有 1 所，其餘 13 所學校皆未以是非題作為試題，顯示是非題非臺北市各校段考試題想評測的題型。選擇題平均佔單份試卷的 14.29 題，其中評測一元二次方程式方程式主題的題數為 10.71，平均單份試卷有 3.57 題非評測一元二次方程式主題。配合題平均佔單份試卷的 0.07 題，而評測一元二次方程式方程式主題的題數也僅 0.07，因臺北市以配合題作為評測試題的學校只有 1 所，其餘 13 所學校皆未以配合題作為試題，顯示配合題相較於是非題，更非臺北市段考試題想評測的題型。填充題平均佔單份試卷的 7.71 題，其中評測一元二次方程式方程式主題的題數為 6.14，平均單份試卷有 1.57 題非評測一元二次方程式主題。開放題的平均單份試卷題數為 2.57，其中評測一元二次方程式方程式主題的題數為 2.21，平均單份試卷只有 0.36 題不是評測一元二次方程式主題。臺北市評測開放題的題數較其它直轄市多，可能較注重表達、反應能力。新北市的學校平均單份試卷評測的題數為 25.19，其中評測一元二次方程式主題的試題佔 19.44 題，以題數來說，與臺北市平均評測的題數差不多，平均單份試卷評測全部主題，是非題佔 0.63 題，而評測一元二次方程式主題的題數為 0.56，新北市僅有 1 所學校將是非題作為試題，其餘 15 所皆未以是非題作為試 18.

(27) 題。而以選擇題作為評測題型，平均單份試卷有 16.19 題，其中評測一元二次方程式主題的試題佔 12.31 題，平均單份試卷有 3.88 題不是使用選擇題來評測一元二次方程式主題。配合題平均佔單份試卷的 0.19 題，而評測一元二次方程式方程式主題的題數亦為 0.19，因僅有 1 所學校使用配合題作為試題題型之一，顯示配合題題型在試卷中所佔比例低，為段考題較不使用來評測的題型。填充題平均佔單份試卷的 6.94 題，其中評測一元二次方程式主題的試題佔 5.31 題，平均單份試卷有 1.63 題非評測一元二次方程式主題。開放題平均在單份試卷中佔 1.25 題，其中評測一元二次方程式主題的試題佔 1.06 題，平均單份試卷只有 0.19 題不是評測一元二次方程式主題，故可從數據中發現，新北市平均評測的開放題中，作為評測一元二次方程式主題的題數較高。臺南市平均單份試卷評測全部主題的題數為 28.08，其中評測一元二次方程式主題的試題佔 20.92 題。與臺北次及新北市相比，臺南市平均單份試卷中，是非題佔 0 題，13 所學校中，皆沒有學校以是非題作為段考評測試題，從三個直轄市來看，是非題的確是段考試題中極少使用的評測題型。而臺南市平均單份試卷的評測全部主題的題型中，選擇題平均佔了 10.54 題，相較於臺北市與新北市，數據顯示臺南的學校較少以選擇題作為試題，而其中評測一元二次方程式主題的題數為 8.00，平均單份試卷有 2.54 題不是評測一元二次方程式主題。配合題的平均題數為 0.23 題，然而，也僅有平均 0.23 題為評測一元二次方程式方程式主題，因為僅有 1 所學校以配合題作為試題。填充題平均在單份試卷中佔 15.15 題，相較於臺北市與新北市，臺南市的學校平均以使用填充題作為試題較多，而其中評測一元二次方程式主題的佔 10.77 題，平均單份試卷有 4.38 題不是評測一元二次方程式主題。開放題平均在單份試卷中佔 2.15 題，其中評測一元二次方程式主題的題數為 1.92，平均單份試卷只有 0.23 題不是評測一元二次方程式主題。高雄市平均單份試卷評測全部主題的題數為 28.29，與臺南市的數據較為接近，其中評測一元二次方程式主題的試題佔 23.18 題。平均單份試卷中，是非題佔 0.29 題，評測一元二次方程式方程式主題的題數也為 0.29，因為高雄市以是非題作為試題的學校只有 1 所，其餘 16 所學校皆未以是非題作為試題。選擇題佔 13.65 題，其中評測一元二次方程式主題的試題佔 10.82 題，平均單份試卷有 2.82 題不是評測一元二次方程式主題。平均單份試卷中配合題的題數為 0.18，評測一元二次方程式方程式主題的題數也是 0.18，因為只有 1 所學校以配合題作為 19.

