《轴对称图形》全章复习与巩固—知识讲解（基础）
【学习目标】 1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用； 2. 了解线段、角的轴对称性，并掌握与其相关的性质； 3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、轴对称1.
轴对称图形和轴对称 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做 轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点 在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形； 轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿 对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成 一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.
线段的垂直平分线 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 3.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点， 再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线 段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 4.用坐标表示轴对称 点（x
,y
）关于x
轴对称的点的坐标为（x
,－y
）；点（x
,y
）关于y
轴对称的点 的坐标为（－x
,y
）；点（x
,y
）关于原点对称的点的坐标为（－x
,－y
）. 要点二、线段、角的轴对称性 1.线段的轴对称性 （1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； （3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平 分线 2.角的轴对称性 （1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴. （2）角平分线上的点到角两边的距离相等. （3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 要点三、等腰三角形1.
等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三 线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于 45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.2.
等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于 60°. （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 【典型例题】 类型一、轴对称的判断与应用 1、（2016 秋•扬中市期中）电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（ ） A.21：10 B.10：21 C.10：51 D.12：01 【思路点拨】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下 颠倒，且关于镜面对称. 【答案与解析】根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与 10:51 成轴对称，所 以此实际时刻为 10:51，故选 C. 【总结升华】本题考查镜面反射的原理与性质，从镜子里看物体——左右相反. 举一反三： 【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（ ）. 【答案】B ；提示：从水中看物体——上下颠倒 2、如图，C、D、E、F 是一个长方形台球桌的 4 个顶点，A、B是桌面上的两个球， 怎样击打 A 球，才能使 A 球撞击桌面边缘 CF 后反弹能够撞击 B 球？请画出 A球经 过的路线，并写出作法． 【答案与解析】 解：作点 A 关于直线 CF 对称的点 G，连接 BG 交 CF 于点 P，则点 P 即为 A球撞击桌面边 缘 CF 的位置，A球经过的路线如下图.
【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把 AP 转化成了线段 GP，通过找 A 点的对称点， 从而确定点 P 的位置.
举一反三：
【变式】已知∠MON 内有一点 P，P 关于 OM，ON 的对称点分别是
P
1和P
2，P P
1 2分别交OM, ON与点 A、B，已知
PP
1 2＝15，则△PAB 的周长为（ ）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24 【答案】A； 提示：根据轴对称的性质，
PA P A PB PB
1,
1 ，△PAB 的周长等于P P
1 2. 3、如图，ΔABC 中，点 A 的坐标为（0，1），点 C 的坐标为（4，3），点 B 的坐 标为 （3，1），如果要使 ΔABD 与 ΔABC 全等，求点 D 的坐标．【思路点拨】关于 AB 直线对称，且与△ABC 全等的△ABD 有一个，此时的△ABC 与 △ABD 绕着 AB 的中点旋转 180°，又可以找到两个与△ABC 全等的三角形.
