國中數學1 1 1負數與數線

1−1 負數與數線

本節課程學習重點： ◎能以「正、負」表徵生活中相對的量，並認識負數是性質(方向、盈虧)的相反。 ◎能認識負數在數線上的位置，並在數線上操作簡單的描點。 ◎能認識相反數及其在數線上的相對位置。 ◎能在數線上判別數的大小。 ◎能在脫離數線的情況下，判斷正、負數的大小。 ◎能舉例說明數量大小關係的性質：三一律與遞移律。 ◎能認識絕對值的符號，並理解絕對值在數線上的圖意。 一、正數與負數：(正數：比 0 大的數；負數：比 0 小的數；0 不是正數，也不是負數。) 在日常生活中，有一些量的意義是彼此相反(或是相對)的，例如：東西、高低、賺賠、…， 可以用「＋」(讀作正號)、「－」(讀作負號)來表示。舉例說明如下： (1)溫度：用「－」號來表示零度以下的氣溫。例如：− °3 C就是零下3 C° 。(比 0 度還要低 3 度) (2)方向：如果東邊為正向，以「＋」來表示、則西邊為負向，以「－」來表示。 (3)海平面：如果以海平面為基準，高於海平面以「＋」來表示，則低於海平面以「－」來表示。 (4)成績：如果以 60 分為基準，成績比 60 分高 5 分，記為＋5 分；比 60 分低 2 分，記為－2 分。 練習 1：如果體重增加以「＋」號表示，體重減少以「－」號表示。 (1)胖了 5 公斤，應該怎麼記？瘦了 6 公斤，應該怎麼記？ (2)如果體重從 88 公斤變成 80 公斤，則體重的變化應該怎麼記？ 【觀念釐清】(1) 0 不是正數，也不是負數。 (2)當「＋」、「－」是用來表示一個數的正負，則將這兩個符號稱為性質符號。 (3)當「＋」、「－」用來表示加減運算時，則稱這兩個符號為運算符號。 ◎性質符號相同的數稱為同號數。例：＋6 和＋8、－7 和－2 都是同號數。 ◎性質符號相異的數稱為異號數，例：＋3 和－6、－5 和＋9 都是異號數。 【觀念釐清】習慣上，可將正數前面的性質符號「＋」省略不寫，例：＋3 寫成 3，＋1.8 寫成 1.8， 但負數前面的性質符號「－」則不能省略。 ◎正整數(或自然數)：在正數中，像 1、2、3、…這樣的數。 ◎負整數：在負數中，像－1、－2、－3、、…這樣的數。 【觀念釐清】正整數、0、負整數合稱為整數。 練習 2：下列哪些數與－2.4 是同號數？哪些數與－2.4 是異號數？ 1.5、－5₂ 、38、0、－21、19

二、數線：(包含原點、正向與單位長) 首先，在一條水平的直線上，任取一點當作基準點，這基準點就是原點，通常以「O」點來表示， 代表數字 0。其次，在這條直線右邊畫一個箭頭表示正向，而與箭頭相反的方向就是負向。最後取 一個適當的長度當作單位長。 【說明】如下圖，以原點 O 為起點，在右方 1 個單位長的點標示為 1，右方 2 個單位長的點標示為 2， 右方 3 個單位長的點標示為 3，…。反過來，以原點 O 為起點，在左方 1 個單位長的點標示 為－1，左方 2 個單位長的點標示為－2，…，則這條直線就稱為數線。 2 3 4 1 0 O －1 原點 單位長 正向 －2 －3 －4 ◎坐標：如下圖，如果數線上一點 A 在原點右邊 2 個單位長的地方，則 A 點所表示的數是 2，或說 A 點的坐標是 2，記為 A(2)。同樣的，如果數線上一點 B 在原點左邊 4 個單位長的地方， 則 B 點所表示的數是－4，或說 B 點的坐標是－4，記為 B(－4)。 2 1 0 B A －4 練習 3：寫出下面數線上 C、D、E 三點的坐標。 1 0 D E C 練習 4：畫一條數線，並標示出 A(4)、B(－5)的位置。 0 1 練習 5：畫一條數線，並分別標示出表示 3 與－2 的點。 0 1 練習 6：畫一條數線，並標示出 A(1.7)、B(－34 7 )的位置。 0 1

