高二下第二次學藝競試數學題庫(40)

(1)

CH 1

1. 右圖中﹐ABCD - EFGH 是一個正立方體﹒問下列哪些直線與平面 ACGE 垂直﹖

(1)直線 AB　(2)直線 BF　(3)直線 CG　(4)直線 DB　(5)直線 EB﹒ 　解答　 4 解析 (1)因為直線 AB 與直線 AC 不垂直﹐所以直線 AB 與平面 ACGE 不垂直﹒ (2)因為直線 BF 與直線 AE 平行﹐所以直線 BF 與平面 ACGE 不垂直﹒ (3)因為直線 CG 在平面 ACGE 上﹐所以直線 CG 與平面 ACGE 不垂直﹒ (4)因為直線 DB 與直線 AC 為正方形 ABCD 的兩對角線﹐互相垂直﹐ 又直線 DB 與正方形 ABCD 和 EFGH 的中心連線 PQ 也垂直﹐ 所以直線 DB 與平面 ACGE 垂直﹐如下圖所示﹒ (5)因為直線 EB 與直線 AE 不垂直﹐所以直線 EB 與平面 ACGE 不垂直﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(4)﹒ 2. 設 A(1,1,2)﹐B(2,1,1)﹐C(3,4,a)為坐標空間中三點﹒問 a 為下列哪一個選項時﹐ △ABC的面積最接近 5﹖　(1)a = 1　(2)a = 3　(3)a = 5　(4)a = 7　(5)a = 9﹒

　解答　 5 解析因為AB



=(1,0, 1)- ﹐AC



=(2,3,a-2)﹐所以 △ABC的面積為 2 1_| _| 1_{| (3,} _{,3) |} 1 ₁₈ 2 AB AC

 

 =2 -a =2 a _﹒ 因為 10 100 5 2 2 = = ﹐又將各個 a 值代入 2 1 18 2 a _﹐分別得 (1) a = 1﹐DABC = 19 2 _﹐₍₂₎_a_{= 3﹐DABC =} 27 2 _﹐₍₃₎_a_{= 5﹐DABC =} 43 2 _﹐ (4) a = 7﹐DABC = 67 2 _﹐₍₅₎_a_{= 9﹐DABC =} 99 2 _﹐ 故使得△ABC 的面積最接近 5 的 a 值為 9﹐即正確的選項為(5)﹒ 3. 坐標空間中﹐下列哪一點與原點的距離最大﹖　 (1)(1,2,3)　(2)(1,0,5)　(3)(2,2,2)　(4)(1, - 1,4)　(5)(0,3,3)﹒ 　解答　 2 解析各點與原點的距離分別為﹕ (1) (1 0)- 2(2 0)- 2 -(3 0)2 = 14﹒ (2) (1 0)- 2 -(0 0)2 -(5 0)2 = 26﹒ (3) (2 0)- 2(2 0)- 2(2 0)- 2 = 12﹒ (4) (1 0)- 2 - -(( 1) 0)2(4 0)- 2 = 18﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(2)

(5) (0 0)- 2 -(3 0)2 -(3 0)2 = 18﹒ 因為最大值為 26﹐所以正確的選項為(2)﹒ 4. 右圖中﹐ABCD - EFGH 是一個長方體﹐關於此長方體﹐選出正確的選項﹕　 (1)直線 AB 與直線 EF 平行　(2)直線 DH 與直線 BF 平行　 (3)直線 FG 與直線 AB 歪斜 (4)直線 FH 與直線 BD 歪斜　 (5)直線 AG 與直線 BH 歪斜﹒ 　解答　 123 解析 (4)直線 FH 與直線 BD 平行﹒ (5)直線 AG 與直線 BH 交於一點﹒ 其餘選項均為正確﹐故正確的選項為(1)(2)(3)﹒ 5. 關於空間中的敘述﹐選出正確的選項﹕　 (1)過已知直線外一點﹐「恰有」一個平面與此直線垂直　 (2)過已知直線外一點﹐「恰有」一個平面與此直線平行　 (3)過已知平面外一點﹐「恰有」一個直線與此平面平行　 (4)過已知平面外一點﹐「恰有」一個平面與此平面垂直　 (5)過已知平面外一點﹐「恰有」一個平面與此平面平行﹒ 　解答　 15 解析 (2)不只一個平面與此直線平行﹒ (3)不只一條直線與此平面平行﹒ (4)不只一個平面與此平面垂直﹒ 其餘的選項均是正確的﹐故正確的選項為(1)(5)﹒ 6. 關於空間中的敘述﹐選出正確的選項﹕　 (1)同時與一直線垂直的兩相異直線必互相平行　 (2)同時與一平面垂直的兩相異直線必互相平行　 (3)同時與一直線平行的兩相異直線必互相平行　 (4)同時與一平面平行的兩相異直線必互相平行﹒ 　解答　 23 解析 (1)此兩直線可能交於一點﹑互相平行或為歪斜線 (4)此兩直線可能交於一點﹑互相平行或為歪斜線故選(2)(3)﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(3)

(4)

7. 關於空間中的敘述﹐選出正確的選項﹕　 (1)兩平行直線必落在同一個平面上　 (2)兩相交直線必落在同一個平面上　 (3)不在同一平面上的兩直線必互為歪斜線　 (4)若三直線兩兩相交於一點﹐且此三交點相異則此三直線必然落在同一平面上﹒ 　解答　 1234 解析 (3)空間中不共平面的兩直線就稱為歪斜線 (4)當三直線兩兩恰相交於一點時﹐利用不共線三點恰好決定一個平面﹐ 可知此三直線必然落在同一平面上 (1)(2)亦為正確的選項﹐故選(1)(2)(3)(4)﹒ 8. 在空間中﹐下列哪些點可與 A(1,2,3)﹐B(2,5,3)﹐C(2,6,4)三點構成一平行四邊形﹖　 (1)( - 1, - 5, - 2)　(2)(1,1,2)　(3)(1,3,4)　(4)(3,7,6)　(5)(3,9,4)﹒ 　解答　 235 解析由下圖可知有 3 種可能﹕ 設 O(0,0,0)﹐ 1 (1, 2,3) (0, 1, 1) (1,1,2) OD

  

=OA CB =  - - = _﹐ 2 (1,2,3) (0,1,1) (1,3, 4) OD

  

=OA BC =  = _﹐ 3 (2,6,4) (1,3,0) (3,9,4) OD

  

=OCAB=  = _﹒ 故正確的選項為(2)(3)(5)﹒ 9. 下列哪些向量與 a

 

 b 垂直﹖　(1) a



　(2) 3 a



(3) a

 

