2009第二三階段試題分析

2009 台南市市長盃國

民中學數學能力競賽

第二階段試題分析

•第一部分

（第 1 題到第

_{20 題每題 3}

1. 在一個三位數的百位數之前與個位數之後 皆加一個數字 6 ，結果新數比原數多 ₆₄₁₁₀ ，試求原三位數。　 (A) 123 (B) 246 (C) 456 (D) 567

• ( 參考解答 ) 設此三位數為 x

_，

則新的五位數＝

₆₀₀₀₀

＋

x

． 10 ＋ 6

所以 60000

＋ 10

x

＋ 6 －

x

＝

64110

∴

x

＝ 456

答案為

_(C)

2. 傑克老師把某一班寒假到校掃地的學生分組分派工作。 若每 5 人一組，則餘 4 人，每 6 人一組，則餘 3 人， 若此班學生的女生共 _{21 人，則這一班男生至少有多少} 人？   (A) 21 人 (B) 20 人 (C) 19 人 (D) 18 人 ( 參考解答 _{)Ans: D} • 設全班 m 人，則 m _{＝ 5x ＋ 4 ，且 m ＝ 6y ＋ 3 ，} 其中 _{x,y 皆為正整數， 由題意知 　　 5x} ＋ 4 ＝ 6y ＋ 35x ＝ 6y － 1 (1) 若 y ＝ 1 時 x ＝ 1 （不含） (2) y ＝ 2, 3, 4, 5 皆不含 (3) y=6 時， x _{＝ 6 ＋ 1 ＝ 7 為最小的解} ∴ m ＝ 39 ， 39 － 21 ＝ 18 表示男生最少 18 人

另解

• 設男生人數為 x 人，由題意知， 21+x-4 為 5 的倍數，且 21 ＋ x-3 為 6 的倍數， 即 x+17 為 5 的倍數，且 x+18 為 6 的倍數， 若 x=3,8,13 ，不合。 若 x=18 ，符合題意。

3. 如右圖一，為一個邊長為 3 的正方形，且每一 個小方格也都是正方形；試求： 之值。   (A) (B) (C) (D) • Ans:(D)

由圖形觀察得知

正好是

故

圖一 4 3 2 1       o 135 150o 165o ₁₈₀o

1 45

3,

 

  

2

4

  

90

1

2

3

4 180

       



另解

圖一

4. 試求 : (A) 1002 (B) 1003 (C) 1004 (D) 1005 • Ans:(C)                     2 5 2 4 7 2 6 9 2 2004 2007 2 2006 2009 2 1 4 2 3 6 2 5 8 2 2003 2006 2 2005 2008 2                                           2 5 2 4 7 2 6 9 2 2004 2007 2 2006 2009 2 1 4 2 3 6 2 5 8 2 2003 2006 2 2005 2008 2                       2 5 2 4 7 2 6 9 2 2006 2009 2 1 4 2 3 6 2 5 8 2 2005 2008 2                _{  } _{  } _{  }  _{ } _{ } _ 2 3 4 1004 1004 1 2 3 1003        _{     }       

5.

若 、 都是整數，已知 x 的一元二次

方程式

_的相異

兩根都是質數，試求

_之值。

(A) 300 (B) 301 (C) 302

(D) 303

Ans:B

a

_b

2

_{2009 0}

ax



bx





5a b



• ( 參考解答 ) 假設 為 的相異兩質數根。 所以兩根 為 _7,41 故 ,  

_ax

2

_

_bx

_

_{2009 0}

_

2 2009 7 41 b a a a            _{   } 

  

a

7,

,  





7 48 336

b

a

 

   



 



5

a b

   

35 306 301



6. 已知標準身材的定義是 = ， 此值稱為黃金比值，現有一女生身高 152 公分， 肚臍高度 _{92 公分的女孩，欲藉穿高跟鞋來提高肚} 臍高度以滿足標準身材的定義，試問：該女生穿 多少公分（取最近的整數）的高跟鞋較恰當？ ( 參考數值： ) (A)3 公分 (B)4 公分 (C) 5 公分 (D) 6 公 分

