國中數學2 5 2解一元一次不等式

12  392  Download (0)

全文

(1)

5−2 解一元一次不等式

一、不等式的運算規則:把一個一元一次不等式所有的解找出來的過程就稱為解一元一次不等式。 ◎不等式的加減運算規則: 在不等號的兩邊同加或同減一數,不等號兩邊的大小關係不變。 若 a>b,則(1) a+c>b+c。 (2) a-c>b-c。 例如:若5>-2,則(1) 5+3>(-2)+3。 (2) 5-3>(-2)-3。 【說明】在數線上愈右邊的點所表示的數愈大,所以由下圖可知 a>b。

b

a

同時將 a、b 都往右移 2 個單位,如下圖所示,可得 a+2>b+2。

b

b+2

a

a+2 同時將 a、b 都往左移 3 個單位,如下圖所示,可得 a-3>b-3。

b

a-3

a

b-3

練習1:在空格中填入正確的不等號。 (1)若 x>5,則 x+2 5+2。 (2)若 x+3<-9,則(x+3)+(-1) -9+(-1)。 (3)若 2x-7 ≥ 11,則(2x-7)-3 11-3。 ◎不等式的乘除運算規則: (1)在不等號的兩邊同乘或同除以一個正數,不等號兩邊的大小關係不變。 若 a>b 且 c>0,則○1 ac>bc。 2 a÷c>b÷c。 (2)在不等號的兩邊同乘或同除以一個負數,不等號兩邊的大小關係改變,即原來大的一邊會變小, 原來小的一邊會變大。 若 a>b 且 c<0,則○1 ac<bc。 2 a÷c<b÷c。 例如:若 6>1,則(1) 6×3>1×3,6÷3>1÷3。 (2) 6×(-3)<1×(-3),6÷(-3)<1÷(-3)。 【說明】(1)討論不等號的兩邊同乘以正數時,不等號兩邊的大小關係: 不等號兩邊同乘以3 不等式 不等號左邊 不等號 不等號右邊 不等號的方向 (填不變或改變) 9>5 27 > 15 不變 -4<-2 -12 < -6 不變

(2)

(2)討論不等號的兩邊同乘以負數時,不等號兩邊的大小關係 不等號兩邊同乘以-2 不等式 不等號左邊 不等號 不等號右邊 不等號的方向 (填不變或改變) 9>5 -18 < -10 改變 -4<-2 8 > 4 改變 0>-7 0 < 14 改變 可知在不等號的兩邊同乘以一個負數,結果不等號的方向會改變,得到不等式的 乘法運算規則(乘數為負):如果 a>b 且 c<0,那麼 ac<bc。 也可以推導出除數為負數的除法運算規則:如果 a>b 且 c<0,那麼 a÷c<b÷c。 練習2:在空格中填入正確的不等號。 (1)已知 12 x<8,在不等號兩邊同乘以 2,可得 x 16。 (2)已知 3x>7,在不等號兩邊同除以 3,可得 x 73 。 練習3:在空格中填入正確的不等號。 (1)已知-x>6,在不等號兩邊同乘以(-1),可得 x -6。 (2)已知-3x<8,在不等號兩邊同除以(-3),可得 x - 83 。 練習4:解一元一次不等式 x+5>7。(Hint:等量公理) 練習5:解下列各一元一次不等式。(1) x+3 ≥ 8。 (2)x+6<9。 練習6:解一元一次不等式 x・(-2)>6。 練習7:解下列各一元一次不等式。(1) 12 x>-4。 (2)-5x ≤ 7。 【觀念釐清】(1)把某數移到不等號的另一邊,且加變減、減變加、乘變除、除變乘的一種解一元一次 不等式的方法,稱為移項法則。 (2)與解一元一次方程式不同的是在乘或除以負數時,不等式的大小關係會改變。

(3)

練習8:解一元一次不等式 2x+4<6。 練習9:解下列各一元一次不等式。(1) 4x-5 ≥ 11。 (2)34<5x-6。 練習10:解一元一次不等式 4x+3>-x+8。 練習11:解下列各一元一次不等式。(1) 7x-5<4x+1。 (2)-3x+1 ≥ 2x-4。 練習12:解一元一次不等式-4x-29 ≥ 3(3x-1)。 練習13:解下列各一元一次不等式。(1) 3x-5 ≤ -2(2x-3)。 (2) 2(1-5x)<5-11x。 練習14:解一元一次不等式 x-53 ≤-x+52 ,並在數線上圖示其解。 練習15:解一元一次不等式 3x-46 ≤ 34 x+ 13 ,並在數線上圖示其解。 練習16:解一元一次不等式 2x+3<-1<2-x,並在數線上圖示其解。(Hint:取交集)

