應用 Spline 迴歸與延伸線性混合效果模式於多層縱向資料分析之實例研究

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(1)133. 國立政治大學「教育與心理研究」 2008 年 3 月，31 卷 1 期，頁 133-154. 應用Spline迴歸與延伸線性混合效果模式於多層縱向資料分析之實例研究葛湘瑋*. 摘. 要. 縱向資料分析的目的常在於描述個人隨時間成長及改變的情形，研究若能辨識顯著改變發生的時間點及有受試者間變異的時間點，則可使研究者對個體成長發展過程作更深入的分析。以多項式迴歸或延伸線性混合效果模式，在測量時間點較多的縱向資料分析上有其理論與應用之限制。本研究主要目的在提出以spline迴歸與延伸線性混合效果模式結合的系統化分析方法，來分析測量時間點較多的縱向資料。希望能藉此協助找出重要改變發生的時間點與有受試者間變異的時間點，並將時間納入隨機效果的共變異矩陣，以及說明殘差的異質性與相依性的共變異模式。本研究以視覺搜尋資料作實例分析，並說明應用所發展的系統化分析方法於縱向資料分析的基本步驟與注意事項，包括選擇節點、選擇初始的固定效果模式、選擇具隨機效果的參數與其共變異矩陣模式、建立殘差結構及模式簡化等過程。. 關鍵詞：共變異模式、多項式迴歸、延伸線性混合效果模式、縱向資料分析、spline 迴歸葛湘瑋：致理技術學院國際貿易學系副教授誌謝：本研究採用之視覺搜尋資料係由美國伊利諾大學香檳娥百娜校區心理系 M. S. Peterson教授及A. F. Kramer教授慷慨提供，謹此致謝。電子郵件：[email protected] *. 收件日期：2007.03.06；修改日期：2007.06.11；接受日期：2007.09.20.

(2) 134. Journal of Education & Psychology March, 2008, Vol. 31 No. 1, pp. 133-154. Application of Spline Regressions and Extended Linear Mixed-Effects Models in Longitudinal Analysis Hsiang-Wei Ker* Abstract Longitudinal data consist of measurements on the same subject repeatedly over time. Such data typically posses a hierarchical structure that repeated measurements are nested within individuals. Longitudinal data with large numbers of time points typically have shifts in the shapes of relationship between performance over time at certain time points, differences between individuals, and dependence and heteroscedasticity in the residuals. These characteristics pose particular challenges to the development of methodologies for analyzing longitudinal data. Polynomial regressions are used for analyzing longitudinal data. However, there exist some limitations in utilizing polynomial regressions in analyzing longitudinal data. The residuals in longitudinal data often exhibit heteroscedasticity and dependence characteristics, which violate the assumptions of homogeneity and independence for multiple regressions. Moreover, the residuals need specific covariance models to describe the residual structure. If the number of occasions is large, the use of polynomial functions is inadequate to describe the whole model shifts for the entire time range because polynomial functions are globally determined in a small interval of time. As an alternative functional form, spline regressions can be fit to the sub-ranges of time with the adjacent functions joined together smoothly to adapt the whole model shift. *. Hsiang-Wei Ker: Associate Professor, Chihlee Institute of Technology, Deprtment of International Trade E-mail: [email protected] Manuscript received: 2007.03.06; Revised: 2007.06.11; Accepted: 2007.09.20.

(3) 135. The main objective of this study was to investigate a methodology that incorporate spline regressions with extended linear mixed-effects models (spline extended LMEs) in modeling multilevel longitudinal data with large number of time points. First the literature of spline regressions and extended linear mixed-effects models are first reviewed. Then a systematic approach which is generally applicable to modeling various multilevel longitudinal data with large number of time points is proposed. A detailed illustration of the proposed methodology is further demonstrated through reanalyzing the visual-search dataset of Peterson and Kramer (2001). Results indicate that spline extended LMEs are flexible in specifying the covariance models, can indicate the between-subjects variability that occurred at certain knots, as well as can incorporate them into variance-covariance structures for random effects. Several recommendations on the application of spline extended LMEs in longitudinal analysis, including the importance of visualization, knots placement, variability at knots, and the possibility of over parameterization, are discussed.. Keywords: covariance models, extended linear mixed-effects models, longitudinal data analysis, polynomial regressions, spline regressions.

(4) 136 教育與心理研究 31 卷 1 期. 壹、緒論. 的縱向資料分析，低階與高階的多項式均不適用；(3)縱向資料分析的研究興. 縱向資料分析的目的常在於描述. 趣若為能找出顯著改變的時間點或具有. 個人隨時間的成長、發展及改變的情. 受試者間變異（ between-subjects. 形，而研究若能辨識顯著改變發生的時. variability）的時間點，則多項式迴歸. 間點及有受試者間變異的時間點，則可. 無法處理；(4)縱向資料之結構可視為. 使研究者對成長發展過程作更深入的分. 多層次資料，即重複測量套層於受試者. 析。縱向資料通常包含同一個受試者在. 之下，研究興趣若為能具有受試者間變. 不同時間點上重複地接受試驗的資料。. 異（between-subjects variability）的時. 多項式迴歸被廣泛地使用於建立縱向資. 間點，則多項式迴歸無法處理。. 料模式。然而，應用多項式迴歸於縱向. 葛湘瑋（2004）提出以延伸線性. 資料分析有如下之限制：(1)縱向資料. 混合效果模式（extended Linear Mixed-. 的主要特性是殘差具有異質性及相依. Effects models, extended LMEs）來建立. 性，殘差變異會隨時間增加或減少，以. 縱向資料模式，以處理多變量分析與重. 多項式迴歸來分析縱向資料時常會面臨. 複測量變異數分析在縱向資料研究上的. 違反了迴歸殘差須具均質性與獨立性的. 主要限制（即多變量分析中殘差須非結. 假設，通常較不適宜，因此，資料分析. 構性模式，重複測量變異數分析有球形. 時必須將異質性與相依性的共變異模式. 基本假設）。使用extended LMEs來建立. 納入模式中（ Muthen & Satorra,. 縱向資料模式的優點為能提出正確的函. 1989）；(2)雖然在多項式迴歸中，依變. 數形式、選擇合宜的隨機效果及殘差的. 數採用時間及時間乘冪的線性組合，參. 共變異模式、受試者的測量次數與時間. 數是線性的，分析與解釋比非線性參數. 可不同、隨時間而不同的互變量與受試. 的模式較為容易（MacCallum & Kim,. 者個人特性可納入模式中，在解釋個人. 2000）。然而，如果時間點較多且曲線. 成長會比使用多變量分析與重複測量變. 有轉折點時，則多項式迴歸並不足以描. 異數分析在建立縱向資料模式有彈性. 述整體曲線。主要原因是低階多項式函. （葛湘瑋，2004）。然而，在測量時間. 數在小範圍的時間區域可能合宜，但無. 點較多，如果研究興趣除了在找出合宜. 法描述整個大範圍的變動情形。而高階. 的隨機效果及殘差的共變異模式外，同. 的多項式函數變數的估計值，通常非常. 時也希望找出有顯著改變發生的時間. 接近極端值，因此，在時間點較多（如. 點、有受試者間變異的時間點，以及將. 超過15個時間點以上）且曲線有轉折點. 時間點納入隨機效果的共變異矩陣，.

