利用稜鏡光柵製作高密度分波解多工系統和分色贗無繞射相位繞射元件之研究

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(1)國立交通大學光電工程研究所博士論文. 利用稜鏡光柵製作高密度分波解多工系統和分色贗無繞射相位繞射元件之研究 Studies on a dense wavelength division demultiplexing system with grism structure and a diffractive phase element for color-division pseudo non-diffraction beam. 研究生：施至柔指導教授：陸懋宏. 中華民國九十四年六月.

(2) 利用稜鏡光柵製作高密度分波解多工系統和分色贗無繞射相位繞射元件之研究 Studies on a dense wavelength division demultiplexing system with grism structure and a diffractive phase element for color-division pseudo non-diffraction beam. 研究生：施至柔. Student：Jyh-Rou Sze. 指導教授：陸懋宏. Advisor：Mao-Hong Lu. 國立交通大學光電工程研究所博士論文. A Thesis Submitted to Institute of Electro-Optical Engineering College of Electronic Engineering and Computer Science National Chiao Tung University In partial Fulfillment of the Requirements For the Degree of Doctor In Electro-Optical Engineering June 2005 Hsinchu, Taiwan, Republic of China 中華民國九十四年六月.

(3) 利用稜鏡光柵製作高密度分波解多工系統和分色贗無繞射相位繞射元件之研究學. 生：施至柔. 指導教授：陸懋宏國立交通大學光電工程研究所摘要. 本論文的研究工作共分為兩部份，分別為具有特殊功能的繞射相位元件與自由空間型的高密度分波解多工系統的研究。在論文的第一部份，將說明具有特殊功能繞射相位元件的研究工作，我們分別利用共軛梯度法與振幅相位重建演算法設計出能產生三色贗無繞射光束的繞射相位元件，再利用黃光微影製程與反應離子蝕刻技術製作出所需的繞射元件，最後利用數值方法作各項誤差分析，實驗量測結果顯示所製作的繞射元件具有所要求的光學特性，例如在一定的軸向距離內能產生六段贗無繞射光束並且在每一段光束中只存在一種波長。在論文的第二部份，將說明自由空間型高密度分波解多工系統的研究工作，此系統具有 16 個通道並且每個通道中心波長差為 0.8nm。首先我們利用 KRS-5 紅外材料設計出稜鏡光柵作為自由空間型的分波解多工器，利用精密鑽石微加工車床直接在稜鏡表面刻劃出閃耀光柵，此光學稜鏡與閃耀光柵的複合元件稱為稜鏡光柵。為了估算製程誤差對光學特性的影響，我們利用數值方法計算出在各種不同的製程誤差下分波解多工器的光學特性，由模擬計算與實驗量測結果可知所設計的分波解多工器其光學特性為極化無關並且具有好的光學效率與訊噪比。其次，我們設計出此分波解多工器與商用光纖陣列間的耦合裝置，利用黃光微影製程與感應耦合電漿蝕刻系統在矽基板上製作出光管陣列，再使用高溫氧化法在光管陣列的表面氧化出一層抗反射薄膜以降低光管的表面損耗。最後，我們結合了稜鏡光柵與光管陣列成為一個完整的分波解多工系統並量測其光學特性，量測結果顯示此系統具有預期的光學特性，此分波解多工系統的每個通道的介入損失約為 2.4 dB，而相鄰通道的串話約為 -17dB。. I.

(4) Studies on a dense wavelength division demultiplexing system with grism structure and a diffractive phase element for color-division pseudo non-diffraction beam Student：Jyh-Rou Sze. Advisor：Mao-Hong Lu. Institute of Electro-Optical Engineering National Chiao-Tung University ABSTRACT In this thesis, there are two parts, one describes about a free-space dense wavelength division demultiplexing system（DWDDM） and the other describes a diffractive phase element （DPE）with special function. In the first part, the design and fabrication of the DPE that synthesizes three-color psudo-nondiffracting beams (PNDBs) is described. This DPE is designed with the amplitude-phase retrieval method and the conjugate gradient method. The designed element is fabricated by using optical contact lithography and reactive-ion etching (RIE). The influences of several errors on the optical properties of the fabricated element are analyzed with the numerical analysis. Measurements demonstrate that the fabricated DPE has the desired function, i.e., forming six-segment PNDB over a finite axial region and monochromatic in each segment. In the second part, a free-space dense wavelength division-demultiplexing (DWDDM) system in the fiber communication is proposed. The system has sixteen channels with wavelength spacing of 0.8nm in the C band wavelength region. Firstly, the design and fabrication of a low-loss demultiplexer with a KRS-5 grism structure for this system is carried out. This demultiplexer has been successfully fabricated by a precise plunge-cut diamond-turning technology. The influences of the process errors on the optical properties of the device are discussed. Numerical calculations and measurements indicate that this demultiplexer is polarization-independent and has higher optical efficiency and signal to noise ratio (SNR). Secondly, a light pipe array as a coupling system between the demultiplexer and a commercial fiber array has been designed and fabricated on a silicon-on-insulator wafer by using optical contact II.

(5) lithography and inductively coupled plasma-reactive-ion etching. In order to reduce the insertion loss, an anti-reflection coating is formed on the end surfaces of light pipe array with the thermal oxidation method. Finally, the performances of the DWDDM system that consists of the fabricated demultiplexer and light pipe array are measured. The experimental measurements demonstrate that this demultiplexing system shows good optical performance. The insertion loss for each channel is about 2.4 dB, and the next-neighbor cross talk is lower then -17dB.. III.

(6) 誌謝首先要感謝天恩師德，給予後學這個機緣順利完成學業。並且要感謝陸懋宏老師，在這六年的研究生涯中給予無數的指導，無論是在研究工作或是為人處世上都讓人受益非淺。與陸老師相處的這段歲月，是我人生中最難得的經歷，老師所豎立的典範將使我受用無窮。此外要感謝李克怡老師，讓我能初窺光電領域的奧妙，無論是在求學過程或是生涯規劃上給予我無數的建議與幫助。還要感謝我的爸爸媽媽，每當我遭遇挫折時總是不斷的鼓勵我，讓我有繼續向前的信心與勇氣，終至完成學業。還有我的哥哥、大嫂和弟弟是我生活上的良師益友。感謝工研院機械所與儀器科技研究中心在研究工作上給予我無數的幫助，尤其是呂英宗，林暉雄、王浩偉、林宗信、傅同龍、林宇仁、翁俊仁等許多的學長，與高清芬學姊等都是我所要感謝的。. 出土已有節入雲不畏寒百花有時盡綠竹終年青 ~於交大盛夏. IV.

(7) 目錄中文摘要英文摘要誌謝目錄表目錄圖目錄. Ⅰ Ⅱ Ⅳ Ⅴ Ⅶ Ⅷ. Ⅰ 緒論 1.1 繞射光學元件的發展 1.2 繞射光學元件的設計方法 1.3 繞射光學元件的製作方法 1.4 繞射光學元件的應用 1.5 論文的主要工作. 1 4 9 10 11. Ⅱ 特殊功能繞射相位元件第一章能產生三色贗無繞射光束的繞射元件的設計與製作 1.1 前言 1.2 理論基礎 1.3 振幅相位重建演算法 1.4 共軛梯度法 1.5 元件的製作 1.6 元件的量測 1.7 誤差分析 1.8 討論 1.9 結論. 13 15 20 28 32 35 40 49 52. Ⅲ 利用繞射元件實現自由空間型高密度分波解多工系統第一章利用稜鏡光柵結構設計與製作高密度分波解多工器 1.1 前言 1.2 相關理論 1.3 計算結果 1.4 量測結果 1.5 誤差分析. V. 54 62 70 74 81.

(8) 第二章利用光管陣列設計稜鏡光柵分波解多工器與光纖陣列的耦合裝置 2.1 前言 2.2 光管陣列的設計 2.3 光管陣列的製作 2.4 量測結果 2.5 封裝 2.6 具有梯形結構的光管陣列 2.7 結論參考文獻著作目錄. VI. 88 89 91 95 99 102 103 105 109.

(9) 表目錄表 1 傳統幾何光學元件與繞射光學元件的比較表 2 積分因子 Gˆ 的么正程度與 R′ 的關係表. 16. 表 3 經由反應離子蝕刻製程所造成的蝕刻深度誤差比較表. 36. 1. 3. 表 4 在各種不同距離的取樣平面上所計算與量測的繞射效率與訊噪比的比較. 38. 表 5 應用於分波解多工器之各種技術比較整理表. 61. 表 6 所設計稜鏡光柵表面輪廓深度與寬度值和量測值的比較. 77. 表 7 各光學元件穿透率的比較. 77. VII.

(10) 圖目錄圖1. 傳統透鏡與繞射相位元件在外觀尺寸上的比較. 2. 圖2. 繞射/折射複合光學元件示意圖. 3. 圖3. GS 算法的計算流程圖. 7. 圖4. 旋轉對稱的光學系統示意圖. 15. 圖5. 振幅相位重建法的計算流程圖. 23. 圖6. 不同的參考波長 λ 0 在最佳化後對誤差函數值的影響. 23. 圖7. 第一類第零階貝塞爾光束與計算的贗無繞射光束，在各種不同取樣平面與所對應的訊號波長的照度分布比較圖. 25. 圖8. 所計算十六階繞射元件表面輪廓深度分布曲線圖. 26. 圖9. 由十六階繞射元件光場重建後的三色六段贗無繞射光束的軸向照度分布曲線. 26. 圖 10. 由十六階繞射元件光場重建後的三色六段贗無繞射光束的照度分布 27. 圖 11. 所設計十六階繞射元件的表面輪廓分布. 31. 圖 12. 十六階繞射元件軸向光場重建照度分布圖. 31. 圖 13. 製作十六階繞射元件所使用的光罩. 33. 圖 14. 製作十六階繞射元件的基本概念圖. 34. 圖 15. 繞射元件實體照片. 36. 圖 16. 以探針式表面輪廓量測儀測量十六階繞射元件的表面橫向部分輪廓分布. 37. 圖 17. 十六階繞射元件的光學特性量測設備架構圖. 37. 圖 18. 十六階繞射元件的軸向光場重建照度分布圖. 38. 圖 19. 在各種不同距離的取樣平面所量測的照度分布圖. 39. 圖 20. 具有傾斜誤差的繞射元件的計算示意圖. 40. 圖 21. 座標旋轉後具有傾斜誤差的繞射元件的計算示意圖. 40. 圖 22. 繞射元件傾斜各種不同角度的偏差對軸上波長為 632.8nm 的照度分布的影響. 圖 23. 43. 繞射元件傾斜各種不同角度的偏差對軸上波長為 514.5nm 的照度分布的影響. 圖 24. 44. 繞射元件傾斜各種不同角度的偏差對軸上波長為 488.0nm 的照度分布的影響. 45. 圖 25. 入射波面具有誤差時的計算示意圖. 46. 圖 26. 在各種不同半徑的發散球面波波面入射於繞射元件時，波長為 632.8nm 的軸向照度分布曲線圖 VIII. 47.