(28) 試題，顯示配合題為高雄市段考題較少使用的評測題型。填充題平均佔單份試卷評測全部主題題數的 12.94 題，其中評測一元二次方程式主題的試題佔 10.71 題，平均單份試卷有 2.24 題不是評測一元二次方程式主題，高雄市的學校平均以選擇題與填充題作為題型的題數較接近的，和前述三市較不同。開放題平均佔單份試卷全部主題題數的 1.24 題，其中評測一元二次方程式主題的試題平均佔 1.18 題，平均單份試卷只有 0.06 題不是評測一元二次方程式主題，儘管題數來看不多，但四個直轄市的開放題中，高雄市使用開放題來評測一元二次方程式主題的題數相較之下較多。表 4-1.2 呈現 60 份試卷中用以評測一元二次方程式主題的各類題型的數量與比例。數據顯示是非題與配合題在全部的試卷中，總共的題數分別為 23 題（1.83%）、10 題（0.80%），是比例最低的兩種題型。在這個章節，多數的學校較不以是非題、配合題作為評測試題，60 所學校中，僅有 3 所學校有在題型中使用是非題，另配合題也僅有 4 所學校評測。表 4-1. 2. 試題主題. 合計 (60 份). 全部. 方程式. 題型的數量與比例. 是非題. 選擇題. 配合題. 填充題. 開放題. 合計題數. 25. 828. 10. 636. 105. 1604. (1.56%). (51.62%). (0.62%). (39.65%). (6.55%). (100.00%). 23. 635. 10. 493. 93. 1254. (1.83%). (50.64%). (0.80%). (39.31%). (7.42%). (100.00%). 表 4-1.2 可以發現，60 份試卷中，評測一元二次方程式主題的題型，比例最高的為選擇題與填充題，分別有 635 題（50.64%）及 493 題（39.31%），相較於是非題或配合題，明顯看出選擇題比例佔了評測題型的題數一半，顯示此題型為多數學校用以評測一元二次方程式主題的主要題型。參閱圖 4-1.2 可看出六十份試卷中選擇題的題數分布狀況，中位數為 10 題，而平均一份試卷評測的題數則為 13.8 題，其中評測一元二次方程式主題的部分，中位數為 8 題，則平均單份試卷題數為 10.6 題；然而，各校評測本章節之選擇題數量分布範圍頗大，最少評測 0 題，最多評測 25 題，單份試卷選擇題所占比例在 0%與 95%之間。. 20.

(29) 35 30 25 20 15 10 5 0 選擇題(全部主題). 選擇題(一元二次方程式主題) Min Outlier. 圖 4-1. 2. Max Outlier. 選擇題題數分布. Mean. 9. 各校評測一元二次方程式主題時，使用填充題的題數分布如圖 4-1.3，60 份試卷中，最多的填充題題數為評測 30 題，最少題數僅僅評測 0 題，評測全部主題的中位數為 12 題，單以一元二次方程式主題的中位數為 8 題，單份試卷所占比例在 0%與 100%之間，分布範圍亦頗大。若以平均的角度來看，平均單份試卷中評測全部主題的題數為 10.6 題，其中評測一元二次方程式主題的部分，平均評測題數則為 8.2 題，故顯示填充題為多數學校用以評測一元二次方程式主題的主要題型之一。 35 30 25 20 15 10 5 0 填充題(全部主題). 填充題(一元二次方程式主題) Min Outlier. 圖 4-1. 3. 9. Max Outlier. 填充題題數分布. 全部主題之選擇題的中位數與四分位數相同，皆為 10 題。 21. Mean.