(5) 應用 Spline 迴歸與延伸線性混合效果模式於多層縱向資料分析之實例研究 137. extended LMEs無法對縱向資料時間點. 入探討spline extended LMEs應用在縱. 作有效的分析。. 向資料分析之步驟與建議。. spline函數主要是將整個大範圍的時間區切割成數個子範圍的時間區，而子範圍間以函數平滑的連結在一起。兩. 貳、Spline迴歸一個多項式函數可視為一種沒有. 個函數連結的時間點稱為節點（knots）. 節點的 spline 函數（ Smith, 1979 ）。. （Wegman & Wright, 1983）。建立spline. Spline函數是由多個多項式函數相連結. 函數最大的困難在於決定節點的數目及. 的函數，一個n次多項式spline函數在節. 位置的選擇（Hastie & Tibhirani, 1990;. 點上有n-1連續微分。在spline函數中，. Wold, 1974）。若將節點當變數置於模. 以三次 spline 函數最被廣泛地使用. 式中估計，則該模式為非線性迴歸，必. （Seber & Wild, 1989）。由一個節點及. 須以更複雜的方式來估計（Durrleman. 二個弧形（Arc）組成的三次spline函數. & Simon, 1989）。當節點的數目及位置. 可表示為：. 固定時， spline 函數是線性迴歸的一種，因此，可以一般的統計軟體與迴歸. ⎧ p (x) a ≤ x ≤ k fx = ⎨ 0 ⎩ p1 (x) k ≤ x ≤ b. (1). 方式來估計參數（Wegman & Wright,. 其中， p0 (x) 是在節點之前的三次. 1983）。本研究的主要目的是以spline迴. 函數；而 p1 (x) 是在節點之後的三次函. 歸與延伸線性混合效果模式（以下簡稱. 數。 p0 (x) 和 p1 (x) 在節點平滑連結，則. spline extended LMEs）結合來分析在. 在節點位置、一次與二次的微分均須相. 時間點較多且曲線有轉折點的縱向資. 等以確保其連續性，亦即 p0 (k) =. 料，希望能藉此找出重要改變發生的時. p1 (k) ， p0′ (k) = p1′(k) 及 p0′′(k) = p1′′(k) 。. 間點、有受試者間變異的時間點、將時. 推而廣之，在﹝a，b﹞間可以m個節點. 間點納入隨機效果的共變異矩陣，以及. 分成m+1個子範圍（在x = k1, k2, …. 說明殘差的異質性與相依性的共變異模. km），即. 式。本研究首先將對 spline 迴歸與 extended LMEs 作更進一步地文獻回顧。文中亦將提出節點的置放方式，節點數目及位置固定後，可以一般的統計軟體中建立線性混合效果模式（Linear Mixed-Effects models, LMEs）的功能進行模式建立。本研究並以實例分析，深. ⎧ p0 (x) a ≤ x ≤ k1 ⎪ ⎪⎪ f x = ⎨ pi (x) ki ≤ x ≤ ki +1 ⎪ ⎪ ⎪⎩ pm (x) km ≤ x ≤ b. (2). pi(x) 在 i=1, 2, …, m 須符合 pi-1(ki ) = pi (ki ) ，. pi-′ 1 (ki ) = pi′(ki ) 及.

(6) 138 教育與心理研究 31 卷 1 期. pi′′−1 (ki ) = pi′′(ki ) 的條件。. 可能會產生過度配適的問題（Durrleman. 應用Smith（1979）所提出如公式. & Simon, 1989）；節點數目太少時，則. (3)所示的‘＋’函數表現方式，則spline. 模式可能會因過於簡化而忽略了其他重. 函數可表為公式(4)。其中，n次spline. 要改變的時間點。London（1985）也. 函數有K個節點，並含有K+n+1個迴歸. 提出在某些情況下，重新定義節點位置. 係數，其節點位置為 t1 < t2 < ... < t K 。. 比增加節點數有效。. ⎧µ µ+ = ⎨ ⎩0. µ>0 µ≤0 n. (3). 節點置於四分位數的位置，如三個節點 K. f ( x) = ∑ β 0 j x j + ∑ β in ( x − ti ) n+ j =0. Hastie與Tibshirani（1990）提出將. (4). 各置於第一、第二與第三個四分位數的位置。 Smith 與 Klein （ 1982 ）， Smith. i =1. 舉例而言，一個三次有兩個節點. （1982）提出首先定義相等距離的節點. 分別在 t1 與 t2 的spline函數可表為公式. 位置成為模式的參數，再以逐步迴歸方. (5)：. 式自動選取具顯著的時間點。Snijders. f ( x) = β 00 + β 01 x + β 02 x + β 03 x 2. + β13 ( x − t ) + β 23 ( x − t ) 3 1 +. 3. 3 2 +. (5). 即如果 x 的值小於 t1 ，則 ( x − t ). 3 1 +. 及 ( x − t2 )3+ 均為零，如果 x 的值介於 t1 與 t2 間，則 ( x − t2 )3+ 為零。. 與Bosker（1999）則提出，以嘗試錯誤的方式來選取節點。Stone（1986）提出五個節點應足夠分析大部分的資料，但並未提出支持此論點的理論基礎。 spline函數適用於時間點較多且曲. 節點置放是建立spline函數最困難. 線有轉折點的資料分析。文獻中對於節. 的步驟，研究者對節點的置放並未有一. 點的置放並未採取一致或固定的方式，. 致的作法。Wold（1974）根據實務經. 研究者可以配合理論、資料結構與偏好. 驗建議選擇節點應能表示出曲線的轉折. 選擇適當的節點位置和節點數來建立模. 特性，並將其視為一般迴歸來處理，節. 式。圖1為虛擬的單層非線性曲線資. 點數應盡可能精簡，且節點間至少需有. 料，分別使用線性迴歸、三次多項式迴. 四個或五個時間點（三次 spline 函. 歸、spline迴歸來建立模式，從圖中可. 數）。如果節點數太多，則模式含過多. 看出，線性模式與三次多項式模式並不. 不必要的參數，模式變為複雜且不易解. 足以描述此曲線，而spline函數迴歸則. 釋（Seber & Wild, 1989）。節點數目增. 較能解釋曲線的轉折情形。. 加時，配適值趨近於觀察值，例如：若. 參、延伸線性混合效果模式. 有n+1個觀察值，以n次多項式迴歸配適，則為完全配適。參數數目過多時，.