- b 　(4) 5

 

b -4 a 　(5) b

 

 a ﹒ 　解答　 1234 解析因為

 

a b 與



a ﹐



b 均垂直﹐所以所有由



a 與



b 的線性組合所表示的向量均與

 

a b 垂直又

   

b a = -(a  b )﹐和

 

a b 平行﹒ 故由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒ 10. 右圖是一個正六面體﹐下列哪些向量和 AD



的內積等於 0﹖　 (1) AB



　(2) AC



　(3) AD



　(4) AE



　(5) AF



﹒ 　解答　 145 解析只有和AD



_{垂直的向量﹐和}AD



_{的內積才等於 0﹒} 由圖可知﹕AB



_﹐AE



_﹐AF



_和AD



_垂直﹒ 因此正確的選項為(1)(4)(5)﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(5)

11. .右圖 中﹐ABCD - EFGH 是一個正立方體﹐下列哪些線段與AG共平面﹖　 (1) AH 　(2)BC　(3)CE　(4) DH 　(5) EF ﹒ 　解答　 13 解析 (1)因為AH_與AG_{相交於 A 點﹐所以由 A﹐G﹐H 三點在同一平面上﹐} 可得AH _與AG_共平面﹒ (2)因為BC與AG互相歪斜﹐所以不共平面﹒ (3)因為CE與AG相交於一點﹐所以共平面﹒ (4)因為DH_與AG_{互相歪斜﹐所以不共平面﹒} (5)因為EF_與AG_{互相歪斜﹐所以不共平面﹒} 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(3)﹒ 12. 下列哪些三階行列式的值為 0﹖　 (1) 0 1 2 1 0 3 2 3 0 -- - ₍₂₎ 4 6 8 6 8 10 8 10 12 　(3) 1 8 7 2 9 6 3 4 5 　(4) 1 3 7 1 3 7 1 3 7 a a b b c c    ₍₅₎ a b b c c a a b c b c a    ﹒ 　解答　 1245 解析 (1) 0 1 2 1 0 3 0 ( 6) 6 0 0 0 0 2 3 0 - =  -  - - - = - -﹒ (2) 4 6 8 4 6 8 6 8 10 2 2 2 0 8 10 12 2 2 2 = = ﹒ (3) 1 8 7 1 8 7 7 8 2 9 6 0 7 8 112 160 48 0 20 16 3 4 5 0 20 16 = - - = = - = -  - -﹒ (4) 1 3 7 1 7 1 1 3 7 3 1 7 3 1 3 0 0 1 3 7 1 7 1 a a a a a a b b b b b b c c c c c c    =  = =  =   _﹒ (5) 0 a b b c c a b c a a b c a b c b c a b c a    = = ﹒ 由上面的算式可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)(5)﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(6)

13. 設 a



_{﹐ b}



_{是空間中二個不平行的非零向量﹐且非零向量 n}



_{滿足 n}

 

 a _{﹐ n}

 

 b _﹒ 選出正確的選項﹕　 (1) 3

  

a (a b )　(2)

  

b (b a ) 0= 　(3)

    

a b - b a = 0 　 (4)

  

n =t a(  b )﹐t 是一個實數　(5) 3

   

a 4 b =s a(  b )﹐s 是一個實數﹒ 　解答　 124 解析 (1)因為

  

a (a b )﹐所以3

  

a (a b )﹒ (2)因為

  

b (b a )﹐所以

  

b(b a ) 0= ﹒ (3)因為

   

b a = -(a  b )﹐所以

      

a b - b  a =2(a  b ) 0 ﹒ (4)因為(

  

a b ) a ﹐(

  

a b ) b ﹐所以

  

n//(a  b )﹐ 　即

  

n =t a(  b )﹐t 是一個實數﹒ (5)因為(3

 

a 4 b )與(

 

a  b )垂直﹐而非平行﹐所以3

 

a 4 b 不能表示成(

 

a  b )的係數積﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4)﹒ 14. 右圖是坐標空間中的一個正立方體﹐選出正確的選項﹕　 (1)E點的坐標為(2,2,2)　(2)DC



= -( 2,2, 2)- 　(3)|OE



| 2 3= 　 (4) DG

 

GC　(5) BD



和 BG



的夾角為 45°﹒ 　解答　 1234 解析由 A 點的坐標可知此正立方體的邊長為 2﹒ (1)E點的坐標為(2,2,2)是正確的﹒ (2)D點的坐標為(2,0,2)﹐C 點的坐標為(0,2,0)﹐故DC



= -( 2, 2, 2)- 是正確的﹒ (3)因為 E 的點坐標為(2,2,2)﹐所以|OE



|= 222222 =2 3是正確的﹒ (4)因為DG



= -( 2,0,0)﹐GC



=(0,2, 2)- ﹐計算DG GC

 

 =0﹐ 　所以DG GC

 

 是正確的﹒ (5)因為BD



=(0, 2,2)- ﹐BG



= - -( 2, 2,2)﹐計算BD BG

 

 =8﹐ 　得兩向量之夾角q 的餘弦值為　 8 2 2 cos cos 45 2 2 2 2 3 6 | || | BD BG BD BG q=  = =  = ° 

 

_﹐ 　所以BD



_和BG



_{的夾角不是 45°﹒} 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(7)

15. 右圖是一個長方體﹐下列哪些直線與直線 AB 歪斜﹖　 (1)直線 CD　(2)直線 CG　(3)直線 CH　(4)直線 AG　(5)直線 HG﹒ 　解答　 23 解析 (1)直線 CD 與直線 AB 平行﹒ (2)直線 CG 與直線 AB 歪斜﹒ (3)直線 CH 與直線 AB 歪斜﹒ (4)直線 AG 與直線 AB 交於 A 點﹒ (5)直線 HG 與直線 AB 平行﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(2)(3)﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(8)