練習 7：(1)在數線上分別標示出 C(12 3 )、D(－1 3 5 )與 E(－2.5)的位置。 0 1 (2)數線上 F、G 的坐標分別為多少？ －1 0 1 2 3 F G －2 －3 【觀念釐清】數線上的每一個點都有一個坐標，可以用這個坐標來代表這個點。原點表示的數是 0， 而在原點右邊的點所表示的數就是正數，在原點左邊的點所表示的數就是負數。 反過來說，給定一個數，也可以在數線上找到一個點來表示它。 三、數的大小： (1)在數線上任取兩點，右邊的點所表示的數比左邊的大。 (2)表示正數的點都在原點右邊，表示負數的點都在原點左邊，所以正數大於負數。 (3) 1 是最小的正整數；－1 是最大的負整數。 【說明】0 大於所有的負數。即…－3 ＜－2 ＜－1 ＜0 ＜1 ＜2 ＜3 ＜…。 －1 －2 －3 －4 －5 向右愈大 原點 向左愈小 －6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 練習 8：在數線上分別標出表示－3、－21 3 、1.8、－1.5、－ 2 3 、0 的點，並比較下列各組數的大小。 (1)－3 □ 0；(2) 1.8 □ 5；(3)－21 3 □ － 2 3 。 0 1 ◎三一律：對於任意兩數 a、b 的大小關係，下列三種關係恰有一種成立：a＞b、a＜b、a＝b。 【說明】在數線上，A(a)、B(b)兩點的位置關係，必定是下列三種關係中的一種： (1)A 在 B 的右邊。(此時 a＞b) B A b a (2)A 在 B 的左邊。(此時 a＜b) b a B A

練習 9：有一數 a，甲說：「a＞－3

4 。」乙說：「a＜－ 3

4 。」如果兩人都說錯了，則 a 應該是多少？

◎遞移律：比較 a、b、c 三數的大小關係時：(1)若 a＞b 且 b＞c，則 a＞c。 (2)若 a＜b 且 b＜c，則 a＜c。 (3)若 a＝b 且 b＝c，則 a＝c。 【說明】(1)如果 A 點在 B 點的右邊，B 點在 C 點的右邊，那 A 點一定在 C 點的右邊， 也就是說若 a＞b 且 b＞c，則 a＞c。 c b a C B A (2)如果 A 點在 B 點的左邊，B 點在 C 點的左邊，那 A 點一定在 C 點的左邊， 也就是說若 a＜b 且 b＜c，則 a＜c。 a b c A B C (3)如果 A 點與 B 點重合，B 點與 C 點重合，那 A 點與 C 點重合， 也就是說，若 a＝b 且 b＝c，則 a＝c。 四、相反數與絕對值： ◎相反數：(1)在原點的左右兩邊，且與原點的距離相等的兩個點，所表示的兩個數互為相反數。 (2)相反數的數字部分相同，性質符號不同。 (3)若 a 是不為 0 的任意數，則－a 是 a 的相反數，且－(－a)＝a。 (4) 0 的相反數是 0。 【說明】(1)在數線上，A(－4)、B(4)兩點分別位於原點的左右兩邊，且與原點的距離都是 4。 6 5 4 3 2 1 0 －1 －3 －2 －4 －5 －6 4 B A 4 (2)－4 和 4，數字部分都是 4，只有性質符號不同，像這樣的一組數，就稱它們互為相反數。 也可以說，4 的相反數是－4，－4 的相反數是 4。例如：－2.7 和 2.7 互為相反數。 (3)在正數前面加上「－」號，就是這個正數的相反數；同樣的，在負數前面加上「－」號， 就是這個負數的相反數。因為 4 也是(－4)的相反數，所以－(－4)＝4。 也就是說，不管 a 是正數或是負數，－a 都是 a 的相反數，因此－(－a)＝a。 (4)另外，0 不是正數也不是負數，我們規定，0 的相反數是 0。 練習 10：分別寫出－2.5 與 32 5 的相反數。 練習 11：阿誠：「A(－4)和 B(6)這兩點與 C(1)的距離都是 5 個單位長，所以－4 是 6 的相反數。」 請問阿誠的說法正確嗎？為什麼？ 6 5 4 3 2 1 0 －1 －3 －2 －4 5 個單位長 5 個單位長 A C B

