GeoGebra電腦輔助學習環境

數學概念包括一系列有意義的情境、由基本關係組成的不變性、以及用表徵 形式所呈現的符號(Vergnaud，1987)，數學的學習涵蓋數值的、代數的、圖型的 及語意的各種表徵(representation)的交互應用(Kaput，1992)。電腦視窗環境同時 包含文字、圖形、圖案、靜態畫面、動畫、影像等，在適當的設計下，將數學概 念用這些表徵方式來呈現，將教學內容以動態的畫面呈現出來，而使得數學概念 中的基本關係外顯出來，不同表徵間的變化情形用連結的方式一起變化，並在視 窗中展現多重表徵間的連結(蔡志仁，2000)。

電腦提供強大的計算與繪圖能力，使個體可使用真實數據以進行模擬或建模 (modeling)的活動並可直接地操弄數學物件與關係，以鏈結真實經驗與數學形式 (Balacheff & Kaput，1996)。函數概念受限於過去工具的功能，其呈現方式是靜態 的抽象符號式，少有直觀的(intuitive)、數值的(numerical)動態想法(謝哲仁，

2001)， 動態幾何是一個允許使用者建構、操作幾何基本圖形的工具視窗環境(全 任重，1996； 林保平，1998)，加上度量、計算器及函數運算的功能，隨著動態 幾何軟體工具和教學觀念的發展，幾何和代數的教學可以從較直觀的、動態的圖 形著手(林保平，2000)。

Rahim(2000)以 14 名職前教師為對象，施以每週 80 分鐘的研習，共 12 週。

在研習最後的回饋中，學員表示對於將來在數學教學中使用動態幾何軟體從存疑 到充滿自信；他們同意可運用動態幾何軟體於幾何、代數和三角學的教學中，加 拿大安大略省的教育部也強烈建議融入動態幾何軟體於高中數學課程中(Rahim，

2000)。

以下將探討動態幾何軟體的功能與特質，以作為本研究設計GeoGebra輔助學 習環境的重要參考。

一、 符合尺規作圖原理(Euclidean constructions)

利用動態幾何軟體中所提供的作圖工具，仿照直尺或圓規的作圖方法，可容 易地製作出精確的幾何圖形，如：畫點、直線、線段、射線、圓、圓弧、平行

線、垂直線、角平分線⋯等。線與線、線與圓、或圓與圓可立即產生交點，並能 利用這些基本功能的組合，製作較複雜的幾何圖形。而這些作圖工具均依照幾何 的定義而設計，因此圖形精確適合幾何教學(林保平，1997；Rahim，2000)。

二、 圖形可操作，具幾何變換(transformation)功能

利用動態幾何軟體工具所得的圖形整體或其構成部份，均可在螢幕上，利用 滑鼠指標直接依作圖時的定義，移動其位置或改變形狀，或利用軟體提供的幾何 變換(Geometric Transformation)功能，選出變換的基準，如：平移向量、鏡射軸、

旋轉或相似中心、放縮的比例、旋轉的角度等等，再作平移、旋轉、鏡射、相似 等變換。幾何作圖及圖形可操作及變換的功能，是動態幾何軟體能成為臆測、探 索幾何性質工具的原因之一(林保平，1997；Rahim，2000)。

三、 提供解析幾何(Analytic Geometry)的坐標系統

動態幾何軟體提供直角坐標與極坐標平面，可給定點坐標後描點，或利用度 量工具，求得任意點的坐標、量測距離、斜率等，並擁有畫多項式函數、三角函 數、 指數函數、對數函數…等圖形的功能。給定特定參數，可觀察函數圖形與對 應係數的關係；量測數值精確，適合解析幾何教學(Rahim，2000)。

四、 動態連續變化及不變性

動態係指在該環境下，圖形及數值可以做連續的變動，當圖形或其某一構成 元素改變位置、形狀或被變換時，其改變的過程是漸進及連續的。不只圖形的最 終狀態呈現出來，其位置改變過程中的圖形，也連續呈現出來，使用者看到的是 一個連續的變動過程。使得學生能觀察圖形的連續變換，並由度量工具，如：量 角度、長度、面積、周長、弧長⋯，顯示點的坐標，直線的斜率等之輔助來發現 幾何的不變性質(invariant)(林保平，1997)。

五、 同時具手動操作及自動化功能

動態幾何軟體具拉曳(dragging)及動態模擬(animate)功能，經由適當設計後，

程式會呈現動態過程，可隨意停止、繼續，十分方便；也可以手動操作，控制速 度，方便觀察、比較、臆測。使用者可於恰當的時刻暫停程式之自動運作，思考 情境問題，或重複畫面上的動態過程，以進一步觀察數學性質。在手動操作不易 精準 (如：重合或疊合兩圖形)，可透過設計動作按鈕(action button)使電腦自動操 作，增加準確度(林保平，1995)。使用者可隨心所欲操控程式，符合杜威「做中 學」，也方便使用者隨個人差異建構概念。

六、 動態互動、視覺化、情境化及數值化並結合圖像和文字的多重表徵視 窗環境

動態幾何軟體可以互動係指圖形的變動或符號式參數之變動將帶動符號式或 圖形做相應的變動，而某點之坐標也會隨著點位置之改變而改變。圖形或符號式 的改變可由使用者經由滑鼠直接操作。這種動態可操作及多重表徵的環境，提供 了探討函數平移、放縮及函數或方程式參數變換與圖形間的相互關係(林保平，

