面積概念及其實證研究

本節呈現面積概念的相關理論，及蒐集探討面積教學的相關研究，並整理其 內容，作為本研究課程設計及實驗教學的參考。

一、面積概念發展

面積是指「某一特定的封閉區域，能被覆蓋的範圍大小，是種二維關係。」，

進行面積教學之前，通常會指導圖形的辨認，進而予以面積的計算方式。面積概 念的發展得先形成保留概念，再建立測量的概念，最後能夠具有估測的概念。而 測量概念須在具有保留概念後再進行教學才有意義（譚寧君，1995）。可見進行 面積教學時，在課程的安排上必須依照上述面積概念發展的情形，才能產生有意 義的學習。

（一）保留概念

瑞士心理學家Piaget,Inhelder and Szeminska（1960）在兒童的幾何概念發展 研究中，指出面積保留概念乃指兒童認知物件經過某種轉換後其面積依然保持不 變的能力。因此保留概念指的是物體不會因方向、位置、切割的改變，而有不同 的變化，為一抽象的學習概念，需要透過許多學習經驗的累積，才能夠逐漸建立。

此部分的發展是持續不停的成長過程，並非是一蹴可幾的（譚寧君，1998）。然 而，「面積保留概念」是學童學習面積概念極重要的基礎，也是學習其他相關數 學概念相當重要的一環（王欽麟，2002）。綜合上述，保留概念的發展有助於學 童思考具概念化，不易受外界影響，較能處理更複雜的問題，如等積異形的代表 性概念。

（二）測量概念

面積的測量概念有三部份，分別為（譚寧君，1998）：

1.基本面積概念：

這是採用正方格點數的方式，去測量所給定的面積大小，當點數過程無法湊 成一格時，就形成面積的補償關係，是種「單位數的累加」。

2.單位面積概念：

此時的測量為同一圖形面積，透過不同單位量的覆蓋或拼湊，而發展出不同 的單位量的應用。即一長為8公分寬為3公分的長方形，可透過不同大小的正方格 去覆蓋，而出現因單位量的不同，所以會有不同的單位數，是種「單位量的比較」。

3.直線測量面積概念：

直線測量方式跟之前透過點數、拼湊的方式完全不同，此概念還包括乘法的 觀念，屬於較為抽象的學習層次，也就是一般最終的面積算法---公式的使用。據 友直線測量概念雖然會使面積計算方便、快速，但往往也是容易產生迷思概念之 處，此部分於後再持續討論。

（三）面積估測概念

測量除了實測之外，量感的培養更是教師教學的重點，因此面積的估測在課 程安排上是不可或缺的，如請學童猜一猜黑板可以擺滿幾張色紙？然後教師再實 際用色紙去檢驗出答案，這種先讓學童猜測在檢驗的活動，是可以培養學童面積 估測能力，進而應用至生活。

二、面積的迷思概念

迷思概念（misconception）意指學童在學習時，因某些因素對某些事情或現 象產生錯誤的解釋、想法，而自己未發覺或不認為有此錯誤概念。迷思概念是思 考上下了錯誤的判斷而形成，也是造成學童產生學習障礙的最大原因（陳鉪逸，

1996）。教學者在進行新概念的教學時，學童的舊概念甚至會影響新概念的學習，

進一步產生混淆，變成迷思概念。在陳志遠（2010）研究中指出國小五年級學童 雖已在四年級學過面積的概念，於施行面積教學後，仍有部分學童存在面積與周 長間的關係、面積公式使用錯誤之迷思概念，及估測困難之迷思概念。因此教學 者必須先了解學童易產生的迷思概念，於教學進行時將概念清楚定義，並指出易 混淆之處，讓學童透過比較，避免錯誤概念的產生，在編製學習成就試卷時，亦 可依據迷思概念設計測驗題目，以測得學童概念的清晰程度，作為教師補救教學 之用，讓學童達到有意義的學習，教師達到有效教學。

三、面積教學相關研究

（一）面積概念的教學

根據九年一貫數學領域課程綱要，國小學童於小學畢業前要理解面積的計 算，並將面積概念歸為五大主題中的「數與量」和「幾何」主題，更於 92 正綱

能力指標中明確表示第三學習階段的學童，也就是國小五、六年級學童要「能運 用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(S-3-06)」。由上一 節教材分析中可知，九年一貫數學領域課程綱要中，面積的學習內容占有一定的 分量，可見教師應熟悉概念的傳遞，讓學童在面積課程的加深加廣之中，不至於 出現銜接上的困難。

九年一貫課程中，量與實測是國小數學的核心課程之一，教學中的量包含長 度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量。其中長度、

容量、角度、面積、體積屬於幾何（視覺）量，處理上可以依賴學生的幾何經驗，

比較容易。大致上要經歷下列四個階段：初步概念與直接比較；間接比較與個別 單位；常用單位的約定；常用單位的換算（引自教育部，2003）。

1.初步概念與直接比較：透過感官直接感覺該量，再對兩同類量作直接比 較，最後是量的複製，包括整體複製、合成複製與等量合成複製，這是下一階段 的前置經驗。另外，也包括利用測量工具之刻度直接描述一量。

2.間接比較與個別單位：對無法直接比較的兩同類量，能透過媒介量，分別 作直接比較，並利用比較結果，做出兩量之比較(涉及量的保留概念與量的遞移 律)。能作間接比較，便能使用個別單位作測量。量的保留概念由皮亞傑提出，

他從實驗結果知道，未擁有某類量之保留概念的兒童，對此類量不能進行間接比 較。但教師可透過恰當的教學與溝通，運過皮亞傑「同一性」、「互逆性」與「互 補性」三原則，主動誘發學生早日發展保留概念。

3.常用單位的約定：認識某類量之常用單位，並能運用此單位，作量的比較、

加、減、乘、除。

4.常用單位的換算：在測量時，首先能用大小單位的複名數來描述測量結 果。然後再學習使用單位換算的約定，來進行換算。例：1200 公尺＝1 公里 200 公尺＝1.2 公里。（引自教育部，2003）

在所有量的教學中，除了重視量感的培養，更要學習量的估測。在單位的使 用方面，除了遵守中央標準局的規定，教學者亦可以補充生活常見面積單位，如 公頃、公畝、甲……等，讓數學不再只是門課堂上的科目，而是種存在於生活當 中的能力。

（二）面積概念教學之相關研究

表2-3-1（續）

表2-3-1（續）

陳福正

（2007）

國小六年級 學童

其研究結果發現：

1.學生對於面積公式過於依賴。

2.面積的計算，都存在高的干擾。

3.低成就的學生在點數梯形面積的技巧沒有問 題，甚至解題表現得比套用面積公式還要好，但 應用性不高。

4. 拼湊成平行四邊形再分割出梯形面積，為導 出面積公式常使用的方法。

5.學生若能學會圖形的分割、拼湊等技巧，對於 面積公式的掌握會更加穩定。

由上述文獻可以知道高年級學童具有面積保留概念的比例較高，因此面積課 程大多安排於高年級階段，實屬適合學習的階段，因為具有保留概念為學習梯形 面積極為重要的能力；同時也了解到面積公式的使用不當、高的概念不清、面積 與周長混淆則是學童處理面積問題常出現的錯誤。