數 學 「 加 減 變 」 的 探 討
邵 國 志
屏 東 縣 里 港 國 民 小 學 教 師壹 、 前 言
有 一 次 ， 我 在 數 學 課 時 出 了 一 道 數 學 腦 力 激 盪 的 題 目 ， 要 大 家 分 組 想 辦 法 解 決 此 問 題 並 且 要 提 出 報 告 ， 題 目 是 「 使 用 固 定 個 整 數 ， 再 配 合 加 和 減 ， 最 多 可 以 得 到 多 少 個 連 續 整 數 ？ 」 ， 在 同 學 們 共 同 的 思 考 、 討 論 下 ， 研 究“數 字 的 加 減 變 化 ”， 最 後 終 於 有 了 一 個 答 案 。 當 數 學 課 報 告 完 畢 後 ， 我 決 定 應 用 學 生 推 算 出 來 的 結 果 ， 發 現 其 中 的 規 律 性 ， 進 而 歸 納 出 公 式 ， 希 望 能 提 供 師 生 日 後 解 題 的 參 考 。貳 、 研 究 目 的
一 、 從1 開 始 ， 使 用 2 個 整 數 ， 再 配 合 加 和 減 ， 最 多 可 以 得 到 多 少 個 連 續 整 數 。 二 、 從1 開 始 ， 使 用 3 個 整 數 ， 再 配 合 加 和 減 ， 最 多 可 以 得 到 多 少 個 連 續 整 數 。 三 、 從1 開 始 ， 使 用 4 個 整 數 ， 再 配 合 加 和 減 ， 最 多 可 以 得 到 多 少 個 連 續 整 數 。 四 、 發 現 這 些 整 數 的 規 律 性 ， 進 而 歸 納 出 公 式 。參 、 研 究 設 備 與 器 材
一 、 計 算 機 ； 二 、 紙 ； 三 、 筆肆 、 研 究 過 程 和 方 法
一 、 從 1 開 始 ， 使 用 2 個 整 數 ， 再 配 合 加 和 減 ， 最 多 可 以 得 到 多 少 個 連 續 整 數 演 算 過 程 ： （ a） 用 1與 2： 1→1， 2→2， 3→1＋ 2 ∴1、 2 可 算 出 1~3 三 數 （ b） 用 1 與 3： 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→3＋ 1 ∴1、 3 可 算 出 1~4 三 數 （ c） 用 1 與 4： 1→1， 2→x 無 法 推 算 （ d） 用 1 與 5： 1→1， 2→x 無 法 推 算 ※ 由 此 推 知 ， 用 1 和 3 可 算 出 最 多 個 數 ： 1~4， 1 和 4 以 上 搭 配 ， 皆 無 法 推 算 二 、 從 1 開 始 ， 使 用 3 個 整 數 ， 再 配 合 加 和 減 ， 最 多 可 以 得 到 多 少 個 連 續 整 數 （ a） 用 1、 2、 3 1→1， 2→2， 3→3， 4→3＋ 1， 5→3＋ 2， 6→1＋ 2＋ 3 ∴1、 2、 3 可 算 出 1~6 六 數 （ b） 用 1 、 2、 4 1→1， 2→2， 3→2＋ 1， 4→4， 5→4＋ 1， 6→4＋ 2， 7→4＋ 2＋ 1 ∴1、 2、 4 可 算 出 1~7 七 數 （ c） 用 1 、 2、 5 1→1， 2→2， 3→2＋ 1， 4→5－ 1， 5→5， 6→5＋ 1， 7→5＋ 2， 8→5＋ 2＋ 1 ∴1、 2、 5 可 算 出 1~8 八 數（ d） 用 1 、 2、 6 1→1， 2→2， 3→2＋ 1， 4→6－ 2， 5→6－ 1， 6→6， 7→6＋ 1， 8→6＋ 2， 9→6＋ 2＋ 1 ∴1、 2、 6 可 算 出 1~9 九 數 （ e） 用 1 、 2、 7 1→1， 2→2， 3→2＋ 1， 4→7－ 2－ 1， 5→7－ 2， 6→7－ 1， 7→7， 8→7＋ 1， 9→7＋ 2， 10→7＋ 2＋ 1 ∴1、 2、 7 可 算 出 1~10 十 數 （ f） 用 1 、 2、 8 1→1， 2→2， 3→3， 4→x 無 法 推 算 （ g） 用 1、 2、 9 1→1， 2→2， 3→1＋ 2， 4→x 無 法 推 算 ∴1、 2、 8 以 上 搭 配 ， 皆 無 法 推 算 （ h） 用 1 、 3、 4 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→4， 5→4＋ 1， 6→4＋ 3－ 1， 7→4＋ 3， 8→4＋ 3＋ 1 ∴1、 3、 4 可 算 出 1~8 八 