國中數學3 3 2利用乘法公式做因式分解

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3−2 利用乘法公式做因式分解

本節課程學習重點： ◎能利用乘法公式因式分解多項式。 一、利用乘法公式做因式分解： ◎乘法公式：(將原來的乘法公式等號兩邊的式子對調，就成為因式分解。) (1)平方差公式：a2－b2_{＝(a＋b)(a－b)}

(2)和的平方公式：a2＋2ab＋b2_＝(a＋b) 2

(3)差的平方公式：a2－2ab＋b2_＝(a－b) 2

【觀念釐清】公式中的 a、b 可代表任何文字，也可代表任意數。 練習 1：因式分解下列各式。(1) x2_－12 (2) y2－22 (3) (5x)2－32 練習 2：因式分解下列各式。(1) 9x2－25 (2) 4x2－9y2 練習 3：因式分解下列各式。(1) 64x2_{－1 (2) 36x}2_－49y2 練習 4：因式分解下列各式。(1) (2x＋1)2_{－36 (2)－(3x＋4)}2_＋(x－5)2 練習 5：因式分解下列各式。(1) (x－7)2_{－49 (2)－(2x＋11)}2_＋(5x＋7)2 練習 6：(1) x2_{＋2．x．5＋5}2_{＝( x＋ )} 2 (2) (3x) 2＋2．3x．7＋72_{＝( ＋7)} 2 (3) x2－2．x．4＋42_{＝( x－ )} 2 (4) (5x) 2－2．5x．6＋62_{＝( －6)} 2 練習 7：因式分解 x2_＋6x＋9。

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-2 利用乘法公式做因式分解(第15頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.08. 練習 8：因式分解下列各式。(1) x2_{＋14x＋49 (2) y}2_＋22y＋121 練習 9：在下列空格中，填入適當的正數。 (1) x2＋2．x．＋81＝(x＋ )2 (2) x2＋．x．4＋16＝(x＋ )2 練習 10：因式分解 x2－12x＋36。 練習 11：因式分解下列各式。(1) x2_{－20x＋100 (2) y}2_－24y＋144 二、綜合運用因式分解法：(1)先提出公因式再利用乘法公式。 (2)先分組再利用乘法公式。 練習 12：因式分解下列各式。(1)－80x2_＋125y2 (2) 3x2－18x＋27 (3)－25x2_－10x－1 練習 13：因式分解下列各式。(1) 3x2_{－27 (2)－9y}2_{＋12y－4 (3)－8x}2_－40x－50 練習 14：因式分解(3x＋2)2_{＋6(3x＋2)＋9。} 練習 15：因式分解下列各式。(1) (3x－1)2_{＋10(3x－1)＋25 (2) (x＋8)}2_{－2(x＋8)＋1}

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練習 16：因式分解 x4_－1。 練習 17：因式分解 x4_－16。自我評量 1. 利用和的平方公式、差的平方公式或平方差公式，完成下列空格。 (1) x2＋ x＋64＝x2_{＋2．x．＋( )}2_{＝(x＋ )}2 (2) 9x2－ x＋4＝( )2－2． x．＋22＝( － )2 (3) 81x2－1＝( ＋1)( －1) 2. 因式分解下列各式。 (1) 2x2－8y2 (2) 81－(3a＋5)2 (3)－12y2＋36y－27 (4) 25x2＋20x＋4 (5) x4－y4 (6) (－2x＋7)2＋12(－2x＋7)＋36 (7) 81－18(3x－1)＋(1－3x)2 3. (1)因式分解 4x2－12x＋9。 (2)利用(1)的結果，因式分解(x＋1)2_－4x2_{＋12x－9。} 習作 1. 利用乘法公式填填看。 (1) x2＋12x＋36＝x2_{＋2．x．＋( )}2_{＝(x＋ )}2 (2) 9x2－24x＋16 ＝( )2_{－2．．4＋( )}2_{＝( x－ )}2 (3) 64x2－49＝( )2_{－( )}2_{＝( x＋7)( x－7)}

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-2 利用乘法公式做因式分解(第17頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.08. 2. 因式分解下列各式。 (1)－12x2＋3 (2) (3x＋2)2－72 (3) x2－10x＋25 (4) 27y2＋18y＋3 (5) y4－81 (6) 9(2x－5)2＋6(2x－5)＋1 3. 若8x2＋24x＋a可以分解成2(2x＋b)2，則a、b的值分別為多少？ 4. (1)因式分解(x＋y)2－4xy。 (2)利用(1)的結果，計算(265＋165)2_{－4×265×165。} 類題補充