(7) -0.4 -0.6. y. -0.2. 0.0. 應用 Spline 迴歸與延伸線性混合效果模式於多層縱向資料分析之實例研究 139. -0.8. spline-2 knots linear polynomial-3 degree. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. 100. 110. x. 圖1. 虛擬的非線性曲線資料，分別使用線性迴歸、三次多項式迴歸、spline 迴歸（虛線處代表節點位置）作配適. extended LMEs為LMEs的延伸，其. & Ware, 1982）。在建立縱向資料的模. 主要差異在層次的單位及殘差變異的假. 式中，重複測量套層於受試者之下，亦. 設不同。LMEs可用來分析多層次資料. 即重複測量結果是第一層單位，受試者. （multilevel data），其中個人資料是第. 是第二層單位，而受試者所屬的團體是. 一層單位、個人所屬的團體為第二層單. 更高層的單位（Hox, 2000）。extended. 位，第一層殘差必須符合獨立性與均質. LMEs在縱向資料分析上，最低的層次. 性之基本假設。然而在縱向資料分析. 亦稱為重複測量層次（ repeated-. 中，若資料顯示出受試者間有變異且殘. measures level）或個體內層次（within-. 差具有異質性與相依性，因此，必須改. individual level），可表示為： Level-1: yti = β0i + β1i mti + β2i xti + rti. 採extended LMEs來分析。. (6). 縱向資料的研究通常在探討受試. 其中， yti 是受試者 i 在時間 t 的測量. 者在不同的實驗處理或不同時間點的反. 值； mti 是受試者接受測量的時間變. 應，每一個受試者在不同的實驗處理及. 數； xti 是隨時間改變的互變量（time-. 不同的時間點上都有測量結果（Laird. varying covariate ）； rti 是殘差； i =.

(8) 140 教育與心理研究 31 卷 1 期. 1，…，N個受試者；對第i個受試者有t. Vonesh & Chinchilli, 1997）。此外，在. = 1，…，ni次重複測量。第二層模式為. 縱向資料中因個體在不同實驗處理或不. 個人層次（individual level），可表示. 同時期成長情形不同，殘差變異數隨時. 如下：. 間增加或減少，因此，異質殘差變異數. Level-2:. 應納入 extended LMEs 中（ Carlin &. β0 i = γ00 + γ01 Z1i + u0 i. Louis, 1996; Jones, 1993）。建立受試者. β1i = γ10 + γ11 Z1i + u1i. (7). β2 i = γ20 + γ21 Z1i + u 2 i. 內異質性殘差的形式有許多種方式，譬如，採用一個層化變數（stratification. 在此模式中， Z 是不隨時間改變的. variable）來代表不同水準的變異數不. 互變量（time-invariant covariate），在. 同，若是個體的變異是某個互變量的絕. 第二層模式中可加入更多不隨時間改變. 對值的乘方或指數形式，則可採用有次. 的互變量； u0i 、u1i 及u2i 是在Z1i 條件. 方函數或指數函數的變異數模式. 下，分別和第一層的截距及斜率有. （Pinheiro & Bates, 2000）。共變異數模. 關的隨機效果。 u 的變異數與共變異. 式的選擇則必須視資料結構、和主題相. 數矩陣為隨機截距與斜率的條件變異數. 關的理論，以及所採用的統計軟體而定. 與共變異數矩陣，截距與斜率可依理論. （Louis, 1988）。. 或資料特性設為固定或隨機效果。將第. 肆、資料與方法. 二層模式代入第一層模式中，即為. 本研究採用視覺搜尋資料（visual-. extended LMEs：. yti = γ00 + γ10 mti + γ20 xti + γ01 Z1i + γ11 Z1i mti + γ21 Z1i xti + u0 i. search dataset ）作為 spline extended (8). LMEs的實例分析，實驗主要目的在探. + u1i mti + u 2 i xti + rti. 討物體從下到上及從上到下出現對視覺. 在縱向資料中，因每個受試者都. 搜尋的影響，以及彼此間的交互作用. 有重複的多次測量，這些測量本身具有. （Peterson & Kramer, 2001）。此實驗共. 連續相關的特性，因此，一般在處理殘. 有18個受試者，分成三天進行，每天的. 差的相依性時，通常會採時間數列資料. 實驗包含15個區間（block），每個區間. 的模式，如自我迴歸模式（autoregres-. 有48個試驗，每個受試者在整個實驗中. sive model）、移動平均模式（moving. 共有2,160次試驗，因此，共有38,880. average model）或自我迴歸及移動平均. 個觀察值。Peterson與Kramer採用三因. 混合模式（autoregressive-moving average. 子重複測量變異數分析來分析此資料，. model）（Box, Jenkins, & Reinsel, 1994;. 將每天的 15 個區間分為二個時段.

(9) 應用 Spline 迴歸與延伸線性混合效果模式於多層縱向資料分析之實例研究 141. （epoch），三天共六個時段；依變數是. （nonlinear mixed effects library）所產. 平均反應時間，三個因子為時段、干擾. 生（ MathSoft Inc., 1999; Insightful. 物（ distractor ）及形相（ configura-. Corp., 2001; Bates & Pinheiro, 1997）。. tion）。Peterson與Kramer的分析結果顯. 此外，在www.r-project.org網站上亦可. 示，三個主效果均顯著；只有時段和形. 找到免費使用的R統計軟體作為本研究. 相有交互作用，時段和干擾物沒有交互. 之替代分析工具。. 作用，干擾物和形相也沒有交互作用。. 伍、資料分析. 本研究採二次 spline extended LMEs以視覺搜尋資料來說明應用所發. 一、節點位置的選擇. 展的系統化分析方法，於縱向資料分析. 本研究首先利用既有的資訊和檢. 的基本步驟與注意事項，包括選擇節. 測依變數與時間的曲線圖，來決定主要. 點、選擇初始的固定效果模式、選擇具. 改變發生的可能時間點或主要節點。接. 隨機效果的參數與其共變異矩陣模式、. 下來再參考Smith與Klein（1982）採用. 建立殘差結構及模式簡化等過程。研究. 逐步迴歸的概念，在主要節點間置入等. 者亦可應用此分析方法建立三次或四次. 距離的時間點或輔助節點，以找出可能. 的spline extended LMEs作為選擇適宜. 遺漏重要改變的時間點。如此一來，節. 模式的參考。本研究中另定義一個以零. 點的位置和數目既已固定，即可利用建. 為起點的時間變數（ Time = Block -. 立extended LMEs的方法，來移除不重. 1），如區間1即為時間0。自變數為形相. 要或是不具個體變異的時間點。. （新或舊，新形相編碼為-1，舊形相為. 此視覺搜尋實驗分成三天進行，. 1）、干擾物（出現或不出現，有干擾物. 受試者可能在每天的開始和結束時反應. 為-1，無干擾物為1）及時間。依變數. 較慢，因此，可能節點可置於時間點. 為受試者在每個時間點的平均反應時. 14、28與42附近。理論上來說，若是沒. 間，重複測量值為第一層次，受試者為. 有主要改變的時間點時，其整體平均反. 第二層次。第一層次的自變數為形相、. 應時間會依時間順序而減少。圖2是18. 干擾物及時間，為隨時間改變的互變. 個受試者在各時間點的整體平均反應時. 量；本資料不含第二層次的自變數。. 間的曲線圖，從圖中可觀察到，整體平. 本研究將採用統計套裝軟體S-Plus. 均反應時間在實驗開始時較高（反應較. 作繪圖及spline extended LMEs的統計. 慢），然後隨時間的改變而減低。時間. 分析，分析結果與視覺圖係由該統計軟. 點15、29、41（以虛線標出），為可能. 體搭配 3.3.1 版的 NLME 副程式庫. 重要改變的時間點，因此，可將這三點.