身高

肚臍高度

肚臍高度 肚臍距頭頂距離 2 1.414, 3 1.732, 5 2.236  

Ans:C

• 設鞋高 x 公分，∴  x ≒ － 62 ＋ 30 ≒-62+67.08=5.08 ∴x 約為 ₅ 2

₁₂₄

_{656 0}

x



x





92 60 152 92 x x x     2

(

x

62)

4500







5

7. 將一個圓周 12 等份得到 12 個等分點，依序標 為 ；現在連接 跟 線段，再連接 跟 線段，最後連接 跟 以及 跟 兩直線交於圓外一點 ； 若 ，試求 的長度是多少？  (A) (B) (C) 10 (D) 15 Ans: (C) 12 3 2 1, A , A , , A A _{ A1 A7} 5 A A₉ A₅ A₇ 1 A _{A9 P} 3 5 9 5A  A _{A7 P} 3 2 15 3 10

( 參考解答 ) 利用 直角三角形性質 如圖所示： _{將圓 12 等份，所以每一等} 分的弧的度數都是 _{30 度，且} 所以 （圓周角相等） 因此 _{＝圓的直徑。又} 且 ，在直角三角形 及 中，所以 因此 12 3 2 1, A , A , , A A _ 9 1 7 1 7 9 5 7 30 o A A A A PA A A A       9 5 7 1A A A A  7 1 7P A A A  3 5 9 5 A  A 2 5 , 2 15 , 3 2 5 7 1 9Q  A Q  A Q  A 10 2 5 2 15 7 1 7 1 7P  A A  A Q  A Q    A A₈ P A₁₁ A₁₂ A₉ A₁₀ A₇ A₄ A₁ A₂ A₃ A₅ A₆ 2 8 // 1 9 A A A A Q 30    60 90 7 8 A QA A QA_{1 9}

8. 已知 均是質數，若 也是一個質數，試求 之值。 (A) 7 (B) 11 (C) 13 (D) 17 Ans:(B) 又 都是質數 為一奇一偶，即 因此

y

x,

_p

_

₃

_x

2

_

₂

_xy

_

_y

2

p

)

)(

3

(

2

3

x

2

xy

y

2

x

y

x

y

p















y

x,



x



y



1

2 , 3   y x 2 2 3 2 (3 )( ) 3 3 2 11 p  x  xy y  x y x y     

,

x y



9. 假設 ，試求 之值。 (A)36 (B) 37 (C) 45 (D) 49 Ans:(C)

3

,

21

2 2

_

_b

_

_ab

_

a

(

_a

b 

_b

a

)

2 45 4 ) 3 21 ( 4 ) ( 4 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 _{     }  _{   }  ab a b b a a b b a a b b a a b

10.

從 4 個不同的正整數中，任意取出 3

個相異數，並計算其乘積之後，發現其

乘積分別為

_{,98 以及 2009 ，試求}

兩數乘積之最小值。

 

(A) 329470 (B) 329472 (C) 329474 (D) 329476 • Ans:(D) • 提示：將此四數

_,

_{98 以及 2009} 相乘，即為原來四個整數的三次方。

,

a b

a b

,

, a b

10. 從 4 個不同的正整數中，任意取出 3 個相 異數，並計算其乘積之後，發現其乘積分別 為 ,98 以及 2009 ，試求 兩數乘 積之最小值  (A) 329470 (B) 329472 (C) 329474 (D) 329476 • Ans:(D) 依題意可知： 為立 方數 兩數乘積之最小值為

,

a b

_{a b,} 98 2009 a b   4

98 2009

2 7

41

a b

  

    

a b



2 2 2

2

 

7

41



329476

,

a b



11. 某一軟體程式被設計用來搜尋整數，並計 算共掃瞄了多少個數字，現在依序出現 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6…… 等整數，若此軟體共掃 瞄了「 _{2897 」個數字數，試求最後掃瞄的數} 是多少？ (A) 1004 (B) 1003 (C) 1002 (D) 1001 • Ans:(D) 先確定幾位數。 1×9 ＋ 2×90 ＋ 3×900 ＝ 2889 2897 _{－ 2889 ＝ 8 ，因 1000 及 1001 共} 有 8 個數字，故最後掃瞄的數是 1001 。