CH 2

1. 設直線 L 的方程式為 2 1 1 3 1 2 x- ₌ y ₌z -- _{﹐則下列哪一個平面與 L 平行﹖} (1)2x - y  z = 1　(2)x  y - z = 2　(3)3x - y  2z = 1　(4)3x  2y  z = 2　(5)x - 3y  z = 1﹒ 　解答　 2 解析若平面與直線平行﹐則平面的法向量將與直線的方向向量垂直﹐ 且直線上的點均不在平面上﹒ 由直線 2 1 1 : 3 1 2 x y z L - =  = -- _可知﹕ L的方向向量為(3, - 1,2)﹐L 上一定點(2, - 1,1)﹒ (1)因為 2x - y  z = 1 的法向量為(2, - 1,1)﹐ 　又(2, - 1,1)･(3, - 1,2) = 9  0﹐所以平面與直線不平行﹒ (2)因為 x  y - z = 2 的法向量為(1,1, - 1)﹐又(1,1, - 1)･(3, - 1,2) = 0﹐ 　所以平面與直線可能平行﹐將定點(2, - 1,1)代入 x  y - z = 2﹐ 　得 2  ( - 1) - 1 = 0  2﹐因此定點不在平面上﹐即平面與直線平行﹒ (3)因為 3x - y  2z = 1 的法向量為(3, - 1,2)﹐又(3, - 1,2)･(3, - 1,2) = 14  0﹐ 　所以平面與直線不平行﹒ (4)因為 3x  2y  z = 2 的法向量為(3,2,1)﹐又(3,2,1)･(3, - 1,2) = 9  0﹐ 　所以平面與直線不平行﹒ (5)因為 x - 3y  z = 1 的法向量為(1, - 3,1)﹐又(1, - 3,1)･(3, - 1,2) = 8  0﹐ 　所以平面與直線不平行﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(2)﹒ 2. 設 L 為兩平面 3x  2y  z = 4 和 x  2y  2z = 4 的交線﹒下列哪一條直線與 L 平行﹖　 (1) 3 2 1 x _{= =}y z 　(2) 1 1 1 1 2 2 x- ₌ y- ₌ z -　(3) 1 1 4 1 5 x ₌ y ₌z -- (4) 2 5 4 x ₌ y ₌ z - ₍₅₎ 1 2 3 2 2 2 x ₌ y ₌ z - _﹒ 　解答　 4 解析因為 L 的方向向量



v 與兩平面的法向量均垂直﹐ 所以



v //(3,2,1) (1,2, 2) (2, 5,4) = - ﹒ 所有選項中﹐僅選項(4)2 5 4 x ₌ y ₌ z - _{的方向向量與(2, - 5,4)平行﹐} 又2 5 4 x ₌ y ₌ z - _{上一點(0,0,0)並不在 3x  2y  z = 4 上﹐因此 L 與}2 5 4 x ₌ y ₌ z - _平行﹒ 故正確的選項為(4)﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(9)

3. 下列 哪個 a 的值﹐使得平面 E1：x - 2y  z = 1﹐E2：2x - 3y - z = 2﹐E3：x - 3y  az = 4

兩兩相交於一直線﹐但沒有共同的交點？　 (1)a = 1　(2)a = 2　(3)a = 3　(4)a = 4　(5)a = 5﹒

　解答　 4 解析【解一】 因為三平面 E1﹐E2﹐E3的法向量



n1 = -(1, 2,1)﹐



n2 =(2, 3, 1)- - ﹐



n3 = -(1, 3, )a 均不互相平行﹐ 所以將三平面的方程式聯立起來並編號為 2 1 2 3 2 3 4 x y z x y z x y az -  =   _- _{- =}   -  =  j k l_﹐ 因為三平面兩兩相交於一直線﹐但沒有共同的交點﹐所以方程組無解﹒ 利用加減消去法﹐由 -  2 及 - 消去 x﹐得 2 1 3 0 ( 1) 3 x y z y z y a z -  =   _- ₌   -  - =  j m n_﹐ 再由  消去 y﹐得 2 1 3 0 ( 4) 3 x y z y z a z -  =   _- ₌   _- ₌  j m o_﹒ 因為當 a - 4 = 0﹐即 a = 4 時﹐式為 0 = 3﹐表示聯立方程式無解﹒ 故正確的選項為(4)﹒ _【解二】因為三平面兩兩相交於一直線﹐但沒有共同的交點﹐ 表示將三平面的方程式聯立起來的聯立方程式 2 1 2 3 2 3 4 x y z x y z x y az -  =   _- _- ₌   _- _ ₌  _{無解﹐所以}D =0_﹒ 計算 1 2 1 2 3 1 3 2 6 3 ( 4 ) ( 3) 4 1 3 a a a a -D = - - = -  - - - - = -﹒ 由 a - 4 = 0﹐解得 a = 4﹒ 故正確的選項為(4)﹒ 4. 下列哪一個選項是直線 L： 2 3 5 1 2 3 x- ₌ y ₌ z 和平面 E：x  y  z = 6 的交點﹖　 (1)(2,2,2)　(2)(3,2,1)　(3)(1,2,3)　(4)( - 3,2,7)　(5)(4,1,1)﹒ 　解答　 5 解析由 L： 2 3 5 1 2 3 x- ₌ y ₌ z 可得 L 上的點坐標為(2  t, - 3  2t, - 5  3t)﹐t 為實數﹐ 將其代入 E：x  y  z = 6﹐得 6t = 12﹐解得 t = 2﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(10)

因此交點為(4,1,1)﹒ 故正確的選項為(5)﹒ 5. 下圖（其中 E1與 E2平行）可能是下列哪一個聯立方程式的圖形﹖　 (1) 1 1 1 x y z =   =   =  ₍₂₎ 1 1 1 x y y z z x  =    =    =  ₍₃₎ 1 2 3 x y y z z x - =   - =   - =  ₍₄₎ 3 4 5 x y z y z x z x y  - =    - =   - - =  ₍₅₎ 3 2 4 2 3 4 4 x y z y z x x y z   =     =     =  _﹒ 　解答　 4 解析 (1)三個平面均無任二平面平行﹐且交於點(1 , 1 , 1)﹒ (2)三個平面均無任二平面平行﹒ (3)三個平面均無任二平面平行﹒ (4)將 3 4 5 x y z y z x z x y  - =    - =   - - =  _改成 3 4 5 x y z x y z x y z  - =   = -   = -  ‚ ƒ _﹐ 可知與是兩個平行平面﹐ 　而且﹐與平面均交於一直線﹒ (5)三個平面中無任二平面平行﹒ 由上面的討論可知﹕可能的選項為(4)﹒ 6. 下列哪一個平面包含 z 軸﹖　(1)x = 3　(2)z = 3　(3)x  y = 0　(4)x - z = 4　(5)x  y  z = 2﹒ 　解答　 3 解析因為 z 軸上的點可表示為(0 , 0 , t)﹐t 是實數﹐所以將(0 , 0 , t)代入各方程式﹐ 得(1)0 = 3﹐　(2)t = 3﹐　(3)0 = 0﹐　(4) - t = 4﹐　(5)t = 2﹒ 僅(3)為恆等式﹐因此正確的選項為(3)﹒ 7. 已知坐標空間中兩相異平面 E1﹐E2皆通過 A( - 1,2,0)與 B(3,0,2)兩點﹐ 試問以下哪些點也同時在此二平面上﹖　 (1)(2,2,2)　(2)(1,1,1)　(3)(4, - 2,2)　(4)( - 3,3, - 1)　(5)( - 5, - 4, - 2)﹒ 　解答　 24 解析由題意知﹐平面 E1與 E2相交於直線 AB﹒ 因此直線 AB 上的每一點也同時在 E1﹐E2上﹒ 依序將選項中各點代入直線 AB 的方程式 1 2 2 1 1 x ₌ y- ₌ z - _﹐ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(11)

