van Hiele的理論及幾何思考層次

自西元 1993 年起實施的國小數學課程中，有關幾何教材的編制，即是 以 van Hiele 理論為主軸。可見 van Hiele 理論在國內受到相當的重視。van Hiele 模式也是許多研究者從事幾何概念發展研究作為理論基礎的依據

（Clements & Battista, 1992），本節為探討 van Hiele 理論。

一、van Hiele 幾何思考層次

根據 van Hiele 的理論，幾何思考的發展模式共分為五個層次，每個層 次都有各自獨特的發展特徵。對於這五個層次的描述方式，國內外的研究 者有兩種不同的表達方式，一部份研究者使用「層次０、層次一、層次二、

層次三、層次四」來描述這五個幾何思考層次(黃盈君，2001；盧銘法，1999) 另一部份研究者則使用「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」來 描述 van Hiele 的五個幾何思考層次(吳德邦，1998，2000a，2000b，2001，

2004；薛建成，2003；Usiskin, 1982; van Hiele, 1986; Wu, D. B., 1994; Wu &

Ma, 2005a, 2005b)。本研究採用 van Hiele(1986)對層次的說法，分別為層次 一：視覺的(visual)層次、層次二：描述的(descriptive)層次、層次三：理論 的(theoretical)層次、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次、層次五：邏

這個層次的學生，主要是藉著視覺觀察物體的輪廓來辨認形狀，例 如，像太陽的形狀為圓形，像門的形狀為長方形。又如◇看起來，不像正 方形，在此階段的兒童認為這不是正方形。這個階段兒童的思考推理，受 到視覺外觀的影響很大，但此階段的兒童，可以透過移動或旋轉等方法來 辨識圖形的異同，但是他們無法瞭解這些圖形的真正定義，不能根據圖形 的性質或組成要素來進行分析。

(二) 層次二：描述的(descriptive)層次

這個層次的學生，具有豐富的視覺辨識經驗，已經具有辨別圖形特徵 的能力，更能依據視覺所觀察到的結果，進而分析圖形的基本要素及這些 圖形之間的關係。因此，能夠知道圓形沒有邊，三角形有三個邊，正方形 有四個一樣長的邊。但是卻無法說明不同類圖形間的關係(如：他們不會認 為正方形也是長方形)。

(三) 層次三：理論的(theoretical)層次

這個層次的學生，已經很清楚各種圖形的構成要素，並且知道各種幾 何圖形的內在屬性以及各種圖形之間的包含關係。例如，平行四邊形有兩 雙平行且相等的對邊，長方形是平行四邊形的一種，當平行四邊形其中一 個角為 90 度時，這個四邊形就是長方形。這階段的學生能夠依據圖形的 性質進行非正式的推演，但是還不能進行有系統的證明。

(四) 層次四：形式邏輯的(formal logic)層次

這個層次的學生能夠經由抽象推理的過程，來證明幾何問題及相互間 的關係，也能了解這些定理證明的方法可能不只一種。（如：能證明三角 形的內角和是 180 度）。

(五) 層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次

這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的人，可以在不同的公設體 系中，建立定理並且進行分析或比較各種不同的公設系統。在此層次的

二、van Hiele 幾何思考層次之特性

Crowley(1987)對 van Hiele 幾何思考層次特性的描述為：次序性 (sequential) 、 提 昇 性 (advancement) 、 內 因 性 與 外 因 性 (intrinsic and extrinsic)、語言性(linguistics)、以及不配合性(mismatch)。各特性分別敘述 如下：

(一) 次序性(sequential)：幾何思考層次的發展是循序漸進的，每一個層次 的概念一定是來自於前一個層次的概念。學生必須充分的學習所在層 次的各種概念，才能順利進到下一個層次的學習。

(二) 提昇性(advancement)：學生層次的提昇受到教學的影響比年齡成長的 影響來的大，教師適當的教學和引導能提昇學童的幾何思考概念。van Hiele(1986)曾經提到，學童幾何思考層次的進展，主要是依賴教學而 不是兒童的年齡成長或成熟度的增加。因此由一個層次到另一個層次 的轉變並不是一個自然的過程，它是在教與學課程計畫的影響下而提 昇的。

(三) 內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)：在某一層次的性質是屬於內 在的性質，到了下一個層次，此一性質就有可能成為外顯的性質。林 軍治(1992)也指出：在每一思考層次上，先前層次的內在性，變為目 前層次的外在性。而對某些概念的瞭解，雖然在目前這個層次可能不 明顯，但在下個層次卻是明確可知的(Clements & Battista, 1992)。

