探討臺灣中部地區國小四至六年級學童立體幾何概念－從vanHiele理論的觀點

國立台中教育大學進修暨推廣部數學教育系

在職進修教學碩士學位班碩士論文

指導教授：吳德邦 博士

探討臺灣中部地區國小四至六年級學童立體幾何概念

－從 van Hiele 理論的觀點

研 究 生 ： 李 懿 芳 撰

中 華 民 國 九 十 五 年 六 月

摘 要

本文旨在探討臺灣中部地區國小四至六年級的學童，在 van Hiele 立 體幾何思考層次分布情形，並檢定臺灣中部地區不同年級、縣市、性別之 國小學童得分情形及在 van Hiele 立體幾何思考層次得分之差異情形。

本研究根據「van Hiele 幾何理論」，發展一套符合 van Hiele 立體幾何 思考層次且具良好信度與效度之工具，並作為行政院國家科學委員會專題 研究計畫之部分研究成果（計劃名稱：「國小學生 van Hiele 立體幾何思考 層次之研究」，計劃編號：NSC 94-2521-S-142-003）。 本研究對象為臺灣中部地區五個縣市（A 縣市、B 縣市、C 縣市、D 縣市、E 縣市），每個縣市選取三所國小之四到六年級各一班學童共 45 班 （1,351 人）來進行施測。以研究者所自編之「吳-李氏立體幾何思考層次 測驗」為工具，來探討學生對於立體幾何形體之概念。 本研究的結論如下： 一、 各年級的答對率由四年級到六年級大都逐漸增加，而且年級越高， 通過的題數也越多。 二、 不同年級之學童在 van Hiele 立體幾何思考層次的表現，年級越高， 表現越好。其中六年級的學童在總分、各層次、角柱、角錐、圓（柱、 錐、球）三類形體的平均得分比五年級學童的平均得分高。各項皆 有顯著差異（p＜.001），五年級的學童在總分、各層次、角柱、角 錐、圓（柱、錐、球）三類形體的平均得分又比四年級學童的平均 得分高，各項皆有顯著差異（p＜.001）。 三、 中部地區不同縣市之學童在 van Hiele 立體幾何思考層次的表現上， C 縣市和 A 縣市的答對率比 E 縣市高，其他的縣市沒有顯著差異，

四、 中部地區不同性別之學童在 van Hiele 立體幾何思考層次的表現上， 均無顯著差異，因此中部地區學童在 van Hiele 立體幾何思考層次的 表現，並不會受性別因素影響。 五、 不同年級之學童在 van Hiele 立體幾何思考層次的表現是有階層性 的，其中四年級的學童多分布在未達層次一（43.88﹪）及層次一 （35.75﹪），五年級的學童多分布在層次二（40.81﹪）及層次一 （24.83﹪），六年級的學童多分布在層次二（54.59﹪）及層次三 （31.00﹪）。表示中部地區地區的學童在 van Hiele 立體幾何思考層 次的表現是有階層性的，年級較低的其立體幾何思考層次就較低， 這有與 van Hiele 的論點相吻合。 六、 在正方體、長方體、三角柱、三角錐、圓柱、圓錐等概念中，其 van Hiele 立體幾何思考層次分布，對年級作卡方考驗發現均有顯著差 異，對縣市作卡方考驗發現也有顯著差異，但性別因素並無顯著差 異。 關鍵詞：立體、幾何、van Hiele

A Study of the concept of solid geometry of elementary students

from the 4

th

grades to 6

th

grades in the central region of Taiwan

－from the viewpoint of van Hiele theory

Yi－Fang LI

Abstract

The purpose of this study is to discuss the answer conditions of grade 4 to 6 pupils on the topics about the thinking level of van Hiele solid geometry in primary schools in the central region of Taiwan, and to find out the difference among primary pupils at different grades, counties and genders as well as the test results about the thinking level of van Hiele solid geometry in the central region of Taiwan, as well as explore the distribution conditions of pupils on the thinking level of van Hiele solid geometry in the central region of Taiwan.

Based on the van Hiele Geometrical Theory, this research will develop a suit of tools with reliability and validity that conform to the thinking level of van Hiele solid geometry, and will be used as a part of achievement of a special research project made by the National Science Council of the Executive Yuan (Project name: A study of

Thinking Level of van Hiele of Primary School Pupils on Solid geometry in Taiwan;

Project No.: NSC 94-2521-S-142-003).

The objects of this research were grade 4 to 6 pupils in the central region of Taiwan, with one class selected from each grade, for a total of 45 classes (1,351 pupils) selected from three primary schools in each of five counties (A county, B county, C

of pupils on the shape of solid geometry.

The conclusion of this research is listed as follows:

a. The correct answer percentage at each grade was almost increased gradually from grade 4 to 6, and the higher the grade, the more the passing subject number.

b. For the performance of pupils at different grades on the thinking level of van Hiele solid geometry, the higher the grade was, the better the performance of pupils. The average scores of grade 6 pupils were higher than those of grade 4 pupils in the total score, each level, prism, pyramid and cylinder (column, cone and sphere), and there was significant difference among each item (p＜.001).

c. For the performance of pupils on the thinking level of van Hiele solid geometry in different counties in the central region of Taiwan, the performance of pupils in C county and A county was relatively better, the next was B county and D county, and the qualification rate in E county was relatively lower. By exploring its reason, it was possibly resulted from the difference among the thinking stages of pupils on the solid geometry level, which was caused by the gap of pupils between city and countryside.

d. For the performance of pupils on the thinking level of van Hiele solid geometry at different genders in the central region of Taiwan, no significant difference was found in this research. Therefore, the factor of gender had no effect on the thinking level of pupils on van Hiele solid geometry in the central region of Taiwan.

e. For the performance of pupils on the thinking level of van Hiele solid geometry at different grades, grade 4 pupils were mostly distributed between less than Level 1 (43.88%) and Level 1 (35.75%), grade 5 pupils were mostly distributed between Level 2 (40.81%) and Level 1 (24.83%), and grade 6 pupils were mostly distributed between Level 2 (54.59%) and Level 3 (31.00%). This shows that the performance

Taiwan has hierarchical features, i.e. the lower the grade, the lower the thinking level of solid geometry, which is dovetailed with the theories of van Hiele.

f. For the thinking level distribution of van Hiele solid geometry in such concepts as cube, rectangular parallelepiped, triangular prism, quadrihedron, cylinder and cone, significant difference was found in the chisquare test on pupils at different grades, and significant difference was also found in the chisquare test on pupils in different counties, but no significant difference was found in gender for the thinking level distribution of van Hiele solid geometry.

Key words：solid，geometry，van Hiele

目 錄

中 文 摘 要

---Ⅰ

Abstract

---Ⅲ

目 錄

--- Ⅵ

表目錄

---Ⅹ

圖目錄

---ⅩⅡ 第一章 緒論---1 第一節 研究動機與目的---1 一、研究動機---1 二、研究目的---3 第二節 待答問題---4 第三節 名詞定義---4 第四節 研究的限制---5 第二章 文獻探討 ---7 第一節 van Hiele的理論及幾何思考層次---7 一、van Hiele幾何思考層次---7 二、van Hiele幾何思考層次之特性---9 三、Fuys（1985）提出van Hiele平面幾何思考層次學生的特質---10

四、改編Fuys, et al（1988）提出針對van Hiele層次的描述----11

第二節 國小立體幾何課程相關研究---14 一、九年一貫暫行綱要有關「立體幾何」課程的能力指標---15 二、九年一貫正式綱要有關「立體幾何」課程的能力指標 ---16 第三節 幾何概念的相關研究---17 一、國小階段相關的幾何概念---17 二、國中階段相關的幾何概念---24 三、高中階段相關的幾何概念---26 四、大專階段相關的幾何概念 ---26 第三章 研究方法與步驟 ---29 第一節 研究對象---29 第二節 研究實施步驟---30 第三節 研究工具---32 一、編製測驗的理論基礎---32