(11) 圖 27. 在各種不同半徑的發散球面波波面入射於繞射元件時，波長為 514.5nm 的軸向照度分布曲線圖. 圖 28. 47. 在各種不同半徑的發散球面波波面入射於繞射元件時，波長為 448.0nm 的軸向照度分布曲線圖. 48. 圖 29. 線垂直度誤差所造成的影響. 51. 圖 30. 具有對準誤差的繞射元件的剖面示意圖. 51. 圖 31. 提升傳輸速度的方法. 54. 圖 32. 應用薄膜濾波器實現分波解多工器示意圖. 56. 圖 33. 應用光纖光柵實現分波解多工器示意圖. 57. 圖 34. 應用陣列波導光柵實現分波解多工器示意圖. 58. 圖 35. 應用反射光柵實現分波解多工器示意圖（一）. 59. 圖 36. 應用反射光柵實現分波解多工器示意圖（二）. 59. 圖 37. 應用稜鏡光柵結構實現分波解多工系統的示意圖. 62. 圖 38. 稜鏡光柵示意圖. 62. 圖 39. 稜鏡光柵解多工器示意圖. 63. 圖 40. 串聯兩塊稜鏡光柵的分波解多工系統示意圖. 67. 圖 41. 商用光束準直透鏡. 70. 圖 42. 在聚焦透鏡前表面處部分通道中心波長的橫向光強度分布計算曲線圖. 72. 圖 43. 在聚焦透鏡前表面處部分通道中心波長的相位分布計算曲線圖. 72. 圖 44. 在焦平面處部分通道中心波長的橫向光強度分布計算曲線圖. 73. 圖 45. 所設計分波解多工器十六個通道計算穿透譜圖. 73. 圖 46. 以鑽石微加工技術製作稜鏡光柵示意圖. 74. 圖 47. 製作完成的稜鏡光柵. 76. 圖 48. 以 ZYGO 光學式表面輪廓儀測量光柵的表面輪廓圖. 76. 圖 49. 各通道中心波長光強度分布量測架構示意圖. 77. 圖 50. 各通道中心波長在焦平面處的光強度分布量測圖. 79. 圖 51. 在焦平面處部分通道中心波長的橫向光強度分布量測曲線圖. 80. 圖 52. 各通道中心波長繞射效率理論計算與實驗量測結果的比較. 80. 圖 53. 當製程誤差變異量為 δ x = δ z = 50nm 時，每個光柵溝槽所對應的誤差量. 圖 54. 82. 帶有製程誤差變異量為 δ x = δ z = 25nm 的稜鏡光柵，在稜鏡光柵輸出平面處部分通道中心波長的橫向光強度分布計算曲線圖. IX. 84.

(12) 圖 55. 帶有製程誤差變異量為 δ x = δ z = 25nm 的稜鏡光柵，在聚焦透鏡前表面處部分通道中心波長的橫向相位分布計算曲線圖. 圖 56. 帶有製程誤差變異量為 δ x = δ z = 25nm 的稜鏡光柵，在焦平面處部分通道中心波長的橫向光強度分布計算曲線圖. 圖 57. 86. 帶有不同製程誤差變異量的稜鏡光柵，在焦平面處參考波長的橫向光強度分布計算曲線圖. 圖 61. 86. 帶有製程誤差變異量為 δ x = δ z = 50nm 的稜鏡光柵，在焦平面處部分通道中心波長的橫向光強度分布計算曲線圖. 圖 60. 85. 帶有製程誤差變異量為 δ x = δ z = 50nm 的稜鏡光柵，在稜鏡光柵輸出平面處部分通道中心波長的橫向相位分布計算曲線圖. 圖 59. 85. 帶有製程誤差變異量為 δ x = δ z = 50nm 的稜鏡光柵，在稜鏡光柵輸出平面處部分通道中心波長的橫向光強度分布計算曲線圖. 圖 58. 84. 87. 在焦平面處參考波長 λ f = 1550.8nm 的光強度分布量測與計算結果的比較. 87. 圖 62. 高密度分波解多工系統示意圖. 88. 圖 63. 光管陣列與光纖陣列的接合情形. 89. 圖 64. 所設計的光管陣列的規格. 90. 圖 65. 光管的彎曲半徑與彎曲損耗的關係曲線圖. 90. 圖 66. 製作完成的局部光管陣列電子掃描顯微鏡照片(一). 92. 圖 67. 製作完成的光管陣列局部電子掃描顯微鏡照片(二). 92. 圖 68. 光管側壁粗糙度量測圖. 93. 圖 69. 高溫氧化爐管溫度隨時間變化曲線. 93. 圖 70. 二氧化矽薄膜厚度與氧化時間的關係曲線. 94. 圖 71. 鍍有不同厚度二氧化矽薄膜的光管陣列的照片. 94. 圖 72. 量測光管陣列光學特性的實驗架構. 96. 圖 73. 光管陣列輸出端的光場強度分布圖. 97. 圖 74. 對於具有不同厚度二氧化矽薄膜的光管陣列的各通道光學效率曲線 97. 圖 75. 量測高密度分波解多工系統光學頻譜的實驗架構. 98. 圖 76. 高密度分波解多工系統十六個通道的頻譜分布曲線圖. 98. 圖 77. 分波解多工系統的封裝結果. 100. 圖 78. 光管陣列與商用光纖陣列的接合情形. 100. 圖 79. 分裝後十六通道的分波解多工系統實體照片. 101. 圖 80. 分裝後的分波解多工系統的頻譜分布曲線圖. 101. 圖 81. 具有梯形結構的光管陣列立體示意圖. 102. X.

(13) 圖 82. 梯形結構光管陣列的損耗計算結果. XI. 103.

(14) Ⅰ 緒論 1.1 繞射光學元件的發展傳統光學中的幾何光學是基於光線的直線傳播為基礎並利用光線的折射和反射原理，設計出各種光學元件而實現各種所需的光學功能。由於這種光學理論完全不考慮光的波動性，這會對它的適用性帶來一些的限制。當光學元件的特徵尺寸接近於所使用的光波波長時，光的波動性逐漸明顯而產生繞射效應。在一般的情況下，用幾何方法來描述光在介質中的傳播行為依然不失為一個十分好的近似[1]。從 1960 年起全像術（Hologram）和電腦產生全像（Computer Generate Hologram, CGH）的相繼出現，人們就發現可以基於光波繞射原理設計出適當的繞射光學元件，並實現出各種傳統光學元件難以達到的特殊功能。直到了 1970 年代中期，隨著半導體製程技術的不斷進步，由其是電子束圖形產生器、微影曝光機與反應離子蝕刻機等一整套微細加工設備的推陳出新，為製作各種細微結構的繞射元件提供了可能的製作方法。繞射光學元件從而獲得的研究發展逐漸受到重視，繞射光學理論的研究工作即在此年間逐漸蓬勃發展，而成為一個新的光學研究領域。繞射光學理論主要是研究如何利用光波繞射效應設計出所需的繞射光學元件（Diffractive optical elements, DOEs）而實現傳統光學元件所無法達到的特殊功能，繞射光學元件是基於光波繞射理論並以半導體製程技術為主要製作方式，這種光學元件不但具有厚度薄、重量輕、結構緊密並易於複製等諸多優點，且易與其他光電元件彼此結合，以促使光學系統朝向輕型化、微型化與積體化等方向發展。繞射光學元件主要又可分為振幅型繞射元件與相位型繞射元件兩種，其中相位型的繞射元件因為沒有能量衰減的問題而具有很高的光學使用效率，所以比較受到重視。另外，這種繞射元件的相位變化只侷限在 0 至 2π 的範圍內，若以折射率為 1.5 的材質製作繞射元件，可將一個具有一定厚度的光學元件壓縮到接近兩個波長厚度的薄層內。圖 1 為傳統透鏡與繞射相位元件在外觀上的比較，根據繞射相位元件的製作方法又可將繞射相位元件分類為兩種:一是如圖. 1.

(15) 1(b)所示具有連續表面結構的繞射相位元件。另一類如圖 1(c)所示需將表面結構為連續分布的元件量化為二進階的表面輪廓分佈。. 圖 1 傳統透鏡與繞射相位元件在外觀尺寸上的的比較。(a)傳統透鏡，(b)具有連續輪廓的繞射元件，(c)二進階量化輪廓的繞射元件。. 表一所示為繞射光學元件與傳統幾何光學元件在基本特性上的比較。從表中可以看到，幾何光學元件與繞射光學元件不僅在外觀上有一定的差異，更重要的差別在於它們的設計理論基礎、製作方法與可實現功能都有本質上的不同。在 1988 年，斯渥森(Swanson)和維得卡姆(Veldkamp)等人提出了繞射/折射複合光學元件(diffractive/refractive optical element，D/ROE)[2]，如圖 2 所示為一個結合了繞射元件與折射元件的複合透鏡示意圖。利用繞射光學元件的負色散特性修正折射透鏡的軸上色差和球差。此一應用說明了繞射元件與傳統折射元件的結合開啟了在光學成像領域新的一頁。由於繞射元件的製程技術不斷的創新與突破，使其在光學通訊（Optical communication）、光學計算（Optical calculation）、大容量數據儲存、光學連接（Optical interconnection）與光學成像等眾多領域有著廣泛的應用。. 2.

(16) 輪廓高度(任意單位). 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -1.2. -0.8. -0.4 0.0 0.4 橫向座標(任意單位). 0.8. 1.2. 圖 2 繞射/折射複合光學元件示意圖. 表1. 一般特性. 理論設計基礎. 製作方式. 特點. 傳統幾何光學元件與繞射光學元件的比較傳統幾何光學元件. 繞射光學元件. 外觀尺寸較厚. 外觀尺寸非常薄. 元件的重量較重. 元件的重量較輕. 高製作成本. 低製作成本. 以幾何光學為基本設計理論. 以波動光學為基本設計理論. （主要根據折射. （可分為純量繞射理論與. 與反射定理）. 向量繞射理論兩種）. 機械研磨與拋光，. 半導體製程技術或. 可以射出成形或玻璃模造技. 鑽石車削微加工技術，. 術達成大量生產的目的. 可以熱壓技術達成大量生產的目的. 光學特性與光學波長的相光學特性與光學波長的相關性較大關性較小光學元件通常為單一功能. 3. 可設計出特殊功能的光學元件.