12. 102009 － 91 計算後得一整數，試求此整數 所有數字和。　 (A)18081 (B) 18072 (C) 18063 (D) 18056 Ans:(B) 可考慮用歸納法，尋找規律性。 例 103 － 91 ＝ 909 ， 104 － 91 ＝ 9909 105 － 91 ＝ 99909 ∴ 102009 － 91 ＝ 999…909 共 2008 個 9 ∴ 2008×9 ＝ 18072

13. 已知民國 98 年 12 月 12 日是星期六，試 問經過了 天之後是星期幾？ 　 (A) 六 (B) 日 (C) 一 (D) 三 Ans: ∵ 2009÷7 ＝ 287…. 餘數 0 ∴ 是星期 六 Ans ： (A) 2000 2009 200920092009...2009  共 個

14. 如圖

，已知

中，

，且 ，

試問

_{的長度之值為下列哪一個選項？}

  (A) (B) (C) (D) Ans:(C) 如果是高中，可用餘弦定理。

ABC



AB  20, AC 18

2

BAC

ABC



 

BC

A B C 4 19 5 19 6 19 7 19

• ( 參考解答 ) 延長 到 ，使 ， 並連接 ， BA D AD AC CD BCD ~ CAD 38 6 19 18 BC BD BC BC CA  CD   BC    k D A B C

15. 已知 為兩數且滿足以下關係： 互為相反數，試求 之值。 (A) -3 (B) 9 (C) 45 (D) 59 Ans: B 互為相反數， 故

,

x n

  2 3 , 2 x  n        _{ }    ₃ 3 1 3 1 3xn x2n 1 x3 xn   2 3 , 2 x  n    x 3, n  2 2 1 3 2 3 3 2 1 1 1 1 3 3 3 3 3 (3 3 3) 3 3 3 3 36 27 9 n n n x  x   _ x  x  _             

16. 已知連續 2009 個正整數之和為一個完全 平方數，試求這 _{2009 個正整數中，最小的} 數為多少？ (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21 • Ans:(D) 假設最小之正整數為 依題意可知： ， 為整數 取

a

  _{  2  } 2009 2008 2009 1004 7 41 1004 2 a a a a _   _{ }       2 1004 41 a k    

k

2 1004=41 5 1025 a    

5

k



21

a

 

• 17. 如右圖所示，已知 ， 為 直徑， ， O 為圓心，若 _面積 為 平方公分，試求 面積。　 (A) (B) (C) (D) • Ans:(A) BH  AC A O C H B A AC OH CH BCH ABC  6 3

24 3

12 3

36 3

30 3

H C A O B 1 1 1 1 2 2 2 4 4 6 3 24 3

BCH BOC ABC ABC

ABC

       

• ( 另解 ) 如圖連 ∴△ BOH 為 30-60-90 的三角形 　　 平方公分 , , OB AB BC

2

BO



OH



1 6 3 2 1 3 6 3 2 BOH BCH BH OH OH OH          OH  2 3 3 6, BH  OH  AC  4OH  8 3 1 1 8 3 6 24 3 2 2 ABC AC BH       

• 18. 四個小朋友參加了尋找復活節彩蛋活動 ，活動結束時，四人總共找到四十五顆巧克 力蛋，但每人找到的數量不一。若第一位小 朋友多找到兩顆，第二位少找到兩顆，第三 位多找到一倍，第四位少找到一半，四人找 到的巧克力彩蛋就會一樣多。請問，這四位 小朋友中找到最多巧克力蛋跟最少巧克力蛋 的小朋友相差多少顆？ (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 • Ans:(D) 

