速度與速率 、 加速度

範例 1 範例 2

五、位置─時間圖

六、速度─時間圖

七、加速度─時間圖

八、微分的應用

一、時間坐標軸

二、速度與速率

三、加速度

四、運動的函數圖形表示

範例 3 範例 4 範例 5 範例 6 範例 7

一、時間坐標軸

1. 時刻

事件發生之瞬間，稱為時刻_{，坐標軸上的 t}

時刻代表_{第 t} 秒末或_{第 t} ＋ 1 秒初。

t

2

t

1



t

t

t

₁

2

1

0

計 時 開 始 ， 第 1 秒 初 。 第 1 秒 末 ， 第 2 秒 初 。 第 2 秒 末 ， 第 3 秒 初 。

2. 時距

(1) 兩個事件發生的時間間隔，稱為時距_{， t1} 秒～ t₂ 秒的時距為 秒。  _{t t2 t1}

秒

1 2

t

t

t







(2) 第 t － 1 秒末（即第 t 秒初）～第 t 秒末的時距 則稱為_{第 t 秒內}。 第 1 秒末～第 2 秒末的時距稱為第 2 秒內。 (3) 若從計時開始（ t ＝ 0 ）到第 t 秒末的時距則 稱為 t 秒內。 0 ～ 2 秒稱為 2 秒內。

二、速度與速率

速度 速率 定 義 經歷的時間 位移 平均速度   單位時間內的位移 經歷的時間 路徑長 平均速率   單位時間內所走的路徑長

速度 速率 公 式 時距較長時 ( 以一維運動為 例 ) 時距較短時 ( 以一維運動為 例 ) 常用單位 av V t    平 平 平 平 2 1 2 1 av x x x v t t t       平均速度 0 lim t x v t      瞬時速度　 0 lim t V t      瞬時_速率　  公分 / 秒 (cm/s) 、公尺 / 秒 (m/s) 、 公里 / 時 (km/h) 。

範例1 台灣目前自行車運動風氣盛行，小華騎車上山的速 率為 10 公里 / 時，下山的速率為 30 公里 / 時，則往 返一趟之： (1) 平均速率為 公里 / 時。 (2) 平均速度為 公里 / 時。 設全程的路徑長為 2S ，則上山所花的 時間為 ；而下山所花的時間為 10 S 30 S

1

平均速度與平均速率

解 設全程的路徑長為 2S ，則上山所花的 時間為 ；而下山所花的時間為 。10 S 30 S (1) t    平均速率  2 15(km/h) 10 30 S S S    (2) x t    平均速度 0 0 10 30 S S    。

三、加速度

定義  _加速度  速度的變化量 經歷的時間 單位時間內速度之變化量稱為加速 度，為向量

公 式 時距較長時 ( 以一維運動 為例 ) 時距極短 ( 以一維運動 為例 ) 2 1 2 1 av

v

v

v

a

t

t

t













平均加速度

0

lim

t

v

a

t

 







　

瞬時加速度

方 向 單 位

a

m

F





 

t

v

a













(1) 與合力方向相同



(2) 與速度變化的方向相同



公尺 / 秒 2 (m/s2) 、公分 / 秒 2 (cm/s2) ※ 注意：不一定與速度同方向。

1. 要描述質點的運動過程，我們也常常以函數圖形 表示。這種方法的最大優點是可以一目了然地看 出質點在運動過程中，位置、速度或是加速度隨 時間變化的趨勢。

四、運動的函數圖形表示

2. 若質點運動的位置 x 為時間 t 的函數，則我們 可以 來表示。同理，若速度 v 為時間 t 的函數，則我們可以 來表示；若速度 a 為時間 t 的函數，則我們 可以 來表示。 ( ) x  f t ( ) v  f t ( ) a  f t

設某質點在 x 軸上做直線等加速度運動 ，其 x - t 的關係為 ( 公尺 ) ，則其運動的函數圖 形如下表所示。 2 ( ) 2 4 3 x t  t  t 位置和時間關係圖 （ x － t 圖 ） 2 ( ) 2 4 3(m) x t  t  t

速度和時間關係圖 （ v － t 圖） 加速度和時間關係圖 （ a － t 圖） ( ) 4 4(m/s) v t  t  _{a  4(m/s )}2

1. 假設 A (t₁ , x₁) 與 B (t₂ , x₂) 為函數 x ＝ f (t) 圖 形上的兩點，如右圖所 示。則連接 A 、 B 兩 點之直線 L 稱為割線 (secant line) ，此割線的 斜率

