微積分一:講義2-2

2.2 基本的微分運算

定理2.6: 若n 為正整數, 則函數fx  xn _{可微且is differentiable and}

f′x  nxn−1_. 證明 依導函數的定義 f′x  d dxx n  lim h→0 x  hn_{− xn} h . 利用二項式定理展開x  hn , 可得 x  hn _{ xn  nxn−1} h nn − 1 2! x n−2_h2    nxhn−1 _{ h}n 因此 f′x  lim h→0 nxn−1_h nn−1 2! x n−2_h2   nxhn−1 hn h  nxn−1  nn − 1 2! x n−2_h   nxhn−2  hn−1  nxn−1_. 例題6: 若 fx  x3_{, 求f}′x  ?. 解 由定理2.4可得 f′x  3x3−1  3x2_. 例題7: 若 fx  x5_{, 求f}′_{x  ?.} 解 由定理2.4可得 f′x  5x5−1  5x4_.

C: 常係數法則 定理2.7: 若c 為一常數, 且f微一可微函數, 則 cf 也為可微函數且 d dxcfx  c ddxfx. 證明 依導函數的定義 d dx cfx  limh→0 cfx  h − cfx h  lim h→0c fx  h − fx h  c lim h→0 fx  h − fx h  c d dxfx. 例題8: 若 fx  7x3_{, 求f}′x  ?. 解 由定理2.4, 2.5可得 f′x  d dx7x 3  7 d dx x 3  7  3x3−1  21x2_. 例題9: 若 fx  9x5_{, 求f}′x  ?. 解 由定理2.4, 2.5可得 f′x  d dx9x 5  9 d dx x 5  9  5x5−1  45x4_. D: 加減法則 定理2.6: 若f與g皆為可微函數, 則 f g 也為可微函數且 d dxfx  gx  ddxfx  ddxgx. 證明因加法的證明與減法相同, 所以我們只證明加法法則. d dxfx  gx  limh→0 fx  h  gx  h − fx  gx h  lim h→0 fx  h − fx  gx  h − gx h  lim h→0 fx  h − fx h  limh→0 gx  h − gx h  d dxfx  ddxgx.

例題10: 若 fx  x3  4x, 求f′x  ?. 解 f′x  d dxx 3  4x  d dxx 3  d dx4x  d dxx 3  4 d dxx  3x3−1 _{ 4  1}  3x2  4. 例題11: 若 fx  1 2x 3 − 2x2 2x, 求f′x  ?. 解 f′x  d dx 1 2x 3 − 2x2 2x  d dx 12x 3 − d dx2x 2  d dx2x  1 2 dxd x 3_{ − 2 d} dxx 2_{  2 d} dxx  1 2  3x3−1 − 2  2x2−1  2  1  3 2x 2− 4x  2. E: 乘法法則 定理2.7: 若f與g皆為可微函數, 則 fg 也為可微函數且 d dxfxgx  fx ddxgx  gx ddxfx. 證明 d dxfxgx  h→0 lim fx  hgx  h − fxgx h  h→0 lim fx  hgx  h − fx  hgx  fx  hgx − fxgx h  h→0 lim fx  hgx  h − gx h lim gx_h→0 fx  h − fx h  fx d dxgx  gx ddxfx. 推論2.7: 若f為可微函數且̸ n為正整數, 則 fn_{也為可微函數且} d dxf nx  nfn−1x  d dxfx. 例題12: 若 fx  x23x  1, 求f′x  ?. 解

f′x  d dxx 23x  1  x2 d dx3x  1  3x  1 ddxx 2  x3  3  3x  1  2x  3x2  2x3x  1. 例題13: 若 fx  x3  3x3x2 12_{, 求f}′x  ?. 解 f′x  d dx x 3 3x3x2  12  x3 3x d dx 3x 2  12  3x2  12 d dxx 3  3x  x3 3x  23x2  1 d dx3x 2  1  3x2  123x2  3  2x3 3x3x2  1  6x  3x2  123x2  3  12xx3  3x3x2  1  3x2  123x2  3. F: 除法法則 定理2.8: 若f與g皆為可微函數且gx ≠ 0, 則 _{g 也為可微函數且}f d dx fx gx  gx d dxfx − fx d dxgx g2x . 證明 d dx fx gx  h→0 lim fxh gxh − fx gx h  h→0 lim fx  hgx − fxgx  h hgxgx  h  h→0 lim fx  hgx − fxgx − fxgx  h  fxgx hgxgx  h  h→0 lim gx fxh−fx h − fx gxhgx h gxgx  h  gxdxd fx − fx d dxgx g2_x . 推論2.8: 若n為負整數, 則 fx  xn _{也為可微函數(x} ≠ 0)且 d dxfx  nx n−1_. 例題13: 若 gx  6x2_1 2x , 求 g′x  ?.

解 g′x  d dx 6x2 1 2x  2x d dx6x 2  1 − 6x2 1 d dx2x 2x2  2x 12x − 6x2  1  2 4x2  24x2 − 12x2 − 2 4x2  6x2 − 1 2x2 . 例題14: 若 fx  5x−2 2x4  6 , 求 f′x  ?. 解 f′x  d dx 5x2x− 2 4 6  6 5x − 2 2x 4 5  d dx 5x2x− 2 4  6 5x − 2 2x 4 5  2x  4 d dx5x − 2 − 5x − 2 d dx2x  4 2x  42  6 5x − 2 2x 4 5  2x 4  5 − 5x − 2  2 2x  42  6 5x − 2 2x 4 5  10x  20 − 10x − 4 2x  42  965x − 25 2x  47 .