(10) 1000 800. 900. Mean RT (msec). 1100. 1200. 142 教育與心理研究 31 卷 1 期. 0. 10. 20. 30. 40. Time. 圖2. 18 個受試者各時間點的整體平均反應時間的曲線圖. 設為主要節點。圖2也顯示可能二次或. 點29取代時間點27。依此原則，其他的. 三次多項式模式會比較適合解釋此組資. 節點依次為時間點32、35、38與41。在. 料。Wold（1974）根據實務經驗，建. 本研究中，節點的變數名稱分別定義為. 議三次spline函數節點間至少需有四個. T15 、 T18 、 T21 、 T24 、 T29 、 T32 、. 或五個時間點，本研究在初始模式能收. T35、T38與T41，節點的變數為二次. 斂及盡可能找出可能遺漏的重要改變的. 式，如 T15 = (Time −15)2+ ，在 S-Plus 有. 時間點考慮下，在主要節點間每三個時. 關節點的程式寫法可參考附錄。. 間點置入輔助節點（研究者亦可考慮其他等距離的時間點，如每二個時間點置. 二、模式建立. 入輔助節點，但須注意過度配適的問. 建立spline extended LMEs模式的. 題）。因此，以時間點15開始，輔助節. 步驟比建立一般標準複迴歸模式複雜，. 點為時間點18、21與24，雖然接下來的. 以spline extended LMEs來分析縱向資. 輔助節點應為時間點27，但因主要節點. 料的基本步驟包括，選擇固定效果、隨. 在時間點29，如果選擇時間點27則主要. 機效果、及殘差結構等三大部分，並將. 節點時間點29將會被略過，故改以時間. 依序說明如下。.

(11) 應用 Spline 迴歸與延伸線性混合效果模式於多層縱向資料分析之實例研究 143. (一)選擇初始的固定效果模式. 的參數移除之。然而，因 spline. 共變異模式受固定效果模式的影. extended LMEs本身包含許多節點，若. 響極大，主要在處理固定效果所不能解. 將所有參數均假設為具隨機效果時，常. 釋的變異，因此spline extended LMEs. 會產生模式無法收斂之問題。. 首先須建立一個初始的固定效果模式或. 一種選擇具隨機效果的參數方式. 第一層模式。一個可能的初始固定效果. 是，檢查每個受試者採用初始的固定效. 模式（稱為模式一）可為：. 果模式時，每個參數的信賴區間圖，如. 平均反應時間ti =. 果受試者在該參數的信賴區間重疊性不. β0i + β1i 干擾物 ti + β2i 形相ti + β3i 時間ti. 高，即代表其具有組間變異，因此，可. + β4i 時間 + β5i 干擾物 × 時間ti. 設該參數具有隨機效果（ Pinherio &. + β6 i 形相 × 時間ti + β7 i 形相 × 干擾物 ti (9). Bates, 2000 ）。這是一種非正式的方. + β8iT 15 + β9 iT 18 + β10iT 21 + β11iT 24. 式，可用來協助判斷某參數是否具隨機. 2 ti. ＋β12iT 29 + β13iT 32 + β14 iT 35 + β15iT 38 ＋β16iT 41 + rti. 效果或需要不同斜率的方法。圖3顯示每個受試者採用初始的固定效果模式. 其中，依變數為受試者 i 在時間t的. （模式一）時，各參數的95%信賴區間. 平均反應時間；i為第1, 2, …, 18個受試. 圖，從圖中可看出截距、時間、時間的. 者；t為時間單位，t = 0, 1, 2, …, 44。. 平方與時間點21等四個參數的信賴區間. 當初始的固定效果模式參數較多時，可. 重疊性不高，因此，可將其設為具有隨. 及F檢定來比較並選擇較佳的. 機效果的參數。有關圖3在S-Plus的程. 初始固定效果模式（Snijders & Bosker,. 式寫法可參考附錄。初始的第二層模式. 1999）。. 可表示如下，在此僅列出具隨機效果的. 採用 R. 2 meta. (二)選擇初始的隨機效果模式. 部分模式：. 在選擇初始的隨機效果模式時，. Level-2:. 其分析步驟包括：(1)選擇具隨機效果. β 0i = γ 00 + u0i. 的參數；(2)選擇隨機效果的共變異矩. β3i = γ30 + u3i. 陣。. β4i = γ40 + u4i. 在選擇具隨機效果的參數方面，. (10). β10 i = γ100 + u10 i. 若LMEs模式的參數不多時，可暫時假. 將第二層模式代入初始固定效果. 設所有的參數具隨機效果，只要模式能. 模式中，可得spline extended LMEs模. 收斂，則可在簡化模式過程中將不必要. 式如下：.

(12) 144 教育與心理研究 31 卷 1 期. 153 150 114 141 105 126 106 111 129 100 108 144 123 138 103 135 147 132. Dist:Time. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |. |. | -2. 153 150 114 141 105 126 106 111 129 100 108 144 123 138 103 135 147 132. -1. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |. Subject. -20. | |. |. |. |. | |. | |. | | |. |. |. | |. | |. | | | | |. 20. |. |. |. |. | | |. |. | |. |. | | |. |. | | | |. 0. | |. |. | |. | |. -20. |. | -4. 153 150 114 141 105 126 106 111 129 100 108 144 123 138 103 135 147 132. 0. 2 T41. | | | | | |. |. |. |. | |. 60 -100. |. | |. |. | |. | |. |. | |. |. |. | |. -2. 0. 2. | |. |. 圖3. 1200. |. | |. | |. |. |. |. | |. |. |. |. |. |. | |. |. | |. |. | | |. | | | |. |. |. |. |. 0. |. | |. T15. | |. |. | |. | | | |. |. | |. -20. 1600. |. |. |. 20. 40. |. |. | | | |. -10. 0. |. -150. |. 10. |. |. | | | |. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | -50. |. | | | |. -10. 0. | | | |. | |. |. |. 0. | |. | | | |. | | |. | |. | | | |. 10. | |. |. |. | |. |. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |. |. |. 20. Conf:Time. -2. -1. T32. -40. 20-40. | | |. -100. |. | |. | | | | |. 0. 1. T35. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |. |. | |. | | | |. -20. | |. | | | |. |. | | | | |. | |. Conf. ||| |. | |. |. Conf:Dist. |. |. |. |. |. |. |. |. | | |. | | | |. 50. T29. | |. |. |. |. 0. |. |. |. | | | |. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |. (Intercept). ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| ||| |||. |. |. -20. | |. | |. |. |. | |. | | |. |. 40 -40. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |. |||. 800. |. I(Time^2). |. |. | | | |. -50. |. |. 20. | |. | | |. | |. |. | |. | |. |. | |. |. |. |. |. 40. T24. -40. 153 150 114 141 105 126 106 111 129 100 108 144 123 138 103 135 147 132. 1. T38. | | | | | | | |. -60. 153 150 114 141 105 126 106 111 129 100 108 144 123 138 103 135 147 132. 0. -20. |. |. | |. |. |. |. | | |. | |. 20. T18. |. |. 0. | |. -20. |. |. | | | | |. |. | | | |. | |. |. 0. | |. 40. |. |. |. |. | |. |. | | |. -60. |. |. | |. 20. | |. 40. |. 0. 20. 40. 60. T21. |. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |. | |. -20. -60. |. | | | | | | | |. -20. Dist. 0. 20. 40. Time. | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |. -60 -40 -20. 0. 20. 40. -80. -40. 0. 20 40 60. 採用初始的固定效果模式（模式一）時，各參數的 95%信賴區間圖.