假設四位小朋友分別找到 _{顆巧克力蛋} 依題意： 則 因此，我們可以得到一個一元一次方程式： 得 所以，第一個小朋友找到 _顆 第二個小朋友找到 _顆 第三個小朋友找到 _{5 顆} 第四個小朋友找到 _顆 最多與最少相差了 _{20-5=15 顆}

d

c

b

a

,

,

,

d c b a 2 1 2 2 2      2 2, 2 2, 4 a  c  b  c  d  c 45 4 ) 2 2 ( ) 2 2 ( c   c   c  c 

c



5

8 2 5 2   12 2 5 2   20 5 4  

19. 試求 的餘數。 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 • Ans ： (B) 方法有二種： 1. 尋找規律性 2. 同餘數的概念 98 (3  98) 11

19. 試求 的餘數。 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 • 尋找規律性： ∵ ……3 ， …… 9  的餘數規律為 3, 9, 5, 4, 1, 3, 9, 5, 4, 1…. 所以 餘數 ₅ ， 又 98÷11 餘數 10 ∴ 的餘數為 15÷11 ＝ 1…4 98 (3  98) 11 1 3 11 0  32  11 0

3

n



11

98 3 11 98 (3  98) 11

同餘數的概念

• 又 所以 又 • 故 的餘數為 4 。 1 2 3 4 5 6

3

3(mod11),3

9(mod11),3

5(mod11),

3

4(mod11),3

1(mod11),3

3(mod11),















98 5 19

 



3

98 19 5 3 5 19 3 19 3 3

3



3

 



(3 )

 

3

1 3

 

3



5(mod11),

98 11 8  10  (10 5) 11 1    4 98

(3



98) 11



20. 設 均不為 0 ，試求 的所有可能值有幾種？ （ A ） 1 （ B ） 2 （ C ） 3 （ D ） 4 • Ans ： (D) 1+1+1=3, 1+1-1=1, 1-1-1=-1, -1+1+1=1,-1-1+1=-1, -1-1-1=-3, 共有 4 種不同的值。 , , a b c 2 c c b b a a _{ }

• 21.如圖三，有一個正方形內接一個邊長為3、4 、5 的 ，試問此正方形的面積為多少？ (A) (B) 16 (C) 18 (D) Ans: D 利用相似形

AMN



A B C D M N 3 4 5 圖三 256 17 512 17

( 參考解法) 令 正方形面積= A B C D M N 3 4 5 圖三 4 3 AD AM ADM MCN CM MN       

,

AD x



3 3 4 4 CM AD x    1 4 DM x   2 2

1

2 2

256

4

(

)

4

17

x

x

x











2

256

17

x



22. 假設 為大於 1911 的正整數，試求 可使 為整數之 有幾項？ (A) 1 項 (B) 2 項 (C) 3 項 (D) 4 項 • Ans ： (A)

n

1911 2009 n n  

n

22. 假設 為大於 1911 的正整數，試求 可使 為整數之 有幾項？ (A) 1 項 (B) 2 項 (C) 3 項 (D) 4 項 • 假設 為正整數， 故共有 1 項

n

1911 2009 n n  

n

2 1911 1911 0 2009 2009 n n k k n n  _{  }  _  





  2 2 98 1 98 1 2009 2009 n k k n         2 _{1 1, 2, 7, 14, 49, 98} k  

k



   

k

1

n

1960

23. 若 試求 的數字中， 1 共出現多少次？　 (A) 2008 (B) 2007 (C) 2006 (D) 2005 • _{Ans ： (B)} 2009

9 99 999 ... 999...9

m

 





 

共 個

m

23. 若 ， 試求 的數字中， 1 共出現多少次？　 (A) 2008 (B) 2007 (C) 2006 (D) 2005 “ ∴ 1” 有 2005 ＋ 2 ＝ 2007 2009 9 99 999 ... 999...9 m       共 個 m 2009 2 3 2009 2 3 2009 2009 2005 2005 9 99 999 ... 999...9 (10 1) (10 1) (10 1) (10 1) 10 10 10 10 2009 111...10 2009 111...100000 11110 2009 111...100000 91 m                                 共 個 共 個 共 個共 個 01

24. 若 2009 減去全部的 ，再減去剩下的 ，再減去剩下的 ，_{……，依此類推，直} 到最後減去剩下的 ，試求最後化簡之 值。 (A) 1 (B) 0 (C) (D) • Ans ： (A) 1 2 1 3 1 4 ₁ 2009 1 2009 1 2010

1 2 3

2008

2009

...