1. 若 4x2＋8x＋4 可以分解成(2x＋a)2_{，則 a＝？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。}

2. 因式分解 x2＋y2_－z2_－2xy。

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4. 因式分解 16－8x－y2＋x2。 5. 因式分解 x2＋y2_{＋2xy－1。} 6. 因式分解 x2＋6x＋9－16y2。

7. 因式分解下列各式： (1) x2＋10x＋25＝。 (2) 4x2＋12x＋9＝。 (3) x2＋4xy＋4y2_{＝。} (4) x2－(y＋3)2_{＝。} (5) (x＋1)2－(y－3)2＝。 (6) 9x2－30xy＋25y2_{＝。} (7) x2－12x＋36＝。 (8) x4－16＝。 8. 若 18x2＋24x＋a 可以分解成 2(3x＋b)2_{，則 a＝，b＝。}

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-2 利用乘法公式做因式分解(第19頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.08. 9. 因式分解下列各式。(1) (2x－1)2－10(2x－1)＋25 (2) x2－4y2＋12y－9 10. 下列各因式分解，何者正確？ (A) 4x2－9 因式分解為(4x＋3)(4x－3) (B) 4x2－25y2因式分解為(2x＋5)(2x－5) (C) 4x2＋12x＋9 因式分解為(4x＋3)2 (D) x2－12x＋36 因式分解為(x－6)2

11. 因式分解 2xy－x2－y2_{＝？ (A) (x－y)}2

(B) (x＋y)2 (C)－(x－y)2 (D) －(x＋y)2。

12. 若 x2＋8x＋a＝(x＋b)2，其中 a、b 是正整數，則 a＋b＝？ (A) 20 (B) 16 (C) 72 (D) 56。

13. 下列哪個數是 20082－972_{之值的因數？ (A) 15 (B) 27 (C) 33 (D) 55。}

14. 已知 x－y＝1＋ 2 ，x－z＝1－ 2 ，則 x2＋y2_＋z2_{－xy－yz－zx 之值為何？}

(A) 5 (B) 7 (C) 5 2 (D) 7 2 。

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16. 因式分解下列各式。 (1)－12y2＋36y－27 (2) (2x－1)2＋6(1－2x)＋9 (3) 25x2(x－4)＋(4－x) (4) x2y2－y2_－x2_＋1 (5) (x－1)2－2(x－1)(－x＋2)＋(x－2)2 (6) xy－2x－y2＋4y－4 (7) (9x2－12x＋4)－1 (8) 81x4－1 (9) x2－25＋(2x－10)2 (10) x2－4xy＋3y2＋2yz－z2 17. 若 ax2－192 可分解成 3(x＋b)(x－b)，ab＞0，則 a＝，b＝。

18. 若 x－4＝7，y＋1＝－2，則 x2＋y2_{－8x＋2y＋17＝。}

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-2 利用乘法公式做因式分解(第21頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.08. 20. 因式分解 2x2－18y2＋12y－2。 21. 若 x＋y＋2＝0，則 6x2＋12xy＋6y2_{－8 之值為何？} 22. 如右圖，大圓半徑為(3x＋5)公分，小圓半徑為(2x－1)公分， 若灰色部分的面積為多項式 A，則 A 可因式分解為何？ 23. 將 4x2－ax＋9 因式分解，可得(2x－b)2的形式。若 a 為正整數，則 2a－b＝？ (A) 9 (B) 15 (C) 21 (D) 27。 24. 下列多項式中有幾個可做因式分解？ (A)一個 (B)二個 (C)三個 (D)四個 甲：x2－1 乙：3ax2_{＋ax－7a 丙：x}2_{＋4 丁：x}2_＋2x＋1 25. 因式分解 9－(2－x)2＝？ (A) (1－x)(5－x) (B) (5－x)(1＋x) (C) (5＋x)(1－x) (D) (9－x)(1＋2x)。

26. 已知 a＝3x＋1 和 b＝3x－1，則 a2－2ab＋b2_{＝？ (A) 36x}2

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27. 若 x＝765，y＝238，z＝999，則 x2＋y2＋z2＋2xy－2yz－2xz 的值為。 28. 計算 176 2_－242 1762－176×48＋242＝？ (A) 152 200 (B) 25 19 (C) 1 176×48 (D) 176＋24。 29. 如右圖，三角形 ABC 中，¯ AD 垂直 ¯ BC ，且¯ AD ＝ 1 2 BC ， ¯ 若三角形 ABC 的面積為(x2＋4x＋4)，則¯ BC

