4－1正弦定理與餘弦定理

(1)

４－１．正弦定律與餘弦定律

[計算題]

　　１.設△ABC 之三邊長的比 a：b：c＝2：3：4，試求 cot A：cot B：cot C。

　　２.設△ABC 的三邊長 a , b , c 為方程式 x3_－2(1＋ ₃_)x2_＋(3＋4 ₃_{)x－6＝0 之三根，試求(1)a}2_＋b2 ＋c2_{＝？ (2)} a A sin ＋ b B sin ＋ c C sin ＝？　　３.在△ABC 中，已知AB＝7，BC＝8，CA＝9，且其內切圓切BC邊於 D，試求AD之長度。　　４.設△ABC 之三邊長 a b c﹐ ﹐ 滿足 a－2b＋c＝0，3a＋b－2c＝0，試求 sinA：sinB：sinC 及

cosA：cosB：cosC。　　５.設圓內接四邊形 ABCD 中，已知∠B＝60°，AB＝3，BC＝5，AD＝2，試求CD之長與此四邊形面積。　　６.在△ABC 中，已知 5 4 sin A 1  ＝， 13 12 sin B 1  ＝，試求此三角形三邊長a b c﹐ ﹐ 的比值。　　７.設△ABC 中，a b c﹐ ﹐ 邊上的高分別為 ha＝3，hb＝4，hc＝6，試求其面積與三邊長度。　　８.設△ABC 的三中線之長分別為 9 12 15﹐ ﹐ ，試求此三角形面積。　　９.設圓內接四邊形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝6，試求 cosB 及此四邊形面積。　１０.已知 A B﹐ 兩村莊相距 28 公里，道路BA與BC成60°夾角。若甲由 B 沿BC行走，同時乙由A 以兩倍速率沿AB方向前進，試問甲走幾公里之後，甲、乙兩人之距最近？　１１._如_右_圖_，_P_為_正_方_形_A_B_C_D_內_部_的_一_點_，_AP_＝₁₇_，_BP_＝₅_，_CP ＝1_{3 △}_，_將BCP_以B_為_中_心_，_依_逆_時_針_方_向_旋_轉90°_，_使BC_與 BA_重_合_時P_的_新_位_置_為Q_，_試_求PQ_及AB_。　１２.氣象預報，一颱風下午 2 時的中心位置在鵝鑾鼻燈塔正南方 300 公里處，暴風半徑為 250 公里，時速50 公里，朝北 30°西等速前進（速度，方向，半徑均不變），鵝鑾鼻燈塔在暴風圈內，前後共多少小時？ [４－１．正弦定律與餘弦定律][單選題] 　　１.設 a，b，c 表△ABC 的三邊長且b2_－(c_－a)2_＝－ca_，則＝ B  (A)30° (B)60° (C)90° (D)120° (E)150°。

(2)

2 24 (D)25 2 (E)26 2。　　３.在△ABC 中AB＝30，AC＝10，A＝60°，則 C sin B sin   之值＝ (A) 2 1 (B) 3 1 (C) 4 1 (D) 5 1 (E) 6 1 。

　　４.在△ABC 中A_＝80°，B_＝40°，AB＝3 3，則△ABC 之外接圓面積＝ (A)5



(B)6



(C)7



(D)8



(E)9



。

　　５.設△ABC 之三邊長 a，b，c 滿足 a＝ _b2_＋ ₃_bc_＋_c2 ，則此三角形之最大內角為 (A)90° (B)120° (C)135° (D)150° (E)165°。

　　６.設 G 是△ABC 的重心，且AG＝7 , BG＝9 , CG＝8，則△ABC 之面積＝ (A)30 5 (B)32 5 (C)34 5 (D)36 5 (E)38 5。

　　７.設△ABC 中AB＝10 , AC＝10 3 , ∠B＝120°，△ABC 之面積＝ (A)25 2 (B)25 3 (C)75 (D)30 2 (E)30 3。　　８.梯形 ABCD 中AD//BC且AB＝13 , BC＝25 , CD＝15 , AD＝11，則此梯形面積＝ (A)210 (B)212 (C)214 (D)216 (E)218。 [４－１．正弦定律與餘弦定律][填充題] 　　１. 設AOB＝120的角平分線OC_，_一_直_線_截OA_， OB_，OC_於P_，Q_，R_且OP_＝p_，OQ_＝q_，OR_＝r_，則_pr＋_gr＝。