1

2 3 4

2009

    



25. 為三個相異質數，若 為 6 的倍數，且 ，試求 之值。 (A) 66 (B) 6 (C) 26 (D) 36 Ans ： (A) 提示：利用奇偶數性質 a b c  _{a b c } 472 abc b c  

_{a b c}

 

25. 為三個相異質數，若 為 6 的倍數，且 ，試求 之值。 (A) 66 (B) 6 (C) 26 (D) 36 為偶數 且 皆為質數 故 必為 ₂ 所以滿足條件的 有 3 組解 (2,13,17) 、 (2,7,31) 、 (2,3,67) 但 為 6 的倍數 故 _{(2,3,67) 為唯一解} 故 a b c  _{a b c } 472 abc b c  

_{a b c}

 

a b c  _{a b c } a 3 2 472 4 2 2 944 (2 1)(2 1) 945 945 3 5 7 , bc b c bc b c b c b c            而 且  皆為質數 ( , , )a b c

a b c

 

66

a b c

  

26. 將 26 個大寫英文字母 A,B,C,D,……,Z ，依以下規則排 列： A,B,C,…,Z,A,B,C,…,Z,A,B,…… ，形成 2009 項的 有序排列。今按照以下之規則作刪去的動作：第一次刪去奇 數位置的字母；第二次刪去第一次所剩下之奇數位置之字 母 ; 第三次再刪去第二次所剩下之奇數位置之字母 ; 如此下 去，試問：最後所剩下的字母為何？ (A) I (B) J (C) K (D) L • Ans:(B) • 提示：尋找規律性，可用正整數 1,2,3,…,2009 來觀察其 規律。  

• 第一次刪去後，所剩下的為原數列之 2 的倍 數的位置的字母， 第二次刪去後，所剩下的為原數列之 4 的倍 數的位置的字母，依此類推：當刪去第十次 時，所剩下的為原數列之 _{1024 的倍數的位} 置的字母， 故只剩下第 _{1024 位置的字母為 J 。}

1024 26 39 10









• 27. 已知 是一個小於 2009 的正整數，若 可 以寫成兩個連續正整數的和且可以寫成三個連續正 整數的和，試問滿足條件的 _{值共有多少個？}  • (A) 333 (B) 334 (C) 335 (D) 336 Ans:(B) m

m

m

• 27. 已知 是一個小於 2009 的正整數，若 可 以寫成兩個連續正整數的和且可以寫成三個連續 正整數的和，試問滿足條件的 _{值共有多少個} ？  • (A) 333 (B) 334 (C) 335 (D) 336 Ans:(B) • 由題意知： 且 因此，我們可以假設 則 得 因此小於 _{2009 的所有值共有 個}。 m

m

m

1 2 ) 1 (      k k k m 3 3 ) 2 ( ) 1 (        k k k k m 3 6   k m 1 6 k  3 2009 1 k 334 334

28. 有一個正三角形牧場，牧場裡長滿了青草 ，牧場四周以柵欄圍起。牧場主人養了一隻 名貴羊，牧場裡一半的青草是餵牠的，另一 半要當作牧草賣，於是想用一條繩子一端綁 在羊身上，另一端綁在三角形的其中一個頂 點，此時羊恰只能吃到牧場一半的青草，若 此牧場周長與繩長比值為 _{，試求 之} 值 (A) (B) (C) (D) Ans: A

m

_m2 4 3

4

9

4 3 9  4 9 

( 參考解法 ) 設繩長為 r ，牧場邊長為 ， 所以扇型面積 = 正三角形面積的一半 l 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 ( ) 6 2 2 2 1 3 6 8 3 9 ) 4 3 r l l r l l l r r           _{周長與繩長比值的平方=(}  