二、測驗工具編製過程---32 三、信度與效度---44 四、正式測驗工具 ---44 第四節 資料分析與處理---45 一、四至六年級在各層次的答對率分析---45 二、不同年級之國小學童得分情形的差異分析---45 三、不同地區之國小學童得分情形的差異分析 ---45 四、不同性別之國小學童得分情形的差異分析---45 五、學童在van Hiele立體幾何思考層次的分布考驗---46 六、學童van Hiele立體幾何思考層次的卡方考驗 ---46 第四章 研究結果與討論 ---47 第一節 四至六年級在各層次的答對率分析 ---47 第二節 不同年級之國小學童在得分的差異分析---63 一、四至六年級學童在整份「WLTSGTL」得分的差異分析---63 二、四至六年級學童在層次一得分的差異分析---64 三、四至六年級學童在層次二得分的差異分析 ---65 四、四至六年級學童在層次三得分的差異分析 ---66 五、四至六年級學童在角柱題目得分的差異分析 ---67 六、四至六年級學童在角錐題目得分的差異分析---68 七、四至六年級學童在圓(柱、錐、球)題目得分的差異分析 ---69 第三節 不同地區之國小學童得分的差異分析 ---71 一、不同地區學童在所有測驗得分的差異分析 ---71 二、不同地區學童在層次一題目得分的差異分析 ---73 三、不同地區學童在層次二題目得分的差異分析 ---74 四、不同地區學童在層次三題目得分的差異分析 --- 76 五、不同地區學童在角柱題目得分的差異分析---78 六、不同地區學童在角錐題目得分的差異分析---80 七、不同地區學童在圓(柱、錐、球)題目得分的差異分析 ---82 第四節 不同性別、年級之國小學童得分的差異分析---83 一、不同性別學童在所有測驗題目得分的差異分析---83 二、不同性別學童在層次一題目得分的差異分析---85 三、不同性別學童在層次二題目得分的差異分析---85 四、不同性別學童在層次三題目得分的差異分析---86 五、不同性別學童在角柱題目得分的差異分析---87 六、不同性別學童在角錐題目得分的差異分析---88 七、不同性別學童在圓(柱、錐、球) 題目得分的差異分析 ---88

一、各層次分布情形---94 二、各形體中各年級在各層次答對人數及答對率---96 第六節 檢定學童的van Hiele立體幾何思考層次 ---98 一、探討年級與層次之間的關係---98 二、探討地區與層次之間的關係---99 三、探討性別與層次之間的關係---100 第五章 結論與建議---103 第一節 結論---103 一、受測學生各層次答對率---103 二、臺灣中部地區四至六年級之國小學童得分情形的差異分析---104 三、臺灣中部地區不同縣市之國小學童得分情形的差異分析---104 四、臺灣中部地區不同性別之國小學童得分情形的差異分析---104 五、各年級學童van Hiele立體幾何思考層次分布 ---105 六、臺灣中部地區學童在年級、縣市、性別之van Hiele立體幾何思考層 次差異情形 --- 105 第二節 建議---105 一、課程與教學上的建議---105 二、對未來研究方向的建議 --- 106 參考書目 --- 108 中文部份 --- 108 英文部份---114

附錄

附錄一：van Hiele 立體幾何概念測驗工具【題目卷】………...117 附錄二：van Hiele 立體幾何概念測驗工具【答案卷】………...141 附錄三：受試者在所有測驗題中的答題情形……….142 附錄四：四至六年級各題選項答題情形……….144 附錄五：吳-李氏立體幾何測驗工具各層次及題號分布情形………146 附錄六：康軒版及南一版有關小學立體幾何教材的單元分布表……….147 附錄七：測驗工具之題型分布明細表……….148

附錄八：Fuys 提出針對 van Hiele 層次的描述和學生反應的例子………150

表目錄

表2-1 立體幾何思考層次一的描述 --- 12 表2-2 立體幾何思考層次二的描述 --- 13 表2-3 立體幾何思考層次三的描述 ---14 表2-4 九年一貫課程暫行綱要中有關國小立體幾何能力指標 ---15 表2-5 九年一貫課程正式綱要中有關國小立體幾何能力指標 ---16 表2-6 國小學童五種基本幾何立體圖形的立體表徵能力差異表 --- 20 表2-7 各形狀在層次一到層次三的分布情形 --- 21 表2-8 三角形概念在van Hiele平面幾何思考層次的分布表 --- 22 表2-9 四邊形概念在van Hiele平面幾何思考層次的分布表 --- 23 表2-10 圓形概念在van Hiele平面幾何思考層次的分布表 ---24 表3-1 施測樣本分配表 ---29 表4-1 國小四至六年級學生在層次一試題的答對率 --- 48 表4-2 國小四至六年級學生在層次二試題的答對率 --- 53 表4-3 國小四至六年級學生在層次三試題的答對率 --- 59 表4-4 四至六年級學童得分情形平均數及標準差分析表 --- 63 表4-5 四至六年級學童得分情形變異數分析摘要表 ---64 表4-6 四至六年級學童得分情形的事後多重比較 --- 64 表4-7 四至六年級學童層次一得分情形變異數分析摘要 --- 65 表4-8 四至六年級學童層次一試題得分情形的事後多重比較 --- 65 表4-9 四至六年級學童層次二得分情形變異數分析摘要 --- 66 表4-10 四至六年級學童層次二試題得分情形的事後多重比較 ---66 表4-11 四至六年級學童層次三得分情形變異數分析摘要 --- 67 表4-12 四至六年級學童層次三試題得分情形的事後多重比較 ---67 表4-13 四至六年級學童在角柱題目得分情形變異數分析摘要 ---68 表4-14 四至六年級學童在角柱題目得分情形的事後多重比較 ---68 表4-15 四至六年級學童在角錐題目得分情形變異數分析摘要 --- 69 表4-16 四至六年級學童在角錐題目得分情形的事後多重比較 ---69 表4-17 四至六年級學童在圓(柱、錐、球)題目得分情形變異數分析摘要--- 70 表4-18 四至六年級學童在圓(柱、錐、球)題目得分情形的事後多重比較 --- 70 表4-19 不同地區學童在所有題目得分情形變異數分析表 --- 71 表4-20 不同地區學童在所有題目得分情形的事後多重比較 ---72 表4-21 不同地區學童在層次一的題目得分情形變異數分析表 --- 73 表4-22不同地區學童在層次一題目得分情形的事後多重比較 --- 73 表4-23 不同地區學童在層次二的題目得分情形變異數分析表 --- 74

表4-24 不同地區學童在層次二題目得分情形的事後多重比較 --- 75 表4-25 不同地區學童在層次三的題目得分情形變異數分析表 --- 76 表4-26 不同地區學童在層次三題目得分情形的事後多重比較 --- 77 表4-27 不同地區學童在角柱的題目得分情形變異數分析表 --- 78 表4-28 不同地區學童在角柱題目得分情形的事後多重比較 --- 79 表4-29 不同地區學童在角錐的題目得分情形變異數分析表 --- 80 表4-30 不同地區學童在角錐題目得分情形的事後多重比較 --- 81 表4-31 不同地區學童在圓(柱、錐、球)的題目得分情形變異數分析表 --- 82 表4-32 不同地區學童在圓(柱、錐、球)題目得分情形的事後多重比較 ---82 表4-33 四至六年級男女學童得分情形平均數及標準差分析表 ---84 表4-34 性別與年級在總分之變異數分析摘要表 --- 84 表4-35 不同性別學童在所有題目得分差異情形 ---84 表4-36 性別與年級在層次一的得分之變異數分析摘要表 --- 85 表4-37 不同性別學童在層次一的題目得分差異情形 --- 85 表4-38 性別與年級在層次二的得分之變異數分析摘要表 ---86 表4-39 不同性別學童在層次二的題目得分差異情形 --- 86 表4-40 性別與年級在層次三的得分之變異數分析摘要表 --- 86 表4-41 不同性別學童在層次三的題目得分差異情形 --- 87 表4-42 性別與年級在角柱題目得分之變異數分析摘要表 --- 87 表4-43 不同性別學童在角柱題目得分的差異情形 ---87 表4-44 性別與年級在角錐題目得分之變異數分析摘要表 ---88 表4-45 不同性別學童在角錐題目得分的差異情形 ---88 表4-46 性別與年級在圓（柱、錐、球）題目得分之變異數分析摘要表 --- 89 表4-47 不同性別學童在圓(柱、錐、球)題目得分的差異情形 ---89 表4-48 不同性別之四至六年級學童在立體幾何概念通過人數及通過率 --- 90 表4-49 四年級學童在立體幾何形體概念的差異檢定 --- 91 表4-50 五年級學童在立體幾何形體概念的差異檢定 --- 92 表4-51 六年級學童在立體幾何形體概念的差異檢定 --- 93 表4-52 各層次分布情形 ---94 表4-53 各形體中各年級各層次答對人數及答對率 ---96 表4-54 四至六年級學生在各個隸屬層次之卡方考驗 --- 99 表4-55 中部五縣市的學生在各個隸屬層次之卡方考驗. --- 100 表4-56 不同性別的學生在各個隸屬層次之卡方考驗 --- 101

