圖形訊息對兒童數量估計能力的影響
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(3) 謝 辭 「如果我知道答案，那你也不用做了。」這是受楊志堅教授長期指導以來， 我印象最深刻的一句話，但是直到口考前一個月，才慢慢明白這話的意思。我的 資質不高，測統所考了四次才考上，就讀之後，也一直沒有找到想要研究的主題， 還好遇到玉如、惠霜、嘉瑋、佩儒和明慧這些研究夥伴，一起請楊教授指導，又 在教授的提點下，很幸運的完成這個研究主題。首先，當然要感謝楊志堅教授的 悉心指導。 回想研究的過程，一有問題，我總是急著想找教授問個明白，教授卻從來不 會明確的告訴我答案，只是反問我問題，要我好好思考，為什麼我要那麼做？想 要得到什麼結果？誠如教授所言，知道答案的問題，是沒有研究價值的。所以我 們六位研究夥伴，總是互相討論著沒有解答的問題，各自提出不同的研究方向。 在此，也要感謝夥伴們長期以來的幫助，以及對我的問題提出的建議。由於我的 主題在國內完成的研究不多，進行文獻探討時很難找到參考來源，國外的文獻取 得又不易，幸好聯絡上進行過相關研究的蔡方之先生，提供我不少文獻來源，並 對我的論文提出精闢的建議，終於在參考資料勉強足夠的情況下，完成了研究。 感謝蔡方之先生，以及過去曾經進行相關研究的學者們，沒有你們的肩膀，我就 無法看得更遠一些。在研究所進修以來，每一門課的教授，都很有耐心講解艱深 的統計理論與新的測驗分析方法，並提出新的研究方向，供同學們參考。在各個 課程小組裡，同學們也都各自發揮專長，合作完成精彩的報告，使我在進修的日 子裡，獲益匪淺。口考時，陳錦章教授、施慶麟教授與陳信如教授言簡意賅指點 我的論文。感謝所有教授們，感謝班上每一位同學，很高興有緣分與你們一起求 學，祝福大家事事順利，身體健康。 最後，感謝企業界的簡報專家—我的妻子，在口考前幫助我完成精彩的簡報 檔，感謝所辦的助教們，協助處理繁雜的手續，感謝天下味，填飽我的肚子。. I.
(4) 摘 要 為瞭解兒童估計數量時，容易受到何種圖形訊息的干擾，以數量、顏色、大 小、密度及形狀為自變項進行測驗，觀察不同數學學業成績的兒童在不同時間下 進行數量估計的表現。參照 Baroody & Gatzke（1991）的研究，編製一數量估計 測驗，閃示時間為 5 秒、10 秒、15 秒、30 秒，並提示兒童圖形個數在 10～50 之 間，進行範圍任務測驗，分析兒童估計投影片上圖形的原始個數與誤差率，來判 斷不同圖形訊息是否對兒童估計數量的能力造成影響。 研究對象為台中縣某國小五年級兒童，共 90 人，依照數學學業成績分高、 中、低三組，每組 30 人。全測驗題目以投影片方式呈現，題號顯示 2 秒，時間 到題目即消失，不可重看，作答間隔 3 秒，兒童在答案紙上寫出估計的數字，輸 入電腦後，先以原始估計值進行單一樣本 T 檢定，觀察各題估計值與實際個數的 差異顯著性，再減去實際值進行三因子變異數分析，觀察各類圖形訊息在不同時 間和組別下，造成高低估的趨勢，最後以誤差率進行三因子變異數分析，以比較 圖形訊息對估計誤差量的影響。 研究顯示，各圖形訊息、時間、數學學業成績組別三者的改變，對數量估計 能力的影響交互作用都未達顯著，而圖形訊息與時間、數學成績與時間兩者分別 有顯著的交互作用。以估計值與實際值比較，各類圖形訊息改變都會影響差異顯 著與否，以估計值與估計值比較，數量、顏色的改變與不同數學成績組別都有顯 著差異。以估計誤差率比較，數量、顏色、形狀、時間與不同數學成績組別造成 顯著差異。故不同的圖形訊息、閃示時間與數學學業成績，都影響了兒童數量估 計的能力。 關鍵詞：圖形訊息、數量估計、誤差率。. II.
(5) Abstract In order to understand when children estimate the numerosity of figures, they are easy to be interfered by which figure information, according to Baroody & Gatzke’s (1991) study, edit a numerosity estimation test that uses number, color, size, density, and shape as the independent variables, to observe the estimate performance of children who have different mathematical academic achievement in different ranges of time. The ranges of time are 5 seconds, 10 seconds, 15 seconds, 30 seconds, and prompts children the numerosity of figures are between 10 to 50, to proceed the range tasks test. Analyse the original number and the error rate of children’s estimation, to determine whether children’s numerosity estimation abilities are affected of different figure information or not.The subjects were fifth grade students at elementary school in Taichung County, there are 90 valid samples. According to mathematical academic achievement, assign children in high, medium and low groups,each group has 30 people. All test subjects are in a slide show, question number will display 2 seconds, when time’s up the subject will disappear immediately and won’t be re-read, the answer interval is 3 seconds. Collect the estimating numbers that students write in the answer sheets, at first, use the original estimation answer to run one sample T-test, to observe the significant differences between estimation number and actual number, then minus the actual number to run a three-way ANOVA to observe the trend betreen various types of figure information and groups at different times. Finally, use the error rate to run a three-way ANOVA to compare the error amount affected by different figure information.Different figure information, flash time and math academic achievement, do affect the number estimate ability of children. Recommend when preparing teaching materials, the figure information should be concerned, and we should give subjects enough time in terms of the number of figures to reduce the error caused by figure information, and we can. measure the students’ true ability.. Keywords：figure information, numerosity estimation, error rate.. III.
(6) 目. 錄. 謝 辭 ........................................................................................................................... I 摘 要 ..........................................................................................................................II Abstract..................................................................................................................... III 目. 錄 .................................................................................................................. IV. 表 目 錄 .................................................................................................................. VI 圖 目 錄 .................................................................................................................. IX 第一章. 緒. 論......................................................................................................... 1. 第一節 研究動機........................................................................................ 1 第二節 研究目的........................................................................................ 3 第三節 待答問題........................................................................................ 3 第四節 名詞解釋........................................................................................ 4 第二章 文獻探討....................................................................................................... 5 第一節 數量估計的受試者因素................................................................. 5 第二節 數量估計的刺激物因素................................................................. 6 第三節 其他相關研究 ................................................................................ 9 第三章 研究方法..................................................................................................... 11 第一節 研究架構...................................................................................... 11 第二節 研究程序...................................................................................... 12 第三節 研究對象...................................................................................... 12 第四節 研究工具...................................................................................... 12 IV.
(7) 第五節 資料處理與統計分析 ...................................................................15 第四章 研究結果 .....................................................................................................17 第一節. 圖形數量的比較.........................................................................17. 第二節. 圖形顏色的比較.........................................................................23. 第三節. 圖形大小的比較.........................................................................29. 第四節. 圖形密度的比較.........................................................................32. 第五節. 圖形形狀的比較.........................................................................34. 第六節. 圖形呈現時間與數學學業成績的比較 ......................................39. 第五章 結論與建議 .................................................................................................44 第一節. 研究結論 ....................................................................................44. 第二節. 研究限制 ....................................................................................47. 第三節. 後續發展建議.............................................................................47. 文獻參考...................................................................................................................49 中文部分.............................................................................................49 英文部分.............................................................................................51 附錄...........................................................................................................................52. V.
(8) 表 目 錄 表 3-1. 研究流程 ...................................................................................... 12. 表 3-2. 投影片觀察項目差異比較 ........................................................... 15. 表 4-1. 數量題型敘述性統計................................................................... 17. 表 4-2. 數量題型原始估計值 T 檢定....................................................... 18. 表 4-3. 數量、時間、數學成績之高低估趨勢三因子變異數分析摘要表. ............................................................................................................ 19 表 4-4. 數量×時間之高低估趨勢單純主要效果考驗摘要表 .................. 20. 表 4-5. 數量、時間、數學成績之估計誤差率三因子變異數分析摘要表. ............................................................................................................ 21 表 4-6. 數量×時間之估計誤差率單純主要效果考驗摘要表 .................. 22. 表 4-7. 顏色題型敘述性統計................................................................... 24. 表 4-8. 顏色題型原始估計值 T 檢定....................................................... 24. 表 4-9. 顏色、時間、數學成績之高低估趨勢三因子變異數分析摘要表. ............................................................................................................ 25 表 4-10. 顏色×時間之高低估趨勢單純主要效果考驗摘要表 ................ 26. 表 4-11. 顏色、時間、數學成績之估計誤差率三因子變異數分析摘要表. ............................................................................................................ 27 表 4-12. 顏色×時間之估計誤差率單純主要效果考驗摘要表 ................ 28. VI.
(9) 表 4-13. 大小題型敘述性統計 .................................................................29. 表 4-14. 大小題型原始估計值 T 檢定 .....................................................30. 表 4-15. 大小、時間、數學成績之高低估趨勢三因子變異數分析摘要表. ............................................................................................................31 表 4-16. 大小、時間、數學成績之估計誤差率三因子變異數分析摘要表. ............................................................................................................31 表 4-17. 密度題型敘述性統計 .................................................................32. 表 4-18. 密度題型原始估計值 T 檢定 .....................................................33. 表 4-19. 密度、時間、數學成績之高低估趨勢三因子變異數分析摘要表. ............................................................................................................33 表 4-20. 密度、時間、數學成績之估計誤差率三因子變異數分析摘要表. ............................................................................................................34 表 4-21. 形狀題型敘述性統計 .................................................................34. 表 4-22. 形狀題型原始估計值 T 檢定 .....................................................35. 表 4-23. 形狀、時間、數學成績之高低估趨勢三因子變異數分析摘要表. ............................................................................................................36 表 4-24. 形狀×數學成績之高低估趨勢單純主要效果考驗摘要表 .........36. 表 4-25. 形狀、時間、數學成績之估計誤差率三因子變異數分析摘要表. ............................................................................................................37 表 4-26. 形狀×時間之估計誤差率單純主要效果考驗摘要表.................38. VII.