(30) 60 份試卷中，用以評測一元二次方程式主題的開放題題數，共有 93 題（7.42%），開放題題數分布則如圖 4-1.4 所示；使用開放題題型來評測一元二次方程式的單份試卷，最多評測題數為 6 題，最少評測題數為 0 題，平均單份試卷開放題所占比例在 0%與 26.09%之間。若以平均評測試題題數，開放題在評測全部主題的平均題數為 1.75 題，其中評測一元二次方程式主題的平均題數為 1.55 題。開放題能夠評測學生處理、使用數學語言的能力(ability to deal with and manage mathematical language; Niss, 2003)，但開放題不論是全部主題抑或一元二次方程式主題，其中位數皆為 0 題，也顯示了至少有一半以上的學校並沒有以開放題的題型來評測一元二次方程式主題，一個可能的原因是國民中學學生基本學力測驗不評測開放題的題型，故學校於總結性評量時，評測的試題可能比較不以開放題的題型為主。 8 7 6 5 4 3 2 1 0 開放題(全部主題). 開放題(一元二次方程式主題) Min Outlier. 圖 4-1. 4. Max Outlier. 開放題題數分布. Mean. 10. 在表 4-1.3 呈現，各直轄市用以評測一元二次方程式主題之各類題型的比例分布，四個直轄市中，高雄市平均在單份試卷評測一元二次方程式主題的比例最高，其比例為 82.03%，其次是臺北市，其比例為 78.43%，第三則為新北市，其比例為 73.82%，臺南市則四個直轄市中最低的，比例為 73.82%。. 10. 全部主題與一元二次方程式主題之開放題的中位數與四分位數相同，皆為 0 題。 22.

(31) 直轄市臺北市 (14 份) 新北市 (16 份) 臺南市 (13 份) 高雄市 (17 份). 表 4-1. 3. 一元二次方程式主題的題型比例. 比例. 是非題. 選擇題. 配合題. 填充題. 開放題. 合計. 各校平均. 2.14%. 41.53%. 0.29%. 25.36%. 9.11%. 78.43%. 最小比例. 0.00%. 0.00%. 0.00%. 0.00%. 0.00%. 最大比例. 30.00%. 76.00%. 4.00%. 60.87%. 26.09%. 各校平均. 1.65%. 49.01%. 0.65%. 21.64%. 3.99%. 最小比例. 0.00%. 11.76%. 0.00%. 0.00%. 0.00%. 最大比例. 26.47%. 88.00%. 10.34%. 55.00%. 13.79%. 各校平均. 0.00%. 28.29%. 0.82%. 37.91%. 6.80%. 最小比例. 0.00%. 12.50%. 0.00%. 10.71%. 0.00%. 最大比例. 0.00%. 40.63%. 10.71%. 61.29%. 16.00%. 各校平均. 0.89%. 38.33%. 0.53%. 37.70%. 4.57%. 最小比例. 0.00%. 0.00%. 0.00%. 0.00%. 0.00%. 最大比例. 15.15%. 95.00%. 9.09%. 76.95%. 73.82%. 82.03%. 100.00% 23.08%. 臺北市的學校評測一元二次方程式主題時，平均以選擇題的比例最高，有 41.53%，單份試卷選擇題所占比例在 0.00%～76.00%之間，次高的為填充題，有 25.36%，單份試卷填充題所占比例在 0.00%～60.87%之間，第三高為開放題，其比例為 9.11%，單份試卷開放題所占比例在 0.00%～26.09%之間，與次高的題型已有一段落差，是非題與配合題的比例則偏低，平均單份試卷僅有 2.14%與 0.29%。與臺北市相同，新北市的學校評測一元二次方程式主題時，平均以選擇題的比例最高，次高的為填充題，其比例分別為 49.01%、21.64%，單份試卷選擇題所占比例在 0.11～0.88%之間，填充題則是在 0.00%～0.55%之間，相較於選擇題與填充題，開放題則相對低很多，平均單份試卷所占比例為 3.99%，是非題、配合題也是相對較低，平均單份試卷所占比例為 1.65%、0.65%。與臺北市、新北市不同，臺南市的學校評測一元二次方程式主題時，平均以填充題為比例最高的題型，其比例為 37.91%，單份試卷填充題所占比例在 10.71% ～61.29%之間，次高的為選擇題，其比例為 28.29%，單份試卷選擇題所占比例在 12.50%～40.63%之間，第三高為開放題，其比例為 6.80%，單份試卷開放題所占比例介於 0.00%～16.00%之間，配合題與是非題的比例都偏低，平均單份試卷所占比例僅有 0.82%與 0.00%，臺南市的學校是四個直轄市中，唯一沒有評測. 23.