　　２.在△ABC 中AB＝7，CA＝8，A＝120°，則 sin A：sin B：sin C 之最簡整數比＝。

　　３. 在△ABC_中AB_＝6_，AC_＝4_，BC_＝5_，_若D_為BC_上_一_點_使AD ＝4_，_則BD_＝_。　　４.已知一四邊形兩對角線段長各為 4 及 6，且對角線段之夾角是 60°，則此四邊形的面積＝。　　５.已知ABCD為一矩形滿足AB＝3AD，且為兩條對角線的一個交角，則sin_＝_。　　６. 設圓內接四邊形ABCD_中CAD＝30°_，ACB＝45°_，CD_＝ 2_，_則AB_＝_。　　７.平面上一三角形之三邊長比值為 4：5：6，並令最大邊所對之角為，則sec＝。　　８.在△ABC 中 D 為AC上之一點，∠ABD＝90° , ∠CBD＝30°且 AB 1 ＋ BC a ＝ BD b ，則a＝　　

(3)

；b＝　　　　　　　　。

　　９.在△ABC 中∠ABC＝60°，∠ABC 的角平分線交AC 於D，已知AB＝6 , BD＝2 3，則線段

AC 的長度＝　　　　　　　　；△ABC 的面積＝　　　　　　　　。

　１０.在△ABC 中已知 sinA：sinB：sinC＝2：3：4，則 cscA＝　　　　　　　　；cosA：cosB： cosC＝　　　　　　　　。　１１.在△ABC 中AB＝2 5 , AC＝3 5 , tan 2 A ＝ 2 1 ，則BC邊上的中線長＝　　　　　　　　；若∠A 的平分線交BC於D 時，AD＝　　　　　　　　。

　１２.在△ABC 中∠A＝120° , AB＝10 , AC＝8，且AD為∠BAC 之分角線，則AD的長度＝　　；△ABC 的外接圓面積＝　　　　　　　　。

　１３.右圖之圓內接四邊形ABCD_中_，_已_知AB_＝3,BC_＝5,AD_＝2,∠ B_＝60°_，_則CD_之_長_度_＝ _；ABCD_的_面_積

＝。

　１４.設 P 為正△ABC 邊BC上異於B 與 C 之點，已知BC＝1，且 R , R分別表示△ABP , △ACP 的

外接圓半徑，則 R R ＝　　　　　　　　；R＋R最小值＝　　　　　　　　。　１５.設∆ABC 中，AB=2，AC =1+ 3，<A=300_，則_BC_{的長度為， <C 的大小為。} 　１６. 一個正三角形的面積為 36，今截去三個角(如下圖)，使成為正六邊形，此正六邊形的面積為。　１７.在∆ABC 中，已知<C=600_，_AC_{=3000 公尺，}_BC_{=2000 公尺，則<A 為度。(度以下四捨五} 入)( 3=1.732， 7=2.646， 21=4.583) 　１８.已知圓內接四邊形的各邊長AB=1，BC=2，CD=3，DA=4，則對角線BD的長度為。１９.2a，2a+3，2a+6為一鈍角之三邊長，則 a 之範圍為。△ 　２０.已知△ABC 中，AC =2，BC= 6+ 2 ，∠A=105°，則AB= 。　２１.△ABC 中，∠A= 60°，BC=2，則此三角形之外接圓的半徑 = 。　２２.△ABC 中，∠B= 55°，∠C =65°，BC= 9 公分，則外接圓半徑 = 公分。　２３. 3 2 (a+b－c)=sinA+sinB－sinC，則外接圓半徑 R = 。　２４.△ABC 中， 4 1 ( a + b－c ) = sinA +sinB－sinC，則△ABC 之外接圓半徑 = 。　２５.△ABC 之內切圓圓心為 O，∠A：∠B：∠C = 1：2：3 ，則OA：OB ：OC= 。　２６.△ABC 中，b = 2，c =2 3，∠B = 30°，則∠A= 。

　２７.△ABC 中，∠A= 45°，∠B = 30°，c = 3，則△ABC 之外接圓半徑 = ，△ABC 之面積 = 。　２８.△ABC 中，( b + c )：( c + a )：( a + b) = 4：5：6，則 sinA：sinB：sinC = 。