◎絕對值：在數線上，如果不考慮方向，只考慮一個數所代表的點與原點之間的距離，就稱為這個數 的絕對值。用｜a｜來表示 a 的絕對值，例如：｜4｜＝4，｜－5｜＝5。 【說明】A(5)與原點的距離是 5，則 5 的絕對值是 5，；B(－5)與原點的距離是 5，則－5 的絕對值是 5。 5 1 0 －5 5 B 5 A 如果不看性質符號，只看數字部分，這個數字部分剛好會是這個數在數線上所代表的點與原點 之間的距離，也就是這個數的絕對值，例如：－2.7 的絕對值是 2.7，0 的絕對值是 0。 練習 12：寫出下列各數的值。 (1)｜12｜= ；(2)｜－5｜= ；(3)｜35 6 ｜= ；(4)｜－3 5 6 ｜= 。 練習 13：(1)有沒有絕對值等於－3 的數呢？ (2)如果兩數是相反數，這兩個數的絕對值會相等嗎？ 練習 14：分別寫出－3 和－9 的絕對值，並比較這兩數絕對值的大小。 【觀念釐清】數線上，絕對值愈大的負數所代表的點離原點愈遠，所以絕對值愈大的負數，其值愈小。 練習 15：(1)分別寫出－16 與－19 的絕對值，並比較這兩數絕對值的大小。 (2)－16 與－19 哪一個比較大？ ◎絕對值的性質：(1)在數線上，一個數所代表的點與原點的距離，稱為這個數的絕對值。 (2)一個數的絕對值一定是 0 或正數。 (3)互為相反數的兩數，其絕對值相等。 (4)絕對值愈大的負數，其值愈小。 練習 16：在數線上，若｜a｜＝6，則 a 是多少？ 練習 17：有一數 a，若｜a｜＝10，則 a 是多少？ 練習 18：寫出絕對值小於 3 的所有整數。

練習 19：若 b 是整數，且｜b｜＜51 2 ，則 b 可能是多少？ 自我評量 1. 用「＋」、「－」號表示相反的量。 (1)若以不賺不賠為基準，當爸爸作生意賺了 3400 元，則記為＋3400 元，那麼賠了 6300 元， 應記為 元。 (2)小敏班上這次數學考試的全班平均為 80 分，若以這平均分數為基準，小敏的成績比平均分數 高了 7 分，記為＋7 分，那麼： 小紋成績 68 分，可記為 分。 阿本的成績記為－4 分，表示阿本的成績是 分。 2. 寫出下面數線上 A、B、C、D、E 五點的坐標。 0 1 A B C D E 3. 畫一條數線，並在數線上分別標示出表示－1₂ 、22₃ 、－2、－13₄ 、3.5 各數的點。 0 1 4. 寫出下列各數的相反數：(1)5 2 ；(2)－ 1 7 ；(3) 0；(4)－(－ 1 3 )。 5. 試比較－5、2.5、－(－1 2 )、0、｜－6｜各數的大小關係。 6. 有一數 a，若｜a｜＝15，則 a 是多少？

7. 若 b 是整數，且｜b｜＜5，則 b 可能是多少？ 習作 1. (1)支出與收入是相反的，收入 3000 元可記為＋3000 元，則支出 1500 元可以記為 元。 (2)南方和北方是相反的，向北走 65 步記為－65 步，則由同一地點向南走 27 步可以記為 步。 (3)以 18°C 為基準，20°C 記為＋2°C，則 15°C 可以記為 °C。 (4)以 120 公分為基準，身高 128 公分記為＋8 公分，則身高 115 公分可以記為 公分。 2. 小華某次段考的成績，若以 80 分為基準，各科的得分與基準的比較，如下表。 國文 英語 數學 自然 社會 －2 ＋8 0 ＋12 －3 (1)小華的國文科實際分數是幾分？ (2)小華的自然科實際分數是幾分？ 3. 畫出一條數線，並在數線上標示出－3、－12₃ 、－2.5、3₄ 所代表的點。 0 1 4. 寫出下圖數線上 A、B、C 三點的坐標。 1 0 2 C B A