得知只有(1,1,1)及( - 3,3, - 1)在直線 AB 上﹒ 故正確的選項為(2)(4)﹒ 8. 考慮坐標空間中三平面 x  2y - 3z = 1﹐x  3y - 2z = - 1 及 x  by  cz = 1（b﹐c 為實數）﹐ 試問下列哪些敘述是正確的？　 (1)當 b = 1﹐c = 1 時﹐三平面沒有共同交點　 (2)當 b = - 1﹐c = 1 時﹐三平面恰交於一點　 (3)當 b = 4﹐c = - 1 時﹐三平面恰交於一點　 (4)當 b = 1﹐c = - 4 時﹐三平面恰交於一直線　 (5)當 b = 2﹐c = - 3 時﹐三平面恰交於一直線﹒ 　解答　 25 解析計算 1 2 3 1 3 2 5 1 c b b c -D = - = -  ﹒ (1)當 b = 1﹐c = 1 時﹐D = 5 0﹐三平面恰交於一點﹒ (2)當 b = - 1﹐c = 1 時﹐D = 7 0﹐三平面恰交於一點﹒ (3)當 b = 4﹐c = - 1 時﹐D =0﹐ 　將三平面的方程式聯立得 2 3 1 3 2 1 4 1 x y z x y z x y z  - =    = -   - =  _{﹐用加減消去法消去}x_﹐得 2 3 1 2 2 2 0 x y z y z y z  - =   _ ₌ -  _ ₌  _﹐ 　因此由聯立方程式可得三平面沒有交點﹒ (4)當 b = 1﹐c = - 4 時﹐D =0﹐ 　將三平面的方程式聯立得 2 3 1 3 2 1 4 1 x y z x y z x y z  - =    = -   - =  _{﹐用加減消去法消去}x_﹐得 2 3 1 2 0 x y z y z y z  - =   _ ₌ -  - - =  _﹐ 　因此由聯立方程式可得三平面沒有交點﹒ (5)當 b = 2﹐c = - 3 時﹐D =0﹐ 　將三平面的方程式聯立得 2 3 1 3 2 1 2 3 1 x y z x y z x y z  - =    = -   - =  _﹐ 　即 2 3 1 3 2 1 x y z x y z  - =    = - _{﹐是交於一直線的二平面﹐} 　因此三平面恰交於一直線﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(2)(5)﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(12)

9. 設聯立方程式 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 : 0 0 a x b y c z L a x b y c z a x b y c z   =   _ _ ₌   _ _ ₌  _{所表示的三平面互異﹐有一組解(1,2,3)﹒} 若聯立方程式 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 : a x b y c z d L a x b y c z d a x b y c z d   =       =  _ _ ₌  _{有一解(3,2,1)﹐則下列哪些選項為聯立方程式 L的解？} (1)(1,2,3)　(2)(5,6,7)　(3)(6,7,8)　(4)(2,0, - 2)　(5)(13,22,31)﹒ 　解答　 245 解析因為聯立方程式 L 中三個平面互異﹐且至少有兩個交點(0,0,0)與(1,2,3)﹐ 所以三平面交於一直線﹐且此直線的方向向量為



v =(1,2,3)﹒ 因為聯立方程式 L 有無限多組解﹐所以 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 a b c a b c a b c D = = ﹒ 於是聯立方程式 L不是無解就是無限多組解﹒但是因為(3,2,1)為L_{的一組解﹐} 所以 L有無限多組解﹒因此三平面交於一直線﹐且此線與



v =(1,2,3)平行﹒ 由直線的參數式﹐得三平面的交線參數式為 3 , 2 2 , 1 3 , x t y t z t =    =    =   _{（t 為實數）﹒} 將各選項代入檢查﹐得僅選項(2)(4)(5)的點在交線上﹒ 故正確的選項為(2)(4)(5)﹒ 10. 關於平面 E 3﹕ x - 2y  z = 4﹐選出正確的選項﹕　 (1)平面 x  y - z = 3 與 E 垂直　 (2)平面 3x  4y - z = 5 與 E 垂直　 (3)平面 x  3y  3z = 8 與 E 垂直　(4)平面 - 3x  2y - z = 6 與 E 平行　 (5)平面 75x  50y - 25z = 100 與 E 平行﹒ 　解答　 1234 解析 (3 , - 2 , 1)是平面 E 3﹕ x - 2y  z = 4 的一個法向量﹒ (1)因為 x  y - z = 3 的一個法向量為(1 , 1 , - 1)﹐又(1 , 1 , - 1)  (3 , - 2 , 1) = 0﹐ 　所以平面 x  y - z = 3 與 E 垂直﹒ (2)因為 3x  4y - z = 5 的一個法向量為(3 , 4 , - 1)﹐又(3 , 4 , - 1)  (3 , - 2 , 1) = 0﹐ 　所以平面 3x  4y - z = 5 與 E 垂直﹒ (3)因為(1 , 3 , 3)是 x  3y  3z = 8 的一個法向量﹐又(1 , 3 , 3)  (3 , - 2 , 1) = 0﹐ 　所以平面 x  3y  3z = 8 與 E 垂直﹒ (4)將 - 3x  2y - z = 6 改寫成 3x - 2y  z = - 6﹐ 　因為(3 , - 2 , 1)是平面 - 3x  2y - z = 6 的一個法向量﹐與(3 , - 2 , 1)相同﹐且 - 6  4﹐ 　所以平面 - 3x  2y - z = 6 與 E 平行﹒ (5)因為 75x  50y - 25z = 100 的一個法向量為(75 , 50 , - 25) = 25(3 , 2 , - 1)﹐ 　又(3 , 2 , - 1)與(3 , - 2 , 1)不平行﹐所以平面 75x  50y - 25z = 100 與 E 不平行﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(4)﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(13)

