0913 三角函數的應用解答

三角函數的應用 0913 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.下列各等式何者恆為正確？ (A)cos(x  y)  cos(y  x) (B)cos0  0 (C)sin2x  2sinx (D)tan(x  y)  tanx  tany 解答 A【091 年歷屆試題.】

解析 由題目及公式，可得

(A)cos(x  y)  cos[  (y  x)]  cos(y  x)正確（∵ cos(  )  cos） (B)cos0  0 錯誤（∵ cos0  1）

(C)sin2x  2sinx 錯誤（∵ sin2x  2sinxcosx）

(D)tan(x  y)  tanx  tany 錯誤（∵ tan( ) tan tan 1 tan tan x y x y x y     ）

（ ）2.△ABC 三內角A、B、C 之對應邊長分別為 a、b、c，若a2 3，b  2，A  120，則 c  (A) 3 (B)2 (C)3 (D) 2 3【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 題目中，a2 3，b  2，A  120 由此三條件只能先求B 利用正弦定理 sin sin a b A B   2 3 21 sin120 sin B    3  sinBsin120  3 1 2 1 sin 2 B    B  30或 150（不合）  B  30 再推得C  30 ∵ B C  30  b  c  2（等腰） 另解：利用餘弦定理 2 2 4 (2 3) cos120 2 2 C C       2 1 8 2 4 C C    C2 _2C  ₈  ₀ C  4（不合）、2 （ ）3.已知 為銳角，若cos 2 3 4   ，則 sin (A) 2 3 (B) 2 4 (C) 2 2 3 (D) 3 2 4 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 ∵ 2 cos 2 1 2sin  2 3 2 1 1 2sin sin 4 8        1 sin 8     （∵ 為銳角 ∴ 負不合）

故sin 1 2 4 2 2

 

（ ）4.△ABC 中，AC3，BC3，C  90，則 sinB  (A)3 (B)1 (C)1 3 (D) 2 2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵ C  90，且ACBC3 ∴ A B  45 ∴ sin 2 2 B （ ）5.若△ABC 中，AB5，BC9，CA10，則 cos(A  B)  (A) 13

15  (B) 7 15  (C) 7 15 (D) 13 15 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ A B C  180

∴ cos(A B)  cos(180C)  cosC

2 2 2 9 10 5 13 2 9 10 15        

（ ）6.在三角形 ABC 中，若 sinA:sinB:sinC  2:3:4，則下列何者為真？ (A)cos 7 8 A  (B)cos 11 16 B (C)cos 1 4 C (D)以上皆非 【龍騰自命題】 解答 B 解析 ∵ a:b:c  2:3:4 ∴ 設 a  2k，b  3k，c  4k，k  0，由餘弦定理： 2 2 2 2 2 (3 ) (4 ) (2 ) 21 7 cos 2 3 4 24 8 k k k k A k k k        2 2 2 2 2 (2 ) (4 ) (3 ) 11 11 cos 2 2 4 16 16 k k k k B k k k        2 2 2 2 2 (2 ) (3 ) (4 ) 3 1 cos 2 2 3 12 4 k k k k C k k k          （ ）7.設A



3,a1



、B



0, 2



，若 AB 的斜角為2 3  ，則a (A) 3 (B) 3 3 (C) 3 (D) 6 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 tan AB m  

 

1 2 3 tan120 1 3 0 a         3 3 6 a a        （ ）8.△ABC 中，若 7 8 13

sinAsinBsinC ，則C  (A)75 (B)105 (C)120 (D)135

【龍騰自命題.】 解答 C

（ ）9.設 3 4



   ，則(1  tan)(1  tan)  (A)1 (B)2 (C)  1 (D)  2

解答 B

解析 tan( ) tan tan tan(3 ) 1

1 tan tan 4              

 tan tan 1  tan tan

故(1  tan)(1  tan)  1  (tan tan)  tan tan

 1  (  1  tan tan)  tan tan 2 （ ）10.△ABC 中，AB30公分，AC10公分，A  60，則sin

sin B C  (A)3 (B) 1 3 (C)  3 (D) 2 3  【龍騰自命題.】 解答 B 解析 30 10 sin 10 1

sin sin sin 30 3

B

C  B  C  

（ ）11.在△ABC 中，A、B、C 的對應邊分別為 a、b、c，若b2 6，A  45，C  75，則△ABC 的面積等於 (A) 6 2 3 (B) 3 3 (C) 6 3 (D) 6 2 3 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 B  60， 2 6 2 6 4 sin 60 sin 45 3 2 2 2 BC BC BC        ∴ △ABC 面積 1 4 2 6 sin 75 1 4 2 6 6 2 6 2 3 2 2 4            