數 （ i） 用 1 、 3、 5 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→5－ 1， 5→5， 6→5＋ 1， 7→5＋ 3－ 1， 8→5＋ 3， 9→5＋ 3＋ 1 ∴1、 3、 5 可 算 出 1~9 九 數 （ j） 用 1 、 3、 6 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→3＋ 1， 5→6－ 1， 6→6， 7→6＋ 1， 8→6＋ 3－ 1， 9→6＋ 3， 10→6＋ 3－ 1 ∴1、 3、 6 可 算 出 1~10 十 數 （ k） 用 1 、 3、 7 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→3＋ 1， 5→7＋ 1－ 3， 6→7－ 1， 7→7， 8→7＋ 1， 9→7＋ 3－ 1， 10→7＋ 3， 11→7＋ 3＋ 1 ∴1、 3、 7 可 算 出 1~11 十 一 數 （ l） 用 1 、 3、 8 1→1 ， 2→3 － 1 ， 3→3 ， 4→3 ＋ 1 ， 5→8 － 3 ， 6→8 ＋ 1 － 3 ， 7→8 － 1 ， 8→8， 9→8＋ 1， 10→8＋ 3－ 1， 11→8＋ 3， 12→8＋ 3＋ 1 ∴1、 3、 8 可 算 出 1~12 十 二 數
（ m） 用 1 、 3、 9 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→3＋ 1， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→9＋ 1－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→9＋ 1， 11→9＋ 3－ 1， 12→9＋ 3 13→9＋ 3＋ 1 ∴ 1、 3、 9 可 算 出 1~13 十 三 數 （ n） 用 1 、 3、 10 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→3＋ 1， 5→x 無 法 推 算 （ o） 用 1、 3、 11 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→3＋ 1， 5→x 無 法 推 算 ∴1、 3 和 10 以 上 搭 配 ， 皆 無 法 推 算 （ p） 用 1 、 4、 5 1→1， 2→x 無 法 推 算 （ q） 用 1 、 5、 6 1→1， 2→x 無 法 推 算 ※ 由 此 推 得 ， 用 1、 3、 9 可 算 出 最 多 數 ： 1~13， 1 和 任 兩 個 4 以 上 搭 配 ， 皆 無 法 推 算 三 、 從 1 開 始 ， 使 用 4 個 整 數 ， 再 配 合 加 和 減 ， 最 多 可 以 得 到 多 少 個 連 續 整 數 已 知 三 數 最 多 ：1， 3， 9從 10起 推 算 （ a） 用 1， 3， 9， 10 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→9 ＋ 1 － 3 ， 8→9 － 1 ， 9→9 ， 10→10 ， 11→10 ＋ 1 ， 12→10 ＋ 3 － 1 ， 13→10 ＋ 3 ， 14→10 ＋ 3 ＋ 1 ， 15→10 ＋ 9 － 3 － 1 ， 16→10 ＋ 9 － 3 ， 17→10 ＋ 9 ＋ 1 － 3 ， 18→10 ＋ 9 － 1 ， 19→10 ＋ 9 ， 20→10 ＋ 9 ＋ 1 ， 21→10＋ 9＋ 3－ 1， 22→10＋ 9＋ 3， 23→10＋ 9＋ 3＋ 1 ∴1， 3， 9， 10 可 推 出 1~23 二 十 三 數