圖目錄

圖3-1 研究流程圖 ---31 圖3-2 小型攝影棚 --- 33 圖4-1 四年級男、女生在立體幾何形體概念通過率表現長條圖 ---91 圖4-2 五年級男、女生在立體幾何形體概念通過率表現長條圖 --- 92 圖4-3 六年級男、女生在立體幾何形體概念通過率表現長條圖 ---93

表目錄

表 2-1 立體幾何思考層次一的描述 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 2-2 立體幾何思考層次二的描述 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 2-3 立體幾何思考層次三的描述 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 2-4 九年一貫課程暫行綱要中有關國小立體幾何能力指標 . 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 2-5 九年一貫課程正式綱要中有關國小立體幾何能力指標 . 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 2-6 國小學童五種基本幾何立體圖形的立體表徵能力差異表 . 錯誤! 尚未定義 書籤。 表 2-7 各形狀在層次一到層次三的分布情形 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 2-8 三角形概念在van Hiele平面幾何思考層次的分布表錯誤! 尚未定義書籤。 表 2-9 四邊形概念在van Hiele平面幾何思考層次的分布表錯誤! 尚未定義書籤。 表 2-10 圓形概念在van Hiele平面幾何思考層次的分布表 錯誤! 尚未定義書籤。 表 3-1 施測樣本分配表 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-1 國小四至六年級學生在層次一試題的答對率 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-2 國小四至六年級學生在層次二試題的答對率 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-3 國小四至六年級學生在層次三試題的答對率 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-4 四至六年級學童得分情形平均數及標準差分析表 . 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-5 四至六年級學童得分情形變異數分析摘要表 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-6 四至六年級學童得分情形的事後多重比較 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-7 四至六年級學童層次一得分情形變異數分析摘要 . 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-8 四至六年級學童層次一試題得分情形的事後多重比較 . 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-9 四至六年級學童層次二得分情形變異數分析摘要 . 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-10 四至六年級學童層次二試題得分情形的事後多重比較 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-11 四至六年級學童層次三得分情形變異數分析摘要 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-12 四至六年級學童層次三試題得分情形的事後多重比較 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-13 四至六年級學童在角柱題目得分情形變異數分析摘要 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-14 四至六年級學童在角柱題目得分情形的事後多重比較 錯誤! 尚未定義書 籤。

表 4-16 四至六年級學童在角錐題目得分情形的事後多重比較 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-17 四至六年級學童在圓(柱、錐、球)題目得分情形變異數分析摘要 .. 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-18 四至六年級學童在圓(柱、錐、球)題目得分情形的事後多重比較 .. 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-19 不同地區學童在所有題目得分情形變異數分析表 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-20 不同地區學童在所有題目得分情形的事後多重比較 ... 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-21 不同地區學童在層次一的題目得分情形變異數分析表 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-22 不同地區學童在層次一題目得分情形的事後多重比較 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-23 不同地區學童在層次二的題目得分情形變異數分析表 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-24 不同地區學童在層次二題目得分情形的事後多重比較 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-25 不同地區學童在層次三的題目得分情形變異數分析表 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-26 不同地區學童在層次三題目得分情形的事後多重比較 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-27 不同地區學童在角柱的題目得分情形變異數分析表 ... 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-28 不同地區學童在角柱題目得分情形的事後多重比較 ... 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-29 不同地區學童在角錐的題目得分情形變異數分析表 ... 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-30 不同地區學童在角錐題目得分情形的事後多重比較 ... 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-31 不同地區學童在圓(柱、錐、球)的題目得分情形變異數分析表 錯誤! 尚 未定義書籤。 表 4-32 不同地區學童在圓(柱、錐、球)題目得分情形的事後多重比較 錯誤! 尚 未定義書籤。 表 4-33 四至六年級男女學童得分情形平均數及標準差分析表 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-34 性別與年級在總分之變異數分析摘要表 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-35 不同性別學童在所有題目得分差異情形 ... 錯誤! 尚未定義書籤。

表 4-37 不同性別學童在層次一的題目得分差異情形 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-38 性別與年級在層次二的得分之變異數分析摘要表 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-39 不同性別學童在層次二的題目得分差異情形 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-40 性別與年級在層次三的得分之變異數分析摘要表 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-41 不同性別學童在層次三的題目得分差異情形 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-42 性別與年級在角柱題目得分之變異數分析摘要表 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-43 不同性別學童在角柱題目得分的差異情形 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-44 性別與年級在角錐題目得分之變異數分析摘要表 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-45 不同性別學童在角錐題目得分的差異情形 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-46 性別與年級在圓（柱、錐、球）題目得分之變異數分析摘要表 錯誤! 尚 未定義書籤。 表 4-47 不同性別學童在圓(柱、錐、球)題目得分的差異情形 錯誤! 尚未定義書 籤。 表 4-48 不同性別之四至六年級學童在立體幾何概念通過人數及通過率 錯誤! 尚 未定義書籤。 表 4-49 四年級學童在立體幾何形體概念的差異檢定 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-50 五年級學童在立體幾何形體概念的差異檢定 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-51 六年級學童在立體幾何形體概念的差異檢定 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-52 各層次分布情形 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-53 各形體中各年級各層次答對人數及答對率 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-54 四至六年級學生在各個隸屬層次之卡方考驗 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-55 中部五縣市的學生在各個隸屬層次之卡方考驗 ... 錯誤! 尚未定義書籤。 表 4-56 不同性別的學生在各個隸屬層次之卡方考驗 ... 錯誤! 尚未定義書籤。

圖目錄

圖 3-1 研究流程圖... 錯誤! 尚未定義書籤。 圖 3-2 小型攝影棚... 錯誤! 尚未定義書籤。 圖 4-1 四年級男、女生在立體幾何形體概念通過率表現長條圖 錯誤! 尚未 定義書籤。 圖 4-2 五年級男、女生在立體幾何形體概念通過率表現長條圖 錯誤! 尚未 定義書籤。 圖 4-3 六年級男、女生在立體幾何形體概念通過率表現長條圖 錯誤! 尚未 定義書籤。

第一章 緒論

本研究主要是以 van Hiele 的幾何層次理論為基礎，來探討中部地區 國小四、五、六年級學童對於立體幾何形體概念的認知。本章共分成四節， 分別來探究本研究的研究動機與目的、待答問題、名詞定義與研究限制。

第一節 研究動機與目的

一、研究動機

幾何是數學課程必要的內容，幾何可幫助人們用有條理的方式，表現 和描述生活的世界(NCTM, 2000)。幾何和空間推理更是學習數學及其他科 目的基礎(Clements & Battista, 1992)。張建瑋、林家瑩和吳柏林(2006)於「近 年國中數學的基本學力測驗試卷評析與改進」提及西元 2005 年兩次國中 數學學力測驗中，以幾何主題的考題所佔之比例最高，並佔數學領域的五 大主題中約四成之比例，因此可見幾何教育的重要性是無庸置疑的。 檢視我國的數學課程發展，西元 1975 年版的數學課程，將教材內容， 劃分為數、量、形三部份。西元 1993 年修訂改版的數學課程，則更將幾 何領域的教學以「圖形與空間」規畫獨立為一個主題，並將教材進一步分 為平面圖形、立體圖形兩個部份。西元 2003 年公布的九年一貫課程綱要 中，數學的學習領域正式以「幾何」名稱成為一個完整的教學主題。由我 國歷年數學課程與教材的改革，可以看出幾何在整體的數學課程中，佔有 一席重要的地位（教育部，1975、1993、2003）。 自西元 1993 年教育部公布實施國民小學數學課程起，一直到現階段 我國實施中的九年一貫課程，有關於數學領域的幾何主題教材，主要依據

1986; Wu, 1994; Wu & Ma, 2005a, 2005b; Wu, Ma & Lan, 2005; Wu & Ma, 2006; Wu, Ma, Lan, & Yao, 2006;林軍治，1992；譚寧君，1993；吳德邦，1998， 2004a，2004b；吳德邦、馬秀蘭與藍同利，2006；薛建成，2003；戴五騰， 2006），提出有關 van Hiele 幾何思考層次的相關報告，可見 van Hiele 幾何 思考理論相當受到重視。