29. 傑克把稜長為 4 的正立方體分割為 22 個稜長為 整數的小正立方體，試問稜長為 1 的小正立方體的 個數有幾個？ (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 • Ans: (C) 。 • 若有一個稜長為 3 的正立方體，其餘均為稜長為 1 的正立方體，這種切割會產生共 _{38 個大小不一的} 正立方體，和已知不合，故切割之正立方體的稜長 最多為 2 。 假設稜長為 2 的有 個，稜長為 1 的有 個

x

y

8 64 6, 16 22 x y x y x y          



30. 假設 為任意的三個數，在下列三 個 的一元二次方程式中，可以確定有解的 方程式有幾個。 方程式 1 ： 方程式 2 ： 方程式 3 ： (A) 0 個 (B) 1 個 (C) 2 個 (D) 3 個 Ans:(B)

c

b

a ,

,

0 ) ( ) ( 2 _{ a  b x  b  c } x 0 ) ( ) ( 2 _{ b  c x  c  a } x 0 ) ( ) ( 2 _{ c  a x  a  b } x

( 參考解答 ) 由方程式的判別式知： 方程式 1 ：判別式＝ 方程式 2 ：判別式＝ 方程式 3 ：判別式＝ 取 方程式 1 ：判別式＝ 方程式 2 ：判別式＝ 方程式 3 ：判別式＝ 所以可以確定有解的方程式有 1 個。 2 (a b )  4(b c ) ) ( 4 ) (b  c 2  c  a 2 (c a )  4(a b ) 2 1 4 ( ) 4( ) 0 4 3 a b  b c    2 1 10 ( ) 4( ) 0, 9 3 b c  c a    2 25 ( ) 4( ) 2 0. 36 c a  a b    1 1 5 , , 2 3 6 a b  b c     c a

2009 台南市市長盃國

民中學數學能力競賽

第三階段試題分析

•第一部分、填充題

（共 6 題，每題各 8 分

）

1. 有下面三組數， 第一組： _； 第二組： _； 第三組： 今從每組任取一數來，把所取出的三數相乘，試求所 有乘積的總和。 • Ans:7200 ，分配律的應用

4

.

7

,

3

2

2

,

5

3

2

,

12

,

3

1

5

5

,

10

1

1

,

3

,

10

9

6 , 24 19 12 , 6 5 4 , 8 3

( 參考解答 ) 利用： 由題意知

1

3

2

9

1

(5

12 2

2

7.4) (

3 1

5)

3

5

3

10

10

3

5

19

(

4

12

6) 30 10 24 7200

8

6

24











 



 







 



(

)(

)

ac ad bc bd









a b c d





2. 甲、乙兩校原來各有學生若干名。若甲校的 學生轉出 _{90 名學生到乙校，則新的乙校學} 生人數變為新的甲校學生人數的 2 倍；若由 乙校轉出若干學生到甲校，則新的甲校學生 人數變為新的乙校學生人數的 6 倍，試問甲 校原來的學生人數最少有多少名？ Ans:153

• ( 參考解答 ) 假設甲校原來有學生 名，乙校學生原 有 名，依題意可知： 再假設乙校轉入 名學生到甲校，則甲校 學生人數為乙校人數的 6 倍，即 代入 經檢驗可知：最小可知為 ₁₅₃

a

b

2



a  90



 b 90

x





+ 6 a x  b x





2

a



90

 

b

90

 

b

2

a



270







+ 6 a x  b x 

₁₁

_a



₇

_x



₁₆₂₀

  4 1 11 1620 232 7 7 a a x    a  

• 另解 • 所以 的最小值為 9, 故 的最小值為 153 11 3 11| 7 1620 11| 7 3 6 7 k x   x   x   k

x

a

3. 已知 為直角三角形，其中 。若 為斜邊 的兩點，且滿足以下長度關係 ： 的長度為 3 ， 的長度為 4 ，試求 斜邊 之長度。 Ans:

ABC



 C 90 , D E _AB

:

1: 3,

:

