7-三角函數

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7- 三角函數

【83-1】武林高手上官琴魔，幸獲至寶「斷腸一弦琴」。如下圖實線部分，琴身為一圓弧，琴弦AB長為1.6 尺。今欲增其威力，需加一長為 1.2 尺的平行琴弦，乃在 P 及 Q 點鑽 孔，加裝琴弦PQ。若知圓心在O 點，半徑為 1 尺，敢問少（女）俠，AOP 大小若 干？(A)13 < AOP  14　(B)14 < AOP  15　(C)15 < AOP  16　

(D) 16 < AOP  17　(E)17 < AOP  18

【解答】(D)

【83-2】若 2 3π

<  < 2 且 sin   cos  1₅ ，則cos  　　　　　。

【解答】 5 4 【84】一汽艇在湖上沿直線前進，有人用儀器在岸上先測得汽艇在正前方偏左 50，距離為 200 公尺。一分鐘後，於原地再測，知汽艇駛到正前方偏右70，距離為 300 公尺。那麼此 汽艇在這一分鐘內行駛了　　　　　公尺。【解答】100 ₁₉ 【86】已知圓內接四邊形的各邊長為AB 1，BC 2，CD 3，DA 4，則對角線BD的長度為　　　　　。

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【87-1】如下圖，A、B 兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往 A 點的筆直公路上，距離 A 點 50 公尺的點與距離 A 點 200 公尺的 D 點，分別測得 ACB  60，ADB  30， 則A 與 B 的距離為　　　　　公尺。 【解答】50 7 【87-2】在下圖中，ABC 是邊長為 8 的正三角形撞球檯，線段 BP  2 。今由P 點將一粒球以 平行BA 方向射出，最後又回到 P 點。球所走的路徑，如圖箭號所示。則此路徑的長 度為　　　　　。【解答】24

【88-1】設△ABC 的三頂點 A，B，C 所對邊的邊長分別為 a，b，c，AH 為高，則AH之長為 D

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【88-2】設 0  π₄ ，且2 + 3為x2_{ (tan   cot  ) x 1  0 的一根，則 tan  　　　　　。}

【解答】2  3 【88-3】在△ABC 中，已知C  60，AC 3000 公尺，BC 2000 公尺，則 A 為 　　　　　度。（度以下四捨五入）（參考資料： 31.732， 7 2.646， 21 4.583） 【解答】41  【88-4】一個正三角形的面積為 36，今截去三個角（如下圖），使成為正六邊形，此正六邊形的面積為　　　　。【解答】24 【89-1】有一等腰三角形底邊為 10，頂角 72。下列何者可以表示腰長？

(A) 5．sin 36　(B) 5．tan 36　(C) 5．cot 36　(D) 5．sec 36　(E) 5．csc36 【解答】(E)

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【89-2】氣象局測出在 20 小時期間，颱風中心的位置由恆春東南方 400 公里直線移動到恆春南15西的 200 公里處，試求颱風移動的平均速度。（整數以下，四捨五入）　　答：　　　　　公里／時。【解答】17 【90-1】如下圖的四角錐展開圖，四角錐底面為邊長 2 的正方形，四個側面都是腰長為 4 的等腰三角形，則此四角錐的高度為　　　　　。【解答】 14 【90-2】在坐標平面的 x 軸上有 A(2，0)，B(  4，0)兩觀測站，同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點，測得BAC 及ABC 之值後，通知在 D( 2 5 ， 8)的砲臺；此兩個角的正切值分別為 9 8 及 3 8 。那麼砲臺D 至目標 C 的距離為　　　　　。 【解答】13 　【90-3】若 sinx  5 3 ， 2 

 x  ，則下列選項何者為真？(A) cosx  ₅4 　(B) tanx  4 3 　 (C) cotx   3 4 　(D) secx   4 5 　(E) cscx  3 5 【解答】(C)(D)(E)

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【91-1】在△ABC 中，下列哪些選項的條件有可能成立？(1) sinA  sinB  sinC  2 3 (2) sinA，sinB，sinC 均小於 2 1 　(3) sinA，sinB，sinC 均大於 2 3