近年來國內數學教育幾何研究，大都將研究重點聚斂在平面圖形上， 如(Wu & Ma, 2005a)以「吳-薛氏國小學童 van Hiele 幾何思考層次」採量化 的研究法，研究臺灣地區國小一至六年級學童在 van Hiele 幾何思考層次中 層次一的幾何概念，從 23 個縣市隨機取樣 5,581 位學童，研究結果指出： 1、由於直線與曲線的明顯區別，所以對學生的辨識來說是容易的。2、對 學生而言，辨識圓形最容易，其次是三角形、不等邊的四邊形最困難。而 此研究僅探討平面圖形，並無提及立體圖形。 目前利用 van Hiele 幾何層次理論來研究學童立體幾何能力的人並不 多，如（陳創義，2003）在「青少年的數學概念學習研究」，調查臺灣青 少年幾何形狀概念發展情況，但是對象是國中生，並非國小學童。在國小 部分有（蔡秉恆，2002）所探究的「國小六年級學生運用網路數位學校學 習『柱體與錐體』成效之研究」，其研究樣本僅為高雄市兩班之學生（樣 本數為 79 人），所以成果不宜過度推論。 吳德邦、陳東村（2004）所發表的「國小學童立體圖畫表徵之研究－ 以長方體為例」，此研究僅探討長方體表徵的部分。陳東村（2005）所研 究的「國小學童立體圖畫表徵之探討」，但此研究僅探討五種基本幾何立 體物（長方體、圓柱、圓錐、三角錐、三角柱）表徵的部分，並無其他立 體幾何圖形相關的研究。吳德邦、李懿芳和馬秀蘭（2006）所探討的「立 體幾何思考層次測驗編製歷程之研究」中，提及研究對象僅限於臺中市某 國小 183 位學童，該樣本為本研究之預試樣本，該研究僅作為本研究之先

何？亟待進一步的研究。 洪萬生（2003）在「青少年的立體幾何概念發展研究」的研究中，曾 以 van Hiele 層次理論，對青少年立體幾何概念的內容進行因素分析。洪萬 生（2003）曾進一步表示：「由於我們所研究的對象是國中學生，所以， 向下國小及向上高中的連結，也是將來重要的課題。」是故，國小學生的 立體幾何概念發展情形如何？亟待進一步深入研究。並回應洪萬生（2003） 的呼籲：「我們的研究已有了看起來是可以累積的階段性成果。這個專題 『立體幾何概念發展』具有高度的張力，期待國內能有更多人投入相關的 研究」。 綜合以上各研究發現，國內鮮少有人以 van Hiele 的幾何層次理論來探 討國小學童立體幾何概念之發展，因此，乃依據 Fuys, Geddes, & Tischler （1988）所提出針對 van Hiele 層次的描述和學生反映的例子為基礎，研究 者修正成 van Hiele 立體幾何思考層次之行為描述，據此自編一份立體幾何 思考層次之測驗工具，來探究國小四到六年級學童於立體幾何概念之發展 情形。

二、研究目的

依據上述研究動機，本研究的研究目的如下：

(一) 根據「van Hiele 的幾何理論」，發展一套符合 van Hiele 立體幾何 思考層次且具良好信度與效度之工具，並作為行政院國家科學委 員會專題研究計畫之部分研究成果（計劃名稱：「國小學生 van Hiele 立 體 幾 何 思 考 層 次 之 研 究 」， 計 劃 編 號 ： NSC 94-2521-S-142-003。）

(四) 檢定臺灣中部地區不同縣市之國小學童得分的差異情形。 (五) 檢定臺灣中部地區不同性別之國小學童得分的差異情形。 (六) 檢定臺灣中部地區學童在 van Hiele 立體幾何思考層次的分布情 形。 (七) 檢定臺灣中部地區學童在年級、縣市、性別之 van Hiele 立體幾 何思考層次分布情形（卡方檢定）。

第二節 待答問題

根據上述的研究動機與目的，本研究主要探討下列相關之問題： 一、臺灣中部地區之國小四、五、六年級學童在 van Hiele 幾何思考層次的 答對率情形為何？ 二、臺灣中部地區不同年級之國小學童得分情形的差異為何？ 三、臺灣中部地區不同縣市之國小學童得分情形的差異為何？ 四、臺灣中部地區不同性別之國小學童得分情形的差異為何？ 五、臺灣中部地區學童在 van Hiele 立體幾何思考層次的分布情形為何？ 六、臺灣中部地區學童在年級、縣市、性別之 van Hiele 立體幾何思考層次 如何？

第三節 名詞定義

本節將研究中所涉及到的相關名詞，作更進一步的定義與說明。玆分 述如下：

一、中部地區

係指臺灣中部五縣市（臺中市、南投縣、彰化縣、臺中縣、雲林 縣），而為了消除研究上的敏感程度，因此玆將此五縣市以 A、B、C、 D、E（與上所列出之縣市順序無關）之代號定義之。

二、國小學童

係指九十四學年度第一學期（2005 年 9 月至 2006 年 1 月）就讀 中部五縣市之公立（縣立、市立）國民小學四年級至六年級的學生， 但不包括特殊班學生。

三、立體幾何形體

本研究中所謂的立體幾何形體，係指國民小學數學中所提到的立 體幾何形體，包括三角柱、正方體、長方體、五角柱、六角柱、三角 錐、四角錐、五角錐、六角錐、圓柱體、圓錐、球體。

四、視圖

從不同取景角度所畫出的平面圖像，並把視圖稱為平面立體圖。

五、透視圖

把視圖看不見的邊，以虛線表示而得到的。

第四節 研究的限制

本研究的主要限制如下： 一、由於經費及人力的限制，本研究僅限於臺灣中部五縣市之國民小學四 至六年級在學學生，無法擴及全國各縣市之樣本。 二、大部份的研究指出，國民小學學生之平面幾何思考層次僅限於前三層 次，本研究屬於立體幾何思考層次，範圍亦僅限於前三個層次，至於 後二個層次則留待以後有意研究的人再行討論。 三、由於研究對象為臺灣中部地區的在學學童，然因臺灣中部地區幅員遼 闊，勢必存在著嚴重的城鄉差距與語言習慣，然本研究不將語言能力 的差異列入考量的範圍，留待後續相關的研究再行討論之，此乃本研

四、本研究僅探討九年一貫課程中所論及之直柱體、直錐體、直圓（柱、 錐、球）等立體幾何概念。

第二章 文獻探討

本章分為四節，主要針對本研究所提到的相關文獻做進一步的探討， 其中第一節是探討 van Hiele 的理論及幾何思考層次，第二節是兒童幾何形 體概念，第三節是探討國小立體幾何課程相關研究。第四節是探討其他幾 何概念的相關研究。

第一節 van Hiele 的理論及幾何思考層次

自西元 1993 年起實施的國小數學課程中，有關幾何教材的編制，即是 以 van Hiele 理論為主軸。可見 van Hiele 理論在國內受到相當的重視。van Hiele 模式也是許多研究者從事幾何概念發展研究作為理論基礎的依據 （Clements & Battista, 1992），本節為探討 van Hiele 理論。

一、van Hiele 幾何思考層次

根據 van Hiele 的理論，幾何思考的發展模式共分為五個層次，每個層 次都有各自獨特的發展特徵。對於這五個層次的描述方式，國內外的研究 者有兩種不同的表達方式，一部份研究者使用「層次０、層次一、層次二、 層次三、層次四」來描述這五個幾何思考層次(黃盈君，2001；盧銘法，1999) 另一部份研究者則使用「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」來 描述 van Hiele 的五個幾何思考層次(吳德邦，1998，2000a，2000b，2001， 2004；薛建成，2003；Usiskin, 1982; van Hiele, 1986; Wu, D. B., 1994; Wu & Ma, 2005a, 2005b)。本研究採用 van Hiele(1986)對層次的說法，分別為層次 一：視覺的(visual)層次、層次二：描述的(descriptive)層次、層次三：理論 的(theoretical)層次、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次、層次五：邏

這個層次的學生，主要是藉著視覺觀察物體的輪廓來辨認形狀，例 如，像太陽的形狀為圓形，像門的形狀為長方形。又如◇看起來，不像正 方形，在此階段的兒童認為這不是正方形。這個階段兒童的思考推理，受 到視覺外觀的影響很大，但此階段的兒童，可以透過移動或旋轉等方法來 辨識圖形的異同，但是他們無法瞭解這些圖形的真正定義，不能根據圖形 的性質或組成要素來進行分析。 (二) 層次二：描述的(descriptive)層次 這個層次的學生，具有豐富的視覺辨識經驗，已經具有辨別圖形特徵 的能力，更能依據視覺所觀察到的結果，進而分析圖形的基本要素及這些 圖形之間的關係。因此，能夠知道圓形沒有邊，三角形有三個邊，正方形 有四個一樣長的邊。但是卻無法說明不同類圖形間的關係(如：他們不會認 為正方形也是長方形)。 (三) 層次三：理論的(theoretical)層次 這個層次的學生，已經很清楚各種圖形的構成要素，並且知道各種幾 何圖形的內在屬性以及各種圖形之間的包含關係。例如，平行四邊形有兩 雙平行且相等的對邊，長方形是平行四邊形的一種，當平行四邊形其中一 個角為 90 度時，這個四邊形就是長方形。這階段的學生能夠依據圖形的 性質進行非正式的推演，但是還不能進行有系統的證明。 (四) 層次四：形式邏輯的(formal logic)層次 這個層次的學生能夠經由抽象推理的過程，來證明幾何問題及相互間 的關係，也能了解這些定理證明的方法可能不只一種。（如：能證明三角 形的內角和是 180 度）。

