數學文字題解題之理論及其相關研究

文字題（word problem）常稱為應用問題，在數學學習與符號表徵中，是很重 要的練習題型。因此文字題的教學從小學開始便普遍存在於數學課程、教材當中

（古明峰，1998）。透過數學文字題，學生得以運用計算能力於各個情境的機會，

所以數學文字題又稱為「情境題」（李貞慧、葉啟村，2003）。許多研究（秦麗花、

邱上真，2004；Cardelle-Elawar, 1992；Schoenfeld, 1985）都指出，成功解答數學文字 題需要結合各項不同的技能，其中包括文字閱讀、情境描述的理解、相關數學式子 的撰寫、計算能力等。因此，研究兒童認知發展的過程裡，學者認為若能瞭解孩童 面對文字題的解題過程，對於其學會複雜的問題解決技能也許能有助益，使得文字 題的研究在數學教學中一直佔有相當重要的地位。

數學領域中文字應用題的學習是數學課程的重要內容，這些文字題有的配合 故事情境，有的直接以文字敘述表達單一情境。而學生的解題方式必須選擇最容易 理解且快速的方法。解題無論在過程上或結果表現，其個人認知基模的善用與對問 題的掌握度，對問題解決的成敗是最關鍵性的，也就是說個人對問題的思維歷程將 影響其解題的表現（劉家樟、楊凱琳，2006）。

貳、數學解題歷程

在九十學年度開始實施的「國民中小學九年一貫課程綱要」中，強調培養學 生「能帶著走的能力」，而非背不動的書包，並列舉了十大基本能力指標，其中

「獨立思考與解決問題」正是學生必需具備的能力之一（教育部，2000）。美國 數學教師協會歷年來公佈的課程標準，也把「問題解決」列為重點之一（NCTM, 1989, 2000），可見在數學教育及課程中，「解決問題」是一個相當重要的課題。

目前九年一貫數學領域目標亦強調發展學生解決數學問題的能力，期望學生 達成「發展形成數學問題與解決數學問題的能力」，並透過數學學習激勵多樣性 的獨立思維方式，激盪各種想法，激發創造力（教育部，2001）。迎接知識經濟時 代的來臨，教育部於民國91年公佈創造力教育白皮書，培養學生思考創新的能力，

以打造創造力國度（教育部，2002）。

就解題的意義，葉明達（2003）綜合美國數學督導協會（National Council of Supervisors of Mathematics, NCSM, 1977）、Kilpatrick（1985）和Mayer（1985）等學 者的論點指出：解題是針對特定的目標，卻沒有立即可達的路徑，須運用所有現 有的資訊，來完成目標的歷程。至於數學解題則是指解題者在面對數學問題時，

沒有立即可資利用的算則或方法，須融會原有的數學知識與概念，靈活運用策略 與方法，以求得解答的歷程。

Polya（1945）是第一位將解題歷程以系統化階段加以區隔的學者，其認為成 功解題主要來自於擬定一個可行的策略，策略可能是逐漸形成，也可能是在錯誤 的嘗試與一段時間醞釀後，瞬間而來的靈感。他提出包括瞭解問題、擬定計畫、

執行計畫、回顧解答等四階段的解題歷程。

Mayer（1987）研究數學解題歷程，將解題各階段所需用到的知識分為語言、

基模、策略、程序性知識。他提出在問題轉譯時要運用到語言知識，在問題整合時 會用到基模知識，在解題計畫和監控時要用到策略知識，最後，在解題執行時會運 用到程序性知識。Mayer並在1992年把解題歷程區分為兩個階段，分別為「問題表

徵」（problem representation）和「問題解決」。其中問題表徵又分為「問題轉譯」

（problem translation）、「問題整合」（problem integration）兩步驟。問題轉譯是將 題目陳述句轉譯成個人理解的語言或圖示，瞭解題目中已知條件和解題目標。問題 整合是認識問題的類型，決定解題需要的材料，用圖畫或符號來表示題意等；雖然 問題表徵在問題解決的一開始已經形成，但是在整個解題過程中，仍需不斷修改。

而問題解決則分成「解題計畫與監控」（solution planning and monitoring）、

「解題執行」（solution execution）兩步驟。解題計畫與監控是指能夠想出解題計 畫並監控計畫的進行；解題執行是能運用此技巧完成計畫。從問題解決的過程來 看，要達到目的要先形成問題表徵，表徵的形成對接下來的解題計畫的擬定與執 行有很大的影響。

根據Bruner（1966）提出的理論，人類對環境中週遭事物，經知覺而將外在物 體或事件轉換為內在心理事件的過程，稱為表徵。Newell與Simon（1972）引進了 問題空間的概念，因為問題的初始狀態與目標狀態並非一蹴可幾，存在兩者之間 有許多不同的解題路徑，卻只有一條或少數幾條可以達到問題解決。而解題者對 這些可能解題路徑所形成的空間中各個成份（初始狀態、目標狀態、可能的操作 及對操作的規限）的編碼，便構成了他的問題表徵。因此，解題者對問題所形成 的表徵的精確性決定問題空間的大小，更進一步影響是否能正確找到解題路徑可 能性。從訊息處理論的觀點提出問題解決的步驟是 1.表徵問題 2.計畫解題 3.執行 計畫 4.獲得解答 5.評估解答（Hayes, 1989, 引自羅素貞，1996）。從這過程來看，