五、位置─時間圖（ x – t 圖）

sec 1 2 m  　2 1　 　 　 　 　 t ～　t 間的 。 2 1 x x t t   _x_t 平均速度

2. 當 t₂ 趨近於 t₁ 時，則 Δt ＝ t₂ － t₁ 會趨近為 零，而 Δx ＝ x₂ － x₁ 也會趨近為零，此時直 線 T 稱為切線 (tangent line) ，此過 A 點的切 線斜率 tan lim_{x 0} 1 x m t t       時的 　瞬時速度 。

有一輛跑車作直線運動，其位置對時間的 關係如圖所示，則該跑車： (1) 1 7 1 7 13 1 2 7 1 ( / ) t m s       秒的平均速度 　函數曲線在 秒 間的割線斜率 ～ ～

(2) 5 5 ( / 6 0 2 5 2 ) t m s       第秒末的瞬時速度 函數曲線在 秒 處的切線斜率

範例2

2

x － t 圖 右圖為某質點在直線上運 動的 x - t 圖，則： (2) 質點在第 4 秒內的平均速度為 公尺 / 秒 。 (3) 質點在第 3 秒末的瞬時速率為 公尺 / 秒 ；在第 9 秒末的瞬時速度為 公尺 / 秒。 (1) 質點 10 秒內的平均速 度為 公尺 / 秒； 平均速率為 公 尺 / 秒。

(2) x – t 圖的斜直線處，代表質點進行 　運動，此時的瞬時速度＝瞬時速率＝平均速度。 (3) 由題目附圖可知， t = 3 秒時的位置 x₃ ＝ 公尺； t = 4 秒時的位置 x₄ ＝ _{公尺； t} =8 秒時的位置 x₈ ＝ _{公尺； t = 10 秒時的} (1) 10 秒內為 秒；第 4 秒內為 秒。 等速度 1.5 0 ～ 10 3 ～ 4 2 2 0

解 0 10 0 0 (1) =0 10 x v t      ～ ； 0 10 2 0 2 = =0.4(m/s) 10 V _～   。 4 3 3 4 2 1.5 (2) = 0.5(m/s) 4 3 4 3 x x x v t          ～ 。 3 0 4 2 0 (3) 0.5(m/s) 4 0 v  v     ～ ； 9 8 10 0 2 1 (m/s) 10 8 v  v      ～ 。

範例3

3

x － t 圖 某質點作直線運動的位置 x 與時間 t 之關係圖如右，則： (1) 速度為正的區間為： 、 。 (2) 速度為零的點為： 。 (3) 在區間 j ～ k 中，加速度為　　值；在區間 k ～中，加速度為　　值。

(1) 速度由 x-t 圖的 來判斷， 斜率為正則速度為 ，斜率為負則速度 為 ，斜率為零則速度 為 。 (2) 加速度由 來 判斷。 切線斜率 正 負 零 速度的變化

解 (1) 切線斜率均為正的區間為： i ～ j 、 ～ q 。 (2) 斜率為零的點為： j 、 。 (3) j ～ k 的速度 ( 切線斜率 ) 為負，且愈來愈快， 值值 故加速度為負； k ～  的速度 ( 切線斜率 ) 為負，但愈來愈慢，故加速度為正 。值

六、速度─時間圖

（ v – t 圖）

1. 斜率與加速度的關係

(1) 假設 A (t₁ , v₁) 與 B (t₂ , v₂) 為函 數 v = f (t) 圖形 上的兩點，如右 圖所示。

sec 1 2 m t t    _間的 　 　 　 　 ～。 2 1 2 1 v v t t   _v_t 平均加速度 則連接 A 、 B 兩點 之直線 L 的斜率 (2) 右圖中過 A 點之切線的斜率 tan lim_{x 0} 1 x m t t       時的 　 瞬時加速度 。

2. 面積與位移的關係

(1) v – t 圖的函數曲線與時間軸所包圍的面積 即為 。 (2) 在時間軸的上方的面積為 ，下方的面 積為 ，如下頁圖所示。 位移 正 負

v – t 　

圖的面積與位移

1. 某質點以 v₀ 的速度等 速前進，該質點在 Δt 秒內的位移 _{Δx = v0} ×Δt 。其 v – t 圖如右 圖所示，函數曲線與時 間軸圍成的面積 _v0 ×Δt = Δx ，兩者相等 。