（ b） 用 1 ， 3， 9， 11 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→9 ＋ 1 － 3 ， 8→9 － 1 ， 9→9 ， 10→11 － 1 ， 11→11 ， 12→1 ＋ 11 ， 13→3 ＋ 11 － 1 ， 14→3 ＋ 11 ， 15→1 ＋ 3 ＋ 11 ， 16→9 ＋ 11 － 3 － 1 ， 17→9＋ 11－ 3， 18→9＋ 11＋ 1－ 3， 19→9＋ 11－ 1， 20→9＋ 1， 21→9＋ 11＋ 1， 22→9＋ 11→3－ 1， 23→9＋ 11＋ 3， 24→1＋ 3＋ 9＋ 11 ∴1， 3， 9， 11 可 推 出 1~24 二 十 四 數 （ c） 用 1 ， 3， 9， 12 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→9＋ 1－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→12－ 1， 12→12， 13→1＋ 12， 14→3＋ 12－ 1， 15→3＋ 12， 16→1＋ 3＋ 12， 17→9＋ 12－ 3－ 1， 18→9＋ 12－ 3， 19→1＋ 9＋ 12－ 3， 20→9 ＋ 12 － 1 ， 21→9 ＋ 12 ， 22→1 ＋ 9 ＋ 12 ， 23→3 ＋ 9 ＋ 12 － 1 ， 24→3＋ 9＋ 12， 25→1＋ 3＋ 9＋ 12 ∴1， 3， 9， 12 可 推 出 1~25 二 十 五 數 （ d） 用 1 ， 3， 9， 13 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→9 ＋ 1 － 3 ， 8→9 － 1 ， 9→9 ， 10→1 ＋ 9 ， 11→3 ＋ 9 － 1 ， 12→3 ＋ 9 ， 13→13 ， 14→1 ＋ 13 ， 15→3 ＋ 13 － 1 ， 16→3 ＋ 13 ， 17→1 ＋ 3 ＋ 13 ， 18→9＋ 13－ 3－ 1， 19→9＋ 13－ 3， 20→1＋ 9＋ 13－ 3， 21→9＋ 13－ 1， 22→9＋ 13， 23→1＋ 9→13， 24→3＋ 9→13－ 1， 25→3＋ 9＋ 13， 26→1＋ 3＋ 9＋ 13 ∴1， 3， 9， 13 可 推 出 1~26 二 十 六 數 （ e） 用 1 ， 3， 9， 14 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→9 ＋ 1 － 3 ， 8→9 － 1 ， 9→9 ， 10→1 ＋ 9 ， 11→3 ＋ 9 － 1 ， 12→3 ＋ 9 ， 13→1 ＋ 3 ＋ 9 ， 14→14 ， 15→1 ＋ 14 ， 16→3 ＋ 14 － 1 ， 17→3 ＋ 14 ， 18→1＋ 3＋ 14， 19→9＋ 14－ 3－ 1， 20→9＋ 14－ 3， 21→9 ＋ 14 ＋ 1 － 3 ， 22→9 ＋ 14 － 1 ， 23→9 ＋ 14 ， 24→1 ＋ 9 ＋ 14 ， 25→3＋ 9＋ 14－ 1， 26→3＋ 9＋ 14， 27→1＋ 3＋ 9＋ 14
∴1， 3， 9， 14 可 推 出 1~27 二 十 七 數 （ f） 用 1 ， 3， 9， 15 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→9 ＋ 1 － 3 ， 8→9 － 1 ， 9→9 ， 10→1 ＋ 9 ， 11→3 ＋ 9 － 1 ， 12→3 ＋ 9 ， 13→1 ＋ 3 ＋ 9 ， 14→15 － 1 ， 15→15 ， 16→1 ＋ 15 ， 17→3 ＋ 15 － 1 ， 18→3 ＋ 15 ， 19→1 ＋ 3 ＋ 15 ， 20→9 ＋ 15 － 3 － 1 ， 21→9 ＋ 15 － 3 ， 22→1 ＋ 9 ＋ 15 － 3 ， 23→9 ＋ 15 － 1 ， 24→9 ＋ 15 ， 25→1 ＋ 9 ＋ 15 ， 26→3＋ 9→15－ 1， 27→3＋ 9＋ 15， 28→1＋ 3＋ 9＋ 15 ∴1， 3， 9， 15 可 推 出 1~28 二 十 八 數 （ g） 用 1， 3， 9， 16 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→9 ＋ 1 － 3 ， 8→9 － 1 ， 9→9 ， 10→1 ＋ 9 ， 11→3 ＋ 9 － 1 ， 12→3 ＋ 9 ， 13→1 ＋ 3 ＋ 9 ， 14→1 ＋ 16 － 3 ， 15→16 － 1 ， 16→16 ， 17→1 ＋ 16 ， 18→3 ＋ 16 － 1 ， 19→3 ＋ 16 ， 20→1 ＋ 3 ＋ 