(10) 表 4-27. 圖形呈現時間與數學學業成績分組平均估計值敘述性統計 ... 39. 表 4-28. 圖形呈現時間與數學學業成績分組平均估計值 T 檢定 .......... 40. 表 4-29. 時間×數學成績之高低估趨勢二因子變異數分析摘要表 ........ 40. 表 4-30. 閃示時間與數學成績分組單因子變異數分析摘要表............... 41. 表 4-31. 時間×數學成績之估計誤差率二因子變異數分析摘要表 ........ 42. 表 4-32. 時間×數學成績之估計誤差率單純主要效果考驗摘要表 ........ 42. 表 4-33. 數學成績×時間之估計誤差率單純主要效果考驗摘要表 ........ 43. 表 5-1. 各自變項對數量估計的影響總表 ............................................... 44. VIII.
(11) 圖 目 錄 圖 2-1. 蔡方之等（2004）實驗所用的四種正式刺激...............................8. 圖 2-2. 佔據模式的概念（蔡方之等，2004） ..........................................8. 圖 2-3. 利用 CODE 群集算則對物體的分群（蔡方之等，2004） ..........9. 圖 3-1. 研究架構圖...................................................................................11. 圖 3-2. 十三題投影片圖 ...........................................................................14. 圖 3-3. 估計值與實際值差異示意圖........................................................16. 圖 3-4. 自變項高低估趨勢示意圖............................................................16. 圖 3-5. 估計誤差率比較示意圖 ...............................................................16. 圖 4-1. 數量×時間高低估趨勢剖面圖......................................................21. 圖 4-2. 數量×時間估計誤差率剖面圖......................................................23. 圖 4-3. 顏色×時間高低估趨勢剖面圖......................................................27. 圖 4-4. 顏色×時間估計誤差率剖面圖......................................................29. 圖 4-5. 形狀×時間估計誤差率剖面圖......................................................39. IX.
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(13) 第一章. 緒. 論. 研究在探討兒童估計數量時，容易受到何種圖形訊息的干擾，本章分為四 節，第一節介紹研究動機，藉由分析現行國小數量估計的相關教材，發現各版本 圖形訊息的不同；第二節介紹研究目的，探討干擾兒童進行數量估計的因素；第 三節為待答問題，包括各類圖形訊息對兒童估計數量時可能產生的影響；第四節 則是名詞解釋。. 第一節 研究動機 在通常情況下人們通過計數來獲得物體數量,但在某些情況下無法將呈現在 視野中的物體一一數出來,因此會採用估計的方式來獲得物體的大概數量,這就是 數量估計（蔡方之、黃淑麗、顏乃欣，2004） 。依據 Hogan, T. P., & Brezinski, K. L. （2003）的研究，數學估計分為數量估計（例如：地上的落葉有多少片? ）、計 算估計（例如：2344×5688 大約是多少? ）與測量估計（例如：一杯水有多少毫 升）等三類。而 3 種估計類型中，有關數量估計的研究最少，但數量估計在生活 上的實用性卻不可缺乏（游志文，2008）。 從 google 首頁搜尋「數量估計」一詞，可以找到約有 8,990,000 項結果，舉 凡都市與鄉村的人口分布、大豆出口情形、野生貓熊的保育、新型流感疫情、 iPhone4 的銷售業績，甚至便利超商換公仔的貼紙收集，都需要估計大約的數量， 以進一步採取對應措施，可見數量估計能力在生活中的重要性。對兒童而言，午 餐時湯裡的丸子一人分幾顆才剛好分完？生日會要帶多少糖果發給同學？鉛筆 盒裡的筆芯還剩多少枝?都是在日常生活中，需要使用數量估計能力來解決的問 題。因為有關數量估計的問題在兒童生活中是如此常見，所以，找出容易影響兒 童進行數量估計的因素，是教育工作者在編製教材與教學時，必須關注的議題。 游志文（2008）指出，數學估計的學習，在國小與國中兩階段，僅止於透過 1.
(14) 概數的學習來表達一個複雜的數字，至於如何能有效的進行數量估計，課程中均 尚未提及。而對照民國 92 年國民中小學九年一貫課程綱要之數學能力指標（教 育部國教司網站）後，發現關於估計的指標僅有「N-1-17 能做量的估測」 、 「S-3-03 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積」 、 「N-2-05 能用四捨 五入法，對某數在指定位數取概數，並作加、減、乘、除之估算」等三項，其中 「N-1-17」相關的單元為長度、重量、容量、時間等，屬於「測量估計」的範疇； 「S-3-03」是面積單元、 「N-2-05」是概數單元，都屬於「計算估計」的範疇；至 於有關「數量估計」的能力指標，確實未在課程綱要中發現。 即使「數量估計」未在能力指標中出現，國小數學教材仍有機會運用到數量 估計能力來解題，以 99 年部編本數學（國家教育研究院籌備處，2010）為例， 在第一冊第一單元「10 以內的數」，就出現要計算各種動物數量的問題，這屬於 「數與量」的主題，其分年細目指標為「1-n-03 能運用數表達多少、大小、順序。」 、 「1-n-07 能進行 2 個一數、5 個一數、10 個一數等活動。」兩項，原意是要學生 一組一組「數數」，故能力指標沒有「估計」一詞，但分組數數的方式，屬於估 計策略的教學。同樣在 99 年部編本數學（國家教育研究院籌備處，2010）第三 冊第九單元「乘法 2」的例題，要計算「盒子裡有幾顆糖？」其分年細目指標為 「2-n-06 能理解乘法的意義，使用×、＝作橫式紀錄，並解決生活中的問題。」 原意是要以乘法來計算糖果的數量，但又附上圖片提示，使兒童也可以經由目測 估數的方式來作答。另外，98 年康軒版數學（康軒文教事業股份有限公司，2009） 第三冊第一單元「數到 200」 ，題目問「有幾隻黑面琵鷺？」 ，分年細目指標為「2-n-01 能認識 1000 以內的數及百位的位名，並作位值單位換算。」提示學生以 10 個一 數來計算黑面琵鷺的數量，再次示範了數量估計的策略。因此，數量估計教學雖 然不在課程能力指標內，卻在圖文並茂的數學教材中，一再出現。 然而，各版本教科書所使用的圖片不盡相同，其個數、顏色、大小、排列方 式與形狀，對於不同數學學業成績組的學生，在不同的估計時間下，是否會造成. 2.
(15) 不同的學習效果呢？這是進行數量估計教學時，必須深入了解的問題。. 第二節 研究目的 研究之目的是要探討國小兒童進行數量估計時，其正確性、高低估趨勢及誤 差率三者容易受到何種圖形訊息的影響，就這研究目的如以下描述之：蔡方之、 黃淑麗、顏乃欣（2004）指出，數量估計的準確性受物體的特性、時間向度和空 間向度三個維度的影響。物體的異質性(heterogeneity)較高時(如顏色上的差異)較 容易估計物體的數量，刺激的呈現時間、掩蔽圖形的異步呈現(SOA)等時間維度 與圖形排列方式不同，對兒童數量估計的準確性都會產生顯著影響。越振國 （2009）指出，估算情境和數量大小均會對兒童的數量估算產生影響，兒童的數 量估算得分在有參照情境下要高於無參照情境，而規則排列情境下的估算得分也 高於隨機排列情境下的得分，且隨著數量增大，兒童的估算得分會降低，估算的 精確度下降。在 Baroody & Gatzke（1991）的研究中，選定了 3、8、15、25、35 五組數量進行研究，發現物體的數量大於 15 個時，估計準確度大幅下降。參照 以上研究，選出圖形數量、顏色、大小、密度、形狀及呈現時間作為題目自變項， 並以兒童的 99 學年度上學期數學學業成績為依據，分為高分、中分、低分三組， 對數量估計的原始估計值與誤差率進行分析，以瞭解不同數學學業成績的兒童在 不同的估計時間下，容易受到何種圖形訊息的干擾。. 第三節 待答問題 為了解不同數學學業成績的兒童在不同圖形訊息與不同估計時間的干擾 下，數量估計值的準確性、估計趨勢與誤差率的變化，採用自編之「數量估計測 驗」來觀察各種圖形訊息對兒童的影響。基於以上目的，列出下列待答問題： 1. 各題平均估計值與實際值是否有顯著差異？ 2. 不同圖形訊息在不同估計時間下是否影響不同數學學業成績兒童數量估計的. 3.