11. 關於 直線 L﹕ 2 1 2 0 x y z x y z  - =    - =  _{﹐選出正確的選項﹕} (1)L的方向向量為(1 , 1 , 3)　 (2)點(2 , 3 , 7)在 L 上　 (3)L與直線 1 1 3 1 1 3 x- ₌ y- ₌ z -平行　 (4)L 與平面 x  2y - z = 1 -平行　 (5)L落在平面 3x  3y - 2z = 1 上﹒ 　解答　 1235 解析由 L 的兩面式 2 1 2 0 x y z x y z  - =    - =  _{得到 L 的參數式為} 1 1 3 x t y t z t =   =    =   _{（t 是實數）﹒} (1)(1 , 1 , 3)為 L 的一個方向向量﹒ (2)當 t = 2 時﹐可得點(2 , 3 , 7)﹐故點(2 , 3 , 7)在 L 上﹒ (3)直線 1 1 3 1 1 3 x- ₌ y- ₌ z -和 L﹕ 1 1 3 x t y t z t =   =    =   _{有相同的方向向量(1 , 1 , 3)﹐} 　又因為點(1 , 1 , 3)不在 L 上﹐所以兩直線互相平行﹒ (4)將 L 的參數式(t , 1  t , 1  3t)代入平面 x  2y - z = 1﹐得 1 = 1﹒ 　可知 L 上的點均在平面上﹐故 L 落在平面 x  2y - z = 1 上﹒ 　（或由 L 的二面式可知﹕L 落在平面 x  2y - z = 1 上﹒） (5)將 L 的參數式(t , 1  t , 1  3t)代入平面 3x  3y - 2z = 1﹐得 1 = 1﹒ 　可知 L 上的點均在平面上﹐故 L 落在平面 3x  3y - 2z = 1 上﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(3)(5)﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(14)

Sec3-1~3-3

1. 設 A﹐B 均為二階方陣﹐ 0 0 0 0 O_{= } _   ﹐ 1 0 0 1 I_{= } _   ﹐選出正確的選項﹕　

(1)(A  B)(A - B) = A2_{- B}2_{恆成立　(2)(A  I)(A - I) = A}2_{- I 恆成立　(3)(AB)}2_{= A}2_B2_恆成立

(4)若 A2_{= O﹐則 A = O　(5)若 A}2_{= I﹐則 A = I 或 A = - I﹒}

　解答　 2

解析 (1)因為(A  B)(A - B) = A2_{- AB  BA - B}2_﹐

　且 AB 不一定等於 BA﹐所以此等式不恆成立﹒ (2)因為 AI = IA = A﹐且 I2_{= I﹐所以}

　(A  I)(A - I) = A2_{- AI  IA - I}2_{= A}2_{- I﹒}

(3)因為(AB)2_{= ABAB﹐} 　且 AB 不一定等於 BA﹐所以此等式不恆成立﹒ (4)錯誤﹒例如 2 1 4 2 A=_ _O - -  ﹐但滿足 2 2 1 2 1 0 0 4 2 4 2 0 0 A =_  _{ }  _{ }= _=O - - - -      ﹒ (5)錯誤﹒例如 0 1 1 0 A_{= } _  ﹐滿足 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 A =_  _{ }  _{ }= _=I       ﹒ 故選(2)﹒ 2. 設 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I     =       ﹐ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 A     =       ﹒試將方陣(I  A)3化為 aI  bA 的形式（a﹐b 為實數）﹐ 並求出 a+b 的值為何? (1) 110 (2) 111 (3) 112 (4) 113 (5) 114 　解答　 (3) 解析因為 2 3 3 3 3 3 3 27 27 27 3 3 3 3 3 3 27 27 27 9 3 3 3 3 3 3 27 27 27 A A             =_ _{ } _{ }= _=             ﹐

所以 A3_{= A}2_{･A = 9A･A = 9A}2_{= 81A﹒}

(15)

由二項式定理﹐得

3 3 3 3 2 3 2 3 3

0 1 2 3

(IA) =C I C I A C IA C A = I 3IA3 9I A81A

　　　 = I  3A  27A  81A = I  111A﹒ 故 a = 1﹐b = 111﹒ 3. 已知矩陣 1 5 2 A x   =     的反方陣 A- 1_{不存在﹐求 x 的值為何?} (1) -10 (2) -5 (3) 0 (4) 5 (5) 10 　解答　 (5) 解析因為反方陣不存在﹐所以 det(A) = 0﹐即 1 5 10 0 2 x = -x = _{﹒解得 x = 10﹒} 4. 已知矩陣 1 2 2 3 3 1 4 14 2 3 1 2 - -   _-     -    經過列運算後﹐得 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a b c           ﹐求實數abc 的值﹒ (1) 3 (2) 5 (3) 10 (4) 15 (5) 20 　解答　 (1) 解析由題意知﹐聯立方程式 2 2 3 3 4 14 2 3 2 x y z x y z x y z  - = -  -  =   _ _- ₌  j k l　恰有一組解 x = a﹐y = b﹐z = c﹒ 由  2  得 5x  3y = 8　 由   4 得 11x  11y = 22　 再由﹐解得 x = 1﹐y = 1﹐代入式解得 z = 3﹒ 故 a = 1﹐b = 1﹐c = 3﹒ 5. 已知 A=[aij]3  2﹐B = [bij]3  2都是 3  2 階矩陣﹐且 aij = i  j﹐bij = 3i - 2j﹐求 A  B﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(16)

(1)

[

3 7 11

2 6 10

]

(2)

[

2 3 4

3 4 5

]

(3)

[

2 3

3 4

4 5

]

(4)

[

1 −1

4

2

7

5

]

(5)

[

3

2

7

6 11 10

]

　解答　 (5) 解析因為 2 3 3 4 4 5 A     =      ﹐ 1 1 4 2 7 5 B -    =      ﹐所以 A  B 3 2 7 6 11 10     =      ﹒ 6. 某地區有甲﹑乙兩家超市﹐根據調查每月甲超市留有 80%的顧客﹐而 20%轉向乙超市﹔乙超市留有 40%的顧客﹐而 60%轉向甲超市﹒若目前甲﹑乙兩超市的占有率分別為 30%及 70%﹐且顧客的總人數不變﹒ 則此市場占有率的轉移矩陣為何? (1)

[

0.8 0.4

_{0.2 0.6}

]

(2)

[

0.8 0.6

_{0.2 0.4}

]

(3)

[

0.8 0.2

_{0.6 0.4}

]

(4)

[

0.8 0.3

_{0.2 0.7}

]

(5)

[

0.4 0.3

_{0.6 0.7}

]