16 ， 21→9 ＋ 16 － 3 － 1 ， 22→9 ＋ 16 － 3 ， 23→1 ＋ 9 ＋ 16 － 3 ， 24→9 ＋ 16 － 1 ， 25→9 ＋ 16 ， 26→1＋ 9＋ 16， 27→3＋ 9＋ 16－ 1， 28→3＋ 9＋ 16， 29→1＋ 3＋ 9＋ 16 ∴1， 3， 9， 16 可 推 出 1~29 二 十 九 數 （ h） 用 1 ， 3， 9， 17 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→9＋ 1－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→3＋ 9－ 1， 12→3＋ 9， 13→1＋ 3＋ 9， 14→17－ 3， 15→1＋ 17－ 3， 16→17－ 1， 17→17， 18→1＋ 17， 19→3＋ 17－ 1， 20→3＋ 17， 21→1＋ 3＋ 17， 22→9＋ 17－ 3－ 1， 23→9＋ 17－ 3， 24→1＋ 9＋ 17－ 3， 25→9＋ 17－ 1， 26→9＋ 17， 27→1＋ 9＋ 17， 28→3＋ 9＋ 17－ 1， 29→3＋ 9＋ 17， 30→1＋ 3＋ 9＋ 17 ∴1， 3， 9， 17 可 推 出 1~30 三 十 數 （ i） 用 1 ， 3， 9， 18 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3 7→9＋ 1－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→3＋ 9－ 1， 12→3＋ 9， 13→1＋ 3＋ 9， 14→18－ 3－ 1， 15→18－ 3，
16→1＋ 18－ 3， 17→18－ 1， 18→18， 19→1＋ 18， 20→3＋ 18－ 1， 21→3＋ 18， 22→1＋ 3＋ 18， 23→9＋ 18－ 3－ 1， 24→9＋ 18－ 3， 25→1＋ 9＋ 18－ 3， 26→9＋ 18－ 1， 27→9＋ 18， 28→1＋ 9→18， 29→3＋ 9＋ 18－ 1， 30→3＋ 9＋ 18， 31→1＋ 3＋ 9＋ 18 ∴1， 3， 9， 18 可 推 出 1~31 三 十 一 數 （ j） 用 1 ， 3， 9， 19 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→9＋ 1－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→3＋ 9－ 1， 12→3＋ 9， 13→1＋ 3＋ 9， 14→1＋ 3＋ 19－ 9， 15→19－ 3－ 1， 16→19－ 3， 17→1＋ 19－ 3， 18→19－ 1， 19→19， 20→1＋ 19， 21→3＋ 19－ 1， 22→3＋ 19， 23→1＋ 3＋ 19， 24→9＋ 19－ 3－ 1， 25→9＋ 19－ 3， 26→1＋ 9＋ 19－ 3， 27→9＋ 19－ 1， 28→9＋ 19， 29→1＋ 9＋ 19， 30→3＋ 9＋ 19－ 1， 31→3＋ 9＋ 19， 32→1＋ 3＋ 9＋ 19 ∴1， 3， 9， 20 可 推 出 1~32 三 十 二 數 （ k） 用 1 、 3、 9、 20 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→1＋ 9－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→3＋ 9－ 1， 12→3＋ 9， 13→1＋ 3＋ 9， 14→3＋ 20－ 9， 15→1＋ 3＋ 20－ 9， 16→20－ 3－ 1， 17→20－ 3， 18→1＋ 20－ 3， 19→20－ 1， 20→20， 21→1＋ 20， 22→3＋ 20－ 1， 23→3＋ 20， 24→1＋ 3＋ 20， 25→20＋ 9－ 3－ 1， 26→20＋ 9－ 3， 27→1＋ 9＋ 20－ 3， 28→20＋ 9－ 1， 29→9＋ 20， 30→1＋ 9＋ 20， 31→3＋ 9＋ 20－ 1， 32→3＋ 9＋ 20， 33→1＋ 3＋ 9＋ 20 ∴1、 3、 9、 20 可 