《勾股定理》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边a b
、
的平方和等于斜边c
的平方.（即： 2 2 2a
b
c
） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主 要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c
、、
，满足a
2
b
2
c
2，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c
； （2）验证：a
2
b
2与c
2是否具有相等关系： 若 2 2 2a
b
c
，则△ABC 是以∠C 为 90°的直角三角形； 若 2 2 2a
＞
b
c
时，△ABC 是锐角三角形； 若a
2 ＜
b
2c
2时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数 满足不定方程 2 2 2
x
y
z
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯 数），显然，以x y z
、、
为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释： 常 见的 勾股 数： ① 3 、 4 、5 ； ② 5 、 12 、 13 ； ③ 8 、 15 、 17 ； ④ 7 、 24 、 25 ； ⑤ 9、40、41. 如果(a b c
、、
)是勾股数，当 t 为正整数时，以at bt ct
、、
为三角形的三边长，此三 角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差 1. 3.假设三个数分别为a b c
、、
，且a b c
，那么存在 2a
b c
成立.（例如④中存 在7
2＝24＋25、9
2＝40＋41 等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有 关. 【典型例题】 类型一、勾股定理及逆定理的简单应用 1、（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过 程． 【思路点拨】根据题意正确表示出 AD2的值是解题关键. 【答案与解析】 解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13， 设 BD=x，则 CD=14 x﹣ ，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14 x﹣ ）2，
故 152﹣x2=132﹣（14 x﹣ ）2，
【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而 解.
举一反三：
【变式】在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12．求△ABC 的周长．
【答案】 解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中， 由勾股定理，得
BD
2
AB
2
AD
2
15
2
12
2
81
． ∴BD
9
． 同理 2 2 2 2 213
12
25
CD
AC
AD
． ∴CD
5
． ①当∠ACB＞90°时，BC＝BD－CD＝9－5＝4． ∴ △ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32． ②当∠ACB＜90°时，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14． ∴ △ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42． 综上所述：△ABC 的周长为 32 或 42． 2、如图所示，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M 为 AB 上一点． 求证： 2 2 22
AM
BM
CM
． 【思路点拨】欲证的等式中出现了 AM2、BM2、CM2，自然想到了用勾股定理证明，因此 需要作 CD⊥AB． 【答案与解析】 证明：过点 C 作 CD⊥AB 于 D． ∵ AC＝BC，CD⊥AB， ∴ AD＝BD． ∵ ∠ACB＝90°， ∴ CD＝AD＝DB． ∴AM
2
BM
2
AD DM
2
AD DM
2 22
2 22
2AD
AD DM DM
AD
AD DM DM
2 22(
AD
DM
)
2 2
2(
CD
DM
)
在 Rt△CDM 中， 2 2 2CD
DM
CM
， ∴AM
2
BM
2
2
CM
2． 【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包 含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证． 举一反三： 【变式】已知△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 上任一点，求证：AB
2
AD
2
BD CD
. 【答案】 解：如图，作 AM⊥BC 于 M，∵AB＝AC，∴BM＝CM, 则在 Rt△ABM 中： 2 2 2AB
AM
BM
……① 在 Rt△ADM 中： 2 2 2AD
AM
DM
……② 由 ① － ② 得 ：AB
2
AD
2
2 2BM
DM
BM DM BM DM
＝ （MC＋DM）•BD＝CD·BD 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用 3、（2014 秋 黎川县期中）如图，在正方形• ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，请你 判定△BEF 的形状，并说明理由． 【思路点拨】根据勾股定理求出 BE2、EF2、BF2，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【答案与解析】 解：∵△BEF 是直角三角形， 理由是：∵在正方形 ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，BF2=BC2+CF2=42+32=25， ∴BE2+EF2=BF2， ∴∠BEF=90°， 即△BEF 是直角三角形． 【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关 键是求出 BE2+EF2=BF2. 4、如 图， P 是等 边三 角形 ABC 内 的一 点， 连结 PA ，PB ， PC ，以 BP 为边 作 ∠PBQ=60°，且 BQ=BP，连结 CQ． (1)观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论． (2)若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断△PQC 的形状，并说明理由． 【答案与解析】 解：(1)猜想：AP=CQ 证明：在△ABP 与△CBQ 中， ∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60° ∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ ∴ △ABP≌△CBQ ∴ AP=CQ (2)由 PA：PB：PC=3：4：5 可设 PA=3a，PB=4a，PC=5a 连结 PQ，在△PBQ 中，由于 PB=BQ=4a，且∠PBQ=60° ∴ △PBQ 为正三角形 ∴ PQ=4a 于是在△PQC 中，∵ ∴ △PQC是直角三角形 【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利 用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 举一反三： 【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知 AB＝13，AD＝12，AC＝ 15，BD＝5，求 DC 的长．
【答案】 解：在△ABD 中，由 2 2 2
12
5
13
可知： 2 2 2AD
BD
AB
，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝90°． 在 Rt△ADC 中，DC
2
AC
2
AD
2
81,
DC
9
． 5、如果 ΔABC 的三边分别为a b c
、、
，且满足 2 2 250 6
8
10
a
b
c
a
b
c
， 判断 ΔABC 的形状. 【答案与解析】 解：由a
2
b
2
c
2
50 6
a
8
b
10
c
，得 ：a
2
6
a
9
b
2
8
b
16
c
2
10
c
25 0
∴(
a
3)
2
(
b
4)
2
(
c
5)
2
0
∵(
a
3)
2
0 (
，，
b
4)
2
0 (
c
5)
2
0
∴a
3,
b
4,
c
5.
∵3
2
4
2
5
2, ∴a
2
b
2
c
2. 由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形. 【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要 用到. 类型三、勾股定理的实际应用 6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点 A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相 对的顶点 B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它 从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少? 【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底 面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段 AB 的长度． 在图②中，由勾股定理，得 2 2 2