　解答　 (2) 解析市場占有率的轉移矩陣為 0.8 0.6 0.2 0.4 A_{= } _  ﹒ 7. 呈上題，若市場占有率會趨於穩定﹐則在穩定狀態下甲超市的市場占有率為何﹖ (1) 60% (2) 65% (3) 70% (4) 75% (5) 80% 　解答　 (4) 解析若穩定狀態 1 a X a   =  _-   ﹐則由 AX = X﹐得　 0.8 0.6 0.2 0.4 1 1 a a a a       =    _-   _-       ﹒ 　即 0.8 0.6(1 ) 0.2 0.4(1 ) 1 a a a a a a  - =   _ _- ₌ - ﹒解得 3 4 a= ﹒ 　故長期而言甲超市的市場占有率為3₄=75%﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(17)

8. 設 9 7 4 3 A_{= } _   ﹐ 1 3 B_{=  }    ﹐且矩陣 x X y   =     滿足 AX = B﹒ 求 A 的反方陣 A- 1_﹒ (1)

[

−9 −7

_{−4 −3}

]

(2)

[

₋₄

9 −7

₃

]

(3)

[

−9

₄

₋₃

7 ]

(4)

[

₋₄

3 −7

₉

]

(5)

[

−3

₄

₋₉

7 ]

　解答　 (5) 解析因為

 

9 7 det 27 28 1 0 4 3 A = = - = -  ﹐所以 1 1 3 7 3 7 4 9 4 9 1 A- ₌ _ -  ₌ -  _-   _-  -    ﹒

9.

呈上題，求 X﹒ (1)

[

₋₂₃

18 ]

(2)

[

−18

₂₃

]

(3)

[

−23

₋₁₈

]

(4)

[

₋₁₈

23 ]

(5)

[

₁₈

23 ]

　解答　 (1) 解析將 AX = B 等號兩邊同時左乘 A- 1_{﹐得 A}- 1_{(AX) = A}- 1_B_﹒ 因為左式可化簡為 A- 1_{(AX) = (A}- 1_A)X_{= I} 2X = X﹐所以　 1 3 7 1 18 4 9 3 23 X ₌A B- ₌-    ₌   _-    _-       ﹒ 10. 已知有一個 x﹐y﹐z 的三元一次聯立方程式的增廣矩陣﹐經矩陣的列運算得 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2           ﹐ 求此聯立方程式的解﹒x+y+z 之值為何? (1) -1 (2) 0 (3) 1 (4) 2 (5) 3 　解答　 (3) 解析因為題目中的矩陣表示聯立方程式 2 3 4 2 3 2 x y z y z z   =    =   =  ﹐ 所以聯立方程式的解為 x = 0﹐y = - 1﹐z = 2﹒ 11. 已知 k 為實數﹐且聯立方程式 2 3 1 2 1 3 2 x y z x y z x y z k - - =     = -   - =  有解﹐求 k 之值為何? 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(18)

　解答　 (1) 解析將聯立方程式的增廣矩陣作列運算﹕ 由矩陣的第三列推得﹐若聯立方程式有解﹐則 k  1 =0﹐解得 k = - 1﹒ 12. 已知 6 5 1 0 1 0 0 1 0 1 7 2 a 0 1 b 0 1 c 1 0 d 1 0  ₌  _  _  _        _-    _-            ﹐求 a+b−c −d 之值為何? (1) -1 (2) 0 (3) 1 (4) 2 (5) 3 　解答　 (3) 解析因為 6 5 0 0 0 0 7 2 0 0 0 0 a b c d a b c d a b c d c d a b     ₌  _  _  _  ₌       _-    _-   _- _-             ﹐ 所以 6 2 a b a b  =   - =  　且　 5 7 c d c d  =   - =  ﹒ 解得 a = 4﹐b = 2﹐c = 6﹐d = - 1﹒ 13. 已知矩陣 1 2 3 4 A_{= } _   ﹐ 2 0 0 1 B_{= }- _   ﹐ 3 4 C_{=  }    ﹒選出正確的選項﹕　 (1)若矩陣 D = CA﹐則 D 為 2  1 矩陣　(2)矩陣 BC 為 2  1 矩陣　(3)矩陣 ABC 為 2  1 矩陣　 (4)AB = BA　(5)(A  B)2_{= A}2_{ 2AB  B}2_﹒

　解答　 23 解析 (1)因為 C 的行數 1 不等於 A 的列數 2﹐所以 CA 不存在﹒ (2)因為 B 是 2  2 矩陣﹐C 是 2  1 矩陣﹐所以 BC 是 2  1 矩陣﹒ (3)因為 A 是 2  2 矩陣﹐B 是 2  2 矩陣﹐所以 AB 是 2  2 矩陣﹒ 　又因為 C 是 2  1 矩陣﹐所以 ABC 是 2  1 矩陣﹒ (4)因為 2 2 6 4 AB_{= }- _ - ﹐ 2 4 3 4 BA_{= }- - _  ﹐所以 AB  BA﹒

(5)因為(A  B)2_{= (A  B)(A  B) = A}2_{ AB  BA  B}2_{﹐且 AB  BA﹐}

(19)

　所以(A  B)2_{ A}2_{ 2AB  B}2_﹒

故選項(2)(3)正確﹒

14. 設 A﹐B 及 C 為二階方陣﹐O 為 2  2 階零矩陣﹐I 為二階單位方陣﹒選出正確的選項﹒　 (1)若 A 不是零矩陣﹐則乘法反方陣 A- 1_{必存在　(2)若 AB = I﹐則 A}2_B_{= A}

(3)若 AB = O﹐則 BA = O (4)若 det(A)  0﹐且 AB = AC﹐則 B = C　 (5)若 B = C﹐則 AB = AC﹒

　解答　 245

解析 (1)當 det(A) = 0 時﹐A- 1_不存在﹒

(2)若 AB = I﹐則 A2_B_{= AAB = AI = A﹒}

(3)如 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 O     ₌ ₌             ﹐但 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 O     ₌ _             ﹒ (4)因為 det(A)  0﹐所以 A- 1_存在﹒ 　因此﹐由 AB = AC﹐得 A- 1_AB_{= A}- 1_AC_{Þ B = C﹒} (5)正確﹒ 故選(2)(4)(5)﹒ 15. 設矩陣 1 0 0 1 A_{= }- _   ﹐ 1 1 1 1 B_{= } _   ﹐ 1 0 0 1 I _{= } _   ﹐選出正確的選項﹕　

(1)AB = BA　(2)(AB)2_{= A}2_B2_{(3)(A  B)}2_{= A}2_{ 2AB  B}2_(4)A2_{= I　(5)A}2_B_{= BA}2_﹒

　解答　 45 解析 (1)因為 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 AB=_-  _{ }  _{ }= - - _      ﹐ 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 BA=_  _{ }-  _{ }= - _ -     ﹐ 　所以 AB  BA﹒

