2-3-4三角函數的性質與應用-正、餘弦函數的疊合

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(1)第二冊 3-4 三角函數的性質與應用-正、餘弦函數的疊合【引言】若要你求出 y = a sin x + b cos x 的極值(最大值、最小值)，你應該如何求?若你是將 y = a sin x 與 y = b cos x 的圖形分別畫出來，然後將兩者的圖形疊合起來，你會發現並不容易觀察出圖形的性質，如最高點或最低點的位置，甚至圖形是否有規律等，這些都不容易馬上看出來，因此我們希望能夠有比較好的方法來解這個問題。【問題】分別求 y = sin x + cos x 及 y = 3 sin x + 4 cos x 的極值。解答： (方法一) 利用兩個圖形的疊合如下： y y=sinx+cosx. y=cosx. 2π y=sinx. x. y y=3sinx+4cosx y=4cosx x 2π y=3sinx (方法二) y 2 = (sin x + cos x) 2 = 1 + 2 sin x cos x = 1+ sin 2 x ≤ 2 ⇒ − 2 ≤ y ≤ 2 y 2 = (3 sin x + 4 cos x) 2 = 9 sin 2 x + 16 cos 2 x + 24 sin x cos x = 9 + 7 cos 2 x + 24 sin x cos x 【思考】 (方法一)對於一般情形如求 y = sin x + cos x 或 y = 3 sin x + 4 cos x 的極值時，不一定適用，可能連圖形長什麼樣子都猜測不出來。 (方法二)適用於 y = sin x + cos x ，但不適用於 y = 3 sin x + 4 cos x 。基於以上原因，所以我們要想別種分法。.

(2) 【方法】如何求 y = a sin x + b cos x + c 的極值？ y = a sin x + b cos x + c = sin x ⋅ a + cos x ⋅ b + c a b = a 2 + b 2 (sin x × + cos x × )+c a2 + b2 a2 + b2 = a 2 + b 2 (sin x ⋅ cos θ + cos x ⋅ sin θ ) + c. b ⎧ ⎪sin θ = 2 a + b2 ⎪ 2 2 = a + b sin( x + θ ) + c ，其中 ⎨ ， a ⎪cos θ = ⎪⎩ a2 + b2 則 − a 2 + b 2 ≤ a 2 + b 2 ⋅ sin( x + θ ) ≤ a 2 + b 2 。即 − a 2 + b 2 + c ≤ a 2 + b 2 ⋅ sin( x + θ ) + c ≤ a 2 + b 2 + c ，故 y 的最大值為 a 2 + b 2 + c ，最小值為 − a 2 + b 2 + c 。【問題】 1. 可否將 y = a sin x + b cos x + c 化成 cos 的形式，然後再求極值？解答： y = a sin x + b cos x + c = cos x ⋅ b + sin x ⋅ a + c b a = a 2 + b 2 (cos x × + sin x × )+c 2 2 2 a +b a + b2. = a 2 + b 2 (cos x ⋅ cos θ + sin x ⋅ sin θ ) + c a ⎧ ⎪sin θ = a2 + b2 ⎪ = a 2 + b 2 cos( x − θ ) + c ，其中 ⎨ 。 b ⎪cos θ = ⎪⎩ a2 + b2 則 − a 2 + b 2 ≤ a 2 + b 2 ⋅ cos( x − θ ) ≤ a 2 + b 2 。即 − a 2 + b 2 + c ≤ a 2 + b 2 ⋅ cos( x − θ ) + c ≤ a 2 + b 2 + c ，故 y 的最大值為 a 2 + b 2 + c ，最小值為 − a 2 + b 2 + c 。 2. 是否有幾何上的意義？解答：將圖形視為正弦函數圖形的平移伸縮，或餘弦函數圖形的平移伸縮皆可。註： 1. a sin x + b cos x 為一種正弦與餘弦之線性函數的關係。 2. 注意角度是否有範圍限制？ 3. 角度必須相同，才可利用疊合的方法。 4. 常將 sin x cos x 與 sin x + cos x 結合在一起求極值。.

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