面積概念發展的理論基礎

本研究為探討學童梯形面積單元概念，在教學中涉及平行四邊形、三角形、

梯形圖形面積的處理，皆屬幾何形體的範圍，本節針對此點，以兒童幾何認知發 展之相關學習理論進行分析探究。

一、Piaget 認知發展理論

瑞士的教育心理學家 Piaget 的認知發展理論為近代最重要的認知心理學理 論之ㄧ。Piaget 依據他長久觀察兒童的研究中指出，兒童的認知發展分為四個階 段，分別為感覺運動期、前運思期、具體運思期、形式運思期，任何人的成長會 循序漸進依此階段發展，發展的快慢會依文化背景而有差異，發展順序不會改 變。Piaget 對兒童心智活動的解釋，他認為兒童和成人的心智思維不同，隨年齡 而產生的智力發展，不是只表現在對學習知識量的增加，而是兒童在思維方式產 生了質的變化，不同年齡的兒童用不同概念看事物，而有不同的思維方式（張春 興，2008）。

Piaget 將個體用來認識周圍的認知結構稱為基模（schema），個體透過組織

（organization）及不斷同化（assimilation）、調適（accommodation）的過程，維 持平衡（equilibration）與失衡（disequilibrium）的心理狀態，促進個體吸收知識，

進而在認知上依序發展（張春興，2008）。茲將 Piaget 認知發展理論各階段作簡 單說明如表 2-1-1（引自張春興，2008）。

表 2-1-1 Piaget 的認知發展期

期別 年齡 認知特徵

感覺運動期 0~2 歲

1.憑感覺與動作以發揮其基模功能。

2.由本能性的反射動作到目的性的活動。

3.對物體認知具有物體永存概念。

表 2-1-1（續）

前運思期 2~7 歲

1.能使用語言表達概念，但有自我中心傾向。

2.能使用符號代表實物。

3.能思維但不合邏輯，不能見及事物的全面。

具體運思期 7~11 歲

1.能根據具體經驗思維以解決問題。

2.能理解可逆性的道理。

3.能理解守恆的道理。

形式運思期 11 歲以上

1.能做抽象思維。

2.能按假設驗證的科學法則解決問題。

3.能按形式邏輯的法則思維問題。

從上述 Piaget 認知發展理論中知道：本研究的實驗對象的認知發展應屬認知 發展階段中的具體運思期，此階段的學童需要透過具體實物及感官操作進行課程 的學習，甚至有些學童已達形式運思期，能做較為抽象的思考。具體運思期的學 童另外具有守恆概念，此認知特徵在具備面積的保留概念上是很重要的發展，而 學童具有面積保留概念，才能進行面積單元的教學。

二、van Hiele 夫婦幾何概念發展研究

近年來許多研究兒童幾何發展的專家極為重視荷蘭數學教育家 van Hiele 夫 婦提出的幾何概念發展理論，甚至美俄等先進國家進行課程設計時，也以此作為 課程設計之依據。van Hiele 夫婦認為幾何概念的發展分為五個層次，每個層次 皆有其發展特徵，本研究教學的設計亦參考此理論，茲略述如下（劉好，1998a；

van Hiele，1986）：

（一）第 0 層次：視覺期（Visualization）

此發展層次的學童會經由視覺觀察具體物體的輪廓外觀，能使用正式或非正 式名稱來稱呼、分類物體，但無法明確說出其定義，發展特徵為物體外觀的認識，

再造出另一個相同或類似的圖形，可透過感官操作讓學童獲得概念。

（二）第一層次：分析期（Analysis）

此發展層次的學童思考的層面為一整個物體，透過實際操作可以分析其構成 要素及圖形特徵，如能察覺梯形具有一雙對邊平行，但無法進一步解釋各性質間

的關係，，如無法確實說出平行四邊形、長方形、梯形之間的關連性，建議多設 計製作或檢驗圖形的活動，讓學童有更進一步的發展。

（三）第二層次：非形式演繹期(Informal eduction)

此發展層次又稱為關係期（Relation)。在此發展層次的學童能說明圖形定義 的意義，可以掌握圖形的性質、構成要素，進一步探討圖形之間的包含關係，如 長方形是平行四邊形的一種，但不能證明定理的重要性，如可以知道 n 多邊形的 內角和為（n－2）x180 度，但無法證明如何獲得此公式。

（四）第三層次：形式演繹期（Formal Deduction）

此發展層次的學童可以用演繹邏輯證明定理，且有能力去檢驗圖形的各項性 質，可以在一個公設系統中建立幾何理論，且知道證明的方法不是只有一種，甚 至可以理解充分條件或必要條件之間的關係，如，正多邊形中每條邊長相等，每 個角度相等，但每條邊長相等的多邊形並不一定是正多邊形。