(4) sinA  sinB  sinC  2 1 　(5) sinA  sinB  2 1 ，sinC  2 3 【解答】(1)(2)(5) 【91-2】某人隔河測一山高，在 A 點觀測山時，山的方位為東偏北 60，山頂的仰角為 45，某人自A 點向東行 600 公尺到達 B 點，山的方位變成在西偏北 60，則山有多高？答：　　　　　公尺。【解答】600 【92-1】下列哪些函數的最小正週期為？(1) sinx  cosx　

(2) sinx  cosx　(3) | sinx  cosx |　(4) | sinx  cosx |　(5) | sinx |  | cosx |

【解答】(3)(4)

【92-2】若(4  3i)(cos  isin )為小於 0 的實數，則 是第幾象限角？(1)第一象限角　 (2)第二象限角　(3)第三象限角　(4)第四象限角　(5)條件不足，無法判斷

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x

4

【93-2】設 270  A  360且 3sinA  cosA  2sin2004，若 A  m，則 m 　　　　　。

【解答】306 【【94-1】若 0 4  

  ，試問以下哪些選項恆成立？(1)sin cos (2)tan sin (3)

cos tan(4)sin 2 cos 2 (5) tan 2 tan 2  _ _ 【解答】(1)(5) 【94-2】如右圖所示，在△ABC 中，∠BAC 的平分線 AD 交對邊BC於 D；已知 3 , 6 BD DC  ，且_AB__AD，則cos∠BAD 之值為。(化成最簡分數) 【解答】3 4

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【95-1】在三角形 ABC 中﹐若 D 點在BC邊上﹐且AB7,AC13,BD7,CD8﹐ 則_AD_________. 【解答】7 【95-2】右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形﹐且OD8.問﹕直角三角形 OAB 的高AB 為何﹖=(1)1 (2) 6 2 (3) 7 1 (4) 3 (5)2. 【解答】(4)

【95-3】下列哪一個數值最接近 2﹖(1) 3 cos 44 sin 44(2) 3 cos54 sin 54 (3) 3 cos 64 sin 64(4) 3 cos 74 sin 74(5) 3 cos84 sin 84.

【解答】(4)

【95-4】如圖所示﹐ABCD 為圓內接四邊形﹕若DBC  30 , ABD45 , CD6﹐則線段

AD

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【96】在ABC 中，M 為BC邊之中點，若AB=3，AC=5，且∠BAC=120°，則 tan∠BAM ＝。(化成最簡根式) 【解答】5 【97-1】廣場上插了一支紅旗與一支白旗，小 明站在兩支旗子之間。利用手邊的儀器，小明測出他與正東方紅旗間的距離為他與正西方白旗間距離的6 倍；小 明往正北方走了 10 公尺之後再測量一次，發現他與紅旗的距離變成他與白旗距離的 4 倍。試問紅白 兩旗之間的距離最接近下列哪個選項？　(1) 60 公尺　(2) 65 公尺　(3) 70 公 尺　(4) 75 公尺　(5) 80 公尺【解答】(1)

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【97-2】試問：在坐標平面上，下列哪些選項中的函數圖形完全落在 x 軸的上方？　 (1) y x 100₍₂₎_{y x}_ 2_₁₍₃₎_y_{ }_{2 sin}_x₍₄₎_y _₂x₍₅₎_y_log_x 【解答】(2)(3)(4) 【97-3】坐標平面上，以原點 O 為圓心的圓上有三個相異點A(1,0)，B，C，且AB BC 。已知銳角三角形OAB的面積為 3 10，則△OAC的面積為____________。(化為最簡分 數) 【解答】12 25 【98】令 2 cos( ) a  ，試問下列哪一個選項是對的？(1)a 1　(2) 1 1 2 a     (3) 1 0 2 a    　(4)0 1 2 a   　(5)1 1 2  。a 【解答】(2) 【99】設    分別為第一、第二、第三、第四象限角，且都介於 0 與1, 2, 3, 4 2 之間。已知

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4 3 4 3 2 【解答】(2)(3) 【100】空間中一長方體如圖所示，其中 ABCD 為正方形，BE為長方體的一邊。已知 2 6 cot 5 AEB   ，則cot CED ________。【解答】7 5