推 出 1~33 三 十 三 數 （ l） 用 1 、 3、 9、 21 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→1＋ 9－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→3＋ 9－ 1， 12→3＋ 9， 13→1＋ 3＋ 9， 14→3＋ 21－ 9－ 1， 15→3＋ 21－ 9， 16→1＋ 3＋ 21－ 9， 17→21－ 3－ 1， 18→21－ 3， 19→1＋ 21－ 3， 20→21－ 1， 21→21， 22→1＋ 21， 23→3＋ 21－ 1， 24→3＋ 21， 25→1＋ 3＋ 21， 26→9＋ 21－ 3－ 1， 27→9＋ 21－ 3，
28→1＋ 9＋ 21－ 3， 29→9＋ 21－ 3， 30→9＋ 21， 31→1＋ 9＋ 21， 32→3＋ 9＋ 21－ 1， 33→3＋ 9＋ 21， 34→1＋ 3＋ 9＋ 21 ∴1、 3、 9、 21 可 推 出 1~34 三 十 四 數 （ m） 用 1 、 3、 9、 22 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→1＋ 9－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→3＋ 9－ 1， 12→3＋ 9， 13→1＋ 3＋ 9， 14→1＋ 22－ 9， 15→3＋ 22－ 9－ 1， 16→3＋ 22－ 9， 17→1＋ 3＋ 22－ 9， 18→22－ 3－ 1， 19→22－ 3， 20→1＋ 22－ 3， 21→22－ 1， 22→22， 23→1＋ 22， 24→3＋ 22－ 1， 25→3＋ 22， 26→1＋ 3＋ 22， 27→9＋ 22－ 3－ 1， 28→9＋ 22－ 3， 29→1＋ 9＋ 22－ 3， 30→9＋ 22－ 1， 31→9＋ 22， 32→1＋ 9＋ 22， 33→3＋ 9＋ 22－ 1， 34→3＋ 9＋ 22， 35→1＋ 3＋ 9＋ 22 ∴1、 3、 9、 22 可 推 出 1~35 三 十 五 數 （ n） 用 1 、 3、 9、 23 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→1＋ 9－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→3＋ 9－ 1， 12→3＋ 9， 13→1＋ 3＋ 9， 14→23－ 9， 15→1＋ 23－ 9， 16→3＋ 23－ 9－ 1， 17→3＋ 23－ 9， 18→1＋ 3＋ 23－ 9， 19→23－ 3－ 1， 20→23－ 3， 21→1＋ 23－ 3， 22→23－ 1， 23→23， 24→1＋ 23， 25→3＋ 23－ 1， 26→3＋ 23， 27→1＋ 3＋ 23， 28→9＋ 23－ 3－ 1， 29→9＋ 23－ 3， 30→1＋ 9＋ 23－ 3， 31→9＋ 23－ 1， 32→9＋ 23， 33→1＋ 9＋ 23， 34→3＋ 9→23－ 1， 35→3＋ 9→23， 36→1＋ 3＋ 9＋ 23 ∴1、 3、 9、 23 可 推 出 1~36 三 十 六 數 （ o） 用 1、 3、 9、 24 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→1＋ 9－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→3＋ 9－ 1， 12→3＋ 9， 13→1＋ 3＋ 9， 14→24－ 9－ 1， 15→24－ 9， 16→1＋ 24－ 9， 17→3＋ 24－ 9－ 1， 18→3＋ 24－ 9， 19→1＋ 3＋ 24－ 9， 20→24－ 3－ 1， 21→24－ 3， 22→1＋ 24－ 3， 23→24－ 1， 24→24， 25→1＋ 24， 26→3＋ 24－ 1， 27→3＋ 24，
