數位通信練習題

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數位通信簡介 練習題

1. 考慮一個四進制系統 (quaternary system, i.e. M = 4)，假設信號源送出之信號為

(a) 找出一組正交基底函數 (orthonormal basis functions)，將以上信號分別表示為基底 函數的線性組合。 (b) 假設送出各信號之機會均等，計算平均傳輸能量, Es . (c) 畫出信號空間上的信號分佈，以及各點對應的決策區間 (decision regions). 2. 一組雙正交 (biorthogonal) 信號之定義為：將以下 s₁(t)、s₂(t) 以及 s₁(t)、s₂(t) 四者組成一個四進制系統:          T t T T t t s 2 / , 1 2 / 0 , 1 ) ( 1 , and           4 / 3 4 / , 0 4 / 3 or , 4 / 0 , 1 ) ( 2 T t T T t T T t t s . (a) 找出一組正交基底函數，將以上信號分別表示為基底函數的線性組合。 (b) 假設送出各信號之機會均等，計算平均傳輸能量, Es . (c) 畫出信號空間上的信號分佈，以及各點對應的決策區間。 3. 考慮一個四進制系統，假設信號源送出之信號為 ) ( ) ( ) (t a ₁ t b ₂ t s_i  _i  _i , 0 < t < T, i = 1,2,3,4 其中 ₁(t) 及 ₂(t) 是一組正交基底函數; (ai, bi) 的四個可能值分別為 (0, 0), ) 2 , 2 (   , (0,2 2 及 ) ( 2, 2)，其中  為常數.

(a) 畫出信號空間上的信號分佈，以及各點對應的決策區間 (decision regions).

(b) 假設送出各信號之機會均等，計算平均傳輸能量, Es .

(c) 計算在 AWGN 通道中傳輸之平均符元錯誤機率 (symbol error probability). (d) 對信號做格雷編碼 (Gray coding), 並計算在 AWGN 通道中傳輸之位元錯誤率

(bit error rate, BER).

(e) 設計並畫出接收端同調檢測電路 (coherent detector) 的方塊圖。 4. 在 ASK 系統中，訊號 1 與 0 分別以下列波形傳送：

2 0 ) ( ) 2 cos( ) ( 2 1    t s t f A t s _c , 其中 0tT_b; A 為大於 0 的常數。 在 PSK 系統中，訊號 1 與 0 分別以下列波形傳送： 1 2 ( ) cos(2 ) ( ) cos(2 ) cos(2 ) c c c s t B f t s t B f t B f t          其中 0tT_b ; B 為大於 0 的常數。 (a) 計算此 ASK 系統的傳輸能量。 (b) 比較二元 ASK 及 PSK 系統之同調檢測效能。 (亦即，在達到相同錯誤率的前提 下，計算 BPSK 比 BASK 好或壞多少 dB?) 5. 本題討論 BPSK 調變系統之接收器效能。

(a) 畫出同調檢測器 (coherent detector) 的方塊圖，並用數學式說明其功能。

(b) 假設檢測器的振盪器輸出，與實際載波間有固定的相位差. 計算此相位差對 BER 所造成的影響。 (c) 承接 (b) 小題，如果我們希望： 「相位誤差對 BER 所造成的影響，必須低於 0.3 dB」, 那麼此系統能容忍的最大相位誤差,  max ,是多少？ 6. 上一題討論了 BPSK 系統同調檢測器如果存在一固定相位誤差 , 對系統平均位元 錯誤率之影響。以相同的討論方式，回答以下小題： (a) 如果在 coherent QPSK 系統存在同樣的相位誤差，其位元錯誤率為何？ (b) 如果在 coherent FSK 系統存在同樣的相位誤差，其位元錯誤率為何？ 7. 回答以下各小題：