　　　　　；當 n 值極大時， 會極 小， 此時每小段內的運動都可視為是等速度運動 ，故每小段的位移，都能用圖中的長條形面 積來表示，因此總位移也就是這些長條形面 積的和。 2. 若質點做變速度運動，如下頁圖所示的例子 ，要得出質點在時刻 t₁ 與 t₂ 間的位移，我 們可以將這個時段分割成 n 等分，每小段的 時距 2 1 t t t n     t

範例4

4

v － t 圖 右圖中所示為沿 x 軸運 動質點之速度 v 與時間 t 之關係。若 t ＝ 0 時該 質點位於 x ＝ 4 公尺處 ，則在 t ＝ 12 秒時該質 點之位置_{(A) x ＝ 12 公尺　 (B) x ＝ 16 公尺　 (C) x ＝ 18 公尺} (D) x ＝ 22 公尺　 (E) x ＝ 24 公尺。

(1) 位移＝ v – t 圖形與 t 軸 包圍的面積。 (2) 末位置＝初位置＋位移。 解 1 1 (4 10) 2 (12 10) ( 2) 12(m) 2 2         12 0 0~12 4 12 16(m) x x x       

範例5

5

v － t 圖 停在十字路口之 B 車當綠燈 亮時，加速前進，同時另一 A 車以一定速度穿過十字路口 ，其速度對時間關係如右圖： (1) B 車最初加速度為 公尺 / 秒 2 。 (2) 當 t ＝ 秒時， B 車趕上 A 車；此時兩車離十字路口 公尺。 (3) 當 t ＝ 秒時，兩車速率相等；此時兩車相距

(1) v – t 圖的斜率＝加速度。 (2) 設時間為 t 時， B 車趕上 A 車，此時兩者的 相等，亦即 v － t 圖的 　 相等，如下 圖所示。 位移 面積

解 ₍₁₎ 9 0 _{0.15(m/s )}2 60 0 v a t        。

[ ( 60)] 9 (2) 6 90(s) 2 t t t      t 6 90 540 (m) B A A x x v t        此時兩車離十字路口距離 。

(3)由圖知時兩車速率相等t  40 (s) ： 40 6 240 (m) 40 6 120 (m) 2 A B A S B S       _  _  車位移 車位移　 　 240 120 120(m) d _兩車相距    _。

快速解法： ※ 求三角形面積 40 6 120 (m) 2    _。

1. a - t 圖的斜率沒有物理上的意義。 2. a - t 圖的函數曲線與時間軸所包圍的面積即為 　 ( 在時間軸的上方的面積為正， 下方的面積為負 _{) 。}

七、加速度─時間圖（ a – t 圖）

速度變化量

a– t 　

圖的面積與位移

1. 某質點以 a₀ 的速度等加速 前進，該質點在 Δt 秒內 的面積 _{Δv = a0} ×Δt 。其 a – t 圖如右圖所示，函數 曲線與時間軸圍成的面積 a₀ ×Δt =Δx ，兩者相等。 v t   

　　　　　；當 n 值極大時， 會極小，此 時每小段內的運動都可視為是等加速運動，故每 小段的速度變化量，都能用圖中的長條形面積來 表示，因此總速度變化量也就是這些長條形面積 的和。 2. 若質點做變加速運動，如下頁圖所示的例子，要 得出質點在時刻 t₁ 與 t₂ 間的速度變化量，我 們可以將這個時段分割成 n 等分，每小段的時 距 2 1 t t t n     _t

範例6

6

a － t 圖 一物體自靜止開始運動，其 加速度與時間的關係如右圖 所示，則此物體： (1) 第 3 秒末的速度 為 _{公尺 / 秒。} (2) 第 8 秒末的速度為 公尺 / 秒。 (3) 8 秒內的平均加速度為 公尺 / 秒 2 。 (4) 第 秒時的速度為零。

(1) a – t 圖曲線與 t 軸包圍的面積＝速度的變化量。 (2) 第 3 秒末的速度＝初速＋ 0 ～ 3 秒的速度的變化量

。

(3)平均加速度 = 速度的變化量 = a t 圖的面積 經歷的時間經歷的時間

解 0 3 (1)v _～   3 4 12( / )m s 3 0 0 3 0 12 12(m/s) v v v        ～ 8 3 3 8 (2)v   v v _{～  12      }