(4)

練習17:解一元一次不等式 5x-4>3 ≥ 1-x,並在數線上圖示其解。 練習18:解一元一次不等式-4 ≤ 3x-1 ≤ 8,並在數線上圖示其解。 練習19:解一元一次不等式 13<-2x-7<41,並在數線上圖示其解。 練習20:已知-4 ≤ x<2,且一次函數 y=5-x,求 y 值的範圍,並在數線上圖示。 練習21:已知-4 ≤ x<2,且一次函數 y=2x-3,求 y 值的範圍,並在數線上圖示。 二、應用問題:利用不等式來解決日常生活中的問題時,必須考慮答案的合理性。 練習22:意軒現有存款 5000 元,不足購買一臺價值 18000 元的筆記型電腦,他決定從今天開始每天 存 400 元,則至少需要存幾天他才有足夠的錢買這臺筆記型電腦? 練習23:若小靖原有存款 3000 元,每天花 35 元買早餐,則第幾天後他的存款會少於原來的一半?

(5)

練習24:子翎為了慶祝暑假即將到來,跟朋友們一起去 KTV。已知某包廂前 2 小時收費 300 元, 之後每增加 1 小時多收 100 元,未滿 1 小時以 1 小時計算。若子翎跟朋友們唱了 x 小時, 共付包廂費 700 元,那麼 x 的範圍為何? 練習25:承練習 24,若騰瑋跟同學也去 KTV,唱了 y 小時,付了 900 元,那麼 y 的範圍為何? 練習26:廣告公司招募新員工,安排兩階段的考試測驗,其中第二階段共 25 題,答對一題得 3 分, 答錯一題扣 2 分,不作答得 0 分。已知浩浩在第一階段得 80 分,且第二階段答對了 20 題。 (1)若以 x 表示浩浩第二階段答錯的題數,則浩浩兩階段的總分如何表示? (2)承上題,浩浩兩階段的總分最少是幾分? 練習27:承練習 26,已知小萱在第一階段得 30 分,且第二階段只答對了 10 題。 (1)若以 y 表示小萱第二階段答錯的題數,則小萱兩階段的總分如何表示? (2)承上題,小萱兩階段的總分最高是幾分? 自我評量 1. 解下列各不等式,並在數線上畫出其解。 (1) -5(x+2)<8+x (2) x-32 > 3x+54 (3) x+7 ≤ 4<5-2x (4) -11 ≤ 2x-3<7

(6)

2. 已知 1 ≤ x ≤ 5, (1)若一次函數 f(x)=y=-3x-2,求 f(x)的範圍。 (2)若一次函數 g(x)=y= 12 (x+3),求 g(x)的範圍。 3. 某城市的計程車資規定如下:上車起跳價為 70 元,走了若干公尺後開始跳表,每跳一次表加 5 元。 如果小艾坐計程車除了起跳價70 元之外,還跳了 x 次表,下車時付 200 元還可以找錢。則小艾坐 這趟計程車最多跳了幾次表? 4. 右圖是測量玻璃珠體積的過程: 步驟一:將300cc 的水裝進一個容量為 450cc 的杯子中。 步驟二:將三顆相同的玻璃珠放入杯中,結果水沒有滿。 步驟三:再將兩顆同樣的玻璃珠及一體積為20 立方公分 的鐵塊放入杯中,結果水滿溢出。 若一顆玻璃珠的體積為 x 立方公分,那麼 x 的範圍為何? (1cc=1 立方公分) 習作 1. 如果-2x+2<5,在下面的空格處填入正確的不等號。 (1) (-2x+2)-2 5-2 (2) -x+1 52 (3) x-1 - 52 (4) 4x-4 -10 2. 解下列各一元一次不等式,並在數線上畫出其解。 (1) 9x+6>5x-4 (2) -12 x+23 ≥ -13 x-23 (3) (2x+3)-(x-1)>3(x+4)-(x+3) (4) 5-(x-3)42-(2x+1)3 (5) -3 ≤ -3(x-1)<9 (6) 1-x2 <-12 ≤ x 步驟一 步驟二 步驟三

(7)

3. 已知-2<x ≤ 4,且一次函數 y=1-5x,則 y 值的範圍為何?