(4)

　３０.△ABC 中，a，b，c 成等差數列，則3(sinA₂_sin(sin_AC_)_C₎4sinB = 。　３１.△ABC 中，a：b：c = 3：5：7，則 B sin C sin A sin  = 。　３２.△ABC 中，sinA：sinB：sinC = 3：5：7，則最大內角之大小為= 。

　３３.△ABC 三邊長之比為 a：b：c = 2：2：( 3+1)，則 cosA：cosB：cosC = 。

　３４.△ABC 中， A sin 4 = B sin 5 = C sin 7 ，則csc B = 。　３５.△ABC 中，AB= 5，BC= 8，CA = 7，則∠ABC = 。　３６.△ABC 之三高為ha 6,hb 4,hc 3，則最小內角之餘弦為，最小邊長為。　３７.△ABC 中，( a + b +c ) ( a + b－c ) = ( 2－ 3) ab，則∠C = 。

　３８.△ABC 中，a = 3，b = 4，tanA =

4 3

，則 c = 。

　３９.三角形之邊長為 a，b， aabb，則此三角形之最大內角度數為。

　４０.△ABC 中，a，b，c 為∠A，∠B，∠C 之對邊長，( b－c ) cos2_{A = bcos}2_{B－ cos}2_{C，則△ABC 之} 形狀為。　４１.在圓內接四邊形 ABCD，AB=AD=1，∠C = 90°，∠D = 105°，則AC = 。　４２.△ABC 之內切圓半徑 r =4，若其一邊被切點分成 6 及 8 之兩段，則此三角形之三邊長= ，面積 = 。　４３.△ABC 三邊長 a = 6，b = 5，c = 4，則 (1) △ABC 之面積= ，(2)內切圓半徑= ，(3)外接圓半徑= ，(4)BC 邊之中線長= 。

　４４.△ABC 之三邊長分別為 7，4 2，5，其內切圓切三邊於 A´，B´，C´，則△ABC 與△A´B´C´之

面積比為= 。　４５.△ABC 中，a = 5，b =6，c = 7，則 A cos c b B cos c a   = 。

　４６.△ABC 中，b2_sin2_C－c2_cos2_{B=2bccosBcosC，則△ABC 之形狀為。}

　４７.△ABC 中， a，b，c 為∠A，∠B，∠C 之對邊長，若 a2_sin2_{B + b}2_sin2_{A = 2abcosAcosB，則} △ABC 之形狀為。　４８.平行四邊形 ABCD，AB= 5，AD=3，∠BAD = 60°，則AC = 。　４９.△ABC，AB= 4，AC =7，中線 2 7 AM  ，則BC= 。　５０.△ABC，∠B = 60°，BD為∠B 之分角線，AB= 5，BC= 3，則BD= 。　５１.△ABC 中∠C=60°，∠C 之平分線交AB於D，a=BC=2，b=AC = 1，則CD長度= 。

　５２.△ABC 中，b = 5，c = 2，∠A = 60°，則∠A 外角平分線長為。

　５３.半徑為 3，4，5 之三圓互相外切，其圓心分別為 O，則△O1O2O3之外接圓半徑為。

　５４.四邊形之兩對角線長分別為 10 與 7，若兩夾角分別為 θ，ψ，且 θ= 5ψ，則此四邊形之面積= 。　５５.G 為△ABC 的重心，AG=7、BG=9、CG =8，則△ABC 的面積。

　５６.△ABC 中，( a + b + c ) ( b + c－a ) = 3 bc，a = 3 ，則△ABC 之外接圓半徑= 。

　５７.△ABC 中，AB=7，BC=8，CA=9，若其內切圓與三邊之切點分別為 A´、B´、C´，則△A´B´C´

面積= 。

(5)

　５９.△ABC 中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，BC：CA：AB=2：x：y，則 x= ，y = 。

　６０.△ABC，AB= 9，AC =8，∠A = 40°，在AB上取一點D，在AC 上取一點E，而DE把

△ABC 的面積等分為二，若要求DE之長度為最短，則AD= 。

　６１.△ABC 之周長為 20，內切圓半徑 3，∠A = 60°，b＜c，又 a，b，c 為整數，則(1) △ABC 之面

積 = (2) a，b，c 之值為 (3)外接圓半徑 R= 。　６２.△ABC 中，a，b，c 成等差，則 2 C tan 2 A tan = 。 [４－１．正弦定律與餘弦定律][綜合題] 　　１.設△ABC 之三邊長分別為 4，6，8，則　