(32) 是非題的直轄市。高雄市又與前述三市不同，高雄市的學校評測一元二次方程式主題時，以選擇題、填充題比例較高，其比例為 38.33%、37.70%，單份試卷選擇題所占比例在 0.00～0.95%之間，單份試卷填充題所占比例則是在 0.00%～100.00%之間，兩者比例的差距不若前述三市大，第三高為開放題，其比例為 4.57%，單份試卷開放題所占比例介於 0.00%～23.08%之間，是非題與配合題的比例偏低，平均單份試卷所占比例為 0.89%與 0.53%。. 24.

(33) 第二節. 一元二次方程式主題的評測題數. 本研究將一元二次方程式章節的數學內容分為 72 個主題，此 72 個主題的產生乃依據國中九年一貫課程綱要（97 年），市佔率高的課本、習作及參考書籍作為藍本，再分析試卷中的試題類型，將此藍本大綱細分為 72 個細項，即本研究所稱一元二次方程式「主題」，最後經由焦點團體討論後確定。本研究又將這 72 個主題依據主題之間相似的性質，分為 16 個主題子類別，即定義與表徵、方程式的解、因式分解法的概念、提公因式、和或差的平方公式、平方差公式、十字交乘法、平方根、完全平方式、配方法、公式解、判別式、情境轉化、依真實世界判斷解、一元二次方程式的根與係數以及延伸，如表 4-2.1 所示。若兩個以上子類別有相似的性質，歸為同一主題類別，共分為以下 5 個類別：基礎概念、因式分解法解方程式、配方過程、方程式解的公式過程以及應用。其關係如下表所示。表 4-2. 1. 一元二次方程式主題編號與類別搭配表. 主題類別. 基礎概念. 因式分解法解方程式. 配方過程. 方程式解的公式過程. 應用. 主題子類別. 主題編號. 定義與表徵. 1. 方程式的解. 2~4. 因式分解法的概念. 5,6. 提公因式法. 7~11. 和或差的平方公式. 12~16. 平方差公式. 17~20. 十字交乘法. 21~26. 平方根. 27~32. 完全平方式. 33~38. 配方法. 39~49. 公式解. 50~56. 判別式. 57~62. 情境轉化. 63,64. 依真實世界判斷解. 65. 一元二次方程式的根與係數. 66,67. 延伸. 68~72. 25.