(17) 1.2 繞射光學元件的設計方法繞射相位元件的設計方法十分類似光學成像系統設計技巧中所使用的相位補償法。在已知入射光場振幅分布和目標波面分布的條件下，如何根據這些已知條件計算出繞射相位元件的相位分布，使得此元件能調制入射光場而產生預期波面的輸出光場。繞射光學元件的設計理論大致可分為純量繞射理論（Scalar diffraction）與向量繞射理論（Vector diffraction）兩種。當繞射光學元件的最小結構尺寸與所使用的光波波長十分接近或小於光波波長時，不同偏振態的入射光波將對輸出光場具有不同的影響[3,4]，此時純量繞射理論將不再適用而必須嚴格地根據邊界條件求解麥克斯威爾方程組（Maxwell equation），以進行繞射光學元件的計算，這就是向量繞射理論[5,6]。一般而言，向量繞射理論的計算十分複雜，對於非週期性結構的繞射光學元件，如何根據輸出目標光場的特性，在向量繞射理論的規範下準確地計算出繞射元件的相位分布還是一個有待研究的課題。在一般的情況下，當繞射光學元件最小特徵結構尺寸遠大於光波波長時，不同偏振態的入射光對輸出光場的影響就顯得不那麼明顯，純量繞射理論就能夠合理地描述出繞射元件的光學特性並將其應用於繞射光學元件的設計上。依據純量繞射理論的規範與薄元件的近似下，可將繞射元件看成是一個薄相位平面 φ ( x, y ) ，當以一個相位為 φin ( x, y ) 的光波入射此薄相位元件時，可在緊貼於此元件的背面產生一個新的相位分布為 φout ( x, y ) 的新光場，而光波的相位變換可表示為 φout ( x, y ) = φ ( x, y ) + φin ( x, y ) 。. (1.1.1). 當 φin ( x, y ) 為已知入射光場的相位函數， φout ( x, y ) 為已知的目標相位函數，則可求解出此相位元件的相位函數 φ ( x, y ) = φout ( x, y ) − φin ( x, y ) 。. (1.1.2). 當已知的入射光場穿透此相位元件後，再經過適當的數學近似則可利用純量繞射理論描述光波在自由空間中的傳播行為，如菲涅耳繞射（Fresnel diffraction）與夫朗和費繞射（Fraunhofer diffraction）等近似理論[7,8]。為了實現所設計的繞射相位元件，相位函數常被限制在 0 ~ 2mπ 的範圍內，其中整數 m 為繞射元件所對應的繞射級數，繞射元件的相位函數可重新改寫為. 4.

(18) ϕ ( x, y ) = ⎡⎣φ ( x, y ) + φ0 ⎤⎦ mod [ 2mπ ] ，. (1.1.3). 其中 φ0 為外加的常數相位，對於穿透式繞射相位元件，其表面輪廓函數 h ( x, y ) 與相位分佈函數之間的關係可以表示為 λf ϕ ( x, y ) h ( x, y ) = ， ns ( λ f ) − 1.0 2π. (1.1.4). 其中 λ f 為所使用的參考波長， ns 為材料的折射率函數，由（1.1.3）式可知當繞射元件的相位函數經過約束後為一個不連續的函數，函數跳躍點的位置會隨 φ0 的值而改變，這種改變不會影響繞射相位元件的光學特性，但卻能有效地改善繞射相位元的的表面輪廓以提高元件的誤差寬容度，如製程誤差與基板材料因熱脹冷縮所產生的誤差等[9]。. 1.2.1 周期性光柵繞射光學元件主要是由能使入射光波產生繞射現象的波帶區所組成，不同波帶區的繞射光（單縫繞射）再相互產生干涉（縫間干涉）而形成所需的波前。閃耀光柵是周期性繞射光柵中的一個典型例子，主要是由具有周期性光學特性的結構所組成，並適當的調整閃耀角(Blazed angle)使單縫繞射因子的主極大與縫間干涉因子的某繞射級數的繞射光重疊，以使特定繞射級數的繞射光具有最大的繞射效率。根據純量繞射理論，所設計的參考波長 (Reference. wavelength, λ f )在第 m0 繞射級的訊號光具有近似 100%的繞射效率，而相鄰波長. λ 在第 m 繞射級數附近的繞射效率可利用下式作估算 [10]： ⎡. η ( λ , m ) = sinc 2 ⎢ m0 − m ⎢⎣. ns ( λ ) − 1.0 ⎤ ⎥， λ ns ( λ f ) − 1.0 ⎥⎦. λf. (1.1.5). 其中 ns ( λ ) 為波長 λ 的介質折射率。閃耀光柵與光學稜鏡一樣都具有分離不同波長的功能。光學稜鏡是利用不同的波長在相同的介質中具有不同的折射角而達到分離不同波長的目的。閃耀光柵是利用不同的波長具有不同的繞射角而達到分離不同波長的目的。閃耀光柵與光學稜鏡相較之下容易獲得較大的色散。近年來由於製作光柵的技術水準有很大的進展，因此可容易製作出成本低廉與品質優異的閃耀光柵。在本論文中我們將說明如何利用光學稜鏡與閃耀光柵的結合而設計出可應用於光通訊領域的高密度分波解多工器，其中不但包含了光學. 5.

(19) 稜鏡的優點而且具有閃耀光柵的高色散特性，因此具有較高的色散與封裝誤差容忍度等優點[10]。但為了因應複雜功能繞射元件的需求，必須設計非週期性繞射元件，我們簡單說明其設計原理如下。. 1.2.2 最佳化設計繞射光學元件是基於繞射原理而達到調制輸出光場的目的進而實現出各種複雜的功能。近年來對於具有複雜輸出光場的特殊繞射元件的需求已經相當普遍，目前繞射元件的設計無法直接根據輸出光場的特性得到解析解，因而必須利用數值演算法以來回迭代的方式得到近似解。這種近似解雖然無法完全讓人滿意但卻也能符合實際需求。現今所發表的演算法有許多種，在此我們僅列舉幾種一般較常用的方法來作簡短的說明。. (1)光線追跡法(Ray-tracing method) 光線追跡法是設計光學元件最早且最基本的方法 [11]，不論是在折射透鏡系統的設計或是繞射元件的設計方面都有其應用層面。此方法最早由 Bryngdahl 所提出[12]，利用程涵方程(Eikonal Equation)來規範每根追跡的光線應滿足的條件，然後根據輸入平面和輸出平面的能量守恆原理，就可以得到緊貼在輸入平面後方的繞射元件的相位分布函數。利用 φ ( x, y ) 來描述繞射相位元件的相位分布再以(1.1.1)式的相位匹配條件來計算出此繞射元件應有的相位分布函數[13]。. (2)GS 演算法(Gerchberg-Saxton algorithm) 最早由 Gerchberg 和 Saxton 兩人在 1972 年提出，由輸入平面與輸出平面的兩個給定強度分布函數來計算出輸入和輸出平面上光場相位分布的一種算法，一般稱為 GS 算法[14]或 IFT 算法（Iterative Fourier transform algorithm）。如圖 3 的計算流程圖所示，該算法首先選擇初始輸入平面的相位分布函數 φ1 以進行傅里葉變換，再將輸出平面上預定得到的振幅分布函數 ρ 2 代替計算值再進行傅里葉逆變換，最後在輸入平面上用已知的振幅分布函數 ρ1 代替計算值，反覆迭代而達到所需的要求。. GS 算法主要是利用快速傅里葉轉換法（Fast Fourier transform, FFT）為計. 6.

(20) 算主軸，因此所需的計算時間相當短，但是在計算中卻時常出現迭代停滯的現象。為了克服這一困難，Wyrowski 等人提出了多種有效的修正算法[15,16]，不僅可以解決迭代過程中的停滯現象[17] ，而且還能夠提高收斂速度。他的基本想法是對輸入平面的相位施加更多的約束，不僅考慮原有的結果，而且將上一次計算得到的結果做進一步的修正，再加入約束條件中，這樣的修正算法能使輸出光場以更快的速度向預定的光場靠近。. 圖 3 GS 算法的計算流程圖 (3) 振幅相位重建演算法(Amplitude-phase retrieval algorithm) 無論是 GS 算法還是其修正算法，都是基於傅里葉變換系統，正是一個么正變換系統。於 1981 年中國科學院北京物理所楊國楨（G. Z. Yang）與顧本源（B. Y. Gu）兩位學者提出了可運用於非么正變換系統中的迭代算法 [18-20] ，這種算法是在 GS 演算法內引入一個非對角元素矩陣項，使整個系統的迭代比. GS 演算法多出了一個內循環的迭代步驟，因此迭代過程較為費時，但卻能解決非么正變換系統中的逆求解問題，且容易推展到多波長與多輸出平面的繞射相位元件的設計問題中。本論文中即應用了振幅相位重建演算法設計出能產生彩色贗無繞射光束的繞射相位元件[21]，這種繞射元件能沿著光軸產生所需的光場。. （4）共軛梯度法(Conjugate-gradient method) 共軛梯度法是解決非線性問題的一種演算法 [22] ，也是目前解決無約束最佳化問題（ Unconstrained optimization problem）的方法之一。在一般繞射元件的設計中，通常所在意的是輸出平面上的強度分布，因此可將輸出平面上的相位分布視為自由變量，再利用帶有權重的誤差函數來估算所設計出的輸出光場與預定輸出光場的逼近程度。繞射相位元件的設計問題可以視為去求解一組輸. 7.

(21) 入平面相位分布函數使誤差函數達到極小值。其中相位因子附加上任何 2π 的整數倍時，對波前不帶來任何影響，在一般的情況下都將相位侷限在 [ 0, 2π ] 內。在共軛梯度法的最佳化過程中引入一個三角函數，可將繞射相位元件的設計工作轉化為一個對相位不施加任何侷限的無約束最佳化問題。由於在搜尋解的過程中每個搜尋方向均為共軛方向且彼此線性無關，因此具有收斂速度快的優點，是目前求解無約束最佳化問題中最常用的方法之一。本論文中我們也將說明利用共軛梯度法設計所需的繞射相位元件。. 以上所列舉的算法在迭代的過程中都能迅速的收斂且對於處理龐大的數據特別顯得迅速有效，但該方法的計算結果卻對初始設定值很敏感，並且容易陷入局部極值（Local minimum），因此迭代所得到的解都是誤差函數的局部極小值，並依賴於迭代算法中所選用的初始相位。近年來發展出一種演算法稱為全域最佳化法（Global optimization method），如模擬煺火演算法[23]和基因遺傳演算法[24,25]等較不依賴初始相位的計算方法，且對於避開局部極值的計算非常有效，但是使用這些方法的缺點是計算量特別龐大且費時，因此比較適合在大型工作站中作計算。. 8.