( )

( )

( )

－1 －2 －3 5. 阿豪、小偉、嘉嘉三人量體重，如果阿豪比小偉重，嘉嘉比小偉輕，那麼阿豪、小偉、嘉嘉三人 之中，誰的體重最輕呢？ 6. 寫出下列各數的相反數：(1) 33 4 ；(2)－8；(3) 2.7；(4)－(－1.5)。 7. 寫出下列各數的絕對值：(1)－7；(2)－(－2)；(3) 13 4 ；(4) 0。

8. 在□中填入＞、＜或＝。 (1)－3 □ 2；(2)0 □ －1；(3)－(－5) □ 3；(4)︱－6︱ □ －6；(5) 3 □︱－4︱； (6) 4 的相反數 □ 4；(7)︱－8︱ □ 8；(8)－3 □ －5。 9. 若－∣a∣＝－12，則 a 可能為多少？ 10. 已知甲數為整數，若︱甲︱＜4.3，則甲數可能是哪些數呢？ 11. (1)以 42 公斤為基準，體重 40 公斤記作－2，若小胖的體重記為＋8，則小胖的體重是 公斤。 (2)向東走與向西走是相反的。若甲向東走 3 步記為＋1，則乙從原地向西走 9 步，可記為 。 12. 在同一天內，若以早上 10：00 為基準，早上 9：00 記為－1，則 (1)早上 6：00 記為 。(2)中午 12：00 記為 。(3)下午 3：00 記為 。 13. 有一數 a，若∣a∣＜3，則下列哪些可能是 a 在數線上的位置？答： 。 (A) (B) 0 3 a －3 0 3 a －3 (C) (D) 0 3 a －3 －3 0 3 a 類題補充 1. 若數學科成績以 50 分為基準，得 40 分記作－10，那麼考 35 分可記作多少？ (A)－25 (B)＋25 (C)－15 (D)＋5。 2. 假設一年甲班學生的平均身高為 157 公分，若小靖身高 145 公分記為－12，則小翊身高 160 公分應 記為 ，而小妍身高 152 公分應記為 。 3. 已知 A 的相反數為 7，B 的相反數為－(－8)，C 為－9 的相反數，則 A、B、C 三數的大小關係 為 。

4. A、B、C、D 四位同學比體重，已知 A 比 C 輕、B 比 D 重、A 比 B 重，則將四位同學的體重由大 排到小的順序為 。 5. 絕對值比∣－31 5∣小的負整數有 個。 6. 下表是一年甲班三位同學的某次數學考試成績與最高分成績的比較表。如果最高分成績是 94 分，則 這三位同學中最高分的分數是幾分？ 學生 A B C 成績與最高分成績的差距 －20 －6 －5 7. 若以正午 12 點為基準，下午 3 點記為－6，則上午 10 點可用下列何者表示？ (A) ＋20 (B) ＋10 (C) ＋4 (D) ＋2。 8. 下列敘述何者正確？ (A) 最小負數是－1 (B) －3 在原點右邊 3 個單位 (C) 最小正數是 1 (D) 整數包含 0。 9. 如右圖，A、B、C 三點的坐標分別為 a、b、c， 則下列哪一個選項是正確的？