問題表徵的形成是問題解決的第一步，它對解題計畫的形成與執行有很大的影 響。亦即問題表徵是問題解決中的重要成分，外在表徵更是解題的重要輔助；故 問題表徵對解題成敗有關鍵性的影響。

Kaput（1987）從認知心理學中的「認知歷程」觀點，將數學表徵系統分成 四類：1.認知和知覺表徵（cognitive and perceptual representation）：是個體對於知

representation）：指語言或圖像與其他符號的連結。3.數學內的表徵（representation within mathematics）：指不同數學結構之間的相互關連，就是用數學的某一種結構 來呈現出另一種結構系統。4.外在符號表徵（external symbolic representation）：指 以外在的符號表達數學概念的系統。

許多學者發現解題的過程似乎呈現一定的次序規則（Lester, 1980; Mayer, 1992;

Polya, 1945; Schoenfeld, 1985）。在數學解題教學過程中，不同類型的題目具有不同 的難易度，學生在解題思維及解題方法上也會不同。Lester（1980）在解題歷程中 對問題的目標分析及計畫發展，均與解題者思維的歷程有關；Schoenfeld（1985）

強調「放聲思考」法及後設認知能力，更顯示學者專家對解題者思維活動的重視。

而Decorte和Verchaffel（1985）、Lewis與Mayer（1987）的研究，發現學生最大 困難階段是在於問題表徵，而不是在問題解決階段。解題過程中表徵的改變通常 是一種改進的過程，可使問題解決變得較容易（謝和秀，2001）。

綜合上述，影響數學解題的原因相當多元，觀察學童完成數學解題或許花費 的時間不長，但就各類研究顯示的資料，可發現步驟、歷程並不容易，任何一個 步驟出了差錯或任何一個階段的能力受到限制，都有可能導致解題失敗。由於數 學解題歷程似乎是相當繁雜的心理歷程，其所牽涉之學科知識及認知心理歷程是 相當多元且多步驟的，學生在數學文字題上的錯誤表現，可能關乎各種知識的不 足或誤解，例如對題目中的關鍵字不瞭解、思考模式和基模知識有功能固著的現 象、策略性知識不足以致無法採取適當的策略解題等。透過理解學生認知發展與 問題解決的條件，期許教學者能更有效的提供學生必要的指導與協助。

參、數學解題策略之探討

數學解題是一個複雜的心智活動，一般人面對問題時，會運用各種辦法以達 到目標或求得解答；而且同一個問題，每一個人所採用的策略不一定相同，甚至 一個人處理不同類型的問題時，可能使用的解決方法也不同，策略的運用可說是

人類高層次思維運作的表現，也是解題成功的關鍵因素之一。

九年一貫課程綱要將數學當作一種語言，表示數學是種溝通的工具（教育部，

2003），數學表徵是個人對於問題理解所形成的一種轉譯方式，用來幫助思考、溝 通、以及解決問題，也就是數學思考過程的表達以及結果的呈現。Mayer（1992）

從認知心理學的觀點來看數學解題的過程，認為表徵是內部數學思考的歷程，以 及外在數學形式的展現。因此，表徵在解題歷程中扮演著兩種重要的角色（羅素 貞，1996）：（1）問題瞭解的指標：問題表徵是個體在瞭解問題時所建構出來的，

而瞭解問題是解題者先備知識的作用，它能影響問題表徵的發展，故解題者對問 題的瞭解影響其內在表徵的建立，而解題者所形成的問題表徵的品質或問題表徵 的量又可幫助問題的瞭解。（2）解題表現的預測值：解題者在初始的問題解決活 動中所形成的問題表徵的品質、連貫性及完整性，決定之後的思考效率與正確性。

我們可以從解題者一開始形成的問題表徵來預測他後續的解題表現。Hayes（1989）

也進一步提出，當問題解決有困難時，可以試著改變對問題的表徵。亦即解題者 必須從本來在的問題空間中搜尋解題路徑轉換為搜尋另一個更適當的問題空間。

許多研究（紀惠英，1991；Hegarty & Kozhevnikov, 1999; Krutetskii, 1993; Lowrie, 2000; Lowrie & Clements, 2001; Lowrie & Kay, 2001）證實學生解決數學問題會產生偏 愛使用視覺或非視覺（語言）方法的差異。所謂視覺方法，是指個體面對數學問 題時，會在腦海中或在紙上呈現與問題相關的圖像，以幫助進行思考。所以許多 解題教學研究者（吳昭容，1990；林淑菁，2002；徐文鈺，1992；楊淑芳，2001；

魏君芝，2003）指出有些數學問題抽象度較高，畫出圖形常有助於幫助理解問題、

解決問題，透過畫圖的方式使問題具體化、直觀化，進而找出解題的途徑，畫圖 策略是指解題者在解題過程中，運用畫圖的方式，依據題意畫出圖形或圖案，藉 以幫助解題者觀察、推理、思考，是達到解答問題的一種手段。畫圖策略亦可稱

解決問題，透過畫圖的方式使問題具體化、直觀化，進而找出解題的途徑，畫圖 策略是指解題者在解題過程中，運用畫圖的方式，依據題意畫出圖形或圖案，藉 以幫助解題者觀察、推理、思考，是達到解答問題的一種手段。畫圖策略亦可稱