(22) 1.3 繞射光學元件的製作方法早期繞射光學元件的製作主要是利用照相製版或是以雷射光干涉曝光技術來達成。因為繞射效率過低限制了繞射光學元件的應用範圍。從 1980 年起隨著半導體製程設備的演進，遂帶動起繞射光學元件製作技術的發展，如今已能有效地製作出高光學性能的繞射光學元件。繞射光學元件的製作方法可分為二進階繞射元件的製作[26]與連續輪廓分布的繞射元件的製作[27,28]兩種，以下則對這兩種製作技術作一個概略性的說明。. (1)二進階繞射相位元件的製作這類繞射相位元件的製作方法主要是根據半導體製程的製作步驟，因此可分為以下三個步驟： (a)光罩的製作。 (b)黃光微影製程。 (c)基板蝕刻製程。光罩的製作主要是根據所要求的線寬（Line width）大小與精確度的不同，可選用電子束或雷射光束在一塊玻璃或石英基板上製作出透光與不透光相間的圖形，繞射元件的表面輪廓分布若有 2 N 個量化步階時，就需要製作 N 個光罩。在黃光微影製程的製作過程中，主要是將光罩上的亮暗圖形轉移至光阻上，這個步驟是將基板上的光阻經由 UV 光曝光或 X 射線曝光後再經過顯影與定影的程序而完成。基板蝕刻可分為濕式蝕刻與乾式蝕刻兩種。濕式蝕刻是直接用化學溶劑來溶解基板材料，這種蝕刻方法不具方向性，但是會因為基板本身的晶格排列方向而影響個方向的蝕刻速率。乾式蝕刻主要可分為反應離子刻蝕、電漿蝕刻與準分子雷射蝕刻等數種方法，它主要是利用物理轟擊和化學蝕刻的方式將基板材料直接腐蝕成氣體或是將晶格斷鍵而達到蝕刻的目的。這種具有蝕刻方向性的製作方式使蝕刻後的圖形具有很好的側壁垂直度，蝕刻精度也較高。但是由於多道光罩的製程卻衍生出對準誤差與蝕刻深度誤差等諸多問題，這些誤差降低了繞射元件的光學性能。. 9.

(23) （2）連續相位分布的繞射元件的製作連續相位分布的繞射元件可以經由直寫技術在基板上直接刻劃出所需的連續表面輪廓，它不需要經過多次黃光微影製程的步驟，直接透過聚焦的電子束或雷射光束掃描基板表面的感光塗層，並適當的控制光能量與曝光時間，再經過一次顯影與定影的步驟即形成所需要的連續輪廓，經過刻蝕過程將連續輪廓分布的感光塗層轉移到基板上。另一種連續相位分布的繞射元件的製作方式是以鑽石刀具微加工技術，目前所知主要是針對圓對稱繞射元件或是一維的繞射光柵的製作，由於製作相當費時且只能單件生產，因此比較適合於加工金屬模具，在以此模具射出成形或是熱壓的方式達到量產的目的。. 1.4 繞射光學元件的應用由於繞射光學元件具有體積小、重量輕並且能夠靈活地控制光波的波面等優點，為光學設計提供了更多的自由度，不但能集多功能於一身又可大量複製，因此有著寬廣的應用前景。直至目前為止，繞射光學元件已有許多應用，例如，積體平面微光學系統中的光束微型偏轉鏡[29,30]、多焦點透鏡[13]、光學計算、光學平行處理系統中的光連接器、光束整形元件[31]、無繞射光束產生器[32]、紅外成像系統中的元件[33]、光學分波聚焦透鏡[34]和材料加工系統中的繞射元件、抗反射元件[35]與用於成像系統中消色差複合透鏡等都有很好的應用。. 10.

(24) 1.5 論文的主要工作本論文設計與製作出週期性與非週期性繞射元件，並分別實現在光通訊領域與具有特殊功能的繞射相位元件的應用中，以下將研究工作分為兩部份來作介紹:. (1) 特殊功能繞射相位元件在此部份將說明一個能產生彩色贗無繞射光束的繞射相位元件的研究工作，我們分別使用共軛梯度法與振幅相位重建演算法設計出此一非週期性的繞射相位元件，並以數值方法計算出繞射元件的公差對其光學特性的影響，最後利用半導體製程的方式製作出所設計的繞射元件，並實際量測出繞射元件的光學特性。. (2)利用繞射元件實現自由空間型高密度分波解多工系統所設計的分波解多工系統共可分為兩個部份，一個是自由空間型分波解多工器，另一個是此分波解多工器與商用光纖陣列之間的耦合裝置。在本部份第一章中將說明利用光學稜鏡與周期性閃耀光柵的複合元件實現出一個在自由空間中操作的分波解多工器，此元件簡稱為稜鏡光柵（grism）。我門利用高精度鑽石微加工車床直接在材料為 KRS5 紅外材料的光學稜鏡斜邊上刻劃出閃耀光柵，並且架設一套量測裝置來量測此元件的光學特性。最後以數值方法分析此元件在不同製程誤差下對其光學特性的影響在第二章中將說明前章所製作的分波解多工器與光纖陣列之間的耦合裝置，此耦合裝置可將分波解多工器的輸出訊號耦合至商用標準的光纖陣列，以完成整個分波解多工系統。我們使用標準的半導體製程技術與感應耦合電漿反應離子深蝕刻技術（ Inductively coupled plasma-reactive-ion etching, ICP-RIE）完成元件的製作，利用高溫氧化製程技術完成端面的抗反射鍍膜的製程。在最後階段我們嘗試完成此分波解多工系統封裝的工作而達到光纖輸入與光纖輸出的單一模組。. 11.

(25) Ⅱ 特殊功能繞射相位元件. 12.

(26) 第一章能產生三色贗無繞射光束的繞射元件的設計與製作本章主要是利用一個能產生三色六段贗無繞射光束的繞射元件來說明非週期性繞射元件的設計工作。由於所設計的元件無法以逆求解的方式得到解析解，因此我們利用最佳化的數值方法計算出繞射元件的表面輪廓分布函數，並以實驗的方法驗證所設計的繞射元件。. 1.1 前言近年來，國際上不斷有文獻在探討與研究如何利用繞射元件在光軸的方向調制出所需的光場分布[36-44]。貝塞爾光束（Bessel beam）[38-43]與貝塞爾高斯光束（Bessel-Gaussian）[44] 沿著光軸方向具有近似恆定光照度而光場的橫截面具有窄光束分布，這兩種光束具有傳播距離很遠而不發散的特性所以被稱為無繞射光束（non-diffraction beam）。由於貝塞爾光束具有無限多個旁波瓣（side lobe），需要無窮大的孔徑與能量才能產生，因此很難應用於實際的光學系統中。然而 J. Rose 提出具有有限孔徑的光學元件也能使軸向光場照度在一定的距離內維持衡定，而在光場的橫截面還能保持窄光束的特性，這種光束稱為贗無繞射光束（pseudo non-diffraction beam）。我們簡短的介紹無繞射光束與贗無繞射光束如下。. 1.1.1 無繞射光束第零階貝塞爾光場分布的無繞射光束最早在 1987 年被提出[38,39]，它的特點是在無邊界自由空間中傳播時，與光軸垂直的每個橫向取樣平面的光場照度峰值總能保持相同，並且橫向光照度分布又很集中，此照度分布具有很強的空間侷限性。這種光場在傳播的過程中並不會發生發散的現象，因此這類光束被稱作無繞射光束。無繞射光束不但具有主光斑尺寸小(最小可達波長量級)的特點，而且具有較高的照度峰值、方向性好與傳播距離遠等諸多優點，因此這種光束不但可應用於高精度定位或準直的光學系統中，而且可應用於光鉗（Optical tweezers）以獲取微小顆粒物質，在製程方面也可應用於雷射直寫加工的技術中。但在實際的光學系統中，元件孔徑所產生的邊界條件是存在的，因此無法得到所需的無繞射光束。然而從數值計算和實驗結果證明了在有限孔徑的條件下，近似貝塞爾分布的光束仍然可以傳播到相當遠的一段距離並保持無繞射光束的主要特性。目前有下列幾種方法可實現無繞射光束，例如幾何軸向錐鏡（axicon） [45]，利用 Fabry-Perot 空間濾波的方式[46]、全像片[47]、圓對稱周期性光柵[48]、繞射式軸向錐鏡[49]、電腦全像片[50]與繞射光學元件[51,52]等都可用來產生近似的無繞射光束。. 13.

(27) 1.1.2 贗無繞射光束由於產生貝塞爾形式無繞射光束的條件十分嚴苛，在實際的系統中很難實現，但是有一種能在軸向一定的距離內產生等光照度分布的光束稱為贗無繞射光束（pseudo non-diffracting beam, PNDB）[53-57]。這種贗無繞射光束的照度分布十分類似於貝塞爾光束的分布，在一定的傳播距離內具有軸向等光照度分布與橫向窄光束分布等優點。有些文獻提出利用共軛梯度法（ conjugate-gradient method ）設計出能產生單色（monochromatic）單段或兩段贗無繞射光束的繞射元件[58]，接下來幾年也發表了這些繞射元件的實驗結果，並利用相同方法成功地設計出能產生雙色四段贗無繞射光束的繞射元件[59,60]。. 在本章中，我們分別利用振幅相位重建演算法與共軛梯度法等優化方法設計出此一非週期性的繞射相位元件，這種繞射相位元件能產生三色六段贗無繞射光束[21]。如序論中所述，這些數值演算法已被應用於處理一些相位重建的問題，在獲得一些修正後也可應用於設計各式功能的繞射相位元件。我們利用這些方法在菲涅耳（Fresnel）轉換系統中設計出具有多重輸出平面的繞射相位元件，藉由引入帶有權重因子的誤差函數（error function）並利用這兩種演算法以求誤差極小值的方式設計出此一繞射相位元件並估算其效能。在計算中所使用的公式也將作一番詳細的說明。我們在一塊石英基板上利用黃光微影製程與乾式蝕刻的方式完成繞射元件的製作，最後將比較繞射元件的計算與量測結果，其中包含了每一段贗無繞射光束的橫向照度分布與貝塞爾光束作一比較。對於在量測中可能會引起的誤差也利用數值方法做了一些分析與討論，這些量測誤差分別包含了繞射元件組裝的傾斜誤差與入射光束偏離平面波的誤差對輸出光場的影響等。. 14.