(1)△ABC 之面積為 (A)3 15 (B)12 (C)7 3 (D)5 5 (E)16。

(2)△ABC 之內切圓半徑為 (A) 9 5 5 _(B) 3 15 _(C) 3 4 (D) 9 3 7 _(E) 9 16 。 [４－１．正弦定律與餘弦定律][證明題] 　　１.設一等腰三角形的三邊長為 a，a，b，試証此三角形之面積是 4 b a 4 b 2_－ 2 。

　　２.在△ABC 中 a , b , c 分別表示∠A , ∠B , ∠C 之對邊長，證明 a＝bcosC＋c．cosB , b＝c．cosA＋ a．cosB , c＝acosB＋bcosA。　　３.設△ABC 中 D 為BC上一點，且BD：CD＝m：n，試證_AP2＝ n m n ＋ 2 AB ＋ _mm_＋_n AC2 －₍_m _n₎2 mn ＋ 2 BC 。　　４.設△ABC 中，D 為BC上一點且BD：CD＝m：n，試證： 2 2 2 2 2 BC ) n m ( mn AC n m m AB n m n AD ＋－＋＋＋＝。

　　５.△ABC 中，證明( b－c )sinA+( c－a )sinB+( a－b )sinC = 0 。　　６.△ABC 中，(1)證明 A cos 1 C cos B cos a c b    

(6)

[４－１．正弦定律與餘弦定律][計算題] 　　１．21：11：－3　　２．(1)10(2) 6 5 　　３． 46　　４．13：11：－7　　５． 4 3 21 _６． 13：15：14　　７． 15 5 16 ， 15 15 32 a＝， 15 5 8 b＝， 15 15 16 c＝　　８．72　　９． 7 3 －，6 10　１０．2 21　１１．5 2 ， 314　１２．8 小時 [４－１．正弦定律與餘弦定律][單選題] 　　１．D　　２．A　　３．B　　４．E　　５．D　　６．D　　７．B　　８．D [４－１．正弦定律與餘弦定律][填充題] 　　１．1　　２．13：8：7　　３．4　　４．6 3　　５． 5 3 　　６．2 2　　７．8　　８．2 , 3　　９．3 3 , 3 2 9 　１０． 15 15 8 _{, 14：11：－4　１１．} 2 101_, 5 24 　１２． 9 40 ,  3 244 　１３．3 , 3 4 21 　１４．1 , 1　１５． 2，450　１６．24　１７．1.34　１８． 5 77 _１９． 2 3 <a< 2 9 　２０．2 2　２１． 3 3 2 _２２． 3 3 　２３． 4 3 　２４．2　２５．( 3+1)： 2 ：1　２６．30°或 90°　２７． 2 ) 2 6 ( 3  ， 4 1 3 ( 9  　２８．7：5：3　２９．3：4：5　３０．5　３１．2　３２．120°　３３．2 3：2 2：( 2 － 6 ) 　３４． 12 6 7 _{３５．60°　３６．} 8 7 ， 15 15 16 _{３７．150°　３８．5 或} 5 7 　３９．120°　４０．等腰或 ∠A = 120°　４１． 2 1 3 _{４２．(1)13，14，15 (2)84　４３．(1)} 4 7 15 ₍₂₎ 2 7 ₍₃₎ 7 7 8 (4) 2 46 _４４．( 2 3 －2 )：10　４５． 5 6 　４６．等腰△　４７．直角△　４８．7　４９． 9　５０． 8 3 15 _５１． 2 3 2 _５２． 3 10 　５３． 10 5 21 _５４． 2 35 　５５．12 65　５６．1　５７． 7 5 20 _{５８．25：4　５９．x=} 6 ，y = 3+1　６０．6　６１． (1)A=7,b=5(2)c=8(3) 3 3 7 _６２． 3 1 [４－１．正弦定律與餘弦定律][綜合題] 　　１．A,B [４－１．正弦定律與餘弦定律][證明題] 　　１．略　　２．略　　３．略　　４．略　　５．略　　６．略