2-2-3排列組合-二項式定理
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(2) 【定理】 1. 二項式定理： (1) ( x + y ) n n. = C0n x n + C1n x n−1 y + L + Cnn−1 xy n−1 + Cnn y n = ∑ Ckn x n − k y k (依升次排列)。 k =0. (2) ( x + y ) n n. = C0n y n + C1n xy n −1 + L + Cnn−1 x n −1 y + Cnn x n = ∑ Ckn x k y n − k (依 x 升次排列)。 k =0. 證明： 利用數學歸納法， (1) 當 n = 1 時， ( x + y )1 = x + y ，故原式成立。 k. k i k −i (2) 設 n = k 時，原式成立，即 ( x + y ) = ∑ C i x y. k. i =0. 則 n = k + 1 時， ( x + y ) k +1 = ( x + y ) k ( x + y ) = (C 0k x k y 0 + C1k x k −1 y 1 + L + C 0k x k − k y k )( x + y ) = C 0k x k y 0 + (C1k + C 0k ) x k y 1 + L + (C ik + C ik−1 ) x k +1−i y i + L + (C kk + C kk−1 ) x 1 y k + C kk y k +1. (利用 C kk = C kk++11 及巴斯卡原理 Cik + Cik−1 = Cik +1 ) = C 0k +1 x k +1 y 0 + C1k +1 x k +1−1 y 1 + L + C 0k +1 x 0 y k +1 ， 原式成立。 n. 故由數學歸納法可知 ( x + y ) = ∑ C kn x n − k y k ，對於任意正整數 n 都成立。 n. k =0. 註：. (1). x n − k y k 的係數為 n − k 個 x 與 k 個 y 排列而成，即. n! = C kn 。 k!(n − k )!. (2) ∑ 的表示法不唯一。 (3) 此 公 式 可 以 用 於 估 計 的 問 題 中 。 例 如 ： 10. (0.99)10 = (1 − 0.01)10 = ∑ C k10 x 10 − k y k ，展開後取近似值即可。 k =0. 2.. 多項式定理： 設 n 為正整數，則 ( x1 + x 2 + L + x k ) n =. n! n n n x1 1 x 2 2 L x k k 。 n1 + n2 +L+ nk = n n1! n 2 !L n k !. ∑. ni ≥ 0 ,i =1, 2 ,L, k. 17.
(3) 【性質】 1. 性質： (1) C0n + C1n + L + Cnn−1 + Cnn = 2 n 。 n n n n n n (2) C 0 + C 2 + C 4 + L = C1 + C 3 + C 5 + L (3) C0n + C1n ⋅ 2 + C2n ⋅ 22 + L + Cnn ⋅ 2n = 3n 。 註：. (1 + 1) n = C0n 1n + C1n 1n −1 ⋅ 1 + C2n 1n − 2 ⋅ 12 + L + Cnn 1n = C0n + C1n + C2n + L + Cnn ，. 2.. 3.. 故 C0n + C1n + C2n + L + Cnn = 2n 。 令集合 A = {a1 , a2 , L , an }，則 A 的部分集合中，含 0 個元素者有 C0n 個，含 1 個 元素者有 C1n 個，含 2 個元素者有 C2n 個，…，含 n 個元素者有 Cnn 個，故 A 的 所有部分集合共有 C0n + C1n + C2n + L + Cnn 個。另一方面， A 中有 n 個元素，故 A 有 2n 個部分集合，所以 C0n + C1n + C2n +L + Cnn = 2n 。 巴斯卡三角形： 將 ( x + y ) n 展開式的係數由 n = 0,1,2,L 逐一列出成三角形狀，這種形如三角 形的結構稱為巴斯卡三角形。其中最核心的部分是 Ckn−−11 + Ckn −1 = Ckn ﹐稱為巴 斯卡定理。 1 C00 n=0 11 n =1 C11 C 01 121 n=2 C 22 C12 C 02 1 331 n=3 14641 C33 C23 C13 C03 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 C 44 C 34 C 34 C14 C 04 巴斯卡定理： 設 n 是正整數，若正整數 k ≤ n − 1 ，則 Ckn−−11 + Ckn −1 = Ckn 。 註：. (1) Ckn−−11 + Ckn −1 = =. (n − 1) ! ( n − 1) ! (n − 1) ! + [k + (n − k )] = (n − k ) !( k − 1) ! ( n − 1 − k ) ! k ! (n − k ) ! k !. n! = Ckn 。 (n − k ) ! k !. (2) 可以用組合觀點看巴斯卡定理：令集合 A = {a1 , a2 , L , an } ，則 A 中所有 含 k 個元素的部分集合有 Ckn 個，它可以依是否含 an 分成互斥的兩類， 第一類是含有 an 在內的部分集合，有 Ckn−−11 個；第二類是不含 an 在內的部 分集合，有 Ckn −1 個，故 Ckn = Ckn−−11 + Ckn −1 。. 18.
(4) 【問題】 1. 試證單調性： (1) 當 n 為偶數時，有 C0n < C1n < L < C nn 且 C nn > L > Cnn−1 > Cnn 。 2. 2. (2) 當 n 為奇數時，有 C0n < C1n < L < C nn−1 = C nn+1 ， 2. 且C. n n −1 2. =C. n n +1 2. >L> C. n n −1. 2. >C 。 n n. n. 2.. k n 試證： ∑ (−1) C k = 0 。 k =0 n. 3.. n n −1 試證： ∑ kC k = n × 2 。 k =0 n. 4.. 1 1 (2 n +1 − 1) 。 C kn = 1 1 + + k n k =0. 試證： ∑ n. 5.. r +1 試證： ∑ C kr = C k +1 。 r =0 n. 6.. 試證： ∑ (C kn ) 2 = C n2 n 。 k =0. r. 7. 8. 9.. n m+n 試證 Vandermonde 恆等式： ∑ C im C r −i = C r 。 m + n +1` m. m+n m. i =0 m + n −1 m −1. =C +C + L + C 0n 。 試證： C 求下列各級數和： (1) C020 + C220 + C420 + L + C2020 。 (2) C020 + C120 × 2 + C220 × 22 + L + C2020 × 220 。 (3) C320 + C319 + C318 + L + C33 。 解答： (1)在 ( x + 1)20 的展開式中， x 以 1代入得 (1 + 1)20 = C020 + C120 + C220 + C320 + L + C1820 + C1920 + C2020 = 220 。. 在 ( x − 1)20 的展開式中， x 以 1代入得 (1 − 1) 20 = C020 − C120 + C220 − C320 + L + C1820 − C1920 + C2020 = 0 ，. 即 C020 + C220 + C420 + L + C2020 = C120 + C320 + L + C1920 ， 1 2. 故 C020 + C220 + C420 + L + C2020 = × 220 = 219 。. (2)在 ( x + 2)20 的展開式中， x 以 1代入得 (1 + 2)20 = C020 + C120 × 2 + C220 × 22 + L + C2020 × 220 ，. 即 C020 + C120 × 2 + C220 × 22 + L + C2020 × 220 = 320 。 (3)原式 = C33 + C34 + C35 + C36 + L + C320 = C44 + C34 + C35 + C36 + L + C320 (由巴斯卡公式得之) = C45 + C35 + C36 + L + C320 = C46 + C36 + L + C320 = C421 = 5985 。. 19.
(5)
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