(28) 1.2 理論基礎在設計繞射元件之前，我們先說明光波的傳遞行為與所對應的數學表示式。本論文中的設計例子是以數值計算的方式完成繞射元件的設計工作，在設計之初需將所使用的數學表示式根據取樣定理作離散化。以下將說明繞射元件的設計原理與取樣定理。. 1.2.1 設計原理. 圖 4 旋轉對稱的光學系統示意圖。圖 4 為一個旋轉對稱的光學系統，以三種不同波長（ λ1 = 632.8nm , λ2 = 514.5nm 和. λ3 = 488.0nm ）的平面波為入射光束，將繞射相位元件置於此系統的輸入平面 P1 ，則通過此繞射元件後波長為 λα 的波前函數可以一個振幅函數 ρ1 ( r1 , λα ) 和相位函數 φ1 ( r1 , λα ) 來表示。. U1,α = U1 ( r1 , λα ) = ρ1 ( r1 , λα ) exp ⎡⎣iφ1 ( r1 , λα ) ⎤⎦. ，. (2.1.1). 其中 r1 為旋轉對稱繞射元件的橫向座標。波長為 λα 的平面波通過此繞射元件後繼續於自由空間（free space）中傳播，而沿著光學系統光軸方向第 β 個輸出平面 P2 β 的波前分布可以一個振幅函數 ρ 2 ( r2 , λα , zβ ) 和相位函數 φ2 ( r2 , λα , zβ ) 來表示。 U 2,αβ = U 2 ( r2 , λα , zβ ) = ρ2 ( r2 , λα , zβ ) exp ⎡⎣iφ2 ( r2 , λα , zβ ) ⎤⎦. (2.1.2). 在菲涅耳（Fresnel）近似下，輸出平面的光場分布可以下式計算出 U 2 ( r2 , λα , z β ) = ∫ G ( r1 , r2 , λα , z β )U1 ( r1 , λα ) dr1 =. 2π exp ( i 2π z β λα ) exp iπ r22 λα z β iλα z β. (. ⎧ ) ∫ ρ ( r , λ ) exp ⎨i 2λπ ⎡⎣( n R1. 1. 1. α. 0. ⎛ 2π r1r2 J 0 ⎜ ⎜ λ z ⎝ α β. 15. ⎩. α. α. ⎫ − 1) h ( r1 ) ⎤⎦ ⎬ ， (2.1.3) ⎭. ⎞ 2 ⎟⎟ × exp iπ r1 λα z β r1dr1 ⎠. (. ).

(29) 光學傳播函數可定義為 G (r1 , r2 , λα , z β ) =. ⎛ 2πr r ⎞ 2π exp (i 2πz β λα )exp iπ r12 + r22 λα z β J 0 ⎜ 1 2 ⎟ ⎜ λ z ⎟， iλα z β ⎝ α β ⎠. ( (. ). ). (2.1.4). 其中 J 0 (2πr1r2 λα z β ) 為第一類第零階的貝塞爾函數， r1 與 r2 分別為輸入平面與輸出平面的橫向座標， zβ 為第 β 個輸出平面與輸入平面的距離， R1 為繞射元件的半徑, nα 為繞射元件基板在波長為 λα 時的光學折射率， h(r1 ) 為繞射元件在橫向座標 r1 處的表面輪廓高度。其中(2.1.3)式可改寫為 U 2 (r2 , λα , z β ) = Gˆ (r1 , r2 , λα , z β )U 1 (r1 , λα ). ，. (2.1.5). 其中 Gˆ 為光學傳播函數的積分因子。當一個低損耗的光學系統滿足近軸近似（ paraxial. approximation）的條件，則積分因子 Gˆ 將會是一個么正算符（unitary operator），並滿足 Gˆ +Gˆ = Iˆ 的條件。但在大部分的情況下， Gˆ 將不會是么正算符，也就是 Gˆ +Gˆ = Aˆ ≠ Iˆ ,，其中+表示厄米特（Hermitian）共軛運算， Iˆ 為單位矩陣， Aˆ 為厄米特運算子。為了評估 Gˆ 的么正程度，可定義出如下的式子作為判斷。 N2. B ( R1′ ) =. 1 N2. ，. (2.1.6). C ( R1′ ) =. N 2 N1 1 ∑∑ Ai, j ， N 2 ( N1 − 1) j =1 i =1. (2.1.7). ∑A j =1. i ,i. 其中 B ( R1′ ) 為算符 Aˆ 的對角元素平均值，C ( R1′ ) 為算符 Aˆ 的非對角元素平均值，R1′ = R1. λα Z β 。. 當 R1′ 趨近於無窮大時， B ( R1′ ) 和 C ( R1′ ) 將分別為 1 和 0， Gˆ 將近似於么正算符，對於非么正轉換系統 B ( R1′ ) 將逐漸小於 1， C ( R1′ ) 將逐漸大於 0。如表 2 所示當 R1′ > 16 時，則可將光學系統視為近似么正轉換系統。表 2 積分因子 Gˆ 的么正程度與 R1′ 的關係表。 R1′. B ( R1′ ). C ( R1′ ). C ( R1′ ) B ( R1′ ) （%）. 128. 1.00000. 0.00023. 0.023. 64. 1.00000. 0.00047. 0.047. 32. 1.00000. 0.00104. 0.104. 16. 0.99060. 0.00830. 0.838. 8. 0.49975. 0.03953. 7.910. 4. 0.24980. 0.04330. 17.333. 16.

(30) 1.2.2 取樣定理（sampling theorem）為了數值計算與數學分析的目的，將一個連續函數離散化後再進行分析往往比較方便。如果一個連續函數的取樣點夠密，所產生的離散函數則足以精確地表示出原來的連續函數，也就是可利用簡單的內插行為重現出連續函數。有一種特殊函數稱為限帶函數（ band-limited. function），所謂限帶函數是指這類函數的傅里葉轉換只在頻率空間中的某一段有限區域上不為零。根據此限帶函數可計算出適當的取樣頻率。繞射元件的橫向取樣點數 N1 的選定主要依據元件的製程限制，其值大小也將影響純量繞射理論的適用性。在輸出平面和輸出光軸的取樣點數則必須根據取樣定理作出設定，才能合理地描述出繞射光場在每個輸出平面和輸出光軸上的行為。. 1.2.2.1 橫向取樣定理（transverse sampling theorem）奈奎斯頻率（Nyquist frequency）的定義如下： R ∆υt = 1 λα zβ 。. (2.1.8). 根據上式可計算出最小的取樣頻帶範圍為[ −υt ,υt ]，取樣頻帶寬為 2υt 。橫向最大取樣間隔可表示為下式：. ∆r2 =. λ z 1 = α β 2∆υt 2 R1 。. (2.1.9). 1.2.2.2 軸向取樣定理（axial sampling theorem）對於軸上的輸出光場分布，我們可改寫(2.1.3)式為. U 2 ( r2 = 0, zβ ) = =. exp ( ikzβ ) 2π ∞. ∫. iλα zβ. 0. ⎛ k 2⎞ , exp θ rU r ( ) ∫0 1 1 1 1 ⎜⎜ i 2 zβ r1 ⎟⎟ dr1dθ1 ⎝ ⎠. 2π exp ( ikzβ ) ∞. ⎛ k 2⎞ i r dr 1 1 ( r1 ) exp ⎜ ∫0 rU ⎜ 2 z 1 ⎟⎟ 1 β ⎝ ⎠. iλα zβ. ，. (2.1.10). 其中. U1 ( r1 ) =. 1 2π. 2π. ∫ U ( r , θ ) dθ 1. 0. 1. 1. 1. ，. (2.1.11). 上式為 U1 ( r1 , θ1 ) 在 θ1 座標空間的平均值或是零階圓對稱諧波（circular harmonic）。將(2.1.10)式作以下的變數代換， 1 υ= , q = r2 ， 2λα zβ. (2.1.12) 17.

(31) 可得 ⎛ π ⎞ U 2 ( r2 = 0, zβ ) = U 2 (υ ) = −i 2πυ exp ⎜ i 2 ⎟ ℑ−1 Uˆ1 ( q ) ⎝ λαυ ⎠ ， ⎧⎪ dUˆ ( q ) ⎫⎪ = exp ( ikzβ ) ℑ−1 ⎨ 1 ⎬ ⎩⎪ dq ⎭⎪. {. }. (2.1.13). 其中. ⎧U ( r ) 若 q ≥ 0 Uˆ1 ( q ) = ⎨ 1 1 若 q<0 ⎩ 0. (2.1.14). 由（2.1.13）式可知 q 和 υ 之間是一種傅里葉轉換的關係。 U1 ( r1 ) 的變數域為 [ 0, R1 ] ， R1 為所設計繞射元件的半徑。 Uˆ1 ( q ) 的變數域為[0, R12 ]，可推得 dUˆ1 ( q ) dq 的變數域亦在[0, R12 ]之內。由（2.1.13）式的傅里葉關係式與函數 H 2 (υ ) = U 2 (υ ) exp ⎡⎣ −i (π λα2υ ) ⎤⎦ 可知 H 2 (υ ) 函數為一個帶通函數（band pass function），其中 exp ⎡⎣i (π λα2υ ) ⎤⎦ 為一個已知的相位因子，由 U 2 (υ ) 所給定的取樣. 點數可推得 H 2 (υ ) 的取樣點數。根據以上的條件可定義出對於變數 υ 所容許的最小取樣頻率為 1 1 1 ∆υ field = − = 2 2 (2.1.15) 2λα zβ 2λα ( zβ + ∆z field ) R1 − 0 。根據上式可推導出軸向光場的最小取樣間距為 4π zβ2 ∆z field = 2 kR1 − 4π zβ 。. (2.1.16). 在一般的狀況下 R12 2λα zβ ，因此軸向光場的最小取樣間距可近似為. ∆z field. ⎛z ⎞ ≈ 2λα ⎜ β ⎟ ⎝ R1 ⎠. 2. (2.1.17). 在大多數的情況下，我們所關心的是光場的照度分布 U 2 (υ ) ，從(2.1.13)式可得軸上的照度分 2. 布函數為 2. U 2 (υ ). 2. ⎧⎪ dUˆ ( q ) ⎫⎪ =ℑ ⎨ 1 ⎬ ⎪⎩ dq ⎪⎭ ， −1. (2.1.18). 其中 U 2 (υ ) 變數域的範圍為[ − R12 , R12 ]，其所對應的帶寬(bandwidth)需滿足下式 2. BW. U1 (υ ). 2. ≤ R12. ，. (2.1.19). 所對應的取樣間距公式的推導與前面類似，因此可計算出軸向照度取樣間距為. 18.

