４－４．複數的極式
[多選題]
１.若 P 之直角坐標為(1，－2)，則其極坐標可為 (A)( 5，tan－12) (B)( 5，－tan－12) (C)(
5，－tan－12) (D)( 5， tan－12) (E)( 5，2－tan－12)。
２.設 z1=sin9°+icos9°，z2=cos76.5°+isin76.5°，令z1z2=a+bi，a b﹐ 均為實數，則 (A)a2+b2=1
(B)a>b>0 (C)b>a>0 (D) 2 2 2 a (E) 2 2 2 b － 。 ３.設 z+ z 1 =2cos12°，則下列何者為真？ (A)z5+ 5 z 1 =1 (B)z6+ 6 z 1 =z+ z 1 (C)z10+ 10 z 1 =－1 (D)z12+ 12 z 1 =z+ z 1 (E)z100+ 100 z 1 =1。 ４.設 5 2 sin i 5 2 cos ，則 (A)51 (B)12340 (C){1，
，2，3，4 }為 x5－1=0 之解集合 (D)
為x5－1=0 之一根 (E)
，2，3， 均為方程式4 0 1 x x x x4 3 2 之根。 [４－４．複數的極式][計算題] １.試求1＋i之四次方根。 ２.試求方程式x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1＝0之解集合。 ３.試求以 8－8i 的六次方根為頂點在複數平面上所圍之六邊形面積。４.將下列複數化為極式(取主幅角) (1)3+3i (2)1－ 3i (3)4 (4)－2i (5)( 31)+(1－ 3)i。 ５.將下列複數化為極式(取主幅角) (1)cos30°－isin150° (2)－cos53°+isin323°。
６.求下列各複數之主幅角 (1)1+cos30°+isin30° (2)1+cos200°+isin200° (3)1－cos30°+isin30°。 ７.設 z1=2+2i，z2= 3－i，令1，2分別表z1，z2之幅角，求sin(1+2)及 tan(1+2)之值。
８.設 z1=sin47°+icos313°，z2=－cos218°+isin142°，z3=sin111°－icos249°，令
3 2 1 z z z =a+bi，(a b﹐ 均 為實數)，求ab。 ９.求下列各值：(1)( i 3 1 i 1 )12 (2)( 2 i 3 )20。 １０.設 10 6 10 ) 2 sin i 2 (cos ) 5 sin i 5 (cos ) 4 sin i 4 (cos － ＝a+bi，(a b﹐ )，求數對(a b)R ﹐ 。 １１.設 x，y
R，
=1+xi，= 3+yi，若 = ，且2 ) ( Arg ，求(x，y)。 １２.若 3，1，試求10 10之值。 １３.設 z= i 4 2 6 4 2 6 － ，若zn=zn+k(z，k
Z)，求 k 之最小正整數值。 １４.求複數 i 之平方根。 １５.求 i 7 i 25 25 － 之平方根。 １６.解方程式 z2－(1－3i)z－4－3i=0。 １７.解方程式 z8=1。 １８.設
為x3=1 的一虛根，試求下列各式之值：(1)2 (2) 2 2 2 2 ) 2 ( ) 2 ( (3)6 2 ) 2 5 2 ( (4)(1 )(1 2)(1 4)(1 8) － － － － (5) ) 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( 2 2 4 4 8 816 － － － － (6)6566 67 365 。 １９.設1且
為x5=1 的一根，試求下列各式的值：(1) ) 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( 23 24 34 234 之值 (2) 4 2 3 4 2 3 1 1 1 1 (3)(3 )(3 2)(3 3)(3 4) － － － － ２０.設 7 2 sin i 7 2 cos z ，求 6 3 4 2 2 1 z z z 1 z z 1 z 之值。 ２１.設cosisin， n 2 ，n
N，n
2；求下列各式之值：(1)12 n－1 (2) 1 n 2 1 1 1 1 － (3)2 n－1 (4)(1－)(1－2)(1－n－1) (5) ) 2 ( ) 2 )( 2 ( － －2 －n－1 (6)(1)(12) (1n－1) ２２.試求複數－i 之立方根。 ２３.試解方程式 z5－1+i(z5+1)=0。 ２４.解方程式：(1)(z－ 3)6+64=0 (2)(z－1－i)8= i 2 3 2 1－ － ２５.解方程式：(1)x6－x3+1=0 (2)x3+3x2+3x+28=0 ２６.設C， 8， 3 4 Arg ，若z6=