(a) 說明 offset QPSK (OQPSK) 與 /4-DQPSK 設計的主要目的是要消除何種現象， 並舉例說明其消除方式。 (b) /4-DQPSK 縮寫中的 “D” 代表什麼意思？如何實現？它對系統產生什麼好處？ 8. 數位資料串{01 10 10 00 01 11} 送入一個 /4-shifted DQPSK 調變器，假設其起始狀 態為 ( = E   = 0). (a) 寫出調變後之信號相位變化情形。 (b) 在信號空間畫出信號點位移的軌跡。 9. 本題考慮差分式 (differential) BPSK 系統： (a) 畫出 DBPSK 發射器的方塊圖，並請指明在電路中使用何種邏輯電路。 (b) 假設原始訊息 {bk} 為 {01011011}, 寫出差分編碼後的資料序列 {dk}.

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(c) 假設在傳輸過程中，{dk} 序列的第四個位元被接收端誤判了。請寫出此情況下的

解碼輸出。

(d) 與同調 (coherent) BPSK 系統相比，DBPSK 有何優、缺點？

10. 本題考慮非同調二元 FSK (noncoherent binary FSK) 接收系統：

(a) 畫出非同調二次接收器 (quadratic receiver) 之方塊圖，並說明其操作原理。 (b) 與同調 BPSK (coherent BPSK)系統相比，本題所考慮的系統有哪些優缺點？ 11. 本題為申論型式，請詳細回答以下問題。 (a) 就傳輸錯誤率、系統成本、資料傳輸率、頻寬需求等，比較同調 BPSK, QPSK, FSK, QAM, 以及非同調 (noncoherent) FSK 等各種調變方式。 (b) 分別對下述各種應用選擇一種最適合的調變方式，並說明選擇的理由： 無線區 域網路  廣播數位電視  私人車庫鐵捲門開關  玩具遙控飛機 。 展頻調變 12. 下圖為用來產生展頻碼的電路，假設暫存器 1 的起始狀態為 “1”, 其他暫存器的起 始狀態為 “0”.

(a) 寫出輸出的 PN 序列。它是最大長度序列 (maximal-length sequence) 嗎？ (b) 計算並畫出此展頻碼的自相關函數 (autocorrelation function).

(c) 判斷此展頻碼是否滿足 balance property 及 run property.

13. 請 依 DSSS 系 統 中 訊 號 偵 測 的 方 式 ， 說 明 展 頻 系 統 為 何 在 安 全 通 訊 (secure communications)、多徑現象排除 (multipath rejection)、支援多使用者通訊 (multiple access) 以及反干擾 (antijamming) 等方面，能呈現比非展頻系統較佳的效能。並依以 上之討論，說明一組設計良好的展頻碼應該具備哪些特性。

消息理論與錯誤控制編碼

14. 有一信號源送出信號 s_i,i1,2,,5 之 a priori probability 分別為 0.3, 0.3, 0.2, 0.1, 0.1。

4 (a) 計算此信號源的 entropy。

(b) 假設系統要求編碼後之各個 codeword length 彼此越接近越好。試依此需求用 Huffman coding 對此信號源編碼。

(c) 編碼後之 average codeword length 及 coding efficiency 各是多少？

(d) 在(b)小題得到的碼是不是 UD (uniquely decodable) code？是不是 PF (prefix) code？

(e) 計算此信號源二階展開 (second extension) 之 entropy。

15. 考慮以下四組編碼：

符號 Code 1 Code 2 Code 3 Code 4

s0 0 0 0 00

s1 10 01 01 01

s2 110 001 011 10

s3 1110 0010 110 110

s4 1111 0011 111 111

(a) 畫出各組碼的碼樹 (code tree), 並據以判斷哪些是 PF (prefix) code.

(b) 利用 Kraft-McMillan 不等式判斷哪些不可能是 UD (uniquely decodable) code. 舉 例證明這些碼不是 uniquely decodable.