(32) ∆zintensity =. 2π zβ2 kR12 − 2π zβ 。. (2.1.20). 在一般的狀況下 R12 λα zβ ，因此軸向的最小取樣間距可近似為. ∆zintensity. ⎛z ⎞ ≈ λα ⎜ β ⎟ ⎝ R1 ⎠. 2. (2.1.21). 根據以上的取樣定理，可決定出輸出空間中沿著光軸方向的取樣點數 N z 和橫向的取樣點數 N 2 ， N λ 為入射光束中所包含的波長個數。(2.1.1)式與(2.1.2)式可以矩陣方式表示為 U 1,iα ( r1,i , λα ) = ρ1,iα ( r1,i , λα ) exp ⎡⎣i 2π ( nα − 1) h1 ( r1,i ) λα ⎦⎤ ，. U 2, jαβ ( r2, j , λα , zβ ) = ρ2, jαβ ( r2, j , λα , zβ ) exp ⎡⎣iφ2, jαβ ( r2, j , λα , zβ ) ⎤⎦. (2.1.22) ，. (2.1.23). N1. U 2, jαβ ( r2, j , λα , z β ) = ∑ Gˆ ijαβ ( r1,i , r2, j , λα , z β ) U 1,iα ( r1,i , λα ) i =1. ，. (2.1.24). 其中 Gˆ ijαβ ( r1,i , r2, j , λα , zβ ) 所對應的是一個 N 1 × N 2 × N α × N z 維度的矩陣，下標 i = 1,2,3,.., N1 ， j = 1,2,3,.., N 2 ， α = 1,2,.., N λ 與 β = 1,2,3,.., N z 。 h1, i 為繞射元件在第 i 個離散取樣點的表面輪廓高度。. 椄下來的問題是有效運用數值方法，如振幅相位重建演算法、共軛梯度演算法、模擬煺火演算法或基因遺傳演算法等最佳化演算法，找出整個繞射元件每一個取樣點的表面輪廓高度 h1,i (r1,i ) ，使繞射元件能產生所需的光場照度分布，三種波長分六段的贗無繞射光束，每一段中. 只存在一種波長的訊號，並沿著光軸方向的光場照度為均勻分布。. 19.

(33) 1.3 振幅相位重建演算法(amplitude-phase retrieval algorithm) 1.3.1 計算方法在計算中，為了估算實際的波前分布 Gˆ U 1 與預期要得到的波前分布U 2 的接近程度，需引入如下的誤差函數（error function）： N z Nλ E = ∑∑ U 2,αβ − Gαβ U1,α. 2. β =1 α =1. N z Nλ = ∑∑ Tr U 2,+ αβ U 2,αβ − U 2,+αβ Gαβ U1,α − U1,+α Gαβ U 2,α + U1,+α Aαβ U1,α. β =1 α =1. {. ⎛ 1 ⎞ N z Nλ ⎧ 2 =⎜ ⎟ ∑∑ ⎨∑ ρ 2, jαβ + ∑ ρ1,iα ρ1,kα Aikjαβ exp −i (φ1,iα − φ1,kα ) N i ,k ⎝ 2 ⎠ β =1 α =1 ⎩ j. (. }. ). ，. (2.1.25). ⎫ −∑ ⎡ ρ 2, jαβ ρ1,kα Gkjαβ exp ⎡⎣ −i (φ2, jαβ − φ1,kα ) ⎤⎦ + c.c.⎤ ⎬ ⎣ ⎦ j ,k ⎭. . . 其中 A ≡ G +G ，c.c.為複數共軛（complex conjugation）。為了有效描述三種不同波長通過繞射元件後的相位分布，在此引入一個參考波長為 λ0 的相位函數 φ0 ，則各個波長通過繞射元件後的相位分布函數 φ1,α 即可表示為 φ 0 λ0 (nα − 1) λα (n0 − 1) ， n0 為基板在參考波長 λ 0 的折射率，參考波長的選定在後面將有詳細的討論。繞射元件的設計問題是搜尋相位函數 φ 0,k 使誤差函數 E 有極小值，也就是 ∂E ∂φ0, k = 0 。誤差函數 E 對相位函數 φ0,k 的偏微分可表示為. i ∂E = ∂φ0, k N 2. ⎤ ⎛ λ0 ( nα − 1) ⎞ ⎧⎪ N1 ⎡ ⎛ λ0 ( nα − 1) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎨∑ ⎢ ρ1,iα ρ1,kα Aikjαβ exp ⎜⎜ −i (φ0,i − φ0,k ) ⎟⎟ − c.c.⎥ ∑∑ λα ( n0 − 1) ⎠ β α ⎝ λα ( n0 − 1) ⎠ ⎪ i ⎢ ⎥⎦ ⎝ ⎩ ⎣ N z Nλ. N2 ⎡ ⎤ ⎫⎪ 。 (2.1.26) ⎛ ⎛ λ ( n − 1) ⎞ ⎞ c . c . − ∑ ⎢ ρ 2, jαβ ρ1,kα Gkjαβ exp ⎜ −i ⎜⎜ φ2, jαβ − φ0,k 0 α − ⎥⎬ = 0 ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎜ λ n 1 − ( ) j ⎢ ⎥ α 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎪⎭. 上式的計算可簡化為. Im[Qk exp (iφ0 ,k )] = 0. ，. (2.1.27). 其中 N z N λ ⎧ ⎧ N1 ⎡ ⎫⎪ ⎛ λ ( n − 1) ⎞ ⎤ N2 ⎪⎪ Qk = ∑∑ ⎨⎨∑ ⎢ ρ1,iα Aikjαβ exp ⎜⎜ −iφ0,i 0 α ⎟⎟ ⎥ − ∑ ⎡⎣ ρ 2, jαβ Gkjαβ exp ( −iφ2, jαβ ) ⎤⎦ ⎬ λα ( n0 − 1) ⎠ ⎥⎦ j β α ⎪⎪ i ⎢ ⎝ ⎪⎭ ⎩⎩ ⎣. ⎡ ⎛ λ ( n − 1) ⎞ ⎤ ⎪⎫ λ ( n − 1) × 0 α − 1⎟⎟ ⎥ ⎬ ρ1,kα exp ⎢iφ0,k ⎜⎜ 0 α λα ( n0 − 1) ⎢⎣ ⎝ λα ( n0 − 1) ⎠ ⎥⎦ ⎭⎪. 將(2.1.28)式重新改寫為. 20. 。. (2.1.28).

(34) ~ ( n ,m ) Q* exp iφ0(,nk,m+1) = ~k (n,m ) , Qk. (. ). k = 1,.., N 1. ，. (2.1.29). 其中 N z N λ ⎧ ⎧ N1 ⎡ ⎤ N2 ⎛ ⎪⎪ ⎪⎫ ( n,m) ( n , m ) λ0 ( nα − 1) ⎞ = ∑∑ ⎨⎨∑ ⎢ ρ1,iα Aikjαβ exp ⎜⎜ −iφ0,i Qk ⎟⎟ ⎥ − ∑ ⎡⎣ ρ 2, jαβ Gkjαβ exp ( −iφ2, jαβ ) ⎤⎦ ⎬ λα ( n0 − 1) ⎠ ⎦⎥ j β α ⎪⎪ i ≠ k ⎣ ⎝ ⎪⎭ ⎩⎩ ⎢ ⎡ ⎛ λ ( n − 1) ⎞ ⎤ ⎫⎪ ， . λ ( n − 1) × 0 α − 1⎟⎟ ⎥ ⎬ ρ1, kα exp ⎢iφ0,( nk, m ) ⎜⎜ 0 α − λα ( n0 − 1) λ n 1 ( ) α ⎢⎣ 0 ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭. 最後可得到 ⎛ exp⎜⎜ − iφ 0,k k ⎝ exp(iφ 2, jαβ ) = N1 ⎛ ∑k Gkjαβ ρ1,k exp⎜⎜ − iφ0,k ⎝ N1. ∑ G αβ ρ kj. 1, k. λ0 (nα − 1) ⎞ ⎟ λα (n0 − 1) ⎟⎠. λ0 (nα − 1) ⎞ ⎟ λα (n0 − 1) ⎟⎠. , j = 1,2,.., N 2. 。. (2.1.30). 一般來說，(2.1.29)式並無法直接得到解析解，但可以透過數值演算法[19-21]得到最接近的數值解。圖 5 為振幅相位重建演算法的計算流程，其計算步驟可細分如下：(1) 以亂數設定 φ 0,k 的起始值 φ(00,k,0 ) ，再與已知的入射光的振幅函數 ρ1,k 一起代入(2.1.30)式，即可得到輸出相位函 (0,0) 數 φ 2, jαβ。(2) 再將相位函數 φ0,(0,0) 與已知輸入振幅函數 ρ1,k 與輸出相位函數 ρ 2 , jαβ 代入(2.1.29) k , φ2, jαβ. 式，可得到二次相位函數 φ (00,k,1) 與 φ2,( 0,1jαβ) 。(3) 分別設定 φ 0,k = φ(00,k,1) 與 φ 2, jαβ = φ (20, ,j1αβ) 。為了使迭代過程能迅速收斂，在本例子中可假設目標振幅函數(expected amplitude) ~ρ 2, jαβ 為 ρ 2, jαβ ，再將他們代入. (2.1.29)式即可得到相位函數 φ (00,k,2 ) ， φ (00,k,2 ) 與 φ (20, ,j1αβ) 分別為 φ 0,k 與 φ 2, jαβ 的下一次迭代結果，步驟(3)將一直重複迭代直至下列條件成立。 N1. ∑φ k =1. ( 0 ,m ) 0 ,k. − φ0(,0k,m+1) ≤ ε1. ，. (2.1.31). 其中 ε1 為一個容許誤差極小值，m 為迭代次數，直至此一步驟結束即設定 φ (01,k,0 ) = φ (00,k,m +1) 並再次重複迭代步驟(1)-(3)，直至下列的誤差平方和函數(sum squared error, SSE）達到預定的極小值才終止計算。 Nz. SSE =. Nλ. N2. ρ ∑∑∑ β α =1. =1 j =1 N z Nλ. 2 2, jαβ. − U 2, jαβ. N2. ρ ∑∑∑ β α =1. ２. =1 j =1. (2.1.32). 2 2, jαβ. 最後繞射元件的表面輪廓高度可由下式得到， h1,k =. λ0φ0,k 2π (n0 − 1) ，. k = 1,2,.., N1. 。. (2.1.33) 21.