(五) 層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次

這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的人，可以在不同的公設體 系中，建立定理並且進行分析或比較各種不同的公設系統。在此層次的

二、van Hiele 幾何思考層次之特性

Crowley(1987)對 van Hiele 幾何思考層次特性的描述為：次序性 (sequential) 、 提 昇 性 (advancement) 、 內 因 性 與 外 因 性 (intrinsic and extrinsic)、語言性(linguistics)、以及不配合性(mismatch)。各特性分別敘述 如下： (一) 次序性(sequential)：幾何思考層次的發展是循序漸進的，每一個層次 的概念一定是來自於前一個層次的概念。學生必須充分的學習所在層 次的各種概念，才能順利進到下一個層次的學習。 (二) 提昇性(advancement)：學生層次的提昇受到教學的影響比年齡成長的 影響來的大，教師適當的教學和引導能提昇學童的幾何思考概念。van Hiele(1986)曾經提到，學童幾何思考層次的進展，主要是依賴教學而 不是兒童的年齡成長或成熟度的增加。因此由一個層次到另一個層次 的轉變並不是一個自然的過程，它是在教與學課程計畫的影響下而提 昇的。

(三) 內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)：在某一層次的性質是屬於內 在的性質，到了下一個層次，此一性質就有可能成為外顯的性質。林 軍治(1992)也指出：在每一思考層次上，先前層次的內在性，變為目 前層次的外在性。而對某些概念的瞭解，雖然在目前這個層次可能不 明顯，但在下個層次卻是明確可知的(Clements & Battista, 1992)。 (四) 語言性(linguistics)：每一個層次都有屬於該層次自己的語言、符號，

以及這些符號之間的關聯系統。每一層次有其專屬的獨特語言，在某 一個層次中屬於正確的語言，到了另一個層次中，可能就必需經過修 正才能符合。

然而教學設計，語言符號的運用，卻是層次二或層次三，那麼學生的 學習成效就會不好，老師的教學效果就很差。這也就是為什麼老師和 學生之間會常常發生誤解或無法溝通的原因之一。因此，老師在教學 過程、教材內容、教具的選擇和語言的運用均要注意。

三、Fuys（1985）提出 van Hiele 平面幾何思考層次學生的特質

Fuys(1985）提出 van Hiele 平面幾何思考層次，學生在各層次所表現 的特質：

Fuys 依據 van Hiele 幾何思考層次理論為基礎，更進一步深入探究在 每一個層次中，學生所能達到的水準，而提出對應 van Hiele 幾何思考每個 層次發展，學生所能表現或達到的具體行為能力： 層次一：視覺層次(visualization) （一）能依據幾何圖形的整體外貌辨識形狀。 （二）能作圖、繪製(draw)或複製(copy)一個圖形。 （三）依據標準或非標準的形式。 （四）能依據圖形整體外貌，進行比較和分類活動，並能用語言描述 幾何圖形。 層次二︰描述層次(descriptive) （一）能確認並檢驗圖形組成元素之間的關係。 （二）能說出組成元素的名稱，並使用適當的語彙描述之間的關係。 （三）能依據組成元素之間的關係，比較兩圖之異同。 （四）能經由實驗發現特殊圖形之性質，並能歸納之；能利用圖形的 已知性質或洞察隱含的性質去解決幾何問題。 層次三︰理論的層次(theoretical) （一）能辨認某類圖形的各組性質，並檢驗這些性質充分性。

（三）能提出非形式化的論證。 （四）能非形式地辨識敘述及逆敘述之間的不同。 （五）不了解定義及基本假設的需要。 （六）尚未建立定理網路間的內在關係。 層次四︰形式邏輯的層次(formal logic) （一）能辨識出正式定義的特性和等價的定義。 （二）在公設系統下，證明在層次二所說明的定理。 （三）學生在一公設系統下，建立定理和定理間的關係，了解公設、 公理、定義、定理、未定義名詞及證明的相互關係和角色，了 解定理與逆定理的區別和證明的必要與充分條件，可寫出邏輯 證明。

層次五︰邏輯法則本質的層次（the nature of logical laws）

（一）學生能嚴格地在不同的公設系統下建立定理，並分析比較這些 系統。

（二）找出解決一組問題的一般性方法。

（三）比較公設系統，並自動地探討公設的變動對結果的影響。

四、改編 Fuys, et al（1988）提出針對 van Hiele 層次的描述

對於 van Hiele 立體幾何思考層次的描述中，學生在層次一的階段能根 據形體的外貌來辨認並操弄立體形體（例如:正方體、長方體）和其他幾何 形體的基本物件（例如：邊、面、頂點）（吳德邦等，2006）。茲將立體幾 何思考層次一的描述呈現在表 2-1 中。

表 2-1 立體幾何思考層次一的描述 層次一 描述 L1-1、把立體圖形的外貌視為整體來辨識形體。 L1-1-a、從不同的積木或圖片。 L1-1-b、從不同的位置。 L1-1-c、從一個形狀中或其他更複雜的基本物件。 L1-2、作圖、繪製或複製形體。 L1-3、使用標準或非標準的形式給立體圖形或其他基本物件做合適的命名或標 示。 L1-4、把形體的外貌視為整體來比較和區分立體圖形。 L1-5、把形體的外貌視為整體來口頭描述立體圖形。 L1-6、透過具體的操弄形體而不使用一般推理的屬性來解決例行性問題 L1-7、辨識立體圖形的某一部分 L1-7-a、不按照構成要素來分析立體圖形 L1-7-b、不思考一類立體圖形的特徵及其屬性 L1-7-c、不把形體一般化或使用相關的語言 （沒有約定成俗） （不要去統整歸納） （引自吳德邦、李懿芳、馬秀蘭（2006）。立體幾何思考層次測驗編製歷 程之研究。載於吳德邦主編：

數學考卷編製暨評析研討會論文集暨會議實

務彙編

，pp.600-601） 對於 van Hiele 立體幾何思考層次的描述中，在層次二的階段，學生以 構成要素和經驗的形體種類建立的性質、組成之間的關連性的方式來分析 形體，並且使用性質來解決問題（吳德邦等，2006）。茲將立體幾何思考 層次二的描述呈現在表 2-2 中。

表 2-2 立體幾何思考層次二的描述 層次二 描述 L2-1、定義和測試立體圖形構成要素間的關連性（例如，長方體對邊的全等） L2-2、對構成要素和關連性回想和使用適當的詞彙（例如，對應邊，對應角的全 等，對角線彼此平分） L2-3-a、根據形體之間構成要素的關係來比較兩個形體 L2-3-b、根據特定性質以不同的方法來分類形體，包括從較不常見的分離出較 常見的 L2-4-a、用形體性質的口頭描述來解釋和使用形體並使用這些描述來描繪/作圖 L2-4-b、解釋口頭上的或符號上的規則敘述並使用這些規則 L2-5、從經驗中發現特殊形體的性質，並把該類立體圖形的性質一般化 L2-6-a、用形體性質的術語來描述該類形體（例如，正方體） L2-6-b、使用一類形體的特徵辨認是哪一種特性，也能把該特性應用到另一類 形體 L2-7、性質被使用來描繪形體種類的特性也應用到其他形體種類並且依照他們 的特性質來比較該類形體 L2-8、發現一類不熟悉形體的性質 L2-9、運用已知的形體性質或藉由領悟的方法來達到來解決立體幾何問題 L2-10、用公式表示並且使用形體概括的性質（教師的引導／材料或自然出自本 身的）並且使用相關的語言（例如：所有、每一、全非） L2-10-a、沒有解釋特定的性質是如何相關連的 L2-10-b、沒有用公式表示也沒有正式的定義 L2-10-c、沒有解釋部分種類的關係遠超過再一次檢驗明確的實例給予的性質 列舉 L2-10-d、沒有看見證明的需要或經驗性的發現概括性的邏輯解釋並且沒有正 確的使用相關的語言（例如，假如～然後、因為） （引自吳德邦、李懿芳、馬秀蘭（2006）。立體幾何思考層次測驗編 製歷程之研究。載於吳德邦主編：

數學考卷編製暨評析研討會論文集暨會

議實務彙編

，p.601） 對於 van Hiele 立體幾何思考層次的描述中，在層次三的階段，學生能 有系統的說明並使用定義，對於先前發現的性質給予非形式化的論點如同 給予推論的觀點一般（吳德邦等，2006）。茲將立體幾何思考層次三的描