(34) 歸類於「延伸」主題子類別的試題，例如：一元二次方程式的步驟偵錯，該類試題同時評測不止一個子類別，且評測主題亦有部分題數包含其它非本章節主題，研究者將這類試題，歸入延伸這個主題子類別。本研究將每題試題依所評測之主題給予編碼。本節將討論各個一元二次方程式主題在試卷中出現的題數分布。在不考慮其他先備知識的情況下，只考慮本研究探討的一元二次方程式主題，將每一題試題評測的主題紀錄下來，針對各主題，統計全部試卷有多少題評測了該主題，本研究稱此題數為該主題的「評測題數」，所有主題評測題數的平均稱為「單一主題平均評測題數」。當一試題同時評測兩個以上的主題，此評測的兩個主題之評測題數便各記為一次，以此類推，統計全部主題的評測題數，得平均評測題數為 26.7 題。圖 4-2.1 呈現每一主題的評測題數，單一主題平均評測題數為 25.4，單一主題評測題數的中位數為 13，由圖中可以發現，單一主題評測題數最多的是依真實世界判斷解中的主題 65，評測題數為 251，其次為十字交乘法中的主題 23，評測題數為 223，第三高為列式中的主題 64，評測題數為 212，第四高為十字交乘法中的主題 24，有 167 題，167 題以上的評測題數皆遠高於其它主題的評測題數，顯示在一元二次方程式章節中，此四個主題的評測題數非常高，推斷為此章節受重視的主題；反之，有 35 個主題低於單一主題評測題數的中位數 13，其評測題數都偏低，例如主題 16，在全部主題評測題數中僅被評測 1 題，相較於低於單一主題平均評測題數但在單一主題評測題數的中位數以上(13～25.4 之間)的另 15 個主題，其受重視的程度顯然更低。另外，單一主題評測題數在 50～100 之間的有 6 個主題（主題 2、6、21、22、30、63），單一主題評測題數在 25.4～ 50 之間的有 12 個主題（主題 1、5、9、11、34、39、47、48、51、59、60、72）。. 26.

(35) 延伸. 一元二次方程式的根與係數. 依真實世界判斷解. 情境轉化. 判別式. 公式解. 配方法. 完全平方式. 平方根. 十字交乘法. 圖 4-2. 1. 平方差公式. 和或差的平方公式. 提公因式法. 因式分解法的概念. 方程式的解. 定義與表徵. 120 260 110 150 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0. 一元二次方程式主題評測題數分布圖. 下圖 4-2.2 呈現各子類別中所有主題之評測題數總和（稱為子類別評測題數），子類別評測題數最多的是十字交乘法，該子類別評測題數為 560 題，高於第二高的情境轉化的 298 題甚多，顯示十字交乘法子類別備受重視。子類別評測題數有超過 100 題的依序為依真實情境判斷解、配方法、判別式、方程式的解以及提公因式法，其子類別評測題數分別為 251、190、 147、120 以及 113 題；另外，平方根、因式分解法的概念、公式解以及完全平方式，這四個子類別的子類別評測題數低於 100，但至少還有 61 題以上；定義與表徵、延伸、一元二次方程式的根與係數、平方差公式、和或差的平方公式，這五個子類別，其評測子類別題數皆未達 50 題，顯示這五個子類別受重視程度低。. 27.

(36) 類別. 基礎概念. 因式分解法解方程式. 方程式. 配方過程. 應用. 解的公式過程. 560. 600 500 400 題 300 數 200 100. 190 48. 120 95 113 26. 251. 147 80. 61. 28. 41 延伸. 一元二次方程式的根與係數. 依真實世界判斷解. 情境轉化. 判別式. 公式解. 配方法. 完全平方式. 平方根. （一）. 十字交乘法. 圖 4-2. 2. 97. 37 平方差公式. 和或差的平方公式. 提公因式法. 因式分解法的概念. 方程式的解. 定義與表徵. 0. 298. 主題子類別評測題數分布圖. 基礎概念. 基礎概念這個類別中，可以分為三個子類別，分別是定義與表徵、方程式的解、因式分解法的概念，主題 1 至主題 6 都包含在基礎概念中。 1.. 定義與表徵下圖 4-2.3 呈現評測主題 1 的主題評測題數，共有 48 題，單一主題平均評測. 題數為 25.4，故 48 題屬於偏高的評測題數，且 48 題中有 41 題的試題，只評測一個主題（主題 1），顯示第 1 個主題相當受到重視，各校在總結性評量時出題也有評測基礎的試題。. 28.