之解集合為{z 0，z1，z2，z3，z4，z5}在複數平面上， 以點z0，z1，z2，z3，z4，z5作一凸六邊形，求此六邊形之面積與周界長。 ２７.設 z＝2＋3i，w＝－1＋i，r
R，試求 z－r＋w－r 之最小值＝？此時P 點坐標＝？２８.試將 z＝(1＋cos220)＋i(sin220)化為極式，並求其絕對值 z ＝？主幅角Argz＝？
２９.已知 i 14 12 14 5 z＝ ＋ ，且 2 n 1 n 1 z z z S ＝＋ ＋ ＋＋ － ，令無窮等比級數 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋1 z z2 z3 zn－1 S ，試求滿足 S－Sn ＜ 15 1 之最小自然數n。 ３０.有一複數 z 滿足z2＝3＋4i，試求z。 ３１.設方程式x3－2x2－ix＋a－i＝0有實根，其中 －1＝i ，且a
R，試求方程式之解集合。 ３２.試求以x10＋x8＋x6＋x4＋x2＋1＝0之10 根為頂點所成的十邊形面積。 ３３.設三相異複數
、 、在高斯平面上的點分別為A、B、C，若已知 －＝1且 ＝(1＋2i) －2i ，並令∠BAC＝，試求cos。 ３４.設 7 2 sin i 7 2 cos w＝ ＋ ，且wk在複數平面上之對應點為 k A ，k＝0 1 2﹐ ﹐ ﹐…﹐6，試求 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0A A A A A A A A A A A A 之值。 ３５.設 5 2 sin i 5 2 cos w＝ ＋ ，試求 2 3 4 w 2 1 w 2 1 w 2 1 w 2 1 － ＋ － ＋ － ＋ － 之值。 [４－４．複數的極式][單選題]２.複數 i)100 2 3 2 1 ( ＋ 落在複數平面上的 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)實軸上 (D)第三象限 (E)第 四象限。 ３.設複數z2＝1－ 3i之一平根的實部是正數，則z 之虛部為 (A) 2 6 (B) 2 6 － (C)0 (D) 2 2 (E) 2 2 － 。 ４.設 a，b 分別表示複數 )100 6 sin i 2 sin 2 3 ( ＋ 之實部與虛部，則a＋b＝ (A) 2 3 1＋ (B) 2 3 1－ (C)1 (D) 2 3 1＋ － (E) 2 3 1－ － 。 ５.設 z＝ 13 2 sin i 13 2 cos ＋ ，則zz2z3 z52＝
(A)1 (B)－1 (C)0 (D)i (E)－i。 ６.計算((coscos31713 iisincos22377)) (cos(sin137103 iisinsin193763))
＋ ． ＋ ＋ ． ＋ －
＝ (A)1 (B)－1 (C)0 (D)i (E)－i。
７.設 1n100，則滿足 i)n 2 2 2 2 2 2 ( ＋ ＋ － 為實數之一切自然數n 的總和＝ (A)620 (B)622 (C)624 (D)626 (E)628。 ８.設 Zn＝cos2n ＋isin2n , n N，則
(
Z
1Z
2Z
n)
nlim
．
．
．
＝ (A)1 (B)－1 (C)0 (D)i (E)－i。 ９.設 為 x5＝1 之一虛根，則(1＋＋2＋3)(1＋＋2＋4)(1＋＋3＋4)(1＋2＋3＋4)(＋ 2＋3＋4)＝ (A)1 (B)－1 (C)0 (D)i (E)－i。１０.令 7 2 sin i 7 2 cos ，求i在複數平面上之對應點A i，i=0，1，2…6 則 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0A A A A A A A A A A A A 之值 (A)0 (B) 6 2i (C)6 (D)7 (E)以上皆非。 １１. 8 tan i 1 8 tan i 1 之值等於 (Ａ) 2 i 2 1 (Ｂ) 2 i 3 1 (Ｃ) 2 i 2 (Ｄ) 2 i 3 (Ｅ) 2 i 2 2 。 [４－４．複數的極式][填充題] １.設f(x)＝2x4－4x3＋2x2－5，則 ) 2 i 3 1 ( f －＋ 之值為 。 ２.計算 18 12 )6 i 3 i 3 ( ) i 3 i 3 ( ) i 3 i 3 ( － ＋ ＋ － ＋ ＋ － ＋ 之值為 。 ３.試求( 3＋i)100展開式中所有實數項之總和為 。 ４.設 i 2 2 1 3 2 2 1 3 z＝ ＋＋ － ，則使z 為實數之最小自然數 n 為 。n ５.設 w 為x5＝ 之一個虛根，則1 (2＋w)(2＋w2)(2＋w3)(2＋w4)＝ 。 ６.設 5 2 sin i 5 2 cos z＝ ＋ ，則z65＋z66＋z67＋ ＋z365＝ 。