(35) 為了評價此繞射元件的效能，在此引入繞射效率（diffraction efficiency）與訊噪比（signal to. noise ratio, SNR）作為評價的依據，對於各個波長在取樣平面上的繞射效率定義如下. η ( λα ) =. Φ 訊號區 ( λα ). Φ 輸入區 ( λα ). , α = 1, 2,3. ，. (2.1.34). 其中 Φ 輸入區 ( λα ) 為波長 λα 在輸入平面的光通量， Φ 訊號區 ( λα ) 為在訊號區段中通過取樣平面的光通量，每一個取樣平面均定義在中心訊號主峰的範圍內。訊噪比定義為在同一取樣平面訊號波長的光通量與其他波長的光通量的比值，可表示為下式. ∑ Φ ( λα ) SNR ( λα ) = , α = 1, 2,3 。 ∑α Φ ( λα ) 訊號α. 雜訊 ′. (2.1.35). ′. 22.

(36) φ0(0,0). ). (. U1 = ρ1 exp ⎡⎣ −iφ1 φ0(n+1,0 ) ⎤⎦. φ 2( n ,0 ). (. φ0. SSE ≤ ε φ0 = φ0( n,0 ) m → m +1. 圖 5 振幅相位重建法的計算流程圖。. 0.9 0.8. 誤差函數值(SSE). ). ( n , 0) ~ m = 0 U 2 = ρ 2 exp i φ2 . (n +1, 0 ). 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 參考波長 (µm). 0.7. 0.8. 圖 6 不同的參考波長 λ 0 在最佳化後對誤差函數值的影響。. 23.

(37) 1.3.2 理論計算結果所設計的贗無繞射光束沿著光軸有六段，每一區段都具有等光照度且為單色光分布。第一段和第四段為波長 λ1 = 632.8nm 的贗無繞射光束，其所對應的區段分別為[120mm, 170mm]與[330mm,. 380mm]；第二段和第五段為波長 λ2 = 514.5nm 的贗無繞射光束，其所對應的區段分別為[190mm, 240mm]與[400mm, 450mm]; 第三段和第六段為波長 λ3 = 488.0nm 的贗無繞射光束，其所對應的區段分別為[260mm, 310mm]與[470mm, 520mm]。在此繞射元件的設計中所使用的參數分別如下：繞射元件的直徑與入射平面光束的大小均為 2 R1 = 12.0mm ，輸入平面與輸出平面的離散取樣點數分別為 N1 =600 與 N 2 =20。為了計算沿著光軸的照度分布，每個輸出平面之間的取樣間距. ∆z 須滿足(2.1.20)式。根據計算每個輸出平面的取樣間距最大不得大於 0.1357mm。在此繞射元件的最佳化過程中，沿著光軸的取樣數目會逐步遞增至 N z = 3420 ，取樣間距最後為 ∆z = 0.1316 mm。所使用的波長數目為 N λ = 3 ，假設此三種波長的入射光束為平面波，因此其振. 幅為均勻分布。在此最佳化過程中，使用不同的參考波長 λ 0 將會影響計算最後的誤差函數大小，圖 6 說明了此一結果。由圖中可知當所使用的參考波長 λ 0 為 631.0nm 時將可得到最佳的結果，所計算出的振幅分布最接近給定的振幅分布。圖 7(a)-(f)說明了每個取樣輸出平面上的橫向照度分布，其中實線為所設計繞射元件在每個輸出平面所產生的橫向照度分布曲線，虛線為第一類第零階貝塞爾光束在同一位置的橫向照度分布曲線，由此兩種曲線的比較可發現此多段的贗無繞射光束的橫向分布曲線會接近於貝塞爾光束的橫向分布曲線，此誤差說明了繞射元件所產生的並非真實無繞射光束，而是接近於無繞射光束的贗無繞射光束。經過最佳化計算後所得的繞射元件表面輪廓為連續分布的結構，但為了符合半導體製程中的微影蝕刻技術的需求，須將此連續輪廓量化為多階的結構，圖 8 為量化為十六階之後的輪廓高度分布圖。圖 9 所示為十六階繞射元件的軸向照度重建分布曲線圖。為了能說明每一種波長的訊號光在整個空間中的分布情形，這三種不同波長的空間照度平面如圖 10 所示。在此計算的過程中，繞射元件的取樣點數 N1 ，軸向輸出平面的取樣點數 N z 與參考波長 λ 0 的選取將影響最後最佳化的結果。其中 N1 和 N z 的選取在設計的過程中具有一些限制，如微影蝕刻技術所允許的最小線寬限制與純量繞射理論的適用範圍，將限制繞射元件的最大取樣點數。隨著 N 1 和 N z 的增加，計算過程將變得十分沉長。為了加快計算時間與確保收斂性，須放寬計算的初始條件。在剛開始的優化過程中先採用較少的分割點數( N z = 180 , N1 = 100 )，然後再逐步加密 N z 和 N1 分割點數，最後提高到 N z = 3420 和 N1 = 600 。. 24.

(38) 1.0. 計算結果貝塞爾光束. (a). 計算結果貝塞爾光束. (d) 1.0. 相對照度. 相對照度. 0.8 0.6 0.4. 0.6 0.4. 0.2. 0.2. 0.0 0.00. 0.01. 0.02. 0.03. 0.04. 0.0 0.00. 0.05. 橫向座標 (mm). 計算結果貝塞爾光束. (b) 1.0. 1.0. 0.8. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0.2. 0.01. 0.02. 0.03. 0.04. 1.0. 0.0 0.00. 0.05. 計算結果貝塞爾光束. 0.01. 0.03. 0.04. 0.05. 0.6. 0.2. 0.2. 0.04. 計算結果貝塞爾光束. 0.8. 0.4. 0.03. 0.05. 1.0. 0.4. 0.02. 0.02. (f). 相對照度. 相對照度. 0.6. 0.01. 0.04. 橫向座標(mm). 0.8. 0.0 0.00. 0.03. 計算結果貝塞爾光束. 橫向座標 (mm). (c). 0.02. 橫向座標(mm). 0.6. 0.4. 0.0 0.00. 0.01. (e). 相對照度. 相對照度. 0.8. 0.0 0.00. 0.05. 0.01. 0.02. 0.03. 0.04. 0.05. 橫向座標(mm). 橫向座標(mm). 圖 7 第一類第零階貝塞爾光束與計算的贗無繞射光束，在各種不同取樣平面與所對應的訊號波長的照度分布比較圖。(a) 波長 632.8nm ，距離 z = 140mm ；(b)波長 514.5nm ，距離 z = 210mm ；. (c)波長 488.0nm ，距離 z = 280mm ；(d)波長 632.8nm ，距離 z = 350mm ；(e)波長 514.5nm ，距離 z = 420mm ；(f)波長 488.0nm ，距離 z = 490mm 。. 25.

(39) (a). 1.4. 1.4 1.2. 表面輪廓深度 (µm). 表面輪廓深度 (µm). 1.2. (b). 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2. 0.0 0. 1. 2. 3. 4. 橫向座標 r1 (mm). 5. 0.0 0.0. 6. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 橫向座標 r1 (mm). 圖 8 所計算十六階繞射元件表面輪廓深度分布曲線圖。(a)全部；(b)部分。. 0.6328µm 0.5145µm 0.4880µm. 1.0. 相對照度. 0.8. 0.6. 0.4. 0.2. 0.0 100. 200. 300. 400. 軸向座標(mm). 500. 圖 9 由十六階繞射元件光場重建後的三色六段贗無繞射光束的軸向照度分布曲線。. 26.

(40) 圖 10 由十六階繞射元件光場重建後的贗無繞射光束的照度分布。 (a)波長為 632.8nm，(b)波長為 514.5nm，(c)波長為 488.0nm。. 27.

(41) 1.4 共軛梯度法（Conjugate-gradient method） 1.4.1 計算方法我們的目的是要利用共軛梯度法最佳化繞射相位元件的表面輪廓參數 h ( r1 ) ，使繞射元件能產生三色六段的贗無繞射光束，且每一區段中都只存在一種顏色，為了適當估算所設計繞射元件的特性，需引入如下帶有權重因子的誤差函數。. {. Nλ N z. E = ∑∑ W ( λα , zβ ) ⋅ ρ 2 ( λα , zβ ) − U 2 ( λα , zβ ) α =1 β =1. }. 2. ，. (2.1.36). 其中 ρ 2 ( λα , zβ ) 為預計在光軸上距離輸入平面 z β 的軸上振幅分布函數，W ( λα , zβ ) 為一個權重因子且對於每個波長須滿足 ∑ W ( λα , zβ ) = 1 的關係。在輸出區域我們只關心軸上照度分布的情況，對於相位分布的情形並不關心，因此可將每個取樣點的相位變化視為自由參數，也就是無需對輸出相位作任何約束，由(2.1.36)式可知這個函數是很難直接解出精確解的，而要以求解最佳化的方式找尋出適當的繞射元件表面輪廓 h ( r1 ) 使所產生的軸向照度分布最接近預期的分布。由於繞射元件表面輪廓的變化需在一定的範圍內，因此需對變數 h ( r1 ) 作一點約束，在這裡我們引入一個新變數 y ( r1 ) 與三角函數，將具有約束的求解過程轉換為無約束的求解過程。. h(r1 ) = hc sin [ y (r1 )] ，. (2.1.37). 其中 hc 是所設計繞射元件表面輪廓變化的最大值，經由(2.1.37)式已將求解問題簡化為求解變數 y ( r1 ) ，而其變化的範圍涵蓋整個實值域，接下來根據下列步驟以共軛梯度法解出未知數 y ( r1 ) 。 K y (k +1) (r1 ) = y (k ) (r1 ) + τ (k )d k , k = 0,1,2,3,... ， (2.1.38). K K 其中 τ (k ) 與向量 d (k ) 分別表示計算步距與搜尋方向，在第 k 次的迭代時搜尋方向 d (k ) 可表示為 Kk K k −1 k k −1 d ( ) = −∇E ⎡ y ( ) ( r1 ) ⎤ + β ( ) d ( ) , k = 1, 2,3,... ⎣ ⎦ ， (2.1.39) 其中參數 β k −1 為. (∇E ⎡⎣ y ( r )⎤⎦ − ∇E ⎡⎣ y ( r )⎤⎦ ) ⋅ (∇E ⎡⎣ y ( r )⎤⎦ ) , k = 1, 2,3,... = ， (∇E ⎡⎣ y ( r )⎤⎦ ) ⋅ (∇E ⎡⎣ y ( r )⎤⎦ ) (k ). β. ( k −1). ( k −1). 1. (k ). 1. ( k −1). 1. ( k −1). 1. (2.1.40). 1. k k 其中 ∇E ⎡ y ( ) ( r1 ) ⎤ 表示誤差函數 E 對於變數 y ( ) ( r1 ) 的梯度，為了確保在迭代過程中能保持收斂 ⎣ ⎦ k +1 k 性，計算步距 τ (k ) 的計算是根據 E ⎡ y ( ) ( r1 ) ⎤ < E ⎡ y ( ) ( r1 ) ⎤ 的原則，誤差函數 E 對於變數 y (ξ ) 的 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 偏微分可表示為下式. 28.