(13) 應用 Spline 迴歸與延伸線性混合效果模式於多層縱向資料分析之實例研究 145. 平均反應時間ti =. 變異數相同且兩兩之間的共變異相同. γ 00 + γ 10 干擾物ti + γ 20 形相ti + γ 30時間ti. 時，則採複合對稱（ compound. +γ 40時間ti2 + γ 50 干擾物ti × 時間ti. symmetry）矩陣模式。此四種共變異數. +γ 60 形相ti × 時間ti + γ 70 形相ti × 干擾物ti. 的矩陣形式如下：. +γ 80T15ti + γ 90T18ti + γ 100T 21ti + γ 110T 24ti +γ 120T 29ti + γ 130T 32ti + γ 140T 35ti +γ 150T 38ti + γ 160T 41ti + u0i + u3i × 時間ti +u4i × 時間ti2 + u10i × T 21ti + rti (11). 在選擇隨機效果的共變異矩陣方面，研究者可依資料結構、相關理論及所使用的軟體來選擇多種的共變異模式。依據所選擇出可能具隨機效果的參數（截距、時間、時間的平方、時間點 21），四種可能的變異⎯⎯共變異矩陣包括：(1)假設隨機效果相關時可採一. ⎡ σ 12 σ 12 σ 13 ⎢ σ σ 22 σ 23 一般正定：⎢ 21 ⎢σ 31 σ 32 σ 32 ⎢ ⎢⎣σ 41 σ 42 σ 43 2 ⎡σ 1 0 0 0⎤ ⎢ ⎥ 2 0 0 0⎥ σ 2 對角：⎢ 2 ⎢0 0 σ3 0⎥ ⎢ 2⎥ 0 0 0 σ 4 ⎥ ⎣⎢ ⎦ ⎡σ 12 0 0 ⎢ 0 σ 22 0 區間對角：⎢ ⎢0 0 σ 22 ⎢ 0 0 ⎣⎢ 0 ⎡σ 12 + σ 22 ⎢ σ 12 複合對稱：⎢ ⎢ σ 12 ⎢ 2 ⎢⎣ σ 1. σ 14 ⎤ ⎥ σ 24 ⎥ σ 34 ⎥ ⎥ σ 42 ⎥⎦. ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 2⎥ σ 2 ⎦⎥ 0 0 0. σ 12 σ 12 σ 12 ⎤ ⎥ 2 2 σ +σ2 σ1 σ 12 ⎥ 2 2 2 2 σ1 ⎥ σ1 σ1 + σ 2 ⎥ σ 12 σ 12 σ 12 + σ 22 ⎥⎦ 2 1. 般正定（ general positive definite 或. (12). unstructured）模式，即假設此四參數. 在模式比較時，區間對角矩陣與. 各具有自己的變異數且兩兩變數之間的. 複合對稱為對角矩陣的特例，對角模式. 共變異數不相等；(2)假設隨機效果各. 為一般正定模式的特例，這四種共變異. 有自己的變異及隨機效果間不相關時，. 模式可以概度比檢定來比較，其比較結. 可採用對角（diagonal）模式，即假設. 果如表1所示。LMEs的模式比較通常參. 此四參數各具有自己的變異數且兩兩變. 考對數概度統計量的絕對值、Akaike. 數之間的共變異數為零；(3)假設將隨. Information Criterion（AIC）、Bayesian. 機效果分組，同組隨機效果變異相同，. Information Criterion （ BIC ）三種數. 而隨機效果間不相關時，可採用區間對. 值，模式的三種數值愈小則適配性愈佳. 角（ block-diagonal ）模式，採用區間. （Pinheiro & Bates, 2000）。表1顯示兩. 對角矩陣模式之合理假設可為，截距有. 種模式比較效標AIC與BIC的值以一般. 自己的變異（ σ ），而時間及時間的函. 正定矩陣最小，同時一般正定矩陣有最. 數（時間、時間平方、節點21）的變異. 小的對數概度統計量的絕對值，概度比. 數相同（同為 σ ）；(4)假設隨機效果. 檢定結果亦顯示一般正定矩陣比其他三. 2 1. 2 2.

(14) 146 教育與心理研究 31 卷 1 期. 種矩陣適合解釋資料，因此，本資料將. (三)建立殘差結構. 採用一般正定矩陣。圖4為四種隨機效. 殘差結構分成變異結構（variance. 果的散布圖，圖中顯示出四個隨機效果. structure）及相關結構（correlation. 兩兩相關且散布情形不同，因此，一般. structure）兩部分。變異結構主要處理. 正定模式也比複合對稱、對角或區間對. 殘差的異質性，相關結構主要處理殘差. 角模式適當。在尚未進行殘差結構分析. 的相依性。Goldstein、Healy與Rasbash. 之前，可稱此模式為均質性模式。. （1994）建議在進行相依模式建立之. 表1. 四個共變異數模式的比較. 模式 (1)一般正定 (2)對角 (3)區間對角 (4)複合對稱. Akaike Information Criterion 39795.54 39869.65 39940.11 40334.30. 參數個數 28 22 20 20. Bayesian Information Criterion 39965.87 40003.48 40061.77 40455.97. 153. Log-Likelihood -19869.77 -19912.82 -19950.05 -20147.15. 153 153. 2.5. Test. L.Ratio. p-value. 1 vs. 2 2 vs. 3 2 vs. 4. 86.11 74.46 468.65. <0.0001 <0.0001 <0.0001. 1.0 1.5 2.0 2.5. 2.0 1.5 1.0. T21. 1.0 0.5 0.0. -0.5 0.0 0.5 1.0 0.4. -0.5. -0.2 0.0 0.2 0.4. 0.2 0.0 -0.2. I(Time^2). -0.2 -0.4 -0.6. 153 153. 10. 20. 20. -0.8 -0.6 153 153. -0.4 -0.2. -0.8. 153 153. 10. Time. 0 -10. -10 200. 0. 400. 400 200. (Intercept) 0. 153 153. -200 -200. 0. 圖4. 四種隨機效果散布圖. 153.