７.設zC滿足 2 1 z 1 z ＝ － ，且 Arg( z 1 z－ ) 3 ＝ ，則 z＝ 。 ８.設實數 a 滿足x3＋x2－(8＋6i)x＋a－6i＝0有實根，則a＝ 。 ９.設 ＝cos 5 2 ＋isin 5 2 ，則 － 1 1 ＋ 2 1 1 － ＋1 3 1 － ＋1 4 1 － ＝ ；(2＋ )(2＋2)(2＋3)(2＋4)＝ 。 １０.設實數 a , b 滿足 )100 2 i 3 1 ( a － ＋ )98 2 i 3 1 ( b 2 － ＋ )4 2 i 3 1 ( 4 － ＝1－ 3i，則 a＝ ；b＝ 。 １１.設 x＋ x 1 ＝ 3，則x6＋ 6 x 1 ＝ ；x100＋ 100 x 1 ＝ 。 １２.設 Z＝1－cos140°＋isin140°，則 Z 的絕對值｜Z｜＝ ；Z 的主幅角 Arg(Z)＝ 。 １３.設實數 a 滿足 x3＋x2－(8＋6i)x＋a－6i＝0 有實根 r，則 a＝ ；r＝ 。 １４.設複數 Z 滿足 Z－Z1 ＝ 2 1 , Arg( Z 1 Z－ )＝ 3 ，則Z＝ ；｜Z｜＝ 。 １５.計算(sin15°＋icos15°)10＝ ；(sin 6 ＋icos 6 )－18＝ 。 １６.設方程式 x3－2x2－ix＋a－i＝0 有實根，其中 a R，且 i＝ －1，則a＝ ；
此方程式之解集合＝ 。 １７.在極坐標系上，O 表極點，P(3， 6 )，Q(4， 2 )，則(1)PQ (2)△OPQ的面積= (3) OPQ △ 之外接圓的面積為 。 １８.若 A 之極坐標為(2， 4 3 )，則其直角坐標為 。 １９.設複數2(1i(1i)i2) r(cosisin) － ，r>0，02，則r= ，= 。 ２０.設複數 z= k 49 0 k ) i 1 i 1 (
－ ，則 z = ，Arg(z)= 。 ２１.若∣ 2 z 1 z － ∣ 2 1 且Arg 3 ) 2 z 1 z ( － ，則複數z= 。 ２２.(cos5°+isin5°)(cos10°+isin10°)(cos15°+isin15°)之值為 。 ２３.2(cos12°+isin12°)3(cos78°+isin78°) 6 1 (cos45°+isin45°)之值為 。 ２４.計算(cos137sinisin124763＋)icos((cos－31756)isin223) 之值= 。２５.設正三角形 OPQ，已知 O(0，0)，P(2，1)，Q 在第四象限內，則 Q 之坐標為 。 ２６.設 105 ) i 1 ( ) i 3 ( － =a+bi，a b﹐
R，則 a2－b2= 。２７.設( 3 sin i 3 cos 1 3 sin i 3 cos 1 － )8=a+bi，(a b﹐ 均為實數)，則(a，b)= 。 ２８.設 z= 33 9 10 25 ) i 3 4 ( ) i 1 ( ) i 4 3 ( ) i 1 ( － － ，則 z = 。 ２９.設 a 為實數，i 表示虛數單位 －1，若︱ 2 2 3 ) i 3 a ( 5 ) i a ( ) i 2 1 ( － － ︱= 3 5 ，則a= 。 ３０.設 z+ z 1 = 3 ，則z12+ 12 z 1 = 。
３１.設xcosisin，ycosisin，zcosisin，若x+y+z=xyz≠0，則(1) ) cos( ) cos( )
cos( 。(2)sin()sin()sin() 。(3) ) cos( ) cos( ) cos( － － － 。 ３２.方程式 x10+x8+x6+x4+x2+1=0 諸根在複數平面上所對應之點，所決定的凸多邊形其邊數為 ，圍 成之面積為 。 ３３.設
是z3=8i 之一根，若Arg() 2 ，則
= 。 ３４.滿足(z+1－2i)4=2+2 3i 之四個根在複數平面上以 為圓心， 為半徑的圓上，又此四根所對 應之點連成之四邊形面積為 。 ３５.若複數 z 與 3+i 之積為2 3+2i，則 z 之主幅角為 。３６.設 z1=2+ai，z2 =2b+(2-b)i，其中 a、b 為實數，I= 1。若 z1 = 2 z2 ，且
2 1 z z 的輻角為 4 ， 則數對(a , b)= 。 ３７.若 z 為複數，且 z+1z =1，則 z101+ 101 1 z = 。 ３８.(sin15°+i‧cos15°)10之值為 。 ３９.z=sin50°+icos50°，則|z|= ，Arg(z)= 。 ４０.z=(3+4i)3(1- 3i)2，則|z|= 。 ４１.Z= 3 2 2 ) i 3 a ( ) i 1 ( ) i a ( 2 a
R，若|Z|= 3 1 ，則a 值為 。 ４２.