(16) 高低估趨勢？ 3. 不同圖形訊息在不同估計時間下是否影響不同數學學業成績兒童數量估計的 誤差率？. 第四節 名詞解釋 一、圖形訊息 研究所指的圖形，是使用白色投影片在電腦螢幕上播放的彩色封閉圓形、正 三角形與正方形。圖形同時具有圖像的(figural)特質與概念的(conceptual)特質，圖 像的特質是指大小、形狀、顏色等感官特性，而概念特質係指與圖形所涉及與概 念有關的抽象特質（翁立衛，2008）。研究所指的訊息，屬於圖像的特質，包括 數量、顏色、大小、密度、形狀及呈現時間。 二、數量估計 參考游志文（2008）之研究，定義數量估計為利用不同集合的基數值進行大 致的估算，數量需為不連續量，並限定估計秒數需在 5 秒、10 秒、15 秒、30 秒 四個階段內完成，且給予估計個數範圍為 10～50 之間。 三、誤差率 將受試者作答的估計值與實際值相比較，使用絕對百分比誤差來反映估計合 理性變化：它等於估計值減去實際值後再除以實際值並取絕對值，最後乘以 100% （司繼偉、陳小鳳、徐繼紅，2008）。 四、數學學業成績 以最接近施測日期的 99 學年度上學期數學學期總成績為依據，將有效樣本 分為高分組、中分組、低分組，每組人數三十人。. 4.
(17) 第二章 文獻探討 在 1890 年，Binet 發現幼童認為當物體在紙上佔據比較多的空間時，看起來 會比較多，之後的四十年間，學者們開始研究所謂的數量錯覺（蔡方之、黃淑麗、 顏乃欣，2004）。數量估計主要受兩大類因素影響，本章第一節討論數量估計的 受試者因素，第二節說明數量估計的刺激物因素，第三節則介紹其他相關的研 究。論文即根據以上理論來作為研究之依據。. 第一節 數量估計的受試者因素 受試者本身心智發展的因素，包括年齡、數學學業成績、採用的估計策略等。 年齡方面，Siegel, A.W., Goldsmith, L.T., & Madson, C.R. (1982)發現數量估計的準 確性隨年齡的增加而提高，成人估計物體的數量比六年級至八年級的學生估計的 結果更準確，而六年級至八年級又比二年級至五年級估計的更準確；游志文 （2008）把估計發展分為 9 個階段：階段 0 是“前估計”階段，即兒童不數數就無 法估計；階段 1 也是“前估計”階段，兒童無策略，或僅是大膽猜測；階段 2 是空 間範圍，兒童能感受數量大小，以小數字（例如：1~4）描述小數量，以大數字 （例如：20）描述大數量；階段 3 是空間範圍的擴展，對於數量為 4~6 時，亦能 精準的估計；階段 4 是直覺式的數量化掃描，即估計是基於一種直覺的數量化過 程，亦即對於某個範圍大小的數量是具備數量的概念的，對於大數則缺乏精準 度；階段 5 是基準式的掃描，即用與直覺式的數量化掃描相似的基準，兒童在這 個階段會發展出一個或多個基準，例如：能知道 10 大概是幾個；階段 6 是規則 排列的組合，即兒童使用一個目測的集合或想像的基準，進行反覆數數以產生估 計值；階段 7 是不規則排列的組合，兒童在不規則分佈的目標任務上使用與階段 6 相似的策略，需增加心智上的靈活度；階段 8 是分解與重組，兒童先把目標的 數量分解為樣本，然後通過數數或與基準比較而量化樣本，最後重組樣本得到估 計值。 5.
(18) 學業成績方面，司繼偉等人（2008）的研究結論為不同數學學業水平小學生 數量估計準確性存在顯著差異，優生的估計準確性顯著高於差生，並提到值得注 意的問題是，數量估計被看作是靈活運用數學知識的一種適應性問題解決方式， 如果僅僅只是數學知識掌握的好而不懂得靈活運用的話，會使優生和差生之間在 數量估計準確性上應有的差異縮小，無論優生還是差生都存在僵硬使用數學知識 的現象,只是這種現象在差生中更為普遍。 而估計策略方面，在游志文（2008）的研究中提到，過去的估計研究提出兩 種估計策略，即是所謂的參照點估計（就是指出估計量的範圍），以及數量分解 與合成的策略（將估計的數量分解成幾個可以心算處理的數量，再把這些分解過 後的小數量加起來）。結果發現，學生們估計的正確率與他們所聲稱採用的估計 策略的關係並不是很高。比較年輕的學生有 67％的時候採取純粹用眼睛看的方 式；而比較年長的學生則有 50％的時候採取純粹用眼睛看的方式，另外，從二年 級到八年級的學生，都或多或少能學習到利用數量分解合成的方式來做數量的估 計。游志文（2008）則以國中生為研究對象，探究網路化數量估計的學習成效， 實驗組分為群組估計組與乘法估計組，對其分別施予估計策略的教學課程，此一 課程教導學生如何以「群組」（分解-結合）和「乘法」兩種策略，進行數量估計； 對照組並不給予任何有關估計策略的教學課程，而只單純讓其進行數量估計練 習。結果顯示，群組估計組在學習成效上優於乘法估計組，同時，群組估計組與 乘法估計組兩個實驗組亦優於對照組且均達顯著，表示在數量估計教學之後，學 生的估計能力有所提升。 研究的受試者為國小五年級兒童，依據上述文獻探討，其估計發展階段應在 6~7 之間，採用數學學業成績分組，但不事先進行估計策略的教學。. 第二節 數量估計的刺激物因素 刺激物呈現的因素，包括物體數量、排列方式、距離、顏色對比、形狀、呈. 6.
(19) 現時間等因素，這也是研究所關注的議題。 在物體數量方面，游志文（2008）的研究指出，對於大部分的高智商學前兒 童是否能準確地估計範圍 6~12 的數量，並不十分清楚，當數量增加至 13 或是更 大的數量如 30 的時候，結果更無從得知。而 Baroody & Gatzke（1991）的研究顯 示，學前兒童對 5 個以下的物體可直接觀測就能得知數量，但數量增加到 6 至 12 個，就需要數數才能得知物體個數，因此設計估計課程時，物體數量應設定在 5 個以上，於是 Baroody & Gatzke 以 3、8、15、25、35 進行研究，結果發現，兒 童估計的準確度受到數量的增加影響而劇烈下降，兒童能目測 3 個物體的數量， 8 個物體時，答案在實際值±25％之間，但物體個數超過 15 個時，表現就大幅下 降。 在排列方式方面，蔡方之、黃淑麗、顏乃欣（2004）的研究指出，規則排列 的圖形會顯得比隨機排列的圖形數量多，不論圖形排列成矩形或同心圓、實際數 量的多寡皆有一致性的效果。然而這些研究中所用的規則刺激基本上同時也是均 勻排列的，因此蔡方之等推論「均勻排列效果」及「規則排列效果」皆會影響數 量估計，而進行了圖形排列方式對數量估計的影響之研究，將排列方式區分為「均 勻且規則」、「均勻但不規則」、「不均勻但規則」和「不均勻且不規則」等四種， 如圖 2-1。其結果顯示實驗所設計四組材料中，以「規則且均勻」的圖形數量估 計值最高，其次為「均勻但不規則」、 「不均勻但規則」（兩者差異不大），而被受 試者低估最多的是「不均勻且不規則」的圖形，雖然受試者在「均勻且規則」圖 形上估計值最高，但卻未顯示比實際值(49 個)高估的情況，其中均勻及規則的主 要效果皆達顯著，但兩者交互作用並未達顯著。. 7.
(20) 圖2-1. 蔡方之等（2004）實驗所用的四種正式刺激. 在距離方面，蔡方之、黃淑麗、顏乃欣（2004）指出佔據模式，圖形中各圓 點會以自身為中心，R 為半徑形成各自的領域，而當兩圓點靠得太近時，則兩者 的領域會有重疊的情況，而重疊的部分越多，受試者所估計的數量會越少（圖 2-2），A 圖顯示當兩點靠近時，各自形成的領域會重疊的情況；B 圖說明兩領域 未重疊的情況。. 圖2-2. 佔據模式的概念（蔡方之等，2004）. 8.
(21) 蔡方之、黃淑麗、顏乃欣（2004）也指出 CODE 群集算則(COntour-DEtecting cluster algorithm)，利用空間距離的接近程度將圖形中的各個物體分群(圖 2-3)， 下排的圖是 CODE 對上排圖所做的分群，並且預測各群集所形成的面積總和所占 整體面積的比例愈大，受試者所估計的數量愈多。. 圖2-3. 利用CODE群集算則對物體的分群（蔡方之等，2004）. 在顏色對比方面，Atkinson, Francis 和 Cambell（1976）發現物體顏色上的差 異較高時，較容易估計物體的數量，另外，Brown（1929）也發現顏色和對比因 素都會影響數量估計。在形狀上，Edmund Howe & Kenneth Jung.（1987）的研究 發現，具有對稱性的圖形比較容易辨識其數量。至於時間方面，遮蔽圖形的不同 步呈現、刺激呈現的時間，對於數量估計的準確度亦會有影響（Allik and Tuulmets, 1991）。. 第三節 其他相關研究 其它影響數量估計的因素，可能包括 Stroop effect（Stroop, 1935）與顏色心 理學的研究。在 Stroop effect 方面，林子誠（2008）提到，典型的 Stroop 作業， 是受試者對含有兩個向度的刺激作反應，但須忽略其中一個向度，以不同顏色所 書寫的色字（如紅色的「藍」字），作為測試的材料，當作業要求是讀色字的字 義時，受試者常能有效的排除顏色的干擾，而作業要求是辨識色字的顏色時，受 試者卻不能壓抑字義所帶來的影響，Stroop 效果證明了一個注意力的基本觀點： 9.
(22) 我們能忽略環境中的某些特徵，但某些卻不能跳脫注意。而研究所欲比較的，是 圖形訊息和數量兩個向度之間，是否也會互相影響；估計數量時，注意力是否會 受到圖形訊息的影響，而降低了估計的準確性。 在顏色心理學方面，Andrew J. Elliot & Henk Aarts（2011）指出，當人類看 到紅色，他們的反應更快、更有力，可能原因是紅色被視為危險的提示，所以能 增強身體的反應，但威脅是一把雙面刃，也會引起擔心，並耗損心理資源，所以 也可能降低人類的能力表現。研究將顏色變項加入試題中，欲觀察常見的顏色對 兒童數量估計的能力，是否有增強或削弱的反應。. 10.