表 2-3 立體幾何思考層次三的描述 層次三 描述 學生 L3-1-a、定義不同性質的形式用以描繪形體種類的特性並且檢測這些是充足的 L3-1-b、極少性質形式的定義可以來描繪形體的特性 L3-1-c、使用定義和用公式來表示來把形體分類 L3-2、給予非正式的推論(使用圖片，對摺剪下的形狀，或者其他的材料) L3-2-a、使用邏輯關係運算的結論，從給予的訊息描繪出一個結果。 L3-2-b、整理形體的分類 L3-2-c、整理二個性質 L3-2-d、藉著推論來發現新的性質 L3-2-e、系統(family tree)內一些相關連的性質 L3-3、給予非形式推論的論證 L3-3-a、遵照推論的論證並且能夠支持部分的論證 L3-3-b、給予一個推論論證概括或改變 L3-3-c、自己來給予推論的論證 L3-4、給予超過一個以上的解釋來證明一些正好可以被系統所使用的解釋 L3-5、非正式的認定在說明與交談之間的不同 L3-6、確認和使用策略或具洞察力的理由來解決問題 L3-7、認識到推論的角色和以推論的模式來處理問題 L3-7a、在公理中沒有掌握推論的涵義，因為(例如：沒能暸解定義的需要和基本 的假設) L3-7b、沒有正式的區別陳述和交談間的關係(例如：不能分別”Siamese twins”--陳述和交談) L3-7c、還沒有在定理的網路之間建立關係。 （引自吳德邦、李懿芳、馬秀蘭（2006）。立體幾何思考層次測驗編製歷 程之研究。載於吳德邦主編：

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務彙編

，p.602）

第二節 國小立體幾何課程相關研究

幾何是數學課程必要的內容，幾何可幫助人們用有條理的方式，表現 和描述生活的世界（NCTM, 2000）。幾何和空間推理更是學習數學及其他 科目的基礎（Clements & Battista, 1992），因此幾何教育的重要性是無庸置 疑的。

因研究者所施測的對象所使用的數學教材是以九年一貫暫行綱要所 編制的，因此先就九年一貫暫行綱要有關「立體幾何」課程的能力指標來 加以探討。

一、九年一貫暫行綱要有關「立體幾何」課程的能力指標

九年一貫課程暫行綱要將數學的主要學習內容分為數與量、圖形與空 間、統計與機率、代數、連結等五大主題，本研究主要的內容是屬於圖形 與空間的部分，因此將圖形與空間中關於立體幾何的能力指標呈現在表 2-4 中（教育部，2000）： 表 2-4 九年一貫課程暫行綱要中有關國小立體幾何能力指標 階段 編碼 能力指標 S-1-1 能由形體的外觀辨認出某一形體。 S-1-2 能依據二維、三維基本形體的外觀做簡單分類。 S-1-3 能複製二維、三維的基本形體。 S-1-4 能使用非標準或標準的名稱描述基本形體。 S-1-7 能透過實際操作認識鉛垂線與水平線、水平面。 S-1-8 能辨認周遭物體中的直線、平面。 第一 階段 S-1-10 能透過具體操作判斷某些簡單圖形可作無空隙的平面舖設或 立體堆疊(面積、體積)。 S-2-1 就給定的幾何形體，能確認並說出組成要素的名稱，並在檢驗 後適當地描述其要素間的關係。 S-2-2 能依基本形體的組成要素之間的關係比較兩形體的異同。 S-2-3 能透過實測察覺形體的性質。 第二 階段 S-2-5 能瞭解兩鉛垂直線及兩水平直線互相平行。 S-3-1 能使用形體的性質描述某一類形體。 S-3-2 能指出合於所予性質的形體。 第三 階段 S-3-3 從一類形體的特性中，指出那些性質也適用於另一類形體。 由表 2-4 可知，九年一貫課程暫行綱要有關國小立體幾何教材的內 容，在第一階段著重在辨認形體並將形體分類，第二階段著重在知道形體 的組成要素，第三階段著重在能使用形體的性質描述形體。

二、九年一貫正式綱要有關「立體幾何」課程的能力指標

教育部在 2003 年又對數學課程綱要作修訂，在領域中將數學內容分 為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結五大主題。其中只有「幾何」 的部分與九年一貫暫行綱要不同，由「圖形與空間」改為「幾何」，玆將 有關立體幾何的能力指標整理如表 2-5： 表 2-5 九年一貫課程正式綱要中有關國小立體幾何能力指標 階段 編碼 能力指標 S-1-01 能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。 S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 第一 階段 S-1-07 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。 S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分類。 S-2-02 能理解垂直與平行的意義。 第二 階段 S-2-07 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。 S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。 第三 階段 S-3-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。 在國小立體幾何課程大概分為三個階段（教育部，2003）：階段一（一 年級到三年級）：較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對於幾何形 體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義。階段二（四年級 到五年級）：由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合「數」與「形」 兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素（如角、邊、面）及其數量性質 （如角度、邊長、面積）。階段三（六年級到七年級）：透過形體的分割、 拼合、截補、變形及變換等操作，來了解形體的性質與幾何量的計算及非 形式化推理。透過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視 覺推理。

第三節 幾何概念的相關研究

本節主要將與本研究有關的文獻及其他相關研究整理，分為四大部 分，一、國小階段相關的幾何概念，二、國中階段相關的幾何概念，三、 高工階段相關的幾何概念，四、大專階段相關的幾何概念。玆分述如下：

一、國小階段相關的幾何概念

（一）Stigler, Lee & Stevenson (1990)對美國、日本和台灣的研究顯示，日 本和台灣的五年級學生在幾何測驗上比美國的成績高於兩倍。日本 學生一年級和五年級學生比美國學生在視覺和摺紙測驗上的成績都 還要高很多，台灣的學生在這方面的成績比美國學生只高一些。 （二）Seng & Chan（2000）對 127 名新加坡國小五年級學童進行空間能力

的測驗， 以了解空間能力及數學成就之間的關係，結果發現空間能 力與數學成就測量中的計算、概念、應用和年級有顯著的正相關， 空 間因素的成績可作為數學成就測量的重要預測。 （三）吳德邦、鄭佳昇（2001）研究以表徵觀點嘗試了解兒童立體幾何概 念的形成，以提供教師在進行立體幾何教學時的參考。結果顯示， 國小階段學生對於立體幾何表徵能力可以分為兩階段，第一階段： 完全以平面幾何的認知來擴展立體幾何的知識：此階段的學童對於 立體圖形的認知來自於平面幾何，並且先以視覺的觀點來檢視立體 圖形，然後運用他們舊有的平面幾何知識來類化立體圖形，而形成 初步的立體幾何概念。第二階段：能夠直接分析立體圖形：此階段 的學童已有空間思考的能力，能夠在腦海中構成立體圖形的心像 （image），並且透過圖畫表達出來。學童達此階段，對於立體幾何

圖形，並形成表徵。 （四）蔡秉恆（2002）「國小六年級學生運用網路數位學校學習『柱體與 錐體』成效之研究」，研究樣本為高雄市兩班之學生，蔡秉恆自編學 習成就前測與後側兩份試卷，測驗學童的幾何思考層次，分析實驗 組及控制組在前測與後測中，學童的幾何思考層次，在實驗組與控 制組兩種教學方式，對於國小六年級學生柱體與錐體概念發展層次 較低的學生同樣有良好的提昇作用，但該測驗工具較為簡略。 （五）薛建成（2003）以 van Hiele 理論為依據所發展的測驗工具，研究 臺灣中部地區，隨機抽樣的 722 名兒童的 van Hiele 思考層次，結 果發現：1、兒童對圖形直線與曲線的判別較易達成，而對於旋轉圖 形的判別是有困難的；2、兒童的幾何層次表現是經由「學習的過 程」；3、男、女生在 van Hiele 幾何層次的表現沒有顯著差異。 （六）謝貞秀、張英傑（2003）研究國小三、四年級兒童平面幾何圖形的 概念，兼採紙筆測驗和個別晤談的研究方法。以臺北縣、市各一所 小學的三、四年級，各抽取兩班共 266 名兒童進行「紙筆測驗」，再 從每年級筆試成績高、低分組的學生中各選出 4 名（男女生各 2 名）， 共計 16 名進行個別晤談。結果顯示：兒童在描述正三角形、等腰三 角形時，大都是描述「邊的性質」；中年級兒童辨識圖形受圖形的大 小、方位、邊數角數、邊的曲直、邊的長短、邊角的性質、封閉性 等影響，而產生一些迷思概念。對於圖形「邊」的性質之了解多於 「角」的性質。三、四年級的兒童在紙筆測驗之表現沒有達到顯著 差異。不同性別的兒童在紙筆測驗部分，三年級無顯著差異，四年 級則達到顯著差異（ P =.002），女生的平均分數高於男生。不同性 別、不同年級的學童其造圖的能力差異不顯著。 （七）張英傑（2003）利用診斷教學實驗對於澄清高年級學童的四邊形迷