(37) 主題定 1.一元二次方程式的定義與表徵。. 60. 義與. 40 題數 20. 表. 0. 48. 1. 徵. 主題. 圖 4-2. 3. 定義與表徵評測題數分布. 評測主題 1 的試題，以 20201 這題為例：下列何者不是一元二次方程式？ (A) x 2 + 2 = 0 (B) y 2 + = 1 2 y2 − y (C) x( x − 3) = ( x + 3)( x − 5) (D) 3 x 2 − 4 x = −4 x 2 − 2 在一元二次方程式中，定義與表徵是認識一元二次方程式的第一個步驟，試題評測一元二次方程式的定義與表徵時，不一定會直接以標準型 ax 2 + bx + c = 0 呈現，而是以變形的形式呈現，如：一次項、常數可以為 0、以其它符號表徵一元二次方程式，或是要先經過化簡才能得到 ax 2 + bx + c = 0 的形式。 2. 方程式的解下圖 4-2.4 呈現評測主題 2～4 的評測題數，在方程式的解這個子類別中，主題 2 的評測題數有 89 題，高於單一主題平均評測題數 25.4 許多，表示不論是否屬於方程式的解此子類別，89 題亦為偏高的題數，主題 3 在此這個類別中重要性便顯得比主題 2 來的低，其主題評測題數為 24 題，略低於單一主題平均評測題數 25.4，主題 4 在這個子類別中，則更不受重視，評測題數僅 7 題，與其他子類別主題的評測題數相比，評測題數也顯偏低。. 29.

(38) 主題方 2.一元二次方程式解的意義。. 100. 程 3.一元二次方程式一根已知下，代入根求式未知的係數。. 題數. 89. 50. 24. 7. 0. 的 4.兩個一元二次方程式係數成比例時，有. 2. 3. 4. 主題. 解相同的解。圖 4-2. 4. 方程式的解評測題數分布. 評測主題 2 的試題，以 10602 這題為例：下列敘述何者正確？ (A)3 是 ( x − 3)(2 x − 1) = 1 的一個解 3 (B) 是 (3 x − 2)(2 x + 3) = 0 的一個解 2. (C) −1 是 x 2 + 3 x + 2 = 0 的一個解 (D) −2 是 x( x + 3) = 2 的一個解主題 2 評測的主題為若一個解為一元二次方程式的解，將解代入方程式會使等號兩邊相等。由此一元二次方程式題目呈現的形式可以發現，試題仍需要經過化簡，才能得到 ax 2 + bx + c = 0 的標準形式，也同時評測學生的計算能力。與主題 2 有些相似，主題 3 評測一元二次方程式一根已知下，代入求未知的係數。其試題如 30301：. 0 的一根，則 p 的值為何？ x = 1 是一元二次方程式 x 2 + 4 x − p = 因為已知方程式的根，由一元二次方程式解的意義可以知道，將 x = 1 代入方程式，會使得等號成立，然而，代入方程式的解會讓方程式只剩下未知數 p，故可求出未知數 p 的值，利用解的意義是主題 2、3 相同之處，主題 3 與主題 2 不同之處在於，評測主題 3 的試題，著重在求出方程式中未知的數。然而，這樣的試題也可以利用根與係數的關係求解，但教學現場中，老師未必教授一元二次方程式根與係數觀念，所以利用解的意義代入方程式的解即可，也是教學中較常採用的方式。 3. 因式分解法的概念圖 4-2.5 呈現評測主題 5、6 的評測題數，在因式分解法的概念子類別中，兩 30.