4. 某項測驗中,選擇題每題 4 分,填充題每格 5 分。若小馬選擇題答對 x 題,填充題答對 12 格,且

總分不低於85 分,則小馬這次測驗的選擇題至少答對幾題?

5. 有 A、B、C 三種包裝的餅乾,A 重 47 公克,B 重 50 公克。已知「A 和 C 重量和的 2 倍」比 「B 的 3 倍」重,但比「B 的 4 倍」輕,若 C 重 x 公克,那麼 x 的範圍為何? 6. 數線上有相異三個點 A、B、C,分別表示(3x+1)、(5x-1)、42 三個數,已知 A、B、C 的相對位置 如下圖所示,則 A B C 3x+1 5x-1 42 (1) x 的範圍為何? (2)承(1),若 x 為正整數,則 x 最大是多少?

(8)

7. 如右圖,長方形 ABCD 中, AB =5, AD =8,今有一動點 P 在 BC 上, 使得三角形 ABP 的面積不大於梯形 APCD 面積的一半,若 PC =x,則 (1)三角形 ABP 的面積可以 x 表示為 。 (2)梯形 APCD 面積的一半可以 x 表示為 。 (3)依題意「三角形 ABP 的面積不大於梯形 APCD 面積的一半」,可列出 一元一次不等式為 。 (4)解出 x 的範圍為 。 類題補充 1. 已知- 12 x+ 13 ≥ - 13 x-1,則 x 的範圍為何? 2. 已知-4<x ≤ 7,且 A=1-3x,B=2x-5,則 A 的範圍為 ,B 的範圍為 。 3. 解不等式 2 ≥-(x-2)3 >2x+3。 4. 設點 P(2a-12 , -3a+9)在坐標平面上的第三象限內,則 a 的範圍為何? 5. 若 a>0,則 a 和 a2的大小關係為何?

(A) a<a2 (B) a>a2 (C) a=a2 (D) a 和 a2的大小無法判定。

A D

(9)

6. 設-1<x<2,若 P=12 (3x+8),且 P 為整數,則 P 的解有幾個?

7. 若 x 是一個整數,且滿足 7x-25≦3x-1<5x+13,則 x 的解有幾個?

8. 影印店規定:影印 1 張 1 元,影印 500 張以上打八五折,如果孟潔要影印的不足 500 張,但她發現

印500 張比較便宜,那麼孟潔至少印幾張以上?

9. 有兩數 a、b,已知-1<a<0<1<b,則下列哪些選項一定正確? (A) a+b<0 (B) a2-b2<0 (C) -a>-b (D) -1

a> 1 b (E) - b a>1。 10. 不等式 7(2x-4)-5(3x+2)≦-19 的解中,最小的整數為 。 11. 設-3<x≦5,若 k=x2-3,則 k 值的範圍為 。 12. 已知-3 ≤ a ≤ 1 且-5 ≤ b ≤ -2,若 Q=a2 +b2,則 Q 的範圍為 。

(10)

13. 花輪帶了兩大包糖果來學校請同學吃。已知每包糖果有 100 顆,他先發給每位同學每人 5 顆, 結果第一包發光了,第二包只用了一些,於是他又發給每位同學每人3 顆,最後第二包剩下的 糖果超過7 顆。若花輪的同學最多有 a 人,最少有 b 人,則 a+b= 。 14. 電影院門票每張 240 元,若人數達 40 人,則可買每張 200 元的團體票。今某團體人數不足 40 人, 但發現買40 張團體票比依實際人數買票還便宜,則這個團體最少有多少人? 15. 若 3.2x<5,則 80+320x< 。 16. 若 a 是正整數,且 13<6a<34,則 a 的個數有 個。 17. 一元一次不等式 ax-3>2x+5 的解為 x<-2,則 a 值為何? 18. 若 a<0,則 x 的不等式 5ax>-3a 的解為下列何者? (A) x<- 35 (B) x>- 35 (C) x> 35 (D) x< 35 。 19. 科工館舉行「達文西特展」,每張全票 200 元,20 人以上(含)才可購買團體票,團體票票價為全票 打75 折。今某旅行團員共有超過 15 人、未滿 20 人前往,均需購買全票,若直接購買 20 張團體票 (剩餘票不另轉售),則最多可省下 元。

(11)

加強練習

1. 本次的數學小考,選擇題每題 3 分,填充題每格 5 分。若小孟答對 x 題選擇題、13 格填充題,且

總分不低於85 分,則小孟這次小考至少答對幾題選擇題? (A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 10。

2. 如果 a>0>b,則下列何者錯誤?