（五）第四層次：公理性（Axiomatic）

此發展層次又稱為嚴密性（Rigor）。在此發展層次的學習者可以在不同公設 系統之間建立定理，也能對不同公設系統之間進行分析比較，可以了解抽象幾何 推理，甚至自創新的幾何公設，但能達到此發展層次的人有限，就算是學有專精 的學者也不易達成。

對照上述 van Hiele 夫婦幾何概念發展研究中發現，本研究中之實驗對象大 多已達發展研究中的第一層次：分析期（Analysis），能夠了解並分析圖形的構成 要素，甚至有些學童已達發展研究中的第二層次：非形式演繹期(Informal eduction)，因此教師應於課程設計之前，了解學童之起點行為，配合學童認知幾 何發展層次，設計適當教材，選用合適之教學輔具，讓學童具有較佳的學習成效。

三、Piaget and Inhelder 的兒童幾何發展階段

Piaget and Inhelder（1967）指出兒童內化其對圖形和空間的了解，形成 內在表徵，作為對空間的理解，進而組織操作系統。兒童幾何概念發展是具順序 性，且依年齡增長而漸進出現不同的幾何概念性質，依序為拓樸幾何（Topology）

概念、投影幾何（Projective Geometry）概念、歐基里德幾何（Euclidean Geometry）

概念，說明如下：

（一）拓樸幾何（Topology）概念階段

此階段約出現於三歲六個月~四歲，處於前運思期，兒童僅能掌握拓墣學概 念，只注意圖形的內外及封閉和開放，忽略邊長、大小等相對關係，不要求準確 性，如兒童被要求畫出方形，忽略角度特性卻可畫出具封閉的特性，因而畫出似 圓的形狀，此階段學童思考不具可逆性（王文科，1991）。

（二）投影幾何（Projective Geometry）概念階段

此階段約出現於四歲~七、八歲，處於前運思期到具體運思期的認知發展，

此時期的兒童本身所在的視覺觀點比其他條件占優越的地位，只有經由視覺分辨 肯定的物體，兒童才認為真實存在，其相信自己視覺感受，圖形的定義並非固定，

而是會隨視覺感受而變化，如正方形色紙若改變位置，會依自己所見而認為是菱 形，沒注意到角度不變，圖形不變。此時期兒童僅以視覺觀點描述，缺少對圖形 特徵進行分析（張英傑，2001）。

（三）歐基里德幾何（Euclidean Geometry）概念階段

此階段約出現於五歲以後，兒童已具備保留概念，故已不再受視覺感受影 響，在此時期的兒童才具有對面的大小完整的保留概念。

本研究的實驗對象幾何認知發展已達到歐基里德幾何概念階段，具備長度、

角度、面積的保留概念，因此進行面積教學實屬符合兒童的學習狀態，教師可輔 以具體食物操作以加深兒童學習印象，達到有意義的學習。

四、Vygotsky 認知發展理論

20 世紀初前蘇聯心理學家和教育家的 Vygotsky 也提出認知發展理論，認為 認知發展是經由外化逐漸內化的外鑠歷程（outside-in process），兒童的認知發展 過程是成人經由語言傳遞給兒童，兒童用學得的語言適應環境，最後促成個體的 認知發展。

Vygotsky 認知發展理論主要觀點為：1.重視歷史文化，認為社會文化的差異 會影響兒童認知發展之情形；2.強調語言的重要性，尤其學前兒童的自我中心語 言有助於思維，進而解決問題；3.最近發展區（zone of proximal development,簡 稱 ZPD）理論，這也是特別受到教育心理學家重視的觀點，意指兒童的發展水 準有實際的發展層次和潛在的發展層次，這兩者間的差距即為最近發展區。

兒童可以透過教師力量協助學童從實際發展層次橫跨最近發展區，到達潛在

的發展層次，在此過程中，教師的協助則被 Vygotsky 稱為鷹架（scaffolding），

這也是他所提出學校教育可提升兒童認知發展水準的依據，因此學校教育應特別 重視兒童的最近發展區（張春興，2008）。

所以教學者進行新單元教學之前，可參考學童的舊經驗，選用合宜的教學輔 具或教學法，設計符合學童的課程進行教學，才能讓學童透過鷹架教學，進而達 到學習成效的最大發展區。而本研究使用的教學輔具－互動式電子白板，除了能 提供傳統黑板的書寫功能，亦具備多媒體、網路資源功能，讓學童對於知識的攝 取更加多元化，具有鷹架教學工具之特性。