(23) 第三章 研究方法 本章分為五節，第一節介紹研究的整體架構；第二節說明研究程序；第三節 介紹研究對象；第四節說明研究工具的發展過程，第五節則說明資料處理與統計 分析的流程。. 第一節 研究架構 研究對受試者進行一次施測，事前不進行任何相關的估計教學，自變項數學 學業成績為獨立因子、呈現時間及圖形訊息為相依因子，圖形訊息包含數量、顏 色、大小、密度、形狀，依變項為原始估計值與估計誤差率，採用單一樣本T檢 定及混合設計三因子變異數分析。架構圖如圖3-1： 決定研究的自變項 呈現時間 數學學業成績 數量 顏色 大小 密度 形狀. 依據自變項編製數量估計測驗. 施測取得依變項原始估計值. 估計值減實際值求高低估值. 依據原始估計值計算誤差率. 比較自變項造成差異的顯著性 圖3-1. 研究架構圖. 11.
(24) 第二節 研究程序 主要工作分為閱讀文獻、試題編製、預試、試題修正、正式施測、資料分析、 探討結果七個階段，各階段工作時程與內容如表 3-1 表 3-1 日期 98 年 7 月 起 98 年 10 月 98 年 12 月. 階段 閱讀文獻. 99 年 1 月 99 年 3 月 99 年 4 月 99 年 8 月. 試題修正 正式施測 資料分析 探討結果. 試題編製 預試. 研究流程. 工作內容 包括國小數學教材、數量估計、數感、顏色心理學、 Stroop 叫色作業等文獻。 根據相關研究，決定自變項內容，並編輯測驗題目。 決定以台中縣某國小五年級兒童為樣本，並取 5 人預 試。 依據預試結果修改題目及指導語。 男生 55 人，女生 43 人，分四次施測，每次 30 分鐘。 將學生作答資料輸入電腦計算分數並進行分析。 歸納造成顯著差異的原因. 第三節 研究對象 研究對象為國小五年級學童，男生 55 人，女生 43 人，有效樣本 90 人，無 效樣本 8 人，無效原因為受試者部分估計值超出提示的範圍 10～50，選擇五年級 學童，是參考黃靖淑（2001）對數感的研究中，提到概數首次出現在小學教材第 八冊，並在第九冊進行概算，所以推測學童能了解「大約」一詞，並進行合理數 量估計的年級應當為五年級，決定以該年級為施測對象。因考量各校電腦設備與 施測環境不同，採取立意抽樣，以研究者任職學校學生為樣本，一次施測一班， 每次 30 分鐘，在兩周內分四次施測完畢。. 第四節 研究工具 研究工具為自編之「圖形訊息數量估計測驗」。為避免使估計數量出現極端. 12.
(25) 值，影響數據分析，參考 Baroody & Gatzke（1991）研究中的建議，採用類似範 圍任務的指導語，說明測驗各題的圖形數量在 10～50 之間。為了控制試題閃示 與學生作答時間，製作題目投影片在電腦螢幕上播放，播放一張為一題，播四輪， 每輪 13 題，共 52 題。各輪間的題目相同，但出現順序不同，第一輪閃示題目 5 秒、第二輪 10 秒、第三輪 15 秒、第四輪 30 秒。每題題目出現前，先閃示「題 號」2 秒，題目在各輪應閃示的秒數到達後消失，並閃示「請作答」3 秒，時間 到投影片即消失，不可重看，作答間隔共 5 秒。學生在答案紙上寫出估計的數字， 輸入電腦後，先以原始分數進行單一樣本 T 檢定，觀察圖形訊息造成數量估計平 均數與實際值誤差的顯著性，再進行三因子變異數分析，觀察圖形訊息之間高低 估的趨勢，最後以誤差率進行三因子變異數分析，比較圖形訊息對估計誤差量的 影響，以求出各類圖形訊息對數量估計的影響程度。13 題投影圖片如圖 3-2，差 異比較如表 3-2。 投影片一. 投影片二. 投影片三. 投影片四. 投影片五. 投影片六. 13.
(26) 投影片七. 投影片八. 投影片九. 投影片十. 投影片十一. 投影片十二. 投影片十三. 8×5 方格圖. 圖3-2. 十三題投影片圖. 自變項的決定，在數量方面，參照了 Baroody & Gatzke（1991）的研究，當 時採用的數量大小為 3、8、15、25、35；而預試時，發現 3 與 8 因為數量太少， 答對率過高，故將小於 15 的數排除，且避免學生猜測偏好尾數為 5，決定觀察 36、30、23、18 四組數量。在顏色方面，採用藍、黃、紅、綠，以包含生活中常 見的三原色（紅、黃、藍）與三原光（紅、綠、藍）。在大小上以投影片四的圓 形直徑 1.14 公分為基準，各增加 0.5 倍與減少 0.5 倍，故面積為 2.25、1 及 0.25 倍，且正三角形與正方形也經過計算為 1 倍之面積。密度是指將投影片畫上 8×5 的方格，將圓點盡量分布於中央為原則，每一格內之圓點個數為 1、2、3，如圖. 14.
(27) 3-2 的 8×5 方格圖。閃示時間則參酌預試時五位學生個別答題速度，決定了四輪 的播放時間各為 5、10、15、30 秒。形狀方面，在朱建正（2000）的專文中介紹 一統計教學活動，在信封內放入長方形、正方形、三角形、圓形紙片，請學生進 行分類；因長方形與正方形類似，故刪除長方形，對正方形、三角形、圓形進行 比較。 表 3-2. 投影片觀察項目差異比較. 投影片 數量 顏色 大小 密度 閃示時間 形狀 編號 36 1 1 一 藍 5-30 秒 圓形 30 1 1 二 藍 5-30 秒 圓形 23 1 1 三 藍 5-30 秒 圓形 18 1 1 四 藍 5-30 秒 圓形 30 1 1 五 黃 5-30 秒 圓形 30 1 1 六 紅 5-30 秒 圓形 30 1 1 七 綠 5-30 秒 圓形 18 2.25 1 八 藍 5-30 秒 圓形 18 0.25 1 九 藍 5-30 秒 圓形 36 1 3 十 藍 5-30 秒 圓形 36 1 2 十一 藍 5-30 秒 圓形 23 1 1 十二 藍 5-30 秒 正方形 23 1 1 十三 藍 5-30 秒 正三角形 褐色表示投影片一、二、三、四僅有數量不同，其他條件相同；橘色表示投 影片二、五、六、七僅有顏色不同，其餘條件相同；藍色表示投影片四、八、九 僅有大小不同，其他條件相同；紅色表示投影片一、十、十一僅有密度不同，其 餘條件相同；深藍色表示投影片三、十二、十三僅有形狀不同，其他條件相同； 每張投影片在每個時間階段都閃示一次。以上述各組投影片的估計值，比較不同 數量、顏色、大小、密度、形狀，對兒童數量估計能力的影響，並依據不同閃示 時間與不同數學學業成績組別，來觀察數量估計誤差程度的變化。. 第五節 資料處理與統計分析. 15.
(28) 整理學生的作答紙本，將辨識不清、出現空白、或超出提示範圍的樣本排除， 資料輸入電腦後，依照表 3-2 之觀察項目將資料分組，以原始估計值進行單一樣 本 T 檢定，以觀察各題估計值與實際值的差異是否達到顯著（圖 3-3），接著以 估計值減去實際值進行三因子變異數分析，以觀察各自變項之間高低估的趨勢 （圖 3-4），然後計算各題誤差率，再進行一次三因子變異數分析，以求出各組 別之自變項對學生進行數量估計時造成誤差量的大小（圖 3-5）。. 圖3-3. 估計值與實際值差異示意圖. 圖3-5. 圖3-4. 自變項高低估趨勢示意圖. 估計誤差率比較示意圖. 16.
(29) 第四章 研究結果 本章分為六節，第一節比較圖形數量，第二節比較圖形顏色，第三節比較圖 形大小，第四節比較圖形密度，第五節比較圖形形狀，分別在不同時間下，對不 同數學成績組別學生造成的影響。每節第一段呈現測驗分數的敘述性統計資料， 第二段比較各題測驗估計值與實際值的差異顯著性，第三段觀察各圖形訊息對數 量估計的影響是否有明顯高低估的差異，第四段討論各圖形訊息影響估計誤差率 的情形。另外，由於每組三因子變異數分析，都會有時間×數學成績的組合，而 各組資料均不足以代表全部測驗資料，因此所有的時間×數學成績另以全測驗四 階段平均作二因子變異數分析呈現於第六節。. 第一節. 圖形數量的比較. 從表 4-1 得知，只有在五秒時間的數量 36、30 與十五秒時間的數量 36 這三 題，估計值平均數低估實際值超過 1 個，而其它題的估計值與實際值相差都在 1 以內，而誤差率方面，五秒時間的各題都大於 10％，十秒之後各題都小於 10％， 依據司繼偉、陳小鳳、徐繼紅（2008）的標準，誤差率在 20％以下，可以被視為 合理的估計，那麼五秒題的 36、30，就落入不合理的範圍了，不過當時所給的閃 示秒數只有 350 毫秒，所以本測驗若是要用誤差率來決定每個兒童的估計合理 性，應隨著閃示時間的增加，給定更嚴苛的標準。 表 4-1 時 間. 數量. 5s. 36 30 23 18. 實際 值 36 30 23 18. 數量題型敘述性統計. 原始估計值 平均數 標準差 32.30 10.433 27.96 8.232 23.40 6.290 18.94 4.763. 17. 估計誤差率 平均數 標準差 25.833 16.486 22.519 16.948 16.812 21.569 14.259 22.854.