1 k |( i 3 i 1 )k+1|= 。 ４３.| 1 z 1 z |= 3 3 ，Arg( 1 z 1 z )= 3 ，則z＝ 。 ４４.|( 2 1 + 2 3 )1991|= 。 ４５.z1，z2為複數，|z1|=3，|z2|=4，則|z1-iz2|2+|z1+iz2|2= 。 ４６.z1=1+2i，z2=-3+4i，點 P(z)在實軸上，則|z-z1|2+|z-z2|2之最小值為 。 ４７.判斷下列圖形之形狀：(1)|Z+i|=1 (2)|Z+i|=|Z+6|４８.在複數平面上，z1=4+5i，z2=-4+11i (1)a
R 且|z1+a|+|z2-a|為最小，則 a= 。(2)z
C，則|z1-z| +|z2-z|之最小值為 。４９.將 z=-1+ 3i 化為極式 （幅角取主幅角即可）。 ５０.z=3+4i 的幅角為 θ(0≦θ≦2π)，則(1)cosθ= (2)sin 2 = (3)z3的幅角為ψ，則 sinψ= 。 ５１.θ= 12 ，則 3 sin i 3 cos ) 2 sin i 2 )(cos sin i (cos = 。 ５２.θ=15，則 3 sin i 3 cos ) 2 sin i 2 )(cos sin i (cos = 。 ５３.| z 1 z |=2， z 1 z 之一幅角為 3 ，則z= 。 ５４.z=1+cos 4 -isin 4 ，則Arg(z)= 。 ５５. 105 ) i 1 ( ) i 3 ( =a+bi，a，b
R，則 a2-b2= 。 ５６.(cos10°-isin10°)5(sin50°icos50°)2= 。 ５７.(1+ 3i)n是一個實數，n 為自然數，問 n 最小為多少? 。５８.(1)n 為自然數，若(± sinθ± icosθ)n=(± sinnθ± icosnθ)成立，則 n= 。(2)n 為自然數且 0≦n≦100，又 n 滿足 (sinθ± icosθ)n=sinnθ+icosnθ，則所有 n 值之和為 。
５９.z= i 3 i 1 ，n 為自然數，若 zn為實數，則最小自然數n= ，又 1≦n≦100 時所有 n 之和= 。 ６０.5-12i 之平方根= 。 ６１.求 8-6i 的兩個平方根 。 ６２.(z+i-2i)4=2+2 3 i 之四個根在複數平面上以 為圓心， 為半徑的圓上，又此四根所 對應之點連成之四邊形面積為 。 ６３.求 x6=-4-4 3i 的所有根在複數平面上所對應之點，所圍成多邊形面積 及周長 。 ６４.z4+z3+z2+z+1=0 之四個根為 z 1，z2，z3，z4，則 (1)|zk-1|2+|zk+1|2=，其中 k=1、2、3、4。(2)(2+z1) (2+z2)(2+z3)(2+z4)= 。 [４－４．複數的極式][綜合題] １.設 z= i 1 3 i － － ，令z123=a+bi，此處 i 表虛數單位 －1，則 (1)a= (A)260 (B)261 (C)262 (D)－260 (E)－261。
(2)a+b= (A)0 (B)1 (C) 2 1 (D) 2 (E) 3。 ２.設複數 z 為1－ 3i之一平方根，且其實部為正，則 (1)z 之實部為 (A) 2 1 (B) 2 2 (C) 2 3 (D)1 (E) 2 6 。 (2)z 之虛部為 (A) 2 6 － (B) 2 3 － (C) 2 2 － (D) 2 2 (E) 2 6 。 若z 為實係數方程式 x2+x=0