(A) －b＜0 (B) －c＞b (C) a＞b (D) ∣c∣＞∣a∣。

10. 已知數線上的兩點 A(－8)、B(－9)，若有六個等分點將 ¯ AB 七等分，則從右邊算起第 2 個等分點所 代表的數為何？ (A) －8 5 7 (B) －8 2 7 (C) －9 2 7 (D) －9 5 7。 11. 下列敘述何者錯誤？ (A) 任何一個數都可以在數線上找到一個點表示 (B) 負數的絕對值是它的相反數 (C) 數線上的點離原點愈遠，所表示的數愈大 (D) 零大於所有的負數 12. 若∣x∣＝x，則下列何者正確？ (A) x＞0 (B) x＜0 (C) x＝0 (D) x≧0。

A

B

a

b

0

c

C

13. 設 A(m)、B(n)，A、B 皆在原點左邊，且∣m∣＞∣n∣，則下列何者正確？ (A) m＞n (B) m＝n (C) m＜n (D) 不一定。 14. 比－35.6 大，比 38.7 小的整數有 個，這些整數的總和為 。 15. 在數線上 A、B、C 三點所代表的數分別為－4、－1、6，若以 B 為新原點，原單位長的一半長為 新單位長，則 A 點所表示的數為 ，C 點所表示的數為 。 16. 在數線上最接近－4 5 11的整數點為 。 17. 將數線上表示－2 和－3 兩點之間的線段分成十等分，所得的九個等分點中，由左向右數第 4 個等分 點所表示的數是 。 18. 如果依萍比小蓁輕，玟玟比依萍輕，那麼依萍、小蓁、玟玟三人之中誰最輕？答： 。 19. 已知甲為整數，如果 2＜∣甲∣＜8，則符合條件的甲一共有 個。 20. 已知 n 為正整數，甲數為整數，若∣甲數∣＜n，且滿足此條件的甲數共有 11 個，則 n＝ 。

21. 在數線上，A、B 兩點分別表示－20 和 36，若要使 A、B 兩點變成與原點等距離，則 A、B 這兩點須 同時如何移動？ (A) 向左移 8 單位長 (B) 向右移 8 單位長 (C) 向左移 28 單位長 (D) 向右移 28 單位長。 22. 有一數 a，若∣a∣＜5，則下列哪一個選項可能是 a 在數線上的位置？ (A) －5 0 5 a (B) －5 0 5 a _(C) －5 0 5 a (D) －5 0 5 a

23. 若甲、乙兩數有下列兩種關係：(1) ∣甲∣＜∣乙∣、(2) 甲＞乙，則甲、乙兩數在數線上的位置可為 下列何者？ (A) 0 甲 乙 (B) 乙 0 甲 (C) 甲 0 乙 (D) 0 乙 甲 24. 下列敘述何者正確？ (A) 6 比－8 小 (B) －6 比－3 大 (C) 1 3比 1 2大 (D) － 1 3比－ 1 2大。 25. 若 a＞0、b＜0、c＜0、d＞0，且∣a∣＞∣b∣＞∣c∣＞∣d∣，則下列敘述何者正確？ (A) a＞b＞c＞d (B) d＞a＞c＞b (C) a＞d＞b＞c (D) a＞d＞c＞b。

26. 若∣甲數∣＋∣乙數∣＝8，則甲數不可能為下列哪一個數？ (A) －9 (B) －7 (C) ＋2 (D) ＋5。 27. 有關絕對值的敘述，下列何者正確？ (A) 0 不是正數也不是負數，所以 0 沒有絕對值 (B) 絕對值愈小的數，其值愈小 (C) 在數線上，離原點愈遠的數，其值愈大 (D) 在數線上，任兩點間的距離為兩數相減的絕對值 28. (1)體重以 45 公斤為基準，體重 42 公斤記作－3，則胖虎體重 公斤，記作＋18。 (2)以上午 10 時為基準，若上午 7 時記為－6，則下午 7 時可記為 。 29. 數線上有甲、乙、丙、丁四點，分別表－ 3 2、 3 4、－ 4 5、 6 5，則這四點中最靠近原點的是 。 30. 若甲、乙皆為整數，且絕對值不大於甲數的整數共有 7 個，絕對值小於乙數的正整數共有 11 個，則 甲＋乙＝ 。 31. 滿足∣－3∣＜∣甲∣＜∣8∣的整數甲有 個。 32. 數線上有兩點 A(a)、B(－3)，且∣a＋3∣＝5，則 a＝ 。

