0913 三角函數的應用解答

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三角函數的應用 0913 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.下列各等式何者恆為正確? (A)cos(x  y)  cos(y  x) (B)cos0  0 (C)sin2x  2sinx (D)tan(x  y)  tanx  tany 解答 A【091 年歷屆試題.】

解析 由題目及公式,可得

(A)cos(x y)  cos[  (y x)] cos(y x)正確(∵ cos(  )  cos) (B)cos0  0 錯誤(∵ cos0  1)

(C)sin2x 2sinx 錯誤(∵ sin2x 2sinxcosx)

(D)tan(x y) tanx tany 錯誤(∵ tan( ) tan tan 1 tan tan x y x y x y     )

( )2.△ABC 三內角A、B、C 之對應邊長分別為 a、b、c,若a2 3,b  2,A  120,則 c  (A) 3 (B)2 (C)3 (D) 2 3【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 題目中,a2 3,b  2,A  120 由此三條件只能先求B 利用正弦定理 sin sin a b A B   2 3 21 sin120 sin B    3  sinBsin120  3 1 2 1 sin 2 B    B  30或 150(不合)  B  30 再推得C  30 ∵ B C  30  b c  2(等腰) 另解:利用餘弦定理 2 2 4 (2 3) cos120 2 2 C C       2 1 8 2 4 C C    C2 2C 8 0 C  4(不合)、2 ( )3.已知 為銳角,若cos 2 3 4   ,則 sin (A) 2 3 (B) 2 4 (C) 2 2 3 (D) 3 2 4 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 ∵ 2 cos 2 1 2sin  2 3 2 1 1 2sin sin 4 8        1 sin 8     (∵ 為銳角 ∴ 負不合)

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故sin 1 2 4 2 2

 

( )4.△ABC 中,AC3,BC3,C  90,則 sinB  (A)3 (B)1 (C)1 3 (D) 2 2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵ C  90,且ACBC3 ∴ A B  45 ∴ sin 2 2 B( )5.若△ABC 中,AB5,BC9,CA10,則 cos(A  B)  (A) 13

15  (B) 7 15  (C) 7 15 (D) 13 15 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ A B C  180

∴ cos(A B)  cos(180C)  cosC

2 2 2 9 10 5 13 2 9 10 15        

( )6.在三角形 ABC 中,若 sinA:sinB:sinC  2:3:4,則下列何者為真? (A)cos 7 8 A  (B)cos 11 16 B (C)cos 1 4 C (D)以上皆非 【龍騰自命題】 解答 B 解析 ∵ a:b:c  2:3:4 ∴ 設 a 2k,b 3k,c 4k,k  0,由餘弦定理: 2 2 2 2 2 (3 ) (4 ) (2 ) 21 7 cos 2 3 4 24 8 k k k k A k k k        2 2 2 2 2 (2 ) (4 ) (3 ) 11 11 cos 2 2 4 16 16 k k k k B k k k        2 2 2 2 2 (2 ) (3 ) (4 ) 3 1 cos 2 2 3 12 4 k k k k C k k k          ( )7.設A

3,a1

B

0, 2

,若 AB 的斜角為2 3  ,則a (A) 3 (B) 3 3 (C) 3 (D) 6 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 tan AB m  

 

1 2 3 tan120 1 3 0 a         3 3 6 a a        ( )8.△ABC 中,若 7 8 13

sinAsinBsinC ,則C  (A)75 (B)105 (C)120 (D)135

【龍騰自命題.】 解答 C

( )9.設 3 4

   ,則(1  tan)(1  tan)  (A)1 (B)2 (C)  1 (D)  2

(3)

解答 B

解析 tan( ) tan tan tan(3 ) 1

1 tan tan 4              

 tan tan 1  tan tan

故(1  tan)(1  tan)  1  (tan tan)  tan tan

 1  (  1  tan tan)  tan tan 2 ( )10.△ABC 中,AB30公分,AC10公分,A  60,則sin

sin B C  (A)3 (B) 1 3 (C)  3 (D) 2 3  【龍騰自命題.】 解答 B 解析 30 10 sin 10 1

sin sin sin 30 3

B

CBC  

( )11.在△ABC 中,A、B、C 的對應邊分別為 a、b、c,若b2 6,A  45,C  75,則△ABC 的面積等於 (A) 6 2 3 (B) 3 3 (C) 6 3 (D) 6 2 3 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 B  60, 2 6 2 6 4 sin 60 sin 45 3 2 2 2 BC BC BC        ∴ △ABC 面積 1 4 2 6 sin 75 1 4 2 6 6 2 6 2 3 2 2 4            