(30) 時 間. 數量 36 30 23 18 36 30 23 18 36 30 23 18. 10s. 15s. 30s. 實際 值 36 30 23 18 36 30 23 18 36 30 23 18. 原始估計值 平均數 標準差 35.36 4.453 30.06 3.383 23.24 2.132 18.09 1.870 34.76 4.243 30.41 2.983 23.40 2.569 18.28 1.932 35.72 3.240 30.26 0.978 23.09 2.775 17.97 1.394. 估計誤差率 平均數 標準差 9.074 8.542 5.889 9.599 3.961 8.439 4.444 9.393 6.173 10.606 3.815 9.275 3.768 10.654 1.914 10.670 3.981 8.096 1.593 2.966 2.899 11.714 1.667 7.562. 由表 4-2 平均估計值與實際值的 T 檢定來看，五秒題的 36、30，十五秒題的 36 與三十秒題的 30 都達到顯著差異，前面三題是顯著低估，第四題則是顯著高 估，但前三題低估的個數都大於 1，第四題卻只高估 0.256，且其信賴區間的下界 為.05，已經很接近 0 了，所以 T 檢定的結果，顯示了五秒時間內數量越多，越容 易產生顯著低估於實際值的情形，至於十秒以後，則看不出明顯的趨勢。 表 4-2 時 間 5s. 10s. 15s. 數量 36 30 23 18 36 30 23 18 36 30 23 18. 實際 值 36 30 23 18 36 30 23 18 36 30 23 18. 數量題型原始估計值 T 檢定 T. 自由度. 平均差異. -3.365** -2.356* 0.603n.s. 1.881n.s. -1.373n.s. 0.156 n.s. 1.088 n.s. 0.451 n.s. -2.782** 1.308 n.s. 1.477 n.s. 1.364 n.s.. 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89. -3.700 -2.044 0.400 0.944 -0.644 0.056 0.244 0.089 -1.244 0.411 0.400 0.278. 18. 差異的 95%信賴區間 下界 上界 -5.89 -1.51 -3.77 -0.32 -0.92 1.72 -0.05 1.94 -1.58 0.29 -0.65 0.76 -0.20 0.69 -0.30 0.48 -2.13 -0.36 -0.21 1.04 -0.14 0.94 -0.13 0.68.
(31) 時 間. 實際 自由度 T 值 36 36 -0.813 n.s. 89 30 30 2.479* 89 30s 23 23 0.304 n.s. 89 18 18 -0.227 n.s. 89 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001 數量. 平均差異 -0.278 0.256 0.089 -0.033. 差異的95%信賴區間 下界 上界 -0.96 0.40 0.05 0.46 -0.49 0.67 -0.33 0.26. 三因子比較（表 4-3）證實了數量、時間與數學成績三者之間並沒有顯著的 交互作用，吳明隆（2007）指出，必須再看二因子的交互作用比較。二因子比較 的數量與時間交互作用達顯著，顯示在不同時間下，不同數量之間有高低估的顯 著差異，所以不看數量與時間的各別顯著情形，而是以時間分組，對數量之間的 顯著差異進行單純主要效果考驗。而數量與數學成績的交互作用未達顯著，因此 不再進行比較。至於時間與數學成績方面，如本文 16 頁所述，一併呈現於第六 節。 表 4-3. 數量、時間、數學成績之高低估趨勢三因子變異數分析摘要表. 變異來源 SS df 數量 750.969 2.494 時間 309.236 1.474 數學成績 416.018 2 數量×時間 747.65833 4.6267695 數量×數學成績 227.443 4.989 時間×數學成績 297.626 2.948 數量×時間×數學成績 434.84583 9.2535391 殘差項(數量×時間) 13298.621 402.529 誤差 3528.204 87 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. MS 301.057 209.769 208.009 161.594 45.590 100.947 46.992 33.038 40.554. F 14.680*** 3.687* 5.129* 4.891*** 2.223n.s. 1.774n.s. 1.422n.s.. 依據表 4-4 得知，五秒時的 23 與 18 會顯著高估於 36 與 30，十五秒的 23 會 顯著高估於 36，參酌之前 T 檢定的結果，這樣的差異是由於 36 與 30 顯著低估於 實際值的結果所造成，至於為何十秒時反而沒有任何顯著差異，則必須深入了解 兒童的作答過程，或許能提出合理的解釋。. 19.
(32) 表 4-4. 數量×時間之高低估趨勢單純主要效果考驗摘要表. 分組變項. 變異來源. SS. 5秒數量. 組間. 1267.356. Df 2.651. 組內 受試者間 9391.900 89 殘差 11867.144 235.939 全體 22526.4 327.590 10秒數量 組間 42.275 2.251 組內 受試者間 836.281 89 殘差 2662.975 200.374 全體 3541.531 291.626 15秒數量 組間 175.389 1.717 組內 受試者間 842.956 89 殘差 2471.111 152.854 全體 3489.456 243.571 30秒數量 組間 13.608 2.089 組內 受試者間 467.225 89 殘差 1410.142 185.957 全體 1890.975 277.047 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. MS. F值. 478.068 9.505***. 事後比較 23、18＞ 36、30. 105.527 50.298 633.892 18.777 1.413n.s. 9.396 13.290 41.464 102.121. 6.317**. 23＞36. 9.471 16.167 127.759 6.513 0.859n.s. 5.250 7.583 19.346. 從圖 4-1 來看，可以看出數量 36 的估計值隨著時間的改變，折線有較大的起 伏，且始終保持在其它三者的下方，一直是比實際值低估的，至於 30、23 與 18 三者，在五秒時也有顯著差異，但十秒以後誤差個數就都很接近 0，且折線互有 交叉，看不出明顯的高低估情形。. 20.
(33) 數量╳時間的估計邊緣平均數 number. 1. ３６ ３０ ２３ １８. 0. 估 計 -1 邊 緣 平 均 -2 數 -3. -4 ５. １０. １５. ３０. time. 圖4-1. 數量×時間高低估趨勢剖面圖. 在誤差率的比較方面，表 4-5 顯示數量、時間與數學成績三因子交互作用未 達顯著，而數量與時間的交互作用達顯著，因此以時間分組，對數量之間的顯著 差異進行單純主要效果考驗。而數量與數學成績的交互作用未達顯著，不再進行 比較。. 表 4-5. 數量、時間、數學成績之估計誤差率三因子變異數分析摘要表. 變異來源 SS df 數量 6502.748 2.919 時間 69027.794 2.108 數學成績 3728.345 2 數量×時間 3608.721 5.865 數量×數學成績 913.284 5.838 時間×數學成績 3497.562 4.215 數量×時間×數學成績 1582.541 11.731 殘差項(數量×時間) 94132.404 510.298 誤差 37464.835 87 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 21. MS F 2227.776 17.101*** 32749.653 111.318*** 1864.172 4.329* 615.246 3.335** 156.441 1.201n.s. 829.694 2.820* 134.903 0.731n.s. 184.466 94132.404 430.630.
(34) 從表 4-6 的事後比較發現，五秒與十秒的數量 36 誤差率都顯著大於 23 與 18， 到了十五秒 36 還大於 18，而數量 30 雖然在五秒時顯著大於 18，但十秒之後就 不再顯著了，顯示數量不同造成的誤差率會隨著閃示時間增加而趨於不顯著，且 數量差距越大，達成不顯著所需的時間就越久。 表 4-6. 數量×時間之估計誤差率單純主要效果考驗摘要表. 分組變項. 變異來源. 5秒數量. 組間. SS 7506.849. 事後比較 36＞23、18 2.868 2617.314 8.379*** 30＞18 Df. MS. F值. 組內 受試者間 57903.213 89 650.598 殘差 79739.295 255.265 312.378 全體 145149.357 347.133 3580.290 10秒數量. 組間. 1434.465. 3. 組內 受試者間 9464.542 89 殘差 19420.412 267 全體 30319.419 359.000 15秒數量 組間 822.160 2.676 組內 受試者間 22066.123 89 殘差 15838.275 238.157 全體 38726.558 329.833 30秒數量 組間 347.995 2.324 組內 受試者間 9205.227 89 殘差 14712.944 206.853 全體 24266.166 298.177 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 478.155 6.574*** 106.343 72.736 657.234 307.244. 4.620**. 247.934 66.504 621.681 149.727. 2.105n.s. 36＞30、 23、18. 36＞18. 103.430 71.128 324.284. 觀察圖 4-2，發現數量 36 的折線始終高於其它三者，且四者的誤差率在五秒 時都在 14％以上，十秒時急遽下降到 10％以下，而十秒以後下降的程度就趨緩. 22.
(35) 了，顯示數量造成的誤差量在五秒內極顯著，十秒之後顯著性漸漸消失，到三十 秒後完全不顯著。. 數量╳時間的估計邊緣平均數 number. 30. ３６ ３０ ２３. 25. １８. 估 20 計 邊 緣 15 平 均 數 10. 5. 0 ５. １０. １５. ３０. time. 圖4-2. 數量×時間估計誤差率剖面圖. 值得注意的是，由於數量越大，會造成低估於實際值與誤差率提高，其他自 變項的觀察，就必須先考慮到實際值的不同，在大小與形狀題實際值為 18 與 23， 在顏色與密度題實際值為 30 與 36，分析顯示出的結果都不能排除有部分是受 到數量的影響。. 第二節. 圖形顏色的比較. 顏色題的實際值為 30（表 4-7），其中只有紅色的平均估計值不論在幾秒內， 都是低於 30 的，而十秒之後四種顏色的平均估計值與實際值相差都不超過 1 個， 至於誤差率在十秒之後都小於 10％，值得注意的是，黃色的平均估計值在五秒時 雖然最接近實際值，但是估計誤差率卻僅次於紅色，達到 25％以上，且紅色五秒 的誤差率 26.519 甚至超過數量 36 五秒（表 4-1）的誤差率 25.833，顯示紅色與黃 色在五秒時間內可能對兒童數量估計造成較大的影響。 23.