(2)因為 AB  BA﹐所以(AB)2_{= ABAB  AABB = A}2_B2_﹒

(3)由矩陣乘法的性質﹐得(A  B)2_{= (A  B)(A  B) = A}2_{ AB  BA  B}2_﹒

(20)

(4)由矩陣的乘法定義﹐得 2 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 A =_-  _{ }-  _{ }= _=I       ﹒ (5)因為 A2_B_{= IB = B﹐BA}2_{= BI = B﹐所以 A}2_B_{= BA}2_﹒ 故選(4)(5)﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(21)

Sec3-4~4-1

1. 下列圖形中有一個是方程式 y2_{ x = 0 的圖形﹐選出正確的選項﹕} (1) 　(2) 　(3) 　(4) ﹒ 　解答　 4 解析將方程式改寫成 y2_{= - x﹐可知拋物線的開口向左﹒} 故正確的選項為(4)﹒ 2. 如下圖﹐已知中心為原點 O 的正八邊形之一個頂點為 A(2,4)﹐ 求此正八邊形的另二個頂點 D 與 G 的坐標﹒ (1)

(3

√

2,

√

2)

(2)

(−3

√

2,

√

2)

(3)

(−3

√

2,−

√

2)

(4)

(3

√

2,−

√

2)

(5)

(

_√

2 ,3

_√

2)

　解答　 (3) 解析將 A 以 O 為中心旋轉 135°﹐得點 D﹔ 利用旋轉的矩陣表示﹐計算 2 2 cos135 sin135 2 ₂ ₂ 2 3 2 sin135 cos135 4 ₂ ₂ 4 ₂ 2 2   - -  _ _ ° - ° -    _ _  = =    _° _°   _ _  -    _-   _ _     ﹐ 3. 呈上題，G 的坐標為何? (1) (4, - 1) (2) (4, - 2) (3) (4, - 3) (4) (3, - 2) (5) (3, - 3) 　解答　 (2) 解析 將 A 以 O 為中心旋轉 270°﹐得點 G﹒ 利用旋轉的矩陣表示﹐計算 cos 270 sin 270 2 0 1 2 4 sin 270 cos 270 4 1 0 4 2 ° - °     ₌     ₌  _° _°   _-      -         ﹐得D( 3 2,- - 2)_{﹐G(4, - 2)﹒} 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(22)

4. 已知 (x3)2(y1)2 = -|y 6 |的圖形是一個拋物線﹐求此拋物線的正焦弦長﹒ (1) 7 (2)14 (3)21 (4)28 (5)35 　解答　 (2) 解析由方程式 (x3)2(y1)2 = -|y 6 |可知﹕ 此拋物線的焦點為 F( - 3, - 1)﹐準線為 L：y = 6﹒ 因為正焦弦長為焦點到準線距離長的 2 倍（即焦距長的 4 倍）﹐ 又點 F( - 3, - 1)到直線 L：y = 6 的距離為 7﹐所以正焦弦長為 7  2 = 14﹒ 5. 利用鏡射矩陣﹐求點 P(3,2)對於直線 y = x 的對稱點坐標 (1) (2,3) (2) ( -2,3) (3) (-2,-3) (4) (2,-3) (5) (-3,-2) 　解答　 (1) 解析因為 cos90 sin 90 3 sin 90 cos90 2 ° °      _{° -} _°       0 1 3 2 1 0 2 3       =_ _{    }=      ﹐所以對稱點坐標為(2,3)﹒ 6. 呈上題求點 P(3,2)對於 x 軸的對稱點坐標 (1) (2,3) (2) ( -2,-3) (3) (-3,2) (4) (3,-2) (5) (-3,-2) 　解答　 (4) 解析因為 cos0 sin 0 3 sin 0 cos0 2 ° °      _{° -} _°       1 0 3 3 0 1 2 2       =_ _{    }= - -     ﹐所以對稱點坐標為(3, - 2)﹒ 7 . 呈上題求點 P(3,2)對於 y 軸的對稱點坐標 (1) (2,3) (2) ( -2,-3) (3) (-3,2) (4) (3,-2) (5) (-3,-2) 　解答　 (3) 解析因為 cos180 sin180 3 sin180 cos180 2 ° °      _{° -} _°       1 0 3 3 0 1 2 2 - -      =_ _{    }=      ﹐所以對稱點坐標為( - 3,2)﹒ 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(23)

8. 下圖中 哪一個圖形是以 F 為焦點﹐L 為準線的拋物線﹖　(1) G1　(2) G2　(3) G3　(4) G4﹒ 　解答　 2 解析因為焦點與準線的距離為正焦弦長的一半﹐ 所以由圖可知 G 2是以 F 為焦點﹐L 為準線的拋物線﹒ 因此正確的選項為(2)﹒ 9. 下列哪個拋物線的焦距最大﹖其中焦距表示焦點和頂點的距離﹒　 (1)y = x2_{(2)y = 4x}2_{(3)y = 16x}2_{(4)4x = y}2_{(5)16x = y}2_﹒

　解答　 5 解析將各選項的方程式改成標準式﹕ (1)4( )1₄ y x= 2﹒　(2)4( )₁₆1 y x= 2﹒　(3)4(₆₄1 )y x= 2﹒　(4)4(1)x = y2_{﹒　(5)4(4x) = y}2_﹒ 可知各拋物線的焦距分別為(1)1₄　(2)₁₆1 　(3)₆₄1 　(4)1　(5)4﹐ 故正確的選項為(5)﹒ 10. 已知點 P ( - 2 , 1)與 Q (1 , 2)經過二階方陣 A 作線性變換後所對應的點分別為 P' (0 , 3)與 Q' (5 , 1)﹐ 求二階方陣A為何? (1)

[

_{−1 1}

1

2 ]

(2)

[

₋₁

1 −2

₁

]

(3)

[

−1 2

_{−1 1}

]

(4)

[

_{−1 −2}

2 −1

]

(5)

[

_{−1 2}

2

1 ]

　解答　 (1) 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(24)