(15) 應用 Spline 迴歸與延伸線性混合效果模式於多層縱向資料分析之實例研究 147. 前，先將所有其他變異結構建置完成。. 計可採最大概度估計（ Maximum. 因此，本研究在建立殘差模式的順序. Likelihood, ML）或受制最大概度估計. 時，先處理其異質性再處理其相依性。. （ Restricted. Maximum. Likelihood,. 葛湘瑋（ 2004 ）以二次 extended. REML），而固定效果模式的概度比檢. LMEs分析此資料，發現新形相有較大. 定估計則須採 ML ，主要原因為在. 的變異性，因此，形相的兩個水準變異. REML中，估計全模式與簡化模式所使. 數須不同（稱異質模式），且相依結構. 用的資料不同。在REML中，由於兩模. 為一階自我迴歸（AR(1)）（稱異質相. 式的平均結構不同，全模式的REML對. 依模式）。表2為將此二項建議併入殘差. 數概度函數與簡化模式對數概度函數是. 模式中，均質模式（形相的兩個水準的. 基於不同的觀察值，故不能比較. 變異數相同）、異質模式（形相的兩個. （ Hedeker, 2005; Venables & Ripley,. 水準的變異數不同）與異質相依模式. 1999; Verbeke & Molenberghs, 2000）。. （形相的兩個水準變異數須不同、相依. 表3為三種隨機效果模式的比較，. 結構為AR(1)）的比較。均質模式與異. 依Morrel、 Pearson與Brant（ 1997）的. 質模式的概度比統計量達顯著水準（概. 建議，如果一個n階的變數具隨機效. 度比統計量為66.68，p < .0001），顯示. 果，此變數低於n階的乘冪均須具隨機. 殘差具異質性，即形相的兩個水準變異. 效果。假設1（模式1與2）是檢定是否. 數須不同。異質模式與異質相依模式的. 時間的平方須具隨機效果，假設2（模. 概度比統計量達顯著水準（概度比統計. 式1與3）是檢定spline二次函數T21是. 量為58.83，p < .0001），因此，異質相. 否須具隨機效果，兩項檢定結果均顯示. 依模式比異質模式更適合解釋此視覺搜. 此兩種二次函數均須具隨機效果。依. 尋資料，亦即殘差模式同時具異質性與. Morrel等人的建議，既然二次函數須具. 相依性。. 隨機效果，截距及時間亦須具隨機效. (四)模式簡化. 果，因此，共變異矩陣須含截距、時. 殘差模式建立後，下一個步驟是. 間、時間的平方與 spline 二次函數. 檢查模式是否可再簡化，以符合模式精. T21。接下來，採向後消去法（back-. 簡的基本原則。在 spline extended. ward elimination）來簡化固定效果，表. LMEs模式簡化過程中，須先簡化隨機. 4 為經過簡化後所建議的二次 spline. 效果再簡化固定效果。模式簡化採概度. extended LMEs模式。. 比檢定（使用於套層模式的比較），其. 陸、結果與討論. 中須注意隨機效果模式的概度比檢定估.

(16) 148 教育與心理研究 31 卷 1 期. 表2. 均質模式、異質模式、異質相依模式的比較模式. 參數個數. (1)均質模式 (2)異質模式 (3)異質相依模式. 28 29 30. 表3. Akaike Information Criterion 39795.54 39730.86 39674.03. Bayesian Information Criterion 39965.87 39907.28 39856.53. Log-Likelihood -19869.77 -19836.43 -19807.02. Test. L.Ratio. p-value. 1 vs. 2 2 vs. 3. 66.68 58.83. <0.0001 <0.0001. 三種隨機效果模式的比較隨機效果模式. (1)截距、時間、時間2、T21 (2)截距、時間、T21 (3)截距、時間、時間2. 表4. 參數個數. Log-Likelihood. Test. L.Ratio. p-value. 30 26 26. -19807.02 -19832.78 -19848.31. 1 vs. 2 1 vs. 3. 51.52 82.59. <0.001 <0.001. 建議的二次 spline extended LMEs 模式截距. 標準差參數截距形相干擾物時間時間2 T21 T29 形相×時間. 210.31. 隨機效果時間. 時間 2 0.32. T21 0.71. 估計值. 12.31 固定效果標準誤. 自由度. T值. 1142.06 -39.34 -8.96 -26.29 0.61 -1.08 1.61 -0.44. 50.25 3.57 1.77 3.25 0.09 0.24 0.23 0.14. 3215 3215 3215 3215 3215 3215 3215 3215. 22.73 -11.02 -5.06 -8.09 6.50 -4.44 5.11 -3.13. 殘差 95.53 p-value <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 <.0001 0.0017. 註：(1)Akaike Information Criterion=39,660.24, Bayesian Information Criterion=39,787.99, 對數概度估計值=-19,809.11 (2)一階自我迴歸(AR(1))的參數估計值為0.14。 (3)新形相的標準差為舊形相標準差的1.26倍。. 本研究利用 Peterson 與 Kramer. 效果均顯著，時間和形相有交互作用、. （ 2001 ）的視覺搜尋資料作為 spline. 時間和干擾物沒有交互作用、干擾物和. extended LMEs的實例分析，本研究所. 形相也沒有交互作用。. 建議的二次spline extended LMEs模式. Peterson與Kramer（2001）採用三. （如表4所示），其中對數概度估計值的. 因子重複測量變異數分析的結論為三個. 絕對值為 19,809.11 。採用二次 spline. 主效果均顯著，時段和形相有交互作. extended LMEs的分析結果顯示三個主. 用、時段和干擾物沒有交互作用、干擾.

(17) 應用 Spline 迴歸與延伸線性混合效果模式於多層縱向資料分析之實例研究 149. 物和形相也沒有交互作用。本研究亦獲. 次extended LMEs適合解釋此視覺搜尋. 得相同的結論，且更進一步指出：(1). 資料。二次spline extended LMEs與三. 形相、干擾物及時間的迴歸係數為負，. 次extended LMEs的概度比統計量達顯. 顯示新形相、有干擾物、實驗初期反應. 著水準（概度比統計量為 107.39 ， p. 時間較舊形相、無干擾物、實驗後期為. < .0001），因此，二次spline extended. 慢（即平均反應時間值較大）；(2)形相. LMEs比三次extended LMEs更適合解釋. 迴歸係數的絕對值比干擾物大，顯示形. 此視覺搜尋資料。二次spline extended. 相對平均反應時間的影響較干擾物大；. LMEs固定效果模式可表示為：. (3)形相與時間的交互作用為負，顯示. 平均反應時間ti =. 在舊形相、實驗後期平均反應時間較. 1142.06 − 8.96干擾物ti − 39.34形相ti. 快；(4)顯著改變發生的時間點為時間. −26.29時間ti + 0.61時間ti2. 21及時間29，均為第二天實驗的時間. −0.44形相ti × 時間ti − 1.28T 21. 點；(5)截距、時間、時間的平方、時. +1.61T 29. (13). 間點21具隨機效果，其標準差依序各為. 例如：若要比較新舊形相在無干. 210.31、12.31、0.32及0.71，時間點21. 擾物時，在某一時間點（假設時間點. 具隨機效果顯示受試者間在時間點21有. 25 ）的差異，舊形相的配適值為. 變異； (6) 受試者內殘差的標準差為. 1142.06 - 39.34 - 26.29×25 - 8.96 +. 95.53，隨機效果的共變異模式採一般. 0.61×252 - 1.08×(25-21)2 - 0.44×25 =. 正定矩陣較為合適；(7)形相的水準標. 789.48，在新形相時，配適值為1142.06. 準差的參數估計值為1.26，這個數據表. + 39.34 - 26.29×25 - 8.96 + 0.61×252 -. 示新形相的標準差為舊形相標準差的. 1.08×(25-21)2 + 0.44×25 = 890.16。保持. 1.26倍；（8）採用的殘差相依模式為. 其他變數恆定，新舊形相在時間點25的. AR(1)，其參數估計值為0.14。葛湘瑋. 差異為100.68。. （2004）採用二次extended LMEs分析. 從上述結果可知，採用spline. 此資料，表5為視覺搜尋資料以二次. extended LMEs在縱向資料分析比重複. extended LMEs、三次extended LMEs與. 測量變異數分析有彈性的優點為：(1). 二次 spline extended LMEs 分析的比. 提出正確函數形式，可做預測、比較實. 較，由表5可看出，二次extended LMEs. 驗處理的差異與更能描述瞭解自變數與. 與三次extended LMEs的概度比統計量. 依變數的關係；(2)縱向資料通常有異. 達顯著水準（概度比統計量為9.04， p. 質性與相依性，而重複測量變異數分析. =.0026），顯示三次extended LMEs比二. 有球形假設，這對縱向資料的限制太.