(c) 與 Code 2 相比，Code 1 有何優點？

16. 考慮二元資料串 {11101001011010110001011…}. (a) 利用 Lempel-Ziv algorithm 對此資料串編碼。

(b) 比較 Huffman 及 Lempel-Ziv algorithms. 分別敘述兩者之主要優點及缺點。

17. 已知 (7,4) 漢明碼 (Hamming code) 之生成矩陣 (generator matrix) 為

             1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 G

(a) 寫出其同位檢測矩陣 (parity check matrix), H.

(b) 分別寫出訊息 m1 = (1011) 及 m2 = (0101) 對應的碼字 (codewords).

(c) 此漢明碼的最小距離 (dmin) 及 錯誤更正能力 (error correcting capability) 各是多

少？

(d) 假設接收器收到向量為 r = (1001010), 計算其相對的 syndrome, 然後利用 ML (maximum likelihood) 規則解碼。

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18. 有一信號源送出信號 s_i ,i1,2,3 之 a priori probability 分別為 0.8, 0.1, 0.1。 (a) 計算此信號源的 entropy。

(b) 用 Huffman coding 對此信號源編碼。

(c) 編碼後之 average codeword length 及 coding efficiency 各是多少？

(d) 用 Huffman coding 對此信號源之二階展開 (second extension) 編碼，計算 average codeword length 及 coding efficiency。

19. 某 (5,1) 重覆碼 (repetition code) 將信息位元重覆 5 次以形成碼字 (codeword), 例 如信息位元為 0 時, 則編碼為 (00000). 編碼後之信號傳輸經過離散無記憶通道 (discrete memoryless channel, DMC), 其傳輸位元錯誤機率為 p.

(a) 此重覆碼的最小距離 (dmin) 及錯誤更正能力各是多少？

(b) 寫出其 ML 解碼規則 (maximum-likelihood decoding rule). (c) 假設接收器收到向量為 r = (10011), 則其解碼輸出為何？ (d) 計算本系統之解碼錯誤機率。

20. 考慮一組 (5, 2) 方塊碼，已知其同位檢查矩陣 (parity check matrix) 為

           1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 H ,

(a) 寫出這組碼的生成矩陣 (generator matrix) G.

(b) 假設接收端收到的訊息依序分別為 (10101), (11111), (10001), (00011)。請依最小 距離解碼 (minimum distance decoding) 規則解碼。

21. 有一個 (7,4) 循環線性方塊碼 (cyclic linear block code) 編碼器，其生成矩陣 (generator matrix) 可寫為 G=[I4 | P]，其中 I4為單位矩陣。已知當輸入訊息為 m=(0001)

時，輸出碼字 (codeword) 為 c=(0001101)。請寫出 P 矩陣。

22. 在 一 組 (7, 4) 循 環 碼 (cyclic code) 中 ， 已 知 其 中 一 個 碼 字 (codeword) 為 (1110010).

(a) 請寫出這個碼的所有碼字。

(b) 這組碼的錯誤更正能力 (error correcting capability) 是多少？

(c) 假設資料經 AWGN 通道傳輸，接收端收到訊號為 (0101101, 1110011, 0001101)， 試利用 MLD (maximum likelihood decoding) 法則，解碼出原始傳送的資料。

23. 一個 (2, 1, 3) 迴旋碼 (convolutional code) 的生成多項式 (generator polynomial) 為

3 ) 1 ( 1 ) (D D D g    , g(2)(D)1DD2D3, 輸入資料 u=(11001). 畫出此編碼器 方塊圖，並寫出輸出資料以及暫存器的狀態變化。

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24. A (63, 36) BCH code can correct five errors (i.e., t = 5). Nine blocks of a (7,4) code can correct nine errors. Both codes have the same code rate.

(a) The (7,4) code can correct nine errors. Does it imply that it is more powerful than the (63, 36) code? Explain please.

(b) Compare the two codes when five errors occur in 63 bits. (c) Repeat (b) if there are two errors.