(39) 個主題的評測題數都高於單一主題平均評測題數 25.4，評測主題 5 的評測題數有 40 題，評測主題 6 的評測題數則是 55 題，相較其它子類別主題的評測題數，主題 5、6 的評測題數皆為偏高，顯示其皆受到重視。主題因. 5.以因式分解的方式解一元二次方程. 式. 式。. 50. 分. 6.兩根為 α , β 之 x 的一元二次方程式. 40. 解. 為 ( x − α )( x − β ) = 0 。 11. 55. 60 40. 題 30 數 20. 法. 10. 的. 0 5. 概. 6 主題. 念圖 4-2. 5. 因式分解法的概念評測題數分布. 評測主題 5 的試題，以 30604 這題為例：解下列一元二次方程式： ( x − 2)( x + 11) = 0 ，則 x = _______。使用因式分解的方式解一元二次方程式這個主題，在這個章節為重要的概念，評測主題 5 的題目，其一元二次方程式不以標準型 ax 2 + bx + c = 0 呈現，而以兩個一次式相乘的因式分解形式呈現，學生若瞭解 A ⋅ B = 0 ，則 A = 0 或 B = 0 ，即可求出方程式的解。評測主題 6 試題，以 40206 為例：以 2、 −3 為兩根的一元二次方程式為__________。主題 6 評測將方程式的兩根寫成兩個一次式相乘，經過展開化簡，進而得到以兩根為解的一元二次方程式。主題 6 也常以下題 20709 的類型作為評測試題：. 0 的解為 4 和 −3 ，則 m + n = 已知方程式 mx 2 + x + n = ? 儘管此題可將解帶入方程式中，解聯立方程式而得到未知數的答案，但此題應為評測學生是否能將方程式的解寫成兩個一次式相乘，再經展開化簡、與原方程式. 11. 課本並無一元二次方程式根與係數的關係，研究者於編碼時已加註，在第四章第四節中討論。 31.

(40) 比較係數得到一元二次方程式。而此題也能以根與係數的關係求得未知數，但考慮教學現場中，一元二次方程式根與係數並未收錄在課本，且利用因式分解法的概念求解，是教學中較常採用的方式，故研究者將此類試題歸為評測主題 6，編碼時已加註，將在第四節中探討。（二）. 因式分解法解方程式. 因式方解法解方程式這個類別中，可以分為四個子類別，分別是提公因式法、和或差的平方公式、平方差公式、十字交乘法，主題 7～26 皆屬於此類別中。 1.. 提公因式法提公因式法是因式分解法解方程式中的子類別，在方程式中若有相同的因. 式，可將此公因式提出，使得一元二次方程式變成兩個一次因式相乘，即可求解。在提公因式法這個子類別中，各主題被評測的評測題數如下圖 4-2.6，由下圖可以發現，主題 9 是評測題數最多的主題，有 50 題，其次為主題 11，評測題數為 33 題，此兩主題皆高於平均單一主題評測題數 25.4，主題 8 則是這個子類別中最不受重視的主題，評測題數只有 4 題，另外，主題 7、10 評測題數與平均單一主題評測題數的 25.4 相比，題數依舊偏少。主題 7.利用提公因式法解型如 ax 2 + bx = 0. 提公. (a, b ∈ ) 型式之一元二次方程式。. 60. 8.利用提公因式法解先化簡成整係數. 50. 再求解之一元二次方程式。. 40. 9.利用提公因式法解先移項化簡再求因. 式 10.利用提公因式法解先展開化簡再. 33. 題 30 數 20. 解之一元二次方程式。. 50. 13. 10. 4. 0. 法求解之一元二次方程式。. 7. 8. 9 主題. 11.利用提公因式法解提公因式 ( ax + b )之一元二次方程式。圖 4-2. 6. 12. 提公因式法評測題數分布. 以下舉例提公因式法中的試題，主題 9 以 10812 為例：求出下列各式的解 44 x = 88 x 2 32. 10. 11.