（ ）12.設△ABC 之三邊長BC5，AC3，AB4，若A 的內角平分線與 BC 邊的交點為 D，則線段 AD 之長為 (A)9 2 7 (B) 10 2 7 (C)11 2 7 (D) 12 2 7 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 ∵ 三邊長為 3、4、5 ∴ BAC  90  BAD CAD  45 利用△ABD 面積  △ACD 面積  △ABC 面積

1 1 1

4 sin 45 3 sin 45 4 3 sin 90

2 AD 2 AD 2              3 2 2 6 4 AD AD    7 2 6 12 2 4 AD AD 7    

（ ）13.cos cos2 cos4

7 7 7  _{ } 的值為 (A)1 2(B) 1 3  (C)1 8(D) 1 8  【龍騰自命題.】 解答 D 解析 原式 2 4 2 2 4

8sin cos cos cos 4sin cos cos

7 7 7 7 7 7 7 8sin 8sin 7 7           

4 4 8

2sin cos sin sin

1

7 7 7 7

8

8sin 8sin 8sin

7 7 7              （ ）14.△ABC 中，若 a  3，b  5，c 19，則C  (A) 6  (B) 3  (C)2 3  (D)4 3  【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2 2 2 3 5 ( 19) 1 cos 2 3 5 2 C      ∴ C  60 3  

（ ）15.設 a、b、c 表△ABC 三邊長，若 b2 _{ (c  a)}2 _{ ca，則B 等於 (A)300 (B)120 (C)330 (D)60}

【龍騰自命題.】 解答 D 解析 b2 _(c  _a)2 _ca  _b2 _(c2 _2ac  _a2₎  _ca ∴ b2_ c2 a2 2ac  ca ∴ ac  a2 c2 b2 2 2 2 ₁ cos 2 2 2 a c b ac B ac ac      ∴ B  60 （ ）16.設cos 3 5    ， 2     ，則 sin 2 (A)24 25 (B) 24 25  (C) 9 50 (D) 7 25  【隨堂測驗.】 解答 B 解析 cos 3 5    ， 2    

sin 22sin cos  2 4 3

5 5      _{ }   24 25   （ ）17.直線L₁:y 3x7，L₂:y  3x6，若 為 L1和 L2之交角，則  (A) 3  (B) 4  (C) 5  (D) 6  【龍騰自命題.】 解答 A 解析 m₁ 3，m₂  3 2 1 2 1 3 3 2 3 tan 3 1 1 ( 3) 3 2 3 m m m m                  （ ）18.設 L1：x  y  1  0，L2：2x  y  3  0，若 L1和 L2之交角為，則 cos  (A) 4 10 (B) 3 10 (C) 2 10 (D) 1 10 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 L1斜率 m1 1，L2斜率 m2 2 L1與 L2交角 1 2 1 2 1 2 tan 3 1 1 ( 1) 2 m m m m               1 cos 10   

（ ）19.若兩直線 y  ax  3 與y 3x1的交角為 60，則 a  (A) 3或 0 (B) 3 或 0 (C) 3 或 3 (D) 3 或 1 3 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 m1 a， ₂ 3 3 3 tan 60 3 1 3 1 3 a a m a a             3 3a a 3     或 33a  a 3  a  3或 a  0

（ ）20.△ABC 中，若 b2 _{ (c  a)}2 _{ 3ca，則B  (A)30 (B)60 (C)120 (D)150}

【龍騰自命題.】 解答 C

解析 b2 _(c  _a)2 _3ca  _b2 _c2 _2ca  _a2 _3ca   _ca  _c2 _a2 _b2

2 2 2 ₁ cos 120 2 2 2 c a b ca B B ca ca           

（ ）21.下列敘述何者錯誤？ (A)sin2  2sin cos (B)cos2  sin2  cos2 _(C)cos2  2cos2  1 (D)cos2  1  2sin2

【龍騰自命題.】 解答 B （ ）22.tan195  (A) 3 1 4  (B) 3 1 4  (C) 2 3 (D) 3 2 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）23.已知兩直線 L1平行 x 軸，L₂: 3x  y 6 0，則 L1與 L2的夾角為 (A)30與 150 (B)45與 135 (C)60與 120 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 C

（ ）24.試求 cos(15   )cos(30   )  sin(30   )sin(15   )  (A) 6 2 4  (B) 6 2 4  (C) 3 2 (D) 2 2 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 原式 cos[(15 ) (30 )] cos 45 2 2           

（ ）25.設sin



 45 sin15



  k cos 45 cos



 15



，則k之值為何？ (A) 0 (B)1 2 (C) 2 2 (D) 3 2 【103 年歷屆試題.】 解答 B

解析 ∵ sin



   45



sin 45，cos



  15



cos15 ∴ 原式可化簡如下

 sin 45 sin15   k cos45 cos15 

 kcos45 cos15  sin 45 sin15 cos 45



  15



cos 60 1 2   