3:1,

AD DB



AE EB



CD CE AB 2 10

D _{DF DG,} , , BC AC AC

F

BC

G

E EI EH, , BC AC, , _AC I BC H , AC  x BC  y G F D E A C B 1 , 4 AD AF ADF ABC BC AC        1 3 4 4 AF  AC  CF  x • ( 參考解答 ) 過 點作 分別平行 於 交 於 ，交 於 過 作 分別平行於 交 於 ，交 於 ， 假設 在直角 中， CDF 2 2 3 9, 4 4 y x   _   _        

因為 在直角 中， 2 2 2 2 2 2 3 9 4 4 40 3 16 4 4 40 2 10 y x x y x y AB   _   _         _         _{ }             I H E D A C B 3 , 4 BG BD BDG BAC BC BA        3 1 , 4 4 BG  y  CG  y CEH  1 2 3 2 _9, 4 x 4 y   _   _        

4. 如右圖一，正三角形 內接於半徑 為 的圓，且 是 中點， 試求三角形 的面積。 Ans: _圖一 A M D B C E

ABC

₃

M

_DE

BCM

8, 6 AD  AE  3 3

• ( 參考解答 ) 令 為 中 的高， 利用 則 為正三角形， 圖一 A M D B C E 1 1 6 4 3 12 3 2 D 2 ADE AE h        3 C AE // 1 2 1 3 3 4 AC CM AD BMC AMC AME ADE              為 中點 面 積 D h



ABC

BC 60 , CAB    _{4 3,} D h 

ABC





(_ AE  6)

5. 試求

之值。

Ans:

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2008 2009 S           _   2008 2008 2009

( 參考解答 ) 可由第一項起化簡來尋找規律，或                     2 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 ₂ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 [ 1 ] 2 1 1 1 1 _{1 1 1} 1 1 1 1 1 1 n n n n n _{n n n} n n n n n n n n n n n n n n                    _{ }   _{ }  _{ }   _{ }   _  _  _{   }  2 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n    _   _        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 2008 2009 1 2008 2008 1 2008 2009 2009 S   _  _{ }    _{ }   _   _  _             

6.

假設 n 是正整數，如果包含 2012 在內

的連續 2n+1 個正整數中，前 n+1 個數

的平方和等於後 n 個數的平方和，試

求 n 之值。

• ( 參考解答 ) 假設此 2n+1 個數分別為 依題意可知： 經展開整理後可知： 又依題意可知： 即 故得 , 1, 2, , 2 , m m  m   m  n



 



















2 2 2 2 2 2 ₂ 1 2 ... 1 2 .... 2 m m m m n m n m n m n         _   _  _   _    2 2 3 2 2 2 4 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 m mn n n m mn n n n n m n n n m n n                2012 2 m   m n 2 2 2n  n 2012 2 n  3n

31

n



•第二部分、計算題

1. 如下圖二，若 ，且 ，若梯形 面積為梯形 面積的 3 倍，試求 _之長度。 • Ans: // // AB EF CD AB  2,CD  4 ABCD _EFCD EF 2 3 2 4 F A _B D C E

• ( 參考解答 ) 延長線段 ，交於一點 ，如 圖所示。過點 作 交 於點 ， 且 令 又梯形 面積為梯形 面積的 3 倍， 故 ( 另解 : 作 ₎ , AD BC

I

B _{BH  CD CD H}

IAB IEF IDC

      _CDAB  IJ_IL AB IJ EF  IK , , EF  x BH  h 2 4 2 ( 1) 2 IJ IJ BH h IL IJ h x BG h x IK h BG            ABCD EFCD 2 1 1 3 (2 4) 3 (2 ) (2 ) ( 1) 2 2 2 2 2 (2 )( 1) ( 2)( 2) 4 8 2 3 2 x h x BG x h x x x x x x                       2 3 EF  2 _B 4 K L J G H F E A D I C // BM AD

2.