(36) 表 4-7 時間. 5s. 10s. 15s. 30s. 顏色 藍 黃 紅 綠 藍 黃 紅 綠 藍 黃 紅 綠 藍 黃 紅 綠. 實際 值. 顏色題型敘述性統計. 原始估計值 平均數 標準差 27.96 8.232 29.98 9.484 25.33 8.649 29.30 7.656 30.06 3.383 29.76 3.149 29.67 3.002 29.87 4.567 30.41 2.983 30.40 1.976 29.82 2.251 30.06 1.658 30.26 0.978 29.86 1.411 29.77 1.636 30.30 1.590. 30. 30. 30. 30. 估計誤差率 平均數 標準差 22.519 16.948 25.037 19.121 26.519 19.099 19.741 16.209 5.889 9.599 5.630 8.878 5.852 8.170 7.852 13.024 3.815 9.275 2.444 6.257 3.259 6.778 2.704 4.816 1.593 2.966 1.889 4.329 2.037 5.113 2.111 4.958. 顏色的 T 檢定（表 4-8）結果顯示，紅色與藍色的五秒估計值是顯著低估於 實際值的，且藍色在三十秒時也達到顯著差異，但變成高估，不過其信賴區間下 限為 0.05，很接近 0 了，推測可能是隨機產生的顯著；而誤差量第二高的黃色， 卻與實際值無顯著差異，但是不能單憑這點，就推論黃色對兒童的數量估計能力 無顯著影響，還要再看估計誤差量的結果才下定論。所以觀察 T 檢定得到的結論， 是紅色與藍色在五秒內會造成顯著低估於實際值，十秒以後不顯著。 表 4-8 時間. 顏色. 5s. 藍 黃 紅 綠. 顏色題型原始估計值 T 檢定. 實際 值. T. 30. -2.356* -0.022n.s. -5.119*** -0.867 n.s.. 自由 度 89 89 89 89. 24. 平均差異 -2.044 -0.022 -4.667 -0.700. 差異的 95%信賴區間 下界 上界 -3.77 -0.32 -2.01 1.96 -6.48 -2.86 -2.30 0.90.
(37) 時間. 10s. 15s. 30s n.s.p>.05. 顏色. 實際 值. T. 藍 0.156 n.s. 黃 -0.736 n.s. 30 紅 -1.053 n.s. 綠 -0.277 n.s. 藍 1.308 n.s. 黃 1.920 n.s. 30 紅 -0.749 n.s. 綠 0.318 n.s. 藍 2.479* 黃 -0.971 n.s. 30 紅 -1.353 n.s. 綠 1.790 n.s. *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 自由 度 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89. 平均差異 0.056 -0.244 -0.333 -0.133 0.411 0.400 -0.178 0.056 0.256 -0.144 -0.233 0.300. 差異的 95%信賴區間 下界 上界 -0.65 0.76 -0.90 0.42 -0.96 0.30 -1.09 0.82 -0.21 1.04 -0.01 0.81 -0.65 0.29 -0.29 0.40 0.05 0.46 -0.44 0.15 -0.58 0.11 -0.03 0.63. 在高低估趨勢的比較方面，從表 4-9 可以看出顏色、時間與數學成績三者沒 有明顯的交互作用，但顏色與時間有顯著交互作用，所以依時間分組，觀察不同 顏色在各段時間內是否有顯著差異。. 表 4-9. 顏色、時間、數學成績之高低估趨勢三因子變異數分析摘要表. 變異來源 SS df 顏色 409.875 3.000 時間 970.881 1.284 數學成績 620.943 2 顏色×時間 776.908 4.709 顏色×數學成績 166.946 5.894 時間×數學成績 729.040 2.568 顏色×時間×數學成績 428.538 9.419 殘差項(顏色×時間) 12490.554 409.709 誤差 4400.654 87 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 25. MS 136.625 756.242 310.472 164.973 28.326 283.933 45.499 30.486 50.582. F 8.473*** 8.457** 6.138** 5.411*** 1.726n.s. 3.175* 1.492n.s..
(38) 表 4-10 顯示，五秒之內的紅色，顯著低估於其它三色，而黃、綠、藍之間在 四個秒數組別都沒有顯著差異，而三十秒時的 F 值雖然達到顯著，但事後比較卻 又 得 到 不 顯 著 的 結 果 ， 這 是 由 於 事 後 比 較 採 用 Bonferroni 程 序 將 α 分 割 為.05/4=.0125，比整體比較嚴謹，所以依據事後比較來決定三十秒時的差異未達 顯著。故結論為五秒內的紅色顯著低估於其它三色，十秒之後四色之間無顯著差 異。 表 4-10. 顏色×時間之高低估趨勢單純主要效果考驗摘要表. 分組變項. 變異來源. SS. 5秒顏色. 組間. 1137.097. Df. MS. F值. 2.665 426.621 8.408***. 組內 受試者間 13876.525 89 155.916 殘差 12036.153 237.217 50.739 全體 27049.775 328.882 633.276 10秒顏色 組間 7.586 2.851 2.661 0.195n.s. 組內 受試者間 1093.081 89 12.282 殘差 3466.664 253.713 13.664 全體 4567.331 345.563 28.607 15秒顏色 組間 22.056 1.827 12.070 1.546n.s. 組內 受試者間 565.322 89 6.352 殘差 1269.944 162.628 7.809 全體 1857.322 253.455 26.231 30秒顏色 組間 20.044 3 6.681 3.418* 組內 受試者間 203.289 89 2.284 殘差 521.956 267 1.955 全體 745.289 359.000 10.921 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 事後比較 黃、綠、 藍＞紅. n.s.. 從趨勢剖面圖（圖 4-3）看，發現紅色雖然在五秒時與其它三色差異極大， 而十秒以後差異急遽減少，但始終位在最下方，一直是比其它三色低估的，黃色 的估計趨勢最起伏不定，可能與誤差率有關；四個顏色在十秒時的估計值最接. 26.
(39) 近，十五秒又稍微拉開，只是未達顯著，日後研究可以留意此現象，但此時不宜 過度推論。. 顏色╳時間的估計邊緣平均數 color. 1. 紅 藍 綠. 0. 黃. 估 -1 計 邊 緣 -2 平 均 數 -3. -4. -5 ５. １０. １５. ３０. time. 圖4-3. 顏色×時間高低估趨勢剖面圖. 觀察誤差率的比較，發現顏色、時間與數學成績三者的交互作用未達顯著（表 4-11），顏色與數學成績的交互作用也不顯著，達到顯著的仍然是顏色與時間， 所以接著以時間分組，對顏色進行單純主要效果考驗。 表 4-11. 顏色、時間、數學成績之估計誤差率三因子變異數分析摘要表. 變異來源 SS df 顏色 335.895 3 時間 108504.969 1.667 數學成績 2994.213 2 顏色×時間 2459.599 5.757 顏色×數學成績 543.688 6 時間×數學成績 2449.799 3.334 顏色×時間×數學成績 1772.299 11.515 殘差項(顏色*時間) 70065.324 500.884 誤差 27996.065 87 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 27. MS F 111.965 1.263n.s 65090.536 207.429*** 1497.106 4.652* 427.215 3.054** 90.615 1.023n.s 734.799 2.342n.s 153.918 1.100n.s 139.883 321.794.
(40) 依據表 4-12，得知五秒時的紅色誤差率顯著大於綠色，十秒之後顏色的影響 弱化，四色之間都不顯著，且誤差率越來越接近。 表 4-12. 顏色×時間之估計誤差率單純主要效果考驗摘要表. 分組變項 5秒顏色. 變異來源 F值 SS Df MS 組間 2390.463 3 796.821 3.531* 組內 受試者間 53703.117 89 603.406 殘差 60245.648 267 225.639 全體 116339.228 359.000 1625.866 10秒顏色 組間 290.463 2.192 132.482 1.162n.s. 組內 受試者間 14005.833 89 157.369 殘差 22245.648 195.130 114.004 全體 36541.944 286.322 403.855 15秒顏色 組間 100.370 2.376 42.243 1.023n.s. 組內 受試者間 8561.111 89 96.192 殘差 8732.963 211.469 41.297 全體 17394.444 302.845 179.732 30秒顏色 組間 14.198 2.651 5.355 0.295n.s. 組內 受試者間 2679.136 89 30.103 殘差 4285.802 235.979 18.162 全體 6979.136 327.631 53.619 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 事後比較 紅＞綠. 由圖 4-4 發現，紅色與黃色的誤差率在五秒時高於 25％，四個顏色在十秒之 後皆低於 10％，且折線互有交叉，顯示沒有任何顏色在不同時間下，誤差率仍持 續高於其它顏色。. 28.