＝

。 30. 因式分解 5(a2－b2)－(a－b)。 31. 因式分解(x－2y)2－18(x－2y)(x＋y)＋81(x＋y)2_。 32. (1)因式分解 a2－b2_－c2_{＋2bc。 (2)設 a＝ 3 ＋1，b＝ 3 －1，c＝ 3 ，求 a}2_－b2_－c2_{＋2bc 之值。} A C D B

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國中數學學習講義(配合康軒數學 3) 3-2 利用乘法公式做因式分解(第23頁) 格致數學科．黃俊誠老師製作 2015.08. 加強練習 1. 因式分解下列各式： (1) 25a2＋10a＋1＝。 (2) 2x2－32＝。 (3) －x2＋14x－49＝。 (4) x2－y2_{－4x＋4y＝。} (5) x2－y2－4x＋4＝。 (6) (3x＋2)2－(x＋1)2_{＝。} (7) a2＋b2_－2ab－c2_{＝。} 2. 下列各式中，哪一個是 x2－(y－z)2_的因式？

(A) x＋y＋z (B) x－y－z (C) －x＋y＋z (D) －x－y＋z。

3. 若 x、y 皆為整數，且 x2＋6x＋9＋y2＝0，則 2x＋y 之值為何？ (A)－6 (B) 6 (C) 2 (D) 7。

4. 下列何者不是(9x2－1)(2x＋3)－(4x2_{－9)(3x＋1)的因式？}

(A) x＋1 (B) x＋2 (C) 2x＋3 (D) 3x＋1。

5. 已知 x＝0.28，y＝1.36，求 x2＋4xy＋4y2_{－4x－8y＋4 的值為何？ (A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 9。}

6. 若 a、b 均為正整數，且 9a2－4b2_{＝5，則 a－b＝？ (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D)－1。}

7. 由 9x2－(m＋1)x＋25 可利用乘法公式因式分解成(ax＋b)2，則 m 的值為何？ (A) 31 (B) 31 或 29 (C) －31 或 29 (D) －29 或 31。 8. 如右圖，有甲、乙、丙三種四邊形，其中甲為邊長 x 的正方形，乙為長 x、寬 1 的長方形，丙為 邊長 1 的正方形，今想利用這些圖形拼成一個大的正方形，可以利用下列哪種組合來拼？ (A) 4 個甲、36 個乙、9 個丙 (B) 4 個甲、12 個乙、9 個丙 (C) 2 個甲、12 個乙、3 個丙 (D) 5 個甲、30 個乙、6 個丙 9. 下列哪一個選項為因式分解－25x2＋110x－121 的結果？ (A) (－5x＋11)2 (B) (－5x－11)2 (C) －(5x－11)2 (D) －(5x＋11)2。

10. 若 x2＋x＋a＝(x＋b)2_{，則 a＝？ (A)－}1

4 (B) 1 4 (C)－ 1 2 (D) 1 2。

11. 下列何者為 x2－y2_{－8x＋16 的因式？ (A) x－y＋4 (B) x＋y－4 (C) x－y＋2 (D) x－y－2。}

12. 如右圖，有甲、乙、丙三種不同的紙板，其中甲、丙為正方形，乙為長方形。已知小佳挑了 4 塊甲紙板和 12 塊乙紙板，還要再拿幾塊丙紙板才能拼成一個大正方形？ (A) 9 (B) 12 (C) 18 (D) 36。 13. 已知因式分解多項式 A 時，將多項式 A 中 x2項係數的正負號抄錯，得到的結果為(x2_＋1)(x2_－3)，若過程中沒有其它的錯誤，則正確的因式分解結果應為。 14. 已知 4a2－9b2_{＝19，其中 a、b 皆為正整數，則 a－b＝？}

15. 已知 x－2y＝－3，利用因式分解求出 x2－4xy＋4y2－3x＋6y＋9 之值。

16. 若 a、b 互為相反數，且(a＋2)2－(b＋2)2_{＝4，則 a－b＝？}

1 1 1 x x 甲 x 乙丙甲乙丙 b _b b a a a

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Ans：1.(1) (5a＋1)2，(2) 2(x＋4)(x－4)，(3)－(x－7)2，(4) (x＋y－4)(x－y)，(5) (x＋y－2)(x－y－2)， (6) (4x＋3) (2x＋1)，(7) (a－b＋c)(a－b－c)；2.(D)；3.(A)；4.(A)；5.(B)；6.(C)；7.(C)；

8.(B)；9.(C)；10.(B)；11.(B)；12.(A)；13. (x＋1)(x－1)(x2＋3)；14. 2；15. 27；16. 1。