加強練習 1. 上午 11 時為基準，若下午 5 時記為＋12，則上午 8 時可記為 。 2. 下列敘述正確的有幾個？ (A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4 個。 甲：最大的負整數為－1 乙：設 a、b 代表整數，則(a－b)和(b－a)互為相反數 丙：「零」除以「任何整數」，其結果為零 丁：若 a＞b，則｜a｜＞｜b｜ 戊：0 沒有相反數 3. 數線上，最靠近－ 2 3的整數坐標為何？ (A) 0 (B)－1 (C) 1 (D)－2。 4. 若甲數＋乙數＝13，且甲數＞乙數，已知｜乙數｜＝8，則甲數為何？ (A)－5 (B) 5 (C) 6 (D) 21。 5. 下表為小建的第一次段考各科成績與生物成績的比較，請問： 科 目 國文 英文 數學 社會 生物 各科成績與生物成績 的比較 －8 ＋10 －7 ＋15 0 (1)小建的各科成績中，最高分和最低分相差 分。 (2)若小建生物成績為 82 分，則小建此次段考的平均分數為 分。 6. (1)絕對值不大於 7 的整數有 個。 (2)絕對值小於 16 的整數有 個。 (3)絕對值不大於 15 的二位整數共有 個。 (4)若 A 為整數，－2 ｜A｜≤ 4，所有 A 的值共有 k 個，所有 A 的值之和為 m，則 m－k＝ 。 ≤ (5)絕對值不大於 N 的整數有 15 個，則整數 N＝ 。 (6)比－5 3 4大，且比 30 7 小的整數有 個。 7. 已知∣－5 3 7∣＜x＜∣10 2 3∣，若 x 為整數，則滿足此條件的 x 共有多少個？ (A) 5 (B) 6 (C) 15 (D) 16。 8. 在數線上，將－4 與－5 之間分成 5 等分，可得 4 個等分點，再將最左邊的等分點與－5 之間分成 10 等分，可再得 9 個等分點，則這 9 個等分點中，最靠近－5 的點所表示的數為何？ (A)－4.98 (B)－4.99 (C)－5.01 (D)－5.02。 9. 數線上，甲、乙兩人分別在－10 和 2 的位置上，若兩人相向而行，且甲的移動速度為乙的一半，則 兩人相遇處所標示的數字為 。 10. 數線上，P 點的坐標為－12，若將坐標為 6 的點當成新的原點，則 P 點的坐標變為 。 11. 一數線上有 A、B、C 三點，若 C 點坐標為 5，B 點在 A 點的右邊，C 點在 B 點的右邊，A、C 兩點 相距 20 個單位長，A、B 兩點相距 9 個單位長，則 (1) B 點的坐標為 。 (2) B、C 兩點間相距 個單位長。 12. 下表是一年 A 班六位同學的某次數學小考成績與全班平均成績的比較表。請問： 學生 A B C D E F 成績與全班平均成績的差距 ＋2 －8 －3 ＋11 ＋9 0 (1)如果 C 生的成績是 83 分，則全班平均成績是多少分？ (2) 6 位同學中，最高分與最低分相差幾分？ 13. 甲、乙兩人分別在數線上的 A、B 兩點，其坐標分別為 A(10)和 B(30)，今兩人同時向右移動， 甲每分鐘移動 60 公尺，乙每分鐘移動 50 公尺，設每一單位為 5 公尺，則 (1)原本甲、乙兩人相距多少公尺？ (2)經過幾分鐘後甲會追上乙？ (3)甲追上乙的位置，在數線上所表示的數為何？

Ans：1.－6；2.(B)；3.(B)；4.(D)；5. 23，84；6.(1) 15，(2) 31，(3) 12，(4)－9，(5) 7，(6) 10； 7.(A)；8.(A)；9.－6；10.－18；11.(1)－6，(2) 11；12.(1) 86 分，(2) 19 分；

13.(1) 100 公尺，(2) 10 分鐘，(3) 130。 心得筆記