(41) 顏色╳時間的估計邊緣平均數 color. 30. 紅 黃 藍. 25. 綠. 估 20 計 邊 緣 15 平 均 數 10. 5. 0 ５. １０. １５. ３０. time. 圖4-4. 顏色×時間估計誤差率剖面圖. 第三節. 圖形大小的比較. 不論在哪一段時間組別內，三個大小的估計值與實際值相差都不超過 1 個， 這可能是大小的改變對兒童數量估計能力的影響不大，但也可能是因為實際值設 定得太小，或者是大小改變的幅度不夠，所造成的結果，因此研究的數據，也僅 能在相同的實際值與大小之下作推論，不宜過度延伸解釋。在誤差率方面，只有 五秒時的 1 倍與 2.25 倍高於 10％，十秒以後的各題甚至都小於 5％。 表 4-13 時間 5s. 10s. 大小 2.25 1 0.25 2.25 1 0.25. 實際 值 18. 18. 大小題型敘述性統計. 原始估計值 平均數 標準差 18.79 3.433 18.94 4.763 18.93 4.637 18.43 2.050 18.09 1.870 18.14 2.009. 29. 估計誤差率 平均數 標準差 10.185 16.682 14.259 22.854 9.753 24.385 3.642 11.054 4.444 9.393 3.148 10.732.
(42) 時間 15s. 30s. 大小 2.25 1 0.25 2.25 1 0.25. 實際 值 18. 18. 原始估計值 平均數 標準差 18.57 2.976 18.28 1.932 18.26 2.595 18.12 1.288 17.97 1.394 18.11 0.507. 估計誤差率 平均數 標準差 3.519 16.456 1.914 10.670 3.025 14.162 1.049 7.110 1.667 7.562 1.975 10.804. 與實際值的比較，發現 2.25 倍在五秒與十秒的估計值都顯著高估，0.25 倍則 是在三十秒出現顯著高估，但是其信賴區間的下界小於.01，在顯著的極邊緣，所 以比較能肯定的結論，是大小變大為 2.25 倍時，在十秒之內造成估計值顯著高於 實際值。. 表 4-14. 時間. 大小. 實際 值. 大小題型原始估計值 T 檢定. T. 2.25 2.180* 18 1 1.881 0.25 1.910 2.25 2.005* 10s 18 1 0.451 0.25 0.682 2.25 1.807 15s 18 1 1.364 0.25 0.934 2.25 0.900 30s 18 1 -0.227 0.25 2.079* n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001 5s. 自由 度. 平均差異. 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89. 0.789 0.944 0.933 0.433 0.089 0.144 0.567 0.278 0.256 0.122 -0.033 0.111. 差異的 95%信賴區 間 下界 上界 0.07 1.51 -0.05 1.94 -0.04 1.90 0.00 0.86 -0.30 0.48 -0.28 0.57 -0.06 1.19 -0.13 0.68 -0.29 0.80 -0.15 0.39 -0.33 0.26 0.00 0.22. 從表 4-15 來看高低估趨勢，不論是大小、時間與數學成績三者，或是大小與 時間、大小與數學成績兩者之間，都沒有達到顯著的交互作用，再看大小的主要. 30.
(43) 效果項檢定，仍然沒有顯著差異，表示測驗所改變的大小幅度，不會造成任何一 者高估於其它兩者。 表 4-15. 大小、時間、數學成績之高低估趨勢三因子變異數分析摘要表. 變異來源 SS df 大小 259.316 1.952 時間 15939.043 2.326 數學成績 1703.761 2 大小×時間 1092.078 4.240 大小×數學成績 715.478 3.905 時間×數學成績 1965.878 4.651 大小×時間×數學成績 2520.233 8.479 殘差項(大小×時間) 80580.075 368.845 誤差 53765.175 87 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. MS 132.816 6853.406 851.880 257.590 183.226 422.640 297.225 218.466 617.991. F 0.951n.s. 23.019*** 1.378n.s. 1.179n.s. 1.312n.s. 1.420n.s. 1.361n.s.. 從表 4-16 來看估計誤差率，不論是三因子的交互作用，或是大小與時間、數 學成績兩者的二因子交互作用，都未達顯著水準，再看大小的主要效果項檢定， 仍然沒有顯著差異，表示測驗所改變的大小幅度，不會顯著改變估計誤差率。. 表 4-16. 大小、時間、數學成績之估計誤差率三因子變異數分析摘要表. 變異來源 SS df 大小 259.316 1.952 時間 15939.043 2.326 數學成績 大小×時間 1092.078 4.240 大小×數學成績 715.478 3.905 時間×數學成績 1965.878 4.651 大小×時間×數學成績 2520.233 8.479 殘差項(大小×時間) 80580.075 368.845 誤差 53765.175 87 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 31. MS 132.816 6853.406. F 0.951n.s. 23.019***. 257.590 183.226 422.640 297.225 218.466 617.991. 1.179n.s. 1.312n.s. 1.420*** 1.361n.s..
(44) 第四節. 圖形密度的比較. 密度比較的實際值是 36，所以依據第一節數量的結論，應該會呈現低估的情 形，觀察表 4-17，果然在四段時間內，沒有任何比實際值高估的值，而誤差率方 面，除了十秒時的密度 3 之外，其它時間的密度 2 與 3 都要比原來的密度 1 來得 低，是否密度變大之後，兒童數量估計的能力會提升，還要看其它數據有無達顯 著來決定。. 表 4-17 時間 5s. 10s. 15s. 30s. 密度 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3. 實際 值 36. 36. 36. 36. 密度題型敘述性統計. 原始估計值 平均數 標準差 32.3 10.43272 34.37778 10.76154 32.12222 10.0043 35.36 4.453 35.04 4.489 34.33 5.285 34.76 4.243 35.28 4.221 35.89 3.182 35.72 3.240 35.91 1.707 35.61 2.359. 估計誤差率 平均數 標準差 25.833 16.486 23.951 18.277 23.673 17.969 9.074 8.542 7.654 10.168 9.938 11.719 6.173 10.606 5.031 10.770 4.198 7.771 3.981 8.096 1.914 4.340 2.006 6.329. T 檢定（表 4-18）的結果顯示，密度 1 在五秒和十五秒時顯著，密度 2 在十 秒時顯著，密度 3 在五秒和十秒時顯著，每個密度各自在不同時間下達到顯著， 而且沒有規則可循，只能說密度的改變可能會影響數量估計能力，但是也可能是 實際值數量 36 造成的影響，至於密度變大是增強還是削弱數量估計能力，就更 沒有定論了。. 32.
(45) 表 4-18. 時間. 5s. 10s. 15s. 30s n.s.p>.05. 密度. 實際 值. 密度題型原始估計值 T 檢定. T. 1 -3.365** 36 2 -1.430 n.s. 3 -3.677*** 1 -1.373 n.s. 36 2 -2.019* 3 -2.992** 1 -2.782** 36 2 -1.623 n.s. 3 -0.331 n.s. 1 -0.813 n.s. 36 2 -0.494 n.s. 3 -1.564 n.s. *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 自由 度. 平均差異. 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89. -3.700 -1.622 -3.878 -0.644 -0.956 -1.667 -1.244 -0.722 -0.111 -0.278 -0.089 -0.389. 差異的 95%信賴區 間 下界 上界 -5.89 -1.51 -3.88 0.63 -5.97 -1.78 -1.58 0.29 -1.90 -0.02 -2.77 -0.56 -2.13 -0.36 -1.61 0.16 -0.78 0.56 -0.96 0.40 -0.45 0.27 -0.88 0.11. 由表 4-19 得知不同密度之間的高低估趨勢，無論是與數學成績或是時間，都 沒有顯著的交互作用，密度的主效應檢定也未達顯著，顯示不同密度之間，數量 估計值並沒有顯著差異。. 表 4-19. 密度、時間、數學成績之高低估趨勢三因子變異數分析摘要表. 變異來源 SS df 密度 99.172 2 時間 1250.299 1.472 數學成績 1024.672 2 密度×時間 295.398 3.663 密度×數學成績 90.656 3.958 時間×數學成績 263.409 2.944 密度×時間×數學成績 367.019 7.326 殘差項(密度×時間) 11194.750 318.660 誤差 7197.736 87 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 33. MS 49.586 849.476 512.336 80.649 22.906 89.483 50.101 35.131 82.733. F 1.826n.s. 6.858** 6.193** 2.296n.s. 0.835n.s. 0.722n.s. 1.426n.s..
(46) 從表 4-20 來看估計誤差率，不論是三因子的交互作用，或是密度與時間、數 學成績兩者的二因子交互作用，都未達顯著水準，再看密度的主要效果項檢定， 仍然沒有顯著差異，表示測驗密度改變的程度，不會顯著改變估計誤差率。. 表 4-20. 密度、時間、數學成績之估計誤差率三因子變異數分析摘要表. 變異來源 SS df 密度 536.566 2 時間 77944.466 1.952 數學成績 4348.3796 2 密度×時間 374.100 4.238 密度×數學成績 335.477 3.979 時間×數學成績 726.552 3.905 密度×時間×數學成績 1473.851 8.476 殘差項(密度×時間) 44411.051 368.687 誤差 27657.858 87 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 第五節. MS F 268.283 3.034n.s. 39920.419 127.890*** 2174.19 6.84** 88.277 0.733n.s. 84.312 0.949n.s. 186.057 0.596n.s. 173.894 1.444n.s. 120.457 317.906. 圖形形狀的比較. 從 4-21 的估計值平均數來看，只有五秒時的正方形超過實際值 1 個，也只有 十五秒的正方形是低估於實際值的，但是誤差率在不同時間之間，三個形狀互有 領先，沒有規律可循。. 表 4-21 時間. 形狀. 實際 值. 5s. 圓形 正三角形 正方形. 23. 形狀題型敘述性統計. 原始估計值 平均數 標準差 23.4 6.290353 23.36667 4.881633 24.36667 7.196207 34. 估計誤差率 平均數 標準差 16.812 21.569 12.415 17.239 19.855 24.819.