【答案与解析】
漏解. 举一反三： 【 变 式 】 在 直 角 坐 标 系
xoy
中 ， △ ABC 关 于 直 线y
＝ 1 轴 对 称 ， 已 知 点 A 坐 标 是 （4，4），则点 B 的坐标是（ ） A.（4，－4） B.（－4，2） C.（4，－2） D.（－2，4） 【答案】C； 提示：点 A 和点 B 是关于直线y
＝1 对称的对应点，它们到y
＝1 的距离相等是 3个单位长度，所以点 B 的坐标是（4，－2）． 类型二、等腰三角形的性质与判定 4、已知：一等腰三角形的两边长x
，y
满足方程组2
3
3
2
8
x y
x
y
，则此等腰三角形 的周长为（ ） A.5 B.4 C.3 D.5或 4 【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所 以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形. 【答案】A； 【解析】 解：解方程组2
3
3
2
8
x y
x
y
得2
1
x
y
， 当腰为 1，2 为底时，1＋1＝2，不能构成三角形， 当腰为 2，1 为底时，能构成三角形，周长为 2＋2＋1＝5 【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周 长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不 符合题意的舍去． 举一反三： 【变式】已知等腰三角形的一个内角为 70°，则另两个内角的度数是（ ） A.55°，55° B.70°，40° C.55°，55°或 70°，40° D.以上都不对 【答案】C； 提示：当 70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2 ＝55°，当 70°为底角时,另外一个底角也是 70°,顶角是 180°－140°＝40°．5、如图，AB∥CD，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆弧，分别交 AB，AC 于 E，F 两点，再分别以 E，F 为圆心，大于 EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点 P，作射 线 AP，交 CD 于点 M． （1）若∠ACD=114°，求∠MAB 的度数； （2）若 CN⊥AM，垂足为 N，求证：AN=MN． 【思路点拨】（1）根据 AB∥CD，∠ACD=114°，得出∠CAB=66°，再根据 AM 是 ∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数；
（2）由 AB∥CD，得出∠MAB=∠CMA，AM 是∠CAB 的平分线，∠MAB=∠CAM，得出 ∠CAM=∠CMA，得出△ACM 为等腰三角形，再由 CN⊥AM 三线合一求得结论即可． 【答案与解析】 （1）解：∵AB∥CD， ∴∠ACD+∠CAB=180°， 又∵∠ACD=114°， ∴∠CAB=66°， 由作法知，AM 是∠CAB 的平分线， ∴∠MAB= ∠CAB=33°； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠MAB=∠CMA， ∵AM是∠CAB 的平分线， ∴∠MAB=∠CAM， ∴∠CAM=∠CMA， ∴CA=CM， 又∵CN⊥AM， ∴AN=MN． 【总结升华】此题考查角平分线的作法和意义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质 （三线合一）等知识解决问题． 举一反三： 【变式 1】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC 的形状，并说明 理由．
【答案】 解：△AEC 是等腰三角形． 理由如下：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE， 又∵AB＝AD，∠B＝∠D， ∴△ABC≌△ADE（ASA）， ∴AC＝AE． 即△AEC 是等腰三角形．
【变式 2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC 的边 AB、AC 为直角边向外作等腰直角△ABE 和△ACD，M 是 BC 的中点，请你探究线段 DE 与 AM 之间的数量关系． 【答案】ED＝2AM 解：连接 DE， ∵∠BAC＝90°，M 是 BC 的中点 ∴AM＝BM＝MC＝
1
2
BC
∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD ∴△ABC≌△AED ∴ED＝BC ∴ED＝2AM 类型三、等边三角形的性质与判定6、如图，设Ｄ为等边△ABC 内一点，且 AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求 ∠BPD 的度数. 【答案与解析】 解：如图，连接 CD， ∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，又 AD＝BD，DC 是公共边， ∴△BDC≌△ADC（SSS）， ∴∠DCB＝∠DCA＝
1
2
×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC， ∵∠DBP＝∠DBC， ∴∠DAC＝∠DBP， 又已知 BP＝AB， ∴BP＝AC， ∴△DBP≌△DAC（SAS）， ∴∠P＝∠ACD＝30°． 【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角 形 全等时，关键是选择恰当的判定条件． 举一反三：【变式】如图，已知点 B、C、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形．BE 交 AC 于 F，AD 交 CE 于 H．
（1）求证：△BCE≌△ACD； （2）求证：FH∥BD．
【答案】 证明：（1）∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°， ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， ∴在△BCE 和△ACD 中， ∵ ， ∴△BCE≌△ACD （SAS）． （2）由（1）知△BCE≌△ACD， 则∠CBF=∠CAH，BC=AC 又∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点 B、C、D 在同一条直线上， ∴∠ACH=180° ∠ACB ∠HCD=60°=∠BCF﹣ ﹣ ， 在△BCF 和△ACH 中， ∵ ， ∴△BCF≌△ACH （ASA）， ∴CF=CH， 又∵∠FCH=60°， ∴△CHF为等边三角形 ∴∠FHC=∠HCD=60°， ∴FH∥BD．