28→1＋ 3＋ 24， 29→9＋ 24－ 3－ 1， 30→9＋ 24－ 3， 31→1＋ 9＋ 24－ 3， 32→9＋ 24－ 1， 33→9＋ 24， 34→1＋ 9＋ 24， 35→3＋ 9＋ 24－ 1， 36→3＋ 9＋ 24， 37→1＋ 3＋ 9＋ 24 ∴1、 3、 9、 24 可 推 出 1~37 三 十 七 數 （ p） 用 1 、 3、 9、 25 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→1 ＋ 9 － 3 ， 8→9 － 1 ， 9→9 ， 10→1 ＋ 9 ， 11→3 ＋ 9 － 1 ， 12→3 ＋ 9 ， 13→1＋ 3＋ 9， 14→1＋ 25－ 3， 15→25－ 9－ 1， 16→25－ 9， 17→1＋ 25－ 9， 18→3＋ 25－ 9－ 1， 19→3＋ 25－ 9， 20→1＋ 3＋ 25－ 9， 21→25－ 3－ 1， 22→25－ 3， 23→1＋ 25－ 3， 24→25－ 1， 25→25， 26→1＋ 25， 27→3＋ 25－ 1， 28→3＋ 25， 29→1＋ 3＋ 25， 30→9＋ 25－ 3－ 1， 31→9＋ 25－ 3， 32→1＋ 9→25－ 3， 33→9＋ 25－ 1， 34→9＋ 25， 35→1＋ 9＋ 25， 36→3＋ 9＋ 25－ 1， 37→3＋ 9→25， 38→1＋ 3＋ 9＋ 25 ∴1、 3、 9、 25 可 推 出 1~38 三 十 八 數 （ q） 用 1 、 3、 9、 26 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→1＋ 9－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→3＋ 9－ 1， 12→3＋ 9， 13→1＋ 3＋ 9， 14→26－ 9－ 3， 15→1＋ 26－ 9－ 3， 16→26－ 9－ 1， 17→26－ 9， 18→1＋ 26－ 9， 19→3＋ 26－ 9－ 1， 20→3＋ 26－ 9， 21→1＋ 3＋ 26－ 9， 22→26－ 3－ 1， 23→26－ 3， 24→1＋ 26－ 3， 25→26－ 1， 26→26， 27→1＋ 26， 28→3＋ 26－ 1， 29→3＋ 26， 30→1＋ 3＋ 26， 31→9＋ 26－ 3－ 1， 32→9＋ 26－ 3， 33→1＋ 9＋ 26－ 3， 34→9＋ 26－ 1， 35→9＋ 26， 36→1＋ 9＋ 26， 37→3＋ 9＋ 26－ 1， 38→3＋ 9＋ 26， 39→1＋ 3＋ 9＋ 26 ∴1、 3、 9、 26 可 推 出 1~39 三 十 九 數 （ r） 用 1 、 3、 9、 27 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→1＋ 9－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→3＋ 9－ 1， 12→3＋ 9， 13→1＋ 3＋ 9， 14→27－ 9－ 3－ 1， 15→27－ 9－ 3，
16→1＋ 27－ 9－ 3， 17→27－ 9－ 1， 18→27－ 9， 19→1＋ 27－ 9， 20→3＋ 27－ 9－ 1， 21→3＋ 27－ 9， 22→1＋ 3＋ 27－ 9， 23→27－ 3－ 1， 24→27－ 3， 25→1＋ 27－ 3， 26→27－ 1， 27→27， 28→1＋ 27， 29→3＋ 27－ 1， 30→3＋ 27， 31→27＋ 3＋ 1， 32→27＋ 9－ 3－ 1， 33→27＋ 9－ 3， 34→27＋ 9－ 3＋ 1， 35→27＋ 9＋ 3－ 1， 36→27＋ 9＋ 3， 37→27＋ 9＋ 1， 38→27＋ 9＋ 3－ 1， 39→27＋ 9＋ 3， 40→27＋ 9＋ 3＋ 1 （ s） 用 1 、 3、 9、 28 1→1， 2→3－ 1， 3→3， 4→1＋ 3， 5→9－ 3－ 1， 6→9－ 3， 7→1＋ 9－ 3， 8→9－ 1， 9→9， 10→1＋ 9， 11→3＋ 9－ 1， 12→3＋ 9， 13→1＋ 3＋ 9， 14→x 無 法 推 算 ※ 由 此 可 知2個 數 1、 3； 3個 數 1、 3、 9； 4個 數 1、 3、 9、 27， 皆 是 3的 次 方 。 