(18) 150 教育與心理研究 31 卷 1 期. 表5. 二次extended LMEs、三次extended LMEs、二次spline extended LMEs的比較模式. (1)二次extended LMEs (2)三次extended LMEs (3)二次spline extended LMEs. 15 16. Akaike Information Criterion 39764.67 39757.63. Bayesian Information Criterion 39855.92 39854.96. 21. 39660.24. 39787.99. 參數個數. LogLikelihood. Test. -19867.34 -19862.82. 1 vs. 2. -19809.12. 2 vs. 3. L.Ratio. p-value. 9.04. 0.0026. 107.39 <0.0001. 大，spline extended LMEs可依理論或. 重要改變發生的時間點，若是資料中發. 資料的本質採取合宜的共變異矩陣，並. 現有異常個體，因平均數受異常值的影. 將縱向資料的異質性與相依性納入模. 響極大時，則以選用中位數來做探索分. 式，找出合宜的異質與殘差模式來解釋. 析較適當。本研究主要考慮此視覺搜尋. 資料。如果測量次數較多且函數曲線呈. 實驗分成三天進行，受試者可能在每天. 現轉折時，採用spline extended LMEs. 的開始和結束時反應較慢，因此，可能. 在縱向資料分析比extended LMEs或多. 節點可置於時間點14、28與42附近，在. 項式迴歸有彈性的優點為：(1)找出顯. 檢視圖2時選擇時間點15、29與41為主. 著改變發生的時間點與受試者間變異的. 要節點，再於主要節點間置入輔助節. 時間點；(2)將時間點納入隨機效果的. 點。檢視圖2亦可觀察到時間點15與20. 共變異模式；而spline extended LMEs. 間亦有多處轉折，研究者亦可考慮在此. 的殘差可不遵循多項式迴歸均質性與異. 區間增加節點數，非真正受試者間有變. 質性的假設。如果研究者的研究興趣為. 異及顯著改變發生的時間點可在模式簡. 研究個別受試者或受試者間依變數隨時. 化時移除。在檢視視覺圖時，因研究者. 間點的變化情形且同時要將相依性與異. 個別看法不同，在主要節點的選擇與選. 質性納入模式中，以對個體成長發展過. 取具隨機效果的參數所得的結論亦可能. 程作更深入的分析，則spline extended. 不同，但研究者亦須注意初始模式參數. LMEs的優點可達成此研究目的。. 過多，則初始模式不易或無法收斂。模. 在沒有理論基礎或沒有任何既有資訊的引導下，若依視覺圖來選擇主要. 式不易或無法收斂為在建立 extended LMEs常見之問題。. 節點，曲線圖所使用的統計量須審慎選. 時間點較多的縱向資料通常曲線. 擇。本研究採每個時間點反應時間的總. 在某些時間點會有轉折、受試者間有變. 平均為曲線或全體平均數的量變曲線圖. 異、殘差具異質性與相依性。將主要節. （overall mean profiles）來辨識可能的. 點與輔助節點置入選定的 spline.

(19) 應用 Spline 迴歸與延伸線性混合效果模式於多層縱向資料分析之實例研究 151. extended LMEs初始固定效果模式中，當參數數目過多時，若將所有參數均先. 柒、結論. 假設為具隨機效果，則模式不易或無法. 多層資料的探索分析必須能偵測. 收斂。檢測每個受試者採用初始的固定. 到使用LMEs的必要性、組內及組間的. 效果模式的每個參數的信賴區間圖，是. 變異形式，模式的建立亦必須能提出初. 選擇具隨機效果的參數一種方法，然. 始固定效果模式、隨機效果模式與共變. 而，縱向資料的分析常須將殘差的異質. 異矩陣，因此，較單層次資料分析複. 性與相依性納入模式中探討，使參數估. 雜。而多層縱向資料的分析必須能提出. 計更為複雜。若spline extended LMEs. 受試者隨時間而改變的形式、殘差的異. 之參數過多時，亦應注意是否有過度參. 質性與相依性的模式並找出可能產生重. 數化（over parameterization）的問題。. 要改變的時間點。一項完整的資料分析. 由以上分析可知，使用 spline. 的解釋應同時包括圖與統計量，本研究. extended LMEs來分析縱向資料的優點. 應用部分視覺圖的準則與技巧來輔助多. 在於能找出顯著改變發生的時間點及具. 層次資料的探索分析與模式建立。. 組間變異的時間點，並提出正確的模式. 應用spline extended LMEs能協助. 形式，在建立共變異模式時可依理論與. 研究者找出具隨機效果的時間點及顯著. 資料結構作選擇，分析資料較有彈性，. 改變發生的時間點，並將隨機效果與殘. 並且能將殘差的異質性及相依性納入模. 差的共變異結構納入模式中。在建立縱. 式中。可以估計出來的關係，協助描述. 向資料的模式時，可以節點將整個大範. 個人成長的形態、做預測，並對實驗處. 圍的時間區定義成不同的子範圍，節點. 理、時間點與依變數的關係有更進一步. 間則以平滑曲線相連結。在節點的選擇. 的瞭解。本研究的實證分析顯示出時間. 方面，本研究建議可依理論基礎配合資. 點21與29為顯著時間點，時間點21有受. 料結構或其成長曲線圖，訂出主要節點. 試者間變異，新舊形相的變異不同、殘. 數及其位置。本研究採用視覺搜尋資料. 差相依結構為一階自我迴歸。然而，必. 作實例分析（ Peterson & Kramer,. 須注意的是spline extended LMEs和資. 2001 ），在建立初始的 spline extended. 料本身的結構有關，如果資料之曲線無. LMEs模式時，在主要節點間每隔至少. 轉折或無受試者間變異且資料結構符合. 兩個時間點置入輔助節點，以避免遺漏. 假設時，則可考慮使用其他縱向資料常. 可能的重要改變發生的時間點。研究中. 用的統計方法，如多項式迴歸、多變量. 並以一般extended LMEs檢定固定效果. 分析或重複測量變異數分析。. 及隨機效果的方式，來決定發生顯著改.