解析設 a b A c d   =    ﹒依題意﹐可列得 2 0 1 3 a b c d -      =            ﹐ 1 5 2 1 a b c d       =            ﹒ 將上列 2 式合併寫成 2 1 0 5 1 2 3 1 a b c d -    ₌             ﹒ 故二階方陣 A 為 1 0 5 2 1 0 5 1 2 1 1 2 3 1 1 2 3 1 5 1 2 1 1 a b c d -- -            = =  =         _- _- _-  _-             ﹒ 11. 求下列拋物線的方程式﹕焦點 F (0 , - 3)﹐頂點 V (0 , 0)﹒ (1)

x

2

=3 y

(2)

x

2

=−3 y

(3)

x

2

=12 y

(4)

x

2

=−12 y

(5)

y

2

=12 x

　解答　 (4) 解析因為焦點 F 在頂點 V 的下方﹐所以拋物線開口向下﹐且 c = - 3﹐如圖所示﹒ 　 由拋物線的標準式 x2_{= 4cy 可得其方程式為 x}2_{= - 12y﹒} 12. 求下列拋物線的方程式﹕頂點 V (1 , 1)﹐準線 L﹕x = 4﹒ (1) (

_{¿ ¿}

2

x−1

=12( y−1)

(2) (

x−1

¿ ¿

2

=4( y−1)

(3) (

x−1

¿ ¿

2

=−12( y−1)

(4) (

_{¿ ¿}

2

y−1

=12(x −1)

(5) (

y−1

¿ ¿

2

=−12( x−1)

　解答　 (5) 因為頂點 V 在準線 L 的左方﹐所以拋物線開口向左﹐c = - 3﹐如圖所示﹒ 　因為拋物線開口向左﹐ 所以由標準式(y - k)2_{= 4c(x - h)可得其方程式為(y - 1)}2_{= - 12(x - 1)﹒} 13. 下列哪些二階方陣可以使△ABC 經該方陣變換後面積保持不變﹖ (1) cos70 sin 70 sin 70 cos70 ° - °    _° _°   　(2) cos70 sin 70 sin 70 cos70 ° °    _{° -} _°   　(3) 5 0 0 2       　(4) 1 3 0 1       　(5) 1 0 3 1   _-    ﹒ 　解答　 1245 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(25)

解析計算 5 個行列式的絕對值﹕ (1) 2 2 cos70 sin 70 | | | cos 70 sin 70 | |1| 1 sin 70 cos70 ° - ° = °  ° = = ° ° _﹒ (2) 2 2 cos70 sin 70 | | | cos 70 sin 70 | | 1| 1 sin 70 cos70 ° ° = - ° - ° = - = ° - ° _﹒ (3) 5 0 | | |10 | 10 0 2 = = _﹒ (4) 1 3 | | |1| 1 0 1 = = _﹒ (5) 1 0 | | |1| 1 3 1 = = - _﹒ 由線性變換的面積比公式﹐得知經行列式的絕對值為 1 的方陣變換後﹐其面積保持不變﹒ 故選(1)(2)(4)(5)﹒ 14. 已知二階方陣 A﹐B 滿足 A 在平面上的作用是對直線 :L y= - 3x的鏡射﹐且 1 0 0 1 AB_{= }- _ -  ﹒

選出正確的選項﹕　(1)AB = BA　(2)A  B = O　(3)方陣 B 所對應的平面變換為旋轉　 (4) - A 是 B 的反方陣﹒ 　解答　 124 解析因為 L 是過原點且與 x 軸正向夾角為 120°的直線﹐所以 1 3 cos 240 sin 240 ₂ ₂ sin 240 cos 240 ₃ ₁ 2 2 A   - -  ° °  _{ } _ =_ _= ° - °     -    ﹒ 因為 _{1 0} 0 1 AB_{= }- _ -  ﹐所以 1 1 3 1 3 1 0 1 2 2 1 0 2 2 0 1 1 ₃ ₁ 0 1 ₃ ₁ 2 2 2 2 B A- A         - -  _ _  _ _ = _ _= _ _= = -- -   -     _-   -        ﹒ (1)AB = A( - A) = ( - A)A = BA﹒

(2)A  B = A  ( - A) = O﹒

(26)

(3)因為方陣 B 不能寫成 cos sin sin cos q q q q -     的形式﹐所以不是旋轉矩陣﹒ (4)因為 1 1 3 1 2 2 1 ₃ ₁ 2 2 B- A   - -    = = --   -    ﹐所以- A 是 B 的反方陣﹒ 故選(1)(2)(4)﹒ 15. 已知 (x-2)2y2 = |x 4 |的圖形是一個拋物線﹐關於此拋物線﹐選出正確的選項﹕　(1)頂點為(2,0)　(2) 焦點為( - 4,0)　(3)準線方程式為 x = - 4　(4)軸為 x 軸﹒ 　解答　 34 解析 (x-2)2y2 = |x 4 |的意思是﹕ 動點 P(x,y)到定點 F(2,0)與到直線 L：x = - 4 的距離相等﹐ 因此其圖形為以(2,0)為焦點﹐x = - 4 為準線的拋物線﹐如下圖所示﹒ 由上圖可知﹕頂點為( - 1,0)﹐軸為 x 軸﹒ 由上面的討論可知﹕正確的選項為(3)(4)﹒ 16. 下圖是以 F 為圓心﹐半徑分別為 1 2 3﹐ ﹐ 的一組同心圓﹐ 及一組相鄰兩線距離均為 1 的鉛直線﹐且其中一條鉛直線通過圓心 F﹒ 現有一開口向右的拋物線 G ﹐其焦點為 F 且通過 P 點﹒問﹕ G 也通過下列哪些點﹖ (1)A　(2)B　(3)C　(4)D　(5)E﹒ 　解答　 12 解析將鉛直線分別標示如下圖﹒ 根據拋物線的定義﹐點 P 到焦點 F 的距離與點 P 到準線的距離相等﹒ F 1082 高二數學第二次學藝競試題庫

(27)

觀察上圖﹐滿足拋物線定義的有 A﹐B 和 P 三點﹒ 故正確的選項為(1)(2)﹒ 17. 已知|x- =3 | (x-1)2(y1)2 的圖形是一個拋物線﹐關於此拋物線選出正確的選項﹕　 (1)焦點為(1 , - 1)　(2)準線為 x = 3　(3)頂點為(3 , - 1)　(4)對稱軸為 y = - 1　(5)正焦弦長為 1﹒ 　解答　 124 解析由方程式|x- =3| (x-1)2(y1)2 可知﹕ 點(x , y)到直線 x = 3 的距離|x - 3|與點(x , y)到點(1 , - 1)的距離 (x-1)2(y1)2 相等﹐ 因此由拋物線的定義可知﹕此拋物線的焦點為(1 , - 1)﹐準線為 x = 3﹐如圖所示﹒ 由圖可知﹕拋物線的頂點為(2 , - 1)﹐對稱軸為 y = - 1﹐c = - 1﹐正焦弦長|4c| = 4﹒ 故由上面的討論可知﹕正確的選項為(1)(2)(4) 1082 高二數學第二次學藝競試題庫