1996)。視窗中可同時呈現(1)文字模式(text mode)－問題情境的呈現，(2)數值模式 (numerical mode)－探索函數、參數、測量值等各種可能數值的變化，(3)圖形模式 (graphical mode)－對應數值更動的圖形變化。各模式之間是動態連結的；亦即使 用者可以更改文字模式的數值(探索各種不同的情境，確定了解問題)，其相關的 數值及圖形模式就會快速地更動。把圖形的意涵從被動的層次提升至較為主動的 層次，並可透過連結(link)的設定及程式的設計達到課程間的橫向連結(謝哲仁，

2001)。

七、 特殊即一般(保持結構)

通常我們因證明需要而畫一個幾何圖形時，我們畫的是一個「特殊」的圖 形，但證明過程中一直將它想成「一般」的圖形，證完之後，我們也認定所證明 的是具有相同「已知」的任意圖形所擁有的性質。許多學生習於這種特殊圖形，

對於證明過程中，圖形所代表的「一般化」性質並不了解(Balacheff，1988)，若 將圖形改變形狀之後，可能就認為它們是不同的問題。Williams(1979)發現 20﹪

的學生不明瞭演繹證明的結論係對所有符合「已知」的幾何圖形均成立的，並且 只有 31% 的學生了解這個證明的一般化原則，Fischbein(1982)也曾描述相似的結 果，只有 24.5% 的學生認為證明過後，對其他特例不必重新檢驗。在動態幾何軟 體下所作的幾何圖形，使用者可任意移動圖形的構成元素，而圖形因其構成元素 改變相對位置而改變形狀以後，其構成元素間的「幾何結構」保持不變，因此，

所得到的是「一般化」的任意圖形(能保持某種固定特質的多種圖形)，能幫助學 生了解具有這種「特徵性質」的圖形在證明過程的「代表性」，是教學時能提供 學生觀察、比較、臆測、 驗證幾何圖形性質的重要工具(林保平，1997)。

傳統教材靜態的文字、圖形陳述實不易導引出探索的情境，因此不容易引導 學生主動式的學習（余酈惠，2002）。適當運用各種學習理論、教學理論、配合 動態幾何軟體的特質與功能，學習環境的設計可讓學生透過圖形概念連結基本函 數概念、探測與驗證教材內容，發現數學結果的變動與不變動、經歷知識的過程 與成果，符合 NCTM(2000)「數學原則與標準」對幾何教學、科技工具運用的主 張。

以下對 Geometry Sketch pad (簡稱 GSP)及 GeoGebra 功能性作個對照比較，並列 表於表 2-3。

表 2-3 GSP 及 GeoGebra 對照比較表

項目 GSP GeoGebra

Ａ 價格

校園版 50000 元 個人版 6000 元 學生版 1600 元

免費

自行至網站下載

Ｂ 繪圖

工具 基本的線及圓作圖

有較多的繪圖工具如:

半圓,切線,中垂線,角平分線, 過 5 點的圓錐曲線等

Ｃ 輸入 方程 式

畫函數方程式的圖形步驟較繁 雜難記

有輸入欄位可用，能快速的輸入 函數方程式或繪圖指令

Ｄ 相關 書籍 資源

中文書如 :

聯 經 出 版 社 ： 國 中 幾 何 動 動 動；各教科書出版社所提供的 教學光碟及範例

網站如 :

師大陳創義教授,

宜蘭高中官長壽等有豐富的範 例檔案

中文書: 各教科書出版社所提供的 教學光碟及範例

網站:

錦和高中數學教學網

GeoGebraWiKi : 任何人均可上傳 提供檔案, 分享教育資源

E

輸出 為網 頁

轉換為 JavaSketchPad, 但對於某 些繪圖指令不支援

GeoGebra 是以 Java 語言設計 的,100%可轉換為網頁，可跨平 台及作業系統

F

文字

工具 可加入簡單文字

可在圖形上加入文字及數學符號 (支援 Latex 語法, 可顯示 2, 1

3 , 根號及分數)

在表 2-3 中的項目分述如下：

A. 想要進行資訊化教學會碰到最實際的問題。

B. GSP 的作圖是利用滑鼠，選取適當的指令，6 個簡單的 icon 孤零零的掛在 左邊，畫面略顯單調；GeoGebra 的畫面上有一連串的大型彩色 icon，按每個 icon 的右下方小三角形，則有更多的工具可供選擇，右邊還有一些簡單的文字說明，

省去了查閱使用說明的麻煩，這個體貼的設計使得學習數學繪圖不再那麼困難。

C. 在 GSP 中若要輸入方程式，可要翻箱倒櫃佈置一下才可輸入，先要設定坐 標軸，再來是Ｘ軸上找一點，點選 度量/計算……，繁複的操作步驟，令人望而 卻步。反觀 GeoGebra 的畫面簡單明瞭，只要在輸入欄位輸入即可，讓人一看便 知如何操作。

D. GSP 及 GeoGebra 相關繪圖的書不多，許多有用的資源都在網路上。而各 教科書出版社也都有提供 GSP 及 GeoGebra 的教學光碟及範例。

E. 在網路上討論數學問題若有個圖形來說明，讓討論的雙方都能看的明白，

是個很好的輔助方式，以 GeoGebra 所畫出的圖可完全轉換成網頁，而 GSP 則需 要有軟體的支援才行。

F. 畫出來的圖免不了要文字說明，GeoGebra 支援 Latex 語法，很容易可顯示 出數學的符號，當然轉換成網頁之後，這些數學符號一樣可以顯現出來。

基於以上功能性分析，本研究採用 GeoGebra 設計動態幾何輔助教學環境，

並將成果轉成網頁放在學校網站，不僅能用以輔助教學，學生更能隨時隨地自己 上網學習，部分 GeoGebra 電腦輔助教學環境截圖置於附錄 A。