(20) 152 教育與心理研究 31 卷 1 期. 變的時間點或是具有個體間變異的時間點，並深入探討應用 spline extended LMEs在縱向資料分析之基本步驟與所須注意之事項，以供研究者在建立縱向. Chapman & Hall. Hedeker, D. (2005). Mixed models for longitudinal data: An applied introduction. Retrieved. June. 15,. 2005,. from. http://www.uic.edu/~hedeker/long.html. Hox, J. J. (2000). Multilevel analysis of. 資料模式時之參考。. grouped and longitudinal data. In T. D.. 參考文獻. Little, K. U. Schnabel, & J. Baumert. 葛湘瑋（2004）。應用線性混合效果模式於. multilevel data: Practical issues, applied. 建立多層縱向資料的模式之實例研. approaches and specific examples (pp.. 究。教育與心理研究期刊，27，399-. 15-32).. (Eds.),. Modeling. NJ:. longitudinal. Lawrence. and. Erlbaum. Associates.. 419。 Bates, D. M., & Pinheiro, J. C. (1997). Software design for longitudinal data. Insightful Corp. (2001). S-plus 6 for Windows user’s guide. Seattle, WA.. analysis. In T. G. Gregoire, D. R.. Jones, R. H. (1993). Longitudinal data with. Brillinger, P. J. Diggle, E. Russek-. serial correlation: A state-space ap-. Cohen, W. G. Warren, & R. D. Wolfinger. proach. London: Chapman & Hall.. (Eds.), spatially. Modeling correlated. and. Laird, N. M., & Ware, J. H. (1982). Random. Methods,. effects models for longitudinal data.. longitudinal data:. application and further direction (pp. 37-48). New York: Springer-Verlag. Box, G. E. P., Jenkins, G. M., & Reinsel, G. C. (1994). Time series analysis: Forecastrd. Biometrics, 38, 963-974. London, D. (1985). Graduation: The revision of estimates. CT: ACTEX Publication. Louis, T. A. (1988). General methods for. ing and control (3 ed.), San Francisco:. analyzing repeated measures. Statistics. Holden-Day.. in Medicine, 7, 29-45.. Carlin, B. P., & Louis, T. A. (1996). Bayes. MacCallum, R. C., & Kim, C. (2000).. and empirical Bayes methods for data. Modeling multivariate change. In T. D.. analysis. London: Chapman & Hall.. Little, K. U. Schnabel, & J. Baumert. Durrleman, S., & Simon, R. (1989). Flexible. (Eds.),. Modeling. longitudinal. and. regression models with cubic splines.. multilevel data: Practical issues, applied. Statistics in Medicine, 8, 551-561.. approaches and specific examples (pp.. Goldstein, H., Healy, M. J. R., & Rasbash, J. (1994). Multilevel time series models. 51-68).. NJ:. Lawrence. Erlbaum. Associates.. with application to repeated measures. MathSoft Inc. (1999). Splus 2000 user’s. data. Statistics in Medicine, 13, 1643-. guide. Data Analysis Products Division,. 1655.. MathSoft, Seattle, WA.. Hastie, T. J., & Tibshirani, R. J. (1990).. Morrell, C. H., Pearson, J. D., & Brant, L. J.. Generalized additive models. New York:. (1997). Linear transformations of linear.

(21) 應用 Spline 迴歸與延伸線性混合效果模式於多層縱向資料分析之實例研究 153. mixed-effects models. The American. stepwise regression. Technical Report,. Statistician, 51, 338-343.. Old Dominion University.. Muthen, B., & Satorra, A. (1989). Multilevel. Snijders, T. A. B., & Bosker, R. J. (1999).. in. Multilevel analysis: An introduction to. structural models. In R. D. Bock (Ed.),. basic and advanced multilevel modeling.. Multilevel analysis of educational data. CA: Sage publication.. aspects. of. varying. parameters. (pp. 87-99). San Diego: Academic Press.. Stone, C. J. (1986). Comment on Hastie and. Peterson, M. S., & Kramer, A. F. (2001).. Tibshirani. Statistical Science, 1, 312-. Contextual cueing reduces interference from task-irrelevant onset distractors. Visual Congition, 8, 843-859. Pinheiro, J. C., & Bates, D. M. (2000). Mixedeffects models in S and S-Plus. New York: Springer-Verlag. Seber, G. A. F., & Wild, C. J. (1989). Nonlinear regression. New York: Wiley.. 314. Venables, W. N., & Ripley, B. D. (1999). Modern applied statistics with S-Plus (3rd ed.). New York: Springer-Verlag. Verbeke, G., & Molenberghs, G. (2000). Linear mixed models for longitudinal data. New York: Springer-Verlag. Vonesh, E. F., & Chinchilli, V. M. (1997).. Smith, P. L. (1979). Spline as a useful and. Linear and nonlinear models for the. convenient statistical tool. The American. analysis of repeated measurements. New. Statistician, 33, 57-62.. York: Marcel Dekker, Inc.. Smith, P. L. (1982). Curve fitting and. Wegman, W. J., & Wright, I. W. (1983).. modelling with splines using statistical. Splines in statistics. Journal of the. variable selection techniques. NASA. American Statistical Association, 78,. Technical Report 166034.. 351-363.. Smith, P. L., & Klein, V. (1982). The selection of knots in polynomial splines using. Wold, S. (1974). Spline functions in data analysis. Technometrics, 16, 1-11..

(22) 154 教育與心理研究 31 卷 1 期. 附錄 # Quadratic splines: data preparation with possible nodes Visual.tmp <- groupedData(RT ~ Time | Subject, inner=~Condition, data=Visual. Subject.Condition.mean) attach(Visual.tmp, 1) T15 <- (Time > 15) * (Time-15)^2 T18 <- (Time > 18) * (Time-18)^2 T21 <- (Time > 21) * (Time-21)^2 T24 <- (Time > 24) * (Time-24)^2 T29 <- (Time > 29) * (Time-29)^2 T32 <- (Time > 32) * (Time-32)^2 T35 <- (Time > 35) * (Time-35)^2 T38 <- (Time > 38) * (Time-38)^2 T41 <- (Time > 41) * (Time-41)^2 detach(1, save="Visual.Subject.Condition"). ##Plot the 95%CI for each explanatory variable, to determine the random effects trellis.device(color=F,orientation="portrait") form2 <- RT~Conf*Dist*Time+Time^2+T15+T18+T21+T24+T29+T32+T35+T38+ T41-Conf:Dist:Time|Subject fm2 <- lmList(form2, data=Visual.Subject.Condition) plot(intervals(fm2)) dev.copy(device=graphsheet,. file="figure\\CIquad.wmf",. black on white", format="WMF",orientation="portrait") graphics.off(). color.scheme="trellis.

(23)