(42) ∂E ⎡⎣ y (ξ ) ⎤⎦ ∂y (ξ ). 2 ⎧⎪ Nλ N z ⎫⎪ = ⎨∑∑ W ( λα , zβ ) ⋅ ⎣⎡ ρ 2 − U 2 ⎦⎤ ⎬ ∂y (ξ ) ⎪⎩ α =1 β =1 ⎪⎭. ∂. Nλ. Nz. ∂. ⎡ ρ − U U * ⎤ = ∑∑ W ( λα , zβ ) 2 2 2 ⎦ ∂y (ξ ) ⎣ α =1 β =1. 2. Nλ N z ⎧⎪ 1 1 = ∑∑ W ( λα , zβ ) ⋅ 2 ⎡⎣ ρ 2 − U 2 ⎤⎦ ⎨− 2 U 2U 2* α =1 β =1 ⎩⎪. (2.1.41). ⎡ * ∂U 2 ∂U 2* ⎤ ⎫⎪ + U U ⎢ 2 ⎥⎬ 2 ∂y (ξ ) ⎥⎦ ⎪ ⎢⎣ ∂y (ξ ) ⎭. 由將（2.1.37）式帶入（2.1.3）式可推導出. ∂U 2 ⎡⎣ y (ξ ) ⎤⎦ ∂y (ξ ). ⎧ 2π ⎫ = ρ1 (ξ , λα ) G ( λα , zβ , ξ ) ⎨i ( nα − 1) hc cos ⎡⎣ y (ξ ) ⎤⎦ ⎬ exp {iφ1 (ξ , λα )} ， ⎩ λα ⎭. (2.1.42). 其中 U 2*. ⎧ 2π ⎫ ∂U 2 ∂U 2* +U2 = −2 Im ⎨ ( nα − 1) hc cos ( y ) ρ1GU 2* exp ( iφ1 ) ⎬ ∂y ∂y ⎩ λα ⎭，. (2.1.43). (2.1.41)可改寫如下. ∂E ⎣⎡ y (ξ ) ⎦⎤ ∂y (ξ ). N ⎫ ⎡ 2π ρ ⎤ ⎪⎧ λ N z = −2 Im ⎨∑∑ W ( λα , zβ ) ( nα − 1) hc cos ( y ) ρ1 exp ( iφ1 ) ⎢1 − 2 ⎥GU 2* ⎬⎪ λα ⎢⎣ U 2 ⎥⎦ ⎩⎪ α =1 β =1 ⎭⎪。 (2.1.44). 經由上述步驟的反覆計算直至下列條件滿足才終止：(a)誤差函數的梯度值達到一個給定的極小值，(b)已超出預定的迭代次數。當變數 y ( r1 ) 為理想解時，誤差函數 E 才能等於零，雖然任何精確解都是誤差函數的極小值，但是具有極小值的解並不一定是誤差函數的真實解。所以每個誤差函數的極小值並無法反映出問題的真實解。為確保所得到解的正確性與精度，需要小心的反覆驗證所得到的結果。當處理一個高度非線性問題時，利用共軛梯度得到的解也許只是一個局部解而非全域解。所得到的解若可滿足所需的要求，則此方法所得到的解依然是可接受的。. 29.

(43) 2.4.2 計算結果此方法所使用的參數與前述的振幅相位重建演算法相同，其中最大的不同是繞射元件的最大深度值需事先給定，在這次的計算中繞射元件表面輪廓最大深度設定為 2.769µ m ，圖 11 為所設計繞射元件量化為十六階後的表面輪廓分布圖，所設計十六階繞射元件所產生的軸上贗無繞射光束的照度分布如圖 12 所示。為了得到較好的解且使計算過程能一值保持收斂，我們在軸上訊號區中加入較大的權重而其他部分則有較小的權重，從計算過程中我們發現參數 N1 , N z 與權重因子 W (λα , z β ) 在優化的過程中扮演著很重要角色，較大的 N1 與 N z 的取樣點數將使得所產生贗無繞射光束的品值變得更好，然而隨著 N1 與 N z 的加大將使計算變得十分費時。在此我們根據需求選取適當的兩個參數，當所有參數設定適當後再選擇適當的權重函數則可能得到很好的解。. 30.

(44) 2.5. 2.5. 表面輪廓深度(µm). 3.0. 2.0 1.5 1.0 0.5. (b). 2.0 1.5 1.0 0.5. 0.0 0. 1. 2. 3. 4. 5. 0.0 0.0. 6. 0.1. 徑向座標(mm). 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 徑向座標(mm). 圖 11 所設計十六階繞射元件的表面輪廓分布。(a)全部，(b)部分。. 632.8nm 514.5nm 488.0nm. 1.0 0.8. 相對照度. 表面輪廓深度(µm). 3.0 (a). 0.6 0.4 0.2 0.0 200. 300. 400. 500. 軸向座標(mm) 圖 12 十六階繞射元件軸向光場重建照度分布圖。. 31. 0.6. 0.7.

(45) 1.5 元件的製作本章中所製作的二進階繞射元件是以石英為基板(substrate)，此元件將使用在可見光波段。雖然光學玻璃也適用在可見光波段，價格也較便宜，以它來當基板應該比石英更適合，但由於玻璃的組成為二氧化矽與其他金屬離子（如鋰、鈉、鉀、鈹等）的非結晶混合物，這些金屬離子將污染半導體製程設備，因此在半導體製程中無法利用一般玻璃材質當基板。石英材料可以做到一種很純的二氧化矽結晶物，裡面幾乎沒有包含其他雜質，故可被允許利用半導體設備完成元件的製作。石英在可見光波段具有很好的透光窗口，其缺點就是價格比玻璃貴很多。在本論文中繞射元件的製作是利用積體電路的製程技術。透過雷射圖形產生機（laser beam pattern generator）、微影製程（lithography）與蝕刻（etching）等步驟來完成。本製作過程所需之各類製程皆是使用本校奈米中心（Nano Facility Center）的 CLASS-10000 無塵室的設備，如薄膜測厚儀（ α -stepper），光阻塗佈機（photo-resist spinner）、加熱平板（hot plate）、YES 烤箱（可塗佈 HMDS），清洗槽（clean hood）、光罩對準曝光機（mask aligner）、乾式蝕刻機（reactive ion etcher）等半導體製程設備。繞射元件的製作採用乾式蝕刻法中的活性離子蝕刻（RIE）的原因是：具有較好的蝕刻均勻性與側壁垂直度，此外由於 RIE 的製程簡單且蝕刻速率可藉由選用不同蝕刻氣體的種類和調整混合比、壓力、流量與功率等，使得製作過程中具有很大的彈性。. 1.5.1 光罩的製作十六階繞射元件的製作需要四道光罩，因此在製作繞射元件前須先按照所需規格的大小，把光罩圖案與每道光罩的對準鍵圖形畫出。由於所設計的繞射元件是圓對稱的元件，因此所繪製的每一道光罩圖形為明暗相間的環狀圖形所組成。為了能得到較精確的圖形繪製，我們利用 AutoLISP 自動繪圖程式完成圖形的繪製，再由光罩製作機台完成光罩的繪製，圖 13 為所製作的光罩圖形。在使用多道的光罩製程時，由於儀器靈敏度與人為技術等問題，將會衍生出光罩間的對準誤差。由分析可知對準誤差對繞射元件的光學特性具有一定程度的影響，在過去的許多論文中均提到此誤差在技術上是最難克服的。由於製程中所使用的石英基板為透明材質，對準問題比用矽晶片當基板來得嚴重，在此先將人為的技術問題排除後再分別敘述其原因。 1.. 目前本校奈米中心 Class-10000 級的實驗室所使用的光罩對準機為 Karl Suss 公司的 MJB-3 型，機器本身的最佳對準度在操作手冊上指出為 0.2µ m ，不過機台有很多人在使用，而每個人的操作習慣又不盡相同，故機台的狀況不太穩定。. 32.

(46) 2.. 所使用的曝光光源為汞登，波長範圍為 280~350nm，在操作手冊上的解析度是在最理想的情況下可達 0.4µ m ，但機台已使用多年目前所能曝出來的最小線寬已大於 1µ m 。由於經過曝光與顯影後的圖形已經比原本光罩上的圖形要來得小，故在做對準時很難看出是否已完全對準。. 3.. 元件經蝕刻後其圖形側壁無法達到理想的九十度壁垂直度，故圖形邊緣的分界線並非十分清楚，在光學顯微鏡的觀測下會呈現出一條有寬度的線。. 4.. 所使用的石英基板是透明的，經蝕刻後的圖形也是透明的，只能在圖形的邊緣上約略分辨出。當基板塗佈上黃褐色的光阻後，具有一定厚度的光阻位於光罩與基板之間，而對準曝光機的高倍率顯微物鏡的焦深很短，這時就很難同時看清楚光罩與基板上的圖形，這時的對準精度就大大的降低了。其中光阻的厚度完全是由基板的蝕刻深度與蝕刻機台的光阻和基板蝕刻選擇比所決定，並不能任意降低。. 由於以上的各種因素，剛開始的對準誤差常在 5µ m 以上，後來經過多次練習且技術較為熟練，最佳時可降低至 2µ m 以下。在製作的期間發現光罩對準鍵扮演著很重要的角色。. 圖 13 製作十六階繞射元件所使用的光罩。. (a)第一道光罩；(b)第二道光罩；(c)第三道光罩(d)第四道光罩。. 33.