(47) 時間 10s. 15s. 30s. 形狀 圓形 正三角形 正方形 圓形 正三角形 正方形 圓形 正三角形 正方形. 實際 值 23. 23. 23. 原始估計值 平均數 標準差 23.24 2.132 23.93 3.263 23.70 3.310 23.40 2.569 23.28 1.324 22.93 1.549 23.09 2.775 23.19 1.217 23.24 1.310. 估計誤差率 平均數 標準差 3.961 8.439 5.990 13.477 5.459 13.649 3.768 10.654 2.174 5.463 2.802 6.125 2.899 11.714 1.691 5.078 1.449 5.607. 正三角形與正方形在十秒時與實際值達到顯著差異（表 4-22），而其它各題 差異皆未達顯著，為何五秒時形狀的改變沒有造成差異，而十秒反而產生差異， 是未來值得深究的問題。. 表 4-22. 時間. 形狀. 實際 值. 形狀題型原始估計值 T 檢定. T. 圓形 0.603 n.s. 正三角形 5s 23 0.713 n.s. 正方形 1.802 n.s. 圓形 1.088 n.s. 10s 正三角形 23 2.714** 正方形 2.006* 圓形 1.477 n.s. 正三角形 15s 23 1.990 n.s. 正方形 -0.408 n.s. 圓形 0.304 n.s. 30s 正三角形 23 1.473 n.s. 正方形 1.771 n.s. n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 35. 自由 度. 平均差異. 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89 89. 0.400 0.367 1.367 0.244 0.933 0.700 0.400 0.278 -0.067 0.089 0.189 0.244. 差異的 95%信賴區 間 下界 上界 -0.92 1.72 -0.66 1.39 -0.14 2.87 -0.20 0.69 0.25 1.62 0.01 1.39 -0.14 0.94 0.00 0.56 -0.39 0.26 -0.49 0.67 -0.07 0.44 -0.03 0.52.
(48) 形狀與時間、數學成績的高低估趨勢三因子分析（表 4-23），仍然顯示沒有 交互作用存在，但與其它圖形訊息不同，形狀與時間沒有交互作用，反而是形狀 與數學成績的交互作用達到顯著，因此以數學成績為分組依據，對形狀進行單純 主要效果考驗。. 表 4-23. 形狀、時間、數學成績之高低估趨勢三因子變異數分析摘要表. 變異來源 SS df 形狀 13.980 2 時間 63.210 1.491636 數學成績 6.080 2 形狀×時間 77.843 3.325538 形狀×數學成績 110.709 4 時間×數學成績 75.120 2.983272 形狀×時間×數學成績 95.002 6.651076 殘差項(形狀×時間) 6296.156 289.3218 誤差 1585.847 87 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. MS 6.990 42.376 3.040 23.408 27.677 25.181 14.284 21.762 18.228. F 0.670n.s. 1.216n.s. 0.167n.s. 1.076n.s. 2.652* 0.723n.s. 0.656n.s.. 雖然形狀與數學成績的交互作用達到顯著，但是表 4-24 顯示，高中低三組的 形狀題估計值都沒有顯著差異，且表 4-23 也顯示，形狀的主要效果不顯著，所以 仍無法證明不同形狀對不同數學成績兒童的數量估計能力有顯著影響。. 表 4-24 分組變項 高分組 形狀. 形狀×數學成績之高低估趨勢單純主要效果考驗摘要表. 變異來源 組間 組內 受試者間 殘差 全體. SS. Df. MS. 6.563. 2. 42.515 68.604 117.682. 29 58 89. 36. F值. 3.281 2.774n.s. 1.466 1.183 5.930. 事後比較.
(49) 中分組 形狀. 組間 組內 受試者間 殘差 全體. 低分組 形狀. n.s.p>.05. 組間 組內 受試者間 殘差 全體 *p<.05 **p<.01. 9.706. 1.547. 6.275 1.560n.s.. 143.656 29 4.954 180.378 44.851 4.022 333.740 75.398 15.251 14.904. 2. 7.452 2.109n.s.. 210.292 29 7.251 204.929 58 3.533 430.125 89.000 18.237 ***p<.001. 形狀、時間與數學成績估計誤差率的三因子交互作用不顯著（表 4-25），但 形狀與時間的二因子交互作用達顯著，顯示在不同時間下，不同的形狀對學生的 估計誤差率會產生顯著的影響，因此以時間為依據分組，對不同形狀進形單純主 要效果考驗。. 表 4-25. 形狀、時間、數學成績之估計誤差率三因子變異數分析摘要表. 變異來源 SS df 形狀 633.375 2.000 時間 35649.566 2.088 數學成績 5645.978 2 形狀×時間 2308.584 4.190 形狀×數學成績 477.736 3.965 時間×數學成績 5666.492 4.176 形狀×時間×數學成績 2217.356 8.379 殘差項(形狀×時間) 64327.242 364.495 誤差 29823.619 87 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. MS 316.688 17074.668 2822.989 551.027 120.482 1357.008 264.626 176.483 342.800. F 2.389n.s. 48.508*** 8.235*** 3.122* 0.901n.s. 3.855** 1.499n.s.. 由表 4-26 的事後比較得知，在五秒時間內正方形的估計誤差率顯著高於正三 37.
(50) 角形，但圓形則與兩者無差異，且十秒之後形狀改變對估計誤差率的影響未達顯 著。 表 4-26. 形狀×時間之估計誤差率單純主要效果考驗摘要表. 分組變項. 變異來源. SS. 5秒形狀. 組間. 2518.0984. Df. 事後比較 正方形＞ 2 1259.04922 3.952532* 正三角形 MS. 組內 受試者間 65976.616 89 741.310 殘差 56700.553 178 318.542433 全體 10秒形狀 組間 199.258 2 99.629 組內 受試者間 23379.472 89 262.691 殘差 15704.964 178 88.230 全體 15秒形狀 組間 116.082 1.630 71.207 組內 受試者間 9697.473 89 108.960 殘差 6399.356 145.089 44.106 全體 30秒形狀 組間 108.521 1.561 69.518 組內 受試者間 6020.094 89 67.642 殘差 11284.044 138.932 81.220 全體 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. F值. 1.129n.s.. 1.614n.s.. 0.856n.s.. 由圖 4-5 可以看出，圓形與正方形的誤差率在五秒時高於 15％，三種形狀在 十秒之後皆低於 10％，且折線互有交叉，顯示沒有任何形狀在不同時間下，誤差 率仍持續高於其它形狀。. 38.
(51) 形狀╳時間的估計邊緣平均數 shape. 20. 圓形 正三角形 正方形 15. 估 計 邊 緣 平 均 數. 10. 5. 0 5. 10. 15. 30. time. 圖4-5. 第六節. 形狀×時間估計誤差率剖面圖. 圖形呈現時間與數學學業成績的比較. 將每個時間階段的十三題估計個數平均起來（表 4-27），發現僅五秒時的估 計值與實際個數平均值相差近 1 個，而十五秒之後，差異個數甚至到了 0.05 個以 下；以成績組別來看，只有低分組的全測驗估計值與實際個數平均值相差近 1 個， 而中分組的估計值反而比高分組更接近實際值。在誤差率方面，時間分組僅五秒 時將近 20％，十秒之後都低於 10％，高低分組則全部低於 10％。 表 4-27. 圖形呈現時間與數學學業成績分組平均估計值敘述性統計. 組別. 實際 平均值. 五秒 十秒 十五秒 三十秒. 27. 原始估計值 平均數 標準差 26.090 4.374 26.894 1.138 27.025 1.011 27.011 0.470. 39. 估計誤差率 平均數 標準差 19.273 10.680 6.041 4.952 3.448 6.368 2.020 3.342.
(52) 組別. 實際 平均值. 高分組 中分組 低分組. 27. 原始估計值 平均數 標準差 27.149 0.973 26.955 1.375 26.160 1.506. 估計誤差率 平均數 標準差 5.655 1.961 7.671 5.902 9.761 4.635. 由表 4-28 觀察估計值與實際平均值的差異，發現各個時間都未達顯著差異， 而數學成績分組方面，只有低分組在全測驗平均的估計值與實際值達到顯著差 異。. 表 4-28 分組變項. 圖形呈現時間與數學學業成績分組平均估計值 T 檢定. 實際 平均值. T. 自由度. 5s -1.974n.s. 89 10s -0.883n.s. 89 15s 0.232n.s. 89 30s 0.224n.s. 89 27 高分組 0.841n.s. 29 中分組 -0.179n.s. 29 低分組 -3.054** 29 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001. 平均差異 -0.910 -0.106 0.025 0.011 0.149 -0.045 -0.840. 差異的 95%信賴區間 下界 上界 -1.826 0.006 -0.344 0.132 -0.187 0.237 -0.087 0.110 -0.214 0.513 -0.558 0.468 -1.402 -0.277. 表 4-29 顯示時間與數學成績之間，並沒有顯著的交互作用，但是個別的主要 效果都達到顯著，表示閃示時間與數學成績都會對數量估計能力產生影響。 表 4-29. 時間×數學成績之高低估趨勢二因子變異數分析摘要表. 變異來源 SS df 時間 53.331 1.258 數學成績 65.371 2 時間×數學成績 51.630 2.517 殘差項(時間) 1223.644 109.476 誤差 590.231 87 n.s.p>.05 *p<.05 **p<.01 ***p<.001 40. MS 42.382 32.686 20.515 11.177 6.784. F 3.792* 4.818* 1.835n.s..
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