四 、 發 現 這 些 整 數 的 規 律 性 ， 進 而 推 導 出 公 式 由 上 列 的 推 算 我 們 發 現 使 用2個 數 1、 3， 經 過 數 字 間 加 減 後 ， 可 得 到 1 至4 （ 1 和 3 相 加 ） 的 連 續 整 數 ； 使 用 3 個 數 1 、 3 、 9 ， 經 過 數 字 間 加 減 後 ， 可 得 到1至 14（ 1、 3、 9相 加 ） 的 連 續 整 數 ； 使 用 4個 數 1、 3、 9、 27， 經 過 數 字 間 加 減 後 ， 可 得 到1至 40（ 1、 3、 9、 27相 加 ） 的 連 續 整 數 。 我 們 仿 照 上 述 的 推 算 方 式 ， 找 出 第 五 個 數 是81， 使 得 這 5個 數 1、 3、 9、 27、 81， 經 過 數 字 間 加 減 後 ， 可 得 到1 至 121 （ 1 、 3 、 9 、 27 、 81 相 加 ） 的 連 續 整 數 ， 如 此 推 算 下 去 第6 、 7 、 8 、 9……. 個 數 字 也 都 能 如 法 炮 製 找 出 來 ， 我 們 整 理 列 表 如 下 ， 並 發 現 其 規 律 性 。 第n 個 數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 數 字 1 3 9 2 7 8 1 2 4 3 7 2 9 2 1 8 7 6 5 6 1 1 9 6 8 3 規 律 性 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 最 多 個 數 1 4 1 3 4 0 1 2 1 3 6 4 1 0 9 3 3 2 8 0 9 8 4 1 2 9 5 2 4 規 律 3 1÷ 2 -0 . 5 32÷ 2 -0 . 5 33÷ 2 -0 . 5 34÷ 2 -0 . 5 35÷ 2 -0 . 5 36÷ 2 -0 . 5 37÷ 2 -0 . 5 38÷ 2 -0 . 5 39÷ 2 -0 . 5 31 0÷ 2 -0 . 5
所 以 最 後 我 們 發 現 使 用10 個 數 1 、 3 、 9 、 27 、 81 、 243 、 729 、 2187 、 6561 、 19683 ， 經 過 數 字 間 加 減 後 ， 可 得 到 1 至 29524 （ 上 述 10 個 數 相 加 ） 的 連 續 整 數 ， 這 真 是 太 神 奇 了 ， 只 要10 個 數 字 的 加 減 變 化 ， 居 然 能 得 到 1 至29524， 這 29524個 數 字 。 當 然 我 們 也 從 中 找 到 了 規 律 性 ， 那 就 是 這 些 數 字 都 是3 的 次 方 的 數 字 ， 其 第n 個 數 字 的 公 式 是 3n - 1， 例 如 第5 個 數 為 35 - 1＝34＝81 ； 第 6 個 數 為 36 - 1 ＝35＝243 ； 第 7 個 數 為 37 - 1＝36＝729 ； 依 此 類 推 ， 也 可 得 到 第 8 個 數 、 第 9 個 數 、 第10個 數 、 第 11個 數 、 第 12個 數 等 ……。 除 此 之 外 ， 我 們 也 得 到1到 第 n個 數 這 些 連 續 整 數 和 規 律 性 ， 其 公 式 為 3n÷2-0.5 ， 例 如 ， 第 1 個 到 第 4 個 數 分 別 為 1 、 3 、 9 、 27 ， 其 和 為 40 ， 也 就 是 說 使 用 這4 個 數 作 加 減 運 算 ， 可 得 到 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 ………、 39 、 40 ， 共40個 數 的 連 續 整 數 。 再 如 ， 第 1個 到 第 10個 數 分 別 為 1、 3、 9、 27、 81、 243、 729、 2187、 6561、 19683， 其 和 為 29524， 也 就 是 說 使 用 這 10個 數 作 加 減 運 算 ， 可 得 到1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 ……… 、 29523 、 29524 ， 共 29524 個 數 的 連 續 整 數 。
![HPSH [ 氧化數平衡反應式係數 ]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)