思概念的研究結果中發現，學生出現「認為正方形不是長方形」、「認 為正方形不是菱形」、「認為長方形不是平行四邊形」、「認為菱形不 是平行四邊形」、「認為正方形不是平行四邊形」五項迷思概念。 （八）林木明（2004）在「發展立體幾何教學模組進行補救教學之研究以 國小六年級學童為例」的研究中，主要是運用國小六年級立體幾何 教學模組對四位學童進行補救教學並探討教學後的成效。研究發 現：1.補救教學前，研究對象對於立體幾何中「形體的辨識」、「要 素的掌握」、「展開圖」、「透視圖」及「平行及垂直關係」等概念解 題表現不理想。2.經過補救教學，除了一位學童對於「斜放形體的 辨識」和「透視圖中虛線的含意」及一位學童對「錐體側邊等長」 及「立體圖形中邊與邊的垂直、平行關係」學習還不穩定外，四位 學童對於「立體幾何」其他概念皆能獲得理解。 （九）吳明郁（2004）在「國小四年級學童空間能力學習的研究：以立體 幾何展開圖為例」的研究中，在探討國小四年級學童在以強調探索、 觀察、實作的「非形式幾何」精神為設計依據的「立體幾何展開圖」 教學活動中，其空間能力的學習成效。研究結果發現：學童在歷經 「立體幾何展開圖」教學活動的學習後，不同數學學習成就（低、 中、高）與不同性別（男、女）的四年級學童都有良好的立即學習 成效及保留成效；經過共變數分析，發現這些學童在後測、延後測 的表現上沒有顯著差異，顯示這樣的教學活動設計對不同數學學習 成就與不同性別的四年級學童都是適宜的；此外，學童在「空間視 覺化」測驗的進步幅度比「空間導向」為佳。 （十）吳德邦等（2004）在「國小學童立體圖畫表徵之研究—以長方體為 例」，是以 Mitchelmore 所發表的「國小學童立體徒手畫發展階段」

（十一）陳東村（2005）的研究為探討研究國小學童對於五種基本幾何立 體物（長方體、圓柱、圓錐、三角錐、三角柱）的立體表徵能力 與類型，研究其男女的差異、不同年級的差異。玆將其結果陳述 如表 2-6。 表 2-6 國小學童五種基本幾何立體圖形的立體表徵能力差異表 性別之間的表徵能力差異 年級之間表徵能力差異 長 方 體 一年級有差異，其他年級性別 上表徵能力差異不明顯 越高年級表徵呈現在較高的階段 圓 柱 各年級性別上表徵能力差異不 明顯 越高年級表徵呈現在較高的階段 圓 錐 六年級在性別上有表徵差異， 其他年級則不明顯 越高年級表徵呈現在較高的階段 三 角 錐 各年級性別上表徵能力差異不 明顯 越高年級表徵呈現在較高的階段 三 角 柱 各年級性別上表徵能力差異不 明顯 越高年級表徵呈現在較高的階段 從表 2-6 可知，在性別部分，有顯著差異的為一年級的學生在 長方體的表徵能力、六年級的學生在圓錐的表徵能力。在年級之間 表徵能力差異部份，越高年級表徵呈現在較高的階段。

（十二）Wu & Ma（2005a）以「吳-薛氏國小學童 van Hiele 幾何思考層次」 採量化的研究法，研究臺灣地區國小一至六年級學童在 van Hiele 幾何思考層次中層次一的幾何概念，從 23 個縣市隨機取樣 5,581 位學童，研究結果指出：1、由於直線與曲線的明顯區別，所以對 學生的辨識來說是容易的。2、對學生而言，辨識圓形最容易，其 次是三角形、不等邊的四邊形最困難。 （十三）吳德邦等（2006）在「立體幾何思考層次測驗編製歷程之研究」

中，探討臺中市某國小四至六年級共 183 位學生其立體幾何之概 念。結果如下：不同年級之學童在 van Hiele 立體幾何思考層次 的表現，四年級的學童多分布在層次一，百分比為 45. 2﹪，五年 級的學童多分布在層次二，百分比為 44. 2﹪，六年級的學童多分 布在層次二，百分比為 52. 2﹪，及層次三，百分比為 45.0﹪。表 示臺中市地區的學童在 van Hiele 立體幾何思考層次的表現是有 階層性的，年級較低的其立體幾何思考層次就較低，這有與 van Hiele 的論點相吻合。

（十四）Wu & Ma(2006)研究一到六年級學童在平面幾何思考層次的分布情 形中，從台灣地區二十三個縣市中隨機抽取 5,581 位ㄧ到六年級 的小學生為施測樣本，測驗工具為吳-薛氏幾何測驗。該測驗總 共有 70 題選擇題，包含 van Hiele 平面幾何思考層次一、層次二、 層次三的題目，涵蓋三角形、四邊形和圓形。學童受測的情形如 表 2-7、表 2-8、表 2-9、表 2-10 所列。 表 2-7 各形狀在層次一到層次三的分布情形 從表2-7可知，在三角形的概念中，有43.0﹪的學童達層次一，有28.0 ﹪的學童達層次二，有5.2﹪的學童達層次三。在四邊形的概念中，有25.9 ﹪的學童達層次一，有28.0﹪的學童達層次二，有5.2﹪的學童達層次三。 三角形 四邊形 圓形 人數 百分比 （﹪） 人數 百分比 （﹪） 人數 百分比 （﹪） 未達層次一 1163 20.8 1691 30.3 431 7.7 層次一 2402 43.0 1447 25.9 1995 35.7 層次二 1561 28.0 1563 28.0 2538 45.5 層次三 293 5.2 305 5.5 432 7.7 跳躍現象 162 2.9 575 10.3 185 3.3 總計 5581 100.0 5581 100.0 5581 100.0

（

引自Wu & Ma, 2006

）

表 2-8 三角形概念在 van Hiele 平面幾何思考層次的分布表 三角形 總計 未達層次一 層次一 層次二 層次三 年級 一 人數 472 438 0 0 910 年級的百分比 51.9% 48.1% .0% .0% 100.0% 二 人數 341 571 0 0 912 年級的百分比 37.4% 62.6% .0% .0% 100.0% 三 人數 151 494 239 0 884 年級的百分比 17.1% 55.9% 27.0% .0% 100.0% 四 人數 78 448 359 0 885 年級的百分比 8.8% 50.6% 40.6% .0% 100.0% 五 人數 68 262 449 96 875 年級的百分比 7.8% 29.9% 51.3% 11.0% 100.0% 六 人數 53 189 514 197 953 年級的百分比 5.6% 19.8% 53.9% 20.7% 100.0% 總計 總人數 1163 2402 1561 293 5419 全部年級的百分比 21.5% 44.3% 28.8% 5.4% 100.0%

（

引自Wu & Ma, 2006

）

由Wu & Ma（2006）的研究中發現，在三角形的概念中，一年級的學 童達層次一的佔48.1﹪。二年級的學童達層次一的佔62.6﹪。三年級的學 童達層次一的佔55.9﹪、達層次二的佔27.0﹪。四年級的學童達層次一的 佔50.6﹪、達層次二的佔40.6﹪。五年級的學童達層次一的佔29.9﹪、達層 次二的佔51.3﹪、達層次三的佔11.0﹪。六年級的學童達層次一的佔19.8 ﹪、達層次二的佔53.9﹪、達層次三的佔20.7﹪。在全部受試的學生中， 有44.3﹪達層次一、28.8﹪達層次二、5.4﹪達層次三。