( )12.設△ABC 之三邊長BC5,AC3,AB4,若A 的內角平分線與 BC 邊的交點為 D,則線段 AD 之長為 (A)9 2 7 (B) 10 2 7 (C)11 2 7 (D) 12 2 7 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 ∵ 三邊長為 3、4、5 ∴ BAC  90  BAD CAD  45 利用△ABD 面積 △ACD 面積 △ABC 面積

1 1 1

4 sin 45 3 sin 45 4 3 sin 90

2 AD 2 AD 2              3 2 2 6 4 AD AD    7 2 6 12 2 4 AD AD 7    

( )13.cos cos2 cos4

7 7 7  的值為 (A)1 2(B) 1 3  (C)1 8(D) 1 8  【龍騰自命題.】 解答 D 解析 原式 2 4 2 2 4

8sin cos cos cos 4sin cos cos

7 7 7 7 7 7 7 8sin 8sin 7 7           

(4)

4 4 8

2sin cos sin sin

1

7 7 7 7

8

8sin 8sin 8sin

7 7 7              ( )14.△ABC 中,若 a  3,b  5,c 19,則C  (A) 6  (B) 3  (C)2 3  (D)4 3  【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2 2 2 3 5 ( 19) 1 cos 2 3 5 2 C      ∴ C  60 3  

( )15.設 a、b、c 表△ABC 三邊長,若 b2  (c  a)2  ca,則B 等於 (A)300 (B)120 (C)330 (D)60

【龍騰自命題.】 解答 D 解析 b2 (c a)2 ca b2 (c2 2ac a2) ca ∴ b2 c2 a2 2ac ca ∴ ac a2 c2 b2 2 2 2 1 cos 2 2 2 a c b ac B ac ac      ∴ B  60 ( )16.設cos 3 5    , 2     ,則 sin 2 (A)24 25 (B) 24 25  (C) 9 50 (D) 7 25  【隨堂測驗.】 解答 B 解析 cos 3 5    , 2    

sin 22sin cos  2 4 3

5 5         24 25   ( )17.直線L1:y 3x7,L2:y  3x6,若 為 L1和 L2之交角,則  (A) 3  (B) 4  (C) 5  (D) 6  【龍騰自命題.】 解答 A 解析 m1 3,m2  3 2 1 2 1 3 3 2 3 tan 3 1 1 ( 3) 3 2 3 m m m m                  ( )18.設 L1:x  y  1  0,L2:2x  y  3  0,若 L1和 L2之交角為,則 cos  (A) 4 10 (B) 3 10 (C) 2 10 (D) 1 10 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 L1斜率 m1 1,L2斜率 m2 2 L1與 L2交角 1 2 1 2 1 2 tan 3 1 1 ( 1) 2 m m m m               1 cos 10   

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( )19.若兩直線 y  ax  3 與y 3x1的交角為 60,則 a  (A) 3或 0 (B) 3 或 0 (C) 3 或 3 (D) 3 或 1 3 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 m1 a, 2 3 3 3 tan 60 3 1 3 1 3 a a m a a             3 3a a 3     或 33a  a 3  a  3或 a  0

( )20.△ABC 中,若 b2  (c  a)2  3ca,則B  (A)30 (B)60 (C)120 (D)150

【龍騰自命題.】 解答 C

解析 b2 (c a)2 3ca b2 c2 2ca a2 3ca   ca c2 a2 b2

2 2 2 1 cos 120 2 2 2 c a b ca B B ca ca           

( )21.下列敘述何者錯誤? (A)sin2  2sin cos (B)cos2  sin2  cos2 (C)cos2  2cos2  1 (D)cos2  1  2sin2

【龍騰自命題.】 解答 B ( )22.tan195  (A) 3 1 4  (B) 3 1 4  (C) 2 3 (D) 3 2 【龍騰自命題.】 解答 C ( )23.已知兩直線 L1平行 x 軸,L2: 3x  y 6 0,則 L1與 L2的夾角為 (A)30與 150 (B)45與 135 (C)60與 120 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 C

( )24.試求 cos(15   )cos(30   )  sin(30   )sin(15   )  (A) 6 2 4  (B) 6 2 4  (C) 3 2 (D) 2 2 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 原式 cos[(15 ) (30 )] cos 45 2 2           

( )25.設sin

 45 sin15

  k cos 45 cos

 15

,則k之值為何? (A) 0 (B)1 2 (C) 2 2 (D) 3 2 【103 年歷屆試題.】 解答 B

解析 ∵ sin

   45

sin 45,cos

  15

cos15 ∴ 原式可化簡如下

 sin 45 sin15   k cos45 cos15 

kcos45 cos15  sin 45 sin15 cos 45

  15

cos 60 1 2   

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