(四) 語言性(linguistics)：每一個層次都有屬於該層次自己的語言、符號，

以及這些符號之間的關聯系統。每一層次有其專屬的獨特語言，在某 一個層次中屬於正確的語言，到了另一個層次中，可能就必需經過修 正才能符合。

然而教學設計，語言符號的運用，卻是層次二或層次三，那麼學生的 學習成效就會不好，老師的教學效果就很差。這也就是為什麼老師和 學生之間會常常發生誤解或無法溝通的原因之一。因此，老師在教學 過程、教材內容、教具的選擇和語言的運用均要注意。

三、Fuys（1985）提出 van Hiele 平面幾何思考層次學生的特質

Fuys(1985）提出 van Hiele 平面幾何思考層次，學生在各層次所表現 的特質：

Fuys 依據 van Hiele 幾何思考層次理論為基礎，更進一步深入探究在 每一個層次中，學生所能達到的水準，而提出對應 van Hiele 幾何思考每個 層次發展，學生所能表現或達到的具體行為能力：

層次一：視覺層次(visualization)

（一）能依據幾何圖形的整體外貌辨識形狀。

（二）能作圖、繪製(draw)或複製(copy)一個圖形。

（三）依據標準或非標準的形式。

（四）能依據圖形整體外貌，進行比較和分類活動，並能用語言描述 幾何圖形。

層次二︰描述層次(descriptive)

（一）能確認並檢驗圖形組成元素之間的關係。

（二）能說出組成元素的名稱，並使用適當的語彙描述之間的關係。

（三）能依據組成元素之間的關係，比較兩圖之異同。

（四）能經由實驗發現特殊圖形之性質，並能歸納之；能利用圖形的 已知性質或洞察隱含的性質去解決幾何問題。

層次三︰理論的層次(theoretical)

（一）能辨認某類圖形的各組性質，並檢驗這些性質充分性。

（三）能提出非形式化的論證。

（四）能非形式地辨識敘述及逆敘述之間的不同。

（五）不了解定義及基本假設的需要。

（六）尚未建立定理網路間的內在關係。

層次四︰形式邏輯的層次(formal logic)

（一）能辨識出正式定義的特性和等價的定義。

（二）在公設系統下，證明在層次二所說明的定理。

（三）學生在一公設系統下，建立定理和定理間的關係，了解公設、

公理、定義、定理、未定義名詞及證明的相互關係和角色，了 解定理與逆定理的區別和證明的必要與充分條件，可寫出邏輯 證明。

層次五︰邏輯法則本質的層次（the nature of logical laws）

（一）學生能嚴格地在不同的公設系統下建立定理，並分析比較這些 系統。

（二）找出解決一組問題的一般性方法。

（三）比較公設系統，並自動地探討公設的變動對結果的影響。

四、改編 Fuys, et al（1988）提出針對 van Hiele 層次的描述

對於 van Hiele 立體幾何思考層次的描述中，學生在層次一的階段能根 據形體的外貌來辨認並操弄立體形體（例如:正方體、長方體）和其他幾何 形體的基本物件（例如：邊、面、頂點）（吳德邦等，2006）。茲將立體幾 何思考層次一的描述呈現在表 2-1 中。

表 2-1 立體幾何思考層次一的描述 層次一 描述

L1-1、把立體圖形的外貌視為整體來辨識形體。

L1-1-a、從不同的積木或圖片。

L1-1-b、從不同的位置。

L1-1-c、從一個形狀中或其他更複雜的基本物件。

L1-2、作圖、繪製或複製形體。

L1-3、使用標準或非標準的形式給立體圖形或其他基本物件做合適的命名或標 示。

L1-4、把形體的外貌視為整體來比較和區分立體圖形。

L1-5、把形體的外貌視為整體來口頭描述立體圖形。

L1-6、透過具體的操弄形體而不使用一般推理的屬性來解決例行性問題 L1-7、辨識立體圖形的某一部分

L1-7-a、不按照構成要素來分析立體圖形 L1-7-b、不思考一類立體圖形的特徵及其屬性 L1-7-c、不把形體一般化或使用相關的語言

（沒有約定成俗）

（不要去統整歸納）

（引自吳德邦、李懿芳、馬秀蘭（2006）。立體幾何思考層次測驗編製歷 程之研究。載於吳德邦主編：

數學考卷編製暨評析研討會論文集暨會議實 務彙編

對於 van Hiele 立體幾何思考層次的描述中，在層次二的階段，學生以 構成要素和經驗的形體種類建立的性質、組成之間的關連性的方式來分析 形體，並且使用性質來解決問題（吳德邦等，2006）。茲將立體幾何思考 層次二的描述呈現在表 2-2 中。

表 2-2 立體幾何思考層次二的描述

表 2-3 立體幾何思考層次三的描述

L3-2-e、系統(family tree)內一些相關連的性質 L3-3、給予非形式推論的論證 科目的基礎（Clements & Battista, 1992），因此幾何教育的重要性是無庸置 疑的。