_{(8 3) 4}



_8(m/s) 0~8 0 8 (3)a v t    ～ 12 ( 20) 1(m/s )2 8     

(4) 設第秒時的速度為零t 3 3 0 t t v v v     _～ 





12 ( 3) 4 0 6(s) t t        

八、微分的應用

1. 說明

簡易微積分在「高三選修數學」會有詳細的介紹，若 現在同學覺得太難，只要先學會怎麼使用即可。微積 分包括「微分」和「積分」兩部份，在高中物理較需 要的是「微分」的部份，因此以下僅就微分作說明， 若能學會，同學解題時必能達到「事半功倍」的效果。

(1) 函數的導函數 (derivative) 定義為：

x

y

x

x

f

x

x

f

x

f

x x



















    0

lim

0

)

(

)

(

lim

)

(

dx

dy



(2) 的導函數之幾何意義，即是 之切線斜 率 函數，即下頁圖中直線 T 的斜率。 ) (x f f (x)

2. 導函數與微分

求導函數的過程稱為微分 (differentiate) ，而其方法 則稱為微分法。通常以 來代表微分運 算子 (differential operator) ，因此 。 dx d

)

(

)

(

f

x

dx

d

x

f





(3)

(1) 多項式的微分規則 為一實數 其中 ： 常數微分為零 [c]  0 c dx d

3. 微分規則

[5] 0

d

dx



1

[ ]

n n

d

x

n x

dx



 

是有理數

其中

：

乘冪律

n

rule)

(power

2

1

3





2

3x



※

_{即指數跳下來當係數，新的指數減1}

3

[ ]

d

x

dx

)

(

)]

(

[

cf

x

c

f

x

dx

d

_



倍數規則：

3

3

d

[ ]

x

dx

 

3

[3 ]

d

x

dx

2

3 3x

 

※ 結論：

2 ₂ 2 3 5 y x x y x x y x           對的導函數 在 處之切線斜率 對的二階導函數 j k l 6 2 y   x  6 2 2 10       6 y －

(2) 三角函數的微分 高中物理會用到的三角函數微分有下列四個，請同 學先記下來： [sin ] cos [ sin ] cos ( ) d x x dx d a kx ak kx a k dx  _    _  、 為常數 j k [cos ] sin [ cos ] sin ( ) d x x dx d a kx ak kx a k  _{ }    _{ }  、 為常數 l m

(1) y  3sin 2x  y   3 2 cos 2x  6cos 2x

3 2 sin 2 6sin 2

y x x

      

(1) 若位置為時間的函數

x



x

(t

)

 速度函 數 。 ) (t x dt dx v    (2) 若速度為時間的函數

v



v

(t

)

 加速度函數 ( ) ( ) dv a v t x t dt      _。

4. 微分在運動學上的應用

範例7

7

微分應用 進行直線運動的某質點，其位置 x ( 公尺 ) 與時間 t ( 秒 ) 的關係為 ，若 定初速方向為正向，則下列敘述何項正確 ? （多 選） (A) 初速度為 24 公尺 / 秒 (B) 加速度為 -12 公尺 / 秒 2 (C) 質點在第 4 秒末速度為零 (D) 質點在第 4 秒末回到原出發點 (E) 最遠的正 向距離為 24 公尺 。

t

t

x





6

2



24

解













a

v

t

t

x

6

24

)

1

(





2





0

)

2

(

v

x

x

v







12 0 24 24(m/s)

  



_{  }

_(A)

_對。

24

12







t

12

 

 

(B)

對。





























12

24

12

x

v

a

t

x

v

1

(3)

設在 秒時末速為零

t

24

12

0





₁





t

此時為最遠的正向距離  2 2

6 2

24 2 24(m)

(E)

x



  



 

  

_對。

1

2(s)

t

 

 

(C)

錯。

2

6

24

x

 

t



t

※

_或利用

2

6(

t

4 )

t

 



2

6(

t

4

t

4) 24

 

  

2

6(

t

2)

24

 





_，

2(s)

24(m)

x

t



故 在

　

_。

時有最大值

2

(4)

原出發點為時的位置

t



0

   

6 0

24 0 0

 

時又回到出發點

設在

t

₂ 2 2 2

0

6

t

24

t

  



2

4

0 (

)

(D)

t

 

_{或出發時對。}

 

(A)(B)(D)(E)

答：

。