設 P 是正六邊形 內部的任一

點，證明

面積和

_{= 面積和。}

ABCDEF

PEF

PCD

PAB







,

,

PDE

PBC

PFA







,

,

• ( 參考解答 ) 延長 分別交於三點 如圖所示， 在正六邊形 中，所以 為正三角形 因此 DE BC AF, , A ,'B ,'C' ABCDEF _{A' CB' '} 1 1 ' ' , ' ' , 3 3 1 ' ' 3 BCP A B P DEP B C P AFP A C P          1 1 ' ' ' ' ' ' 3 3 1 ' ' ' 3 PBC PDE PAF A B P B C P A C P A B C               D E C B F A P ' A ' B _C' 'A B C D E F P 1 ' ', 3 BC A C  

欲證 _: 只需證明 故 的面積和 = 的面積和 ' ' ' 3 1 C B A PEF PCD PAB        PEF PCD PAB    , , PDE PBC PFA    , , D E C B F A P ' A ' B _C' 'A B C D E F P 1 ' ' ' ' ' ' 3 A AB CC D EB F A B C        1 ' ' ' ' ' ' 9 A AB CC D EB F A B C         1 ' ' ' 3 PAB PCD PEF A B C       

3. 如右圖二，假設 為 的邊 上

的一點，作

交 於 ，

作 交 於 ，

已知

_{的面積分別為 3,2}

，試求四邊形

_的面積。

Ans:

D



ABC

AB // DE BC _AC E

//

DF AC

BC

F

,

ADE DBF





DECF

E F A B C D

2 6

• ( 參考解答 ) 假設四邊形 之面積為 另一方面， DECF

x

// , // DE BC DF AC  E F A B C D 2 2 ' 1 1 1 , ' ' , 2 2 DE h ADE ABC k h BC DE k BC h kh ADE DE h k BC h k ABC                   2 3 k (5 x).   

2 6 DECF x  _的面積   E F A B C D 2 ' ' 1 1 1 ' ' ' 1 1 ( ) ( ) (1 ) 1 1 ( ') (1 ) (1 ) (1 ) , 2 2 DE h BC DE h h h ADE DBF h h h h k BF DE k k BF DE k BC k BC k k DBF BF h h k BC h k k ABC                                 2 2 (1 k) (5 x).     _{3  k}2_{(5  x),}  2 2 2 2 2 2 (1 ) 3 3 _{5 2 6} 3 5 5 2 6 2 6 k k k x x k             

4.

為六

位數，

_{則只知全部的數字都是 4 ，}

若 能被 整除，試問 至少有多

少個 4 ？

Ans:16

a

333333,

444 4,

a



b





b

a

b

b

( 參考解答 ) 令 1. 若 則 不可能整除 2. 若 則 不可能整除 3. 若 則 n = 444 444 6. b _{}  n 個

6,

n



_{a  333333 3 111111 }

4444444 4 111111.

b



 

12,

n



a  333333 3 111111  6 6 12 4 = 444 444 4 [ 10 ] [10 1] 3 3 3 a a a b _{}       個

18,

n



12 6 12 6 18 4 = 444 444 4 [ 10 10 ] [10 10 1] 3 3 3 3 a a a a b _{}          個

12 6 12 6

(10

10

1) 3

[10

10

1]

4

3

b

a

b

a









 







是 是是是

是是

是是是

創意單元：綁鞋帶方式

•教學單元：平方根

教學目標：理解勾股定理的應用

及鏡射概念

思考題：

已知正方形邊長為 1 ，試求

圖形 EFMN 的面積。

F E M N C B A _D

參考解法

F E M N C B A _D

3. 如右圖一，為一個邊長為 3 的正方形，且每一 個小方格也都是正方形；試求： 之值。   (A) (B) (C) (D) • Ans:(D)

由圖形觀察得知

正好是

故

圖一 4 3 2 1       o 135 150o 165o ₁₈₀o

1 45

3,

 

  

2

4

  

90

1

2

3

4 180

       



從一道數學題目談起

• 如圖，試求 的

度數。







參考解答一

_{( 利用三角函數 )}

1 1 tan , tan 2 3     1 1 tan tan _{2 3} tan( ) 1 1 1 1 tan tan _{1 .} 2 3               _

4



 

  

90

  

   



參考解答二

_{: 圖解法 (Proof Without}

Words)