(A) a+2>b+2 (B) 2a>2b (C) -2a>-2b (D) -2+a>-2+b。 3. 如果 A+B=2C 且 B>A,則下列何者一定正確?

(A) C<B (B) C<A (C)|A-C|>|B-C| (D)|A-C|<|B-C|。

4. 某段隧道全長 5 公里,有一輛汽車以每小時 60 公里到 80 公里之間的速率通過該隧道。下列何者 可能是該車通過隧道所用的時間? (A) 8 分鐘 (B) 6 分鐘 (C) 4 分鐘 (D) 2 分鐘。

5. 已知 a+b<0、ab>0,且∣a∣>∣b∣,則 a b。(填>、<或=)

6. 田園國中新生入學預定招收 x 班,已知報到人數介於 420~450 人之間,若 32 人編成 1 班,則

20 人無法編入,則 x 之值為 。

7. 若 a、b 同時滿足(1) ab<0;(2) a(b+1)>0,那麼 b 的範圍為何?

8. 若 a>b,則下列何者一定成立? (A) a2>b2 (B) a2<b2 (C) a-b>0 (D) ab>0。 9. 若 a+3=b-1=c+5,則 a、b、c 三數的大小關係為何?

(A) a>c>b (B) b>a>c (C) a>b>c (D) c>b>c。 10. 若 a-b>c-b>a-c,則 a、b、c 三數的大小關係為何?

(A) a>b>c (B) a>c>b (C) c>a>b (D) b>c>a。

11. 已知滿足-7≦x<a 的整數 x 有 17 個,則 a 可以是下列哪一個數? (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12。

12. 已知 x>a,y>b,則下列何者錯誤?

(A) y-2>b-3 (B) x+y>a+b (C) x-2>a-3 (D) x+3>a+4。 13. 解下列各一元一次不等式: (1) 2<-3x-14 ≦5 (2) 2x-1>7>-10+3x (3) -5(x-2)<3(8-x)<-2(5x-8)+8 14. 有一個二位數,其個位數與十位數的數字和為 13,且其值不大於 67,則這樣的二位數總共有幾個? 15. 已知-2<p<1;-3<q<-2,若 2p-3q=k,則 k 的範圍為 。 16. 設 x 為整數,且-1≦x<5,則 4x-6>x 的解共有 個。 17. 大雄騎腳踏車到外婆家玩,去的時候平均時速為 8 公里,回來的平均時速為 4 公里,如果大雄騎車 往返的時間加起來不超過50 分鐘,則大雄家與外婆家的距離最多 公里。 18. 在坐標平面上,若點(3a-15 , -6a+24)在第二象限,則 a 的範圍為何? 19. 解聯立不等式 4x-1x2+1>0 且 5x-11<0。 20. 若 x=2 是不等式 13x-a ≥ 31 的一個解,則 a 可能為下列何值? (A)-6 (B)-1 (C) 1 (D) 5。 21. 小銘騎機車從家中到學校,離家後起初的 6 公里,因較為塞車,故平均時速為 30 公里/小時,而 超過6 公里以後,平均時速可提升至 50 公里/小時,且他每天到校所花的時間不超過 30 分鐘, 則他家離學校最遠為 公里。

(12)

Ans:1.(B);2.(C);3.(A);4.(C);5.<;6. 13;7.-1<b<0;8.(C);9.(B);10.(B);11.(B);12.(D); 13.(1)-3>x≧-7,(2) 4<x<173 ,(3)-7<x<0;14. 3 個;15.2< <k 11;16. 2;17.20

9 ;

18. a<4;19. 14<x<115 ;20.(A);21. 21。 心得筆記

數據

Updating...

參考文獻

Updating...