表 2-9 四邊形概念在 van Hiele 平面幾何思考層次的分布表 四邊形 總計 未達 層次一 層次一 層次二 層次三 一 人數 627 283 0 0 910 年級的百分比 68.9% 31.1% .0% .0% 100.0% 二 人數 488 424 0 0 912 年級的百分比 53.5% 46.5% .0% .0% 100.0% 三 人數 288 330 225 0 843 年級的百分比 34.2% 39.1% 26.7% .0% 100.0% 四 人數 127 263 443 0 833 年級的百分比 15.2% 31.6% 53.2% .0% 100.0% 五 人數 86 84 441 113 724 年級的百分比 11.9% 11.6% 60.9% 15.6% 100.0% 六 人數 75 63 454 192 784 年 級 年級的百分比 9.6% 8.0% 57.9% 24.5% 100.0% 總計 總人數 1691 1447 1563 305 5006 全部年級的百分比 33.8% 28.9% 31.2% 6.1% 100.0% （引自 Wu & Ma, 2006） 討論： 由 Wu & Ma（2006）的研究中發現，在四邊形的概念中，一年級的學 童達層次一的佔 31.1﹪。二年級的學童達層次一的佔 46.5﹪。三年級的學 童達層次一的佔 39.1﹪、達層次二的佔 26.7﹪。四年級的學童達層次一的 佔 31.6﹪、達層次二的佔 53.2﹪。五年級的學童達層次一的佔 11.6﹪、達 層次二的佔 60.9﹪、達層次三的佔 15.6﹪。六年級的學童達層次一的佔 8.0 ﹪、達層次二的佔 57.9﹪、達層次三的佔 24.5﹪。在全部受試的學生中， 有 28.9﹪達層次一、31.2﹪達層次二、6.1﹪達層次三。

表 2-10 圓形概念在 van Hiele 平面幾何思考層次的分布表 圓形 總計

未達層次一 層次一 層次二 層次三 一 人數 220 690 0 0 910 年級的百分比 24.2% 75.8% .0% .0% 100.0% 二 人數 97 815 0 0 912 年級的百分比 10.6% 89.4% .0% .0% 100.0% 三 人數 58 285 546 1 890 年級的百分比 6.5% 32.0% 61.3% .1% 100.0% 四 人數 20 132 717 2 871 年級的百分比 2.3% 15.2% 82.3% .2% 100.0% 五 人數 22 35 644 159 860 年級的百分比 2.6% 4.1% 74.9% 18.5% 100.0% 六 人數 14 38 631 270 953 年 級 年級的百分比 1.5% 4.0% 66.2% 28.3% 100.0% 總計 總人數 431 1995 2538 432 5396 全部的百分比 8.0% 37.0% 47.0% 8.0% 100.0% （引自 Wu & Ma, 2006） 討論： 由 Wu & Ma（2006）的研究中發現，在圓形的概念中，一年級的學童 達層次一的佔 75.8﹪。二年級的學童達層次一的佔 89.4﹪。三年級的學童 達層次一的佔 32.0﹪、達層次二的佔 61.3﹪、達層次三的佔 0.1﹪。四年 級的學童達層次一的佔 15.2﹪、達層次二的佔 82.3﹪、達層次三的佔 0.2 ﹪。五年級的學童達層次一的佔 4.1﹪、達層次二的佔 74.9﹪、達層次三 的佔 18.5﹪。六年級的學童有達層次一的佔 4.0﹪、達層次二的佔 66.2﹪、 達層次三的佔 28.3﹪。在全部受試的學生中，有 37.0﹪達層次一、47.0﹪ 達層次二、8.0﹪達層次三。

二、國中階段相關的幾何概念

（一）左台益、梁勇能（2001）研究大臺北地區 222 位國二學生，檢驗國 二學生空間能力與 van Hiele 幾何思考層次的交互影響性、及國二生 解決空間問題之策略，採相關研究法的實驗設計，研究結果發現學 生空間能力與 van Hiele 幾何思考層次以及解決空間幾何問題均呈現

正相關。 （二）洪萬生（2003）在「青少年數學概念發展研究」的研究中，打算建 立我國青少年（從小六到國三）立體幾何概念發展的本土資料庫。 其內容將涵蓋青少年在立體幾何思考、空間推理、視覺具像能力乃 至於幾何表徵等所呈現的認知特性。研究的結果，學生在一、二年 級的回答狀況與三年級的學生有著較大的差別。因此，就立體空間 來說，我們大概可以將國中三年分成兩個階段，第一階段為國中一、 二年級，第二階段為國中三年級。在文獻中也談及由於所研究的對 象是國中學生，所以，向下國小及向上高中的連結，也是將來重要 的課題。 （三）陳創義（2003）調查臺灣青少年幾何形狀概念發展情況，並研擬我 國學生幾何形狀學習的學習路徑臆測。採全國抽樣問卷調查法，計 抽樣國一 1,178 人、國二 1,148 人、國三 1,122 人。結果顯示：1.三 角形的辨識認知發展，在國三時嚴密性的要求及非原形例明顯增 加。2.圖形分類受到語意、原形例、互斥思維、空間思維等因素的 影響。3.國中生對有關幾何形狀的敘述中的邏輯語詞以及性質的描 述，到了三年級能夠瞭解清楚不到 1/5。4.學生相似概念受到語意的 影響，其另有的概念有『全等、同類、近似』等。5.圖形拼合操弄 受到平分概念的影響。 （四）吳文如（2004）在「國中生空間能力與數學成就相關因素之研究」 中，探討國中生不同年級、不同性別的空間能力與數學學習成就之 間的差異及相關因素。研究結果如下：1、國中生空間能力的表現個 別差異很大。2、國中生的空間能力與數學成就有中度相關存在。3、 國中生一、二、三年級的空間能力表現沒有差異。4、國中男、女生

與數學成績的相關最高。6、男、女生空間能力的整體表現與數學成 績的相關最高。

三、高中階段相關的幾何概念

（一）Battista（1990） 在進行高中學生幾何空間視覺化能力及性別差異 的研究時提到， 男生在空間視覺、幾何成就及幾何問題解決方面的 成績明顯高於女生， 但在邏輯語言能力或其所使用的幾何問題解決 策略方面則沒有什麼不同。 （二）劉俊祥（2000）在「機械製圖科學生空間能力與立體圖成就表現之 相關研究」中，分析不同學校性質、學校區位、性別及年級別之機 械製圖科學生在空間能力測量與立體圖成就表現測驗的差異，結果 發現 1、城市學校學生在立體圖成就表現測驗上顯著高於鄉村學校 學生。2、男生在立體圖成就表現測驗上顯著高於女生。3、不同年 級之學生在立體圖成就表現測驗上三年級高於二年級、一年級，二 年級高於一年級。 （三）陳鎮潦（2004）在「高工製圖科學生學習立體圖與提昇空間能力相 關之研究」中，其主要目的在探討高工學生學習立體圖與提昇空間 能力兩者之相關性，研究發現立體圖學習成就低落的學生經過立體 圖輔助學習教材教學後在空間感觀能力、立體圖旋轉能力、二度空 間旋轉能力、空間組織能力及整體空間能力均有顯著進步。

四、大專階段相關的幾何概念

（一）吳德邦（1996）在「范析理模式對我國師範學院學生在非歐幾何學的學 習成就與幾何思考層次之研究」中，其主要目的，係在使用由范析理 (van Hiele)所發展出來約五段式學習模式於教學，以探討我國師範學

究對象為台中師範學院兩班數學組學生，每班各有二十六名。兩組 學生接受等量的非歐幾何學教材和相同的教學時數，但使用不同的 教學策略。控制組學生是採傳統講授式教學法;實驗組學生則施以范 析理五段式學習模式教學法。研究所獲得的結論如下:(a)我國師範學 院數學組學生，在非歐幾何教學上，採用范析理五段式學習模式教 學法比採用傳統講授式教學法，更能產生較高的幾何思考層次;(b) 我國師範學院數學組學生，在非歐幾何教學上，採用范析理五段學 習模式教學法，其學習成就顯著高於採用傳統講授式教學法。 （二）陳進春、吳德邦 (2005)在「醫護專科學校學生 van Hiele 幾何思考 層次之研究」中，係在使用由 van Hiele 所發展出來的思考模式，以 探討我國醫護專科學校學生 van Hiele 幾何思考層次的分布情形。筆 試的樣本取自臺灣南部醫護專科學校學生，計 464 個樣本。資料分 析後，得到下列的研究結果： 1.醫護專科學校學生，其 van Hiele 幾何思考層次之分布情形，從層次一至層次五的百分比，分別為： 44.20%、21.6%、4.5%、0.0%、0.0%。 2.醫護專科學校不同性別學 生在 van Hiele 幾何思考層次分布無顯著的差異( P=0.377)。 3.醫護 專科學校不同科別學生在 van Hiele 幾何思考層次分布無顯著的差異 (p=0.675)。 4.醫護專科學校不同年級學生在 van Hiele 幾何思考層次 分布有顯著的差異(p=0.038)。 小結：由以上的研究發現，從國小到大專皆有學者研究幾何或 van Hiele 理論相關主題，本研究結合 van Hiele 理論探討台灣中部地區國小學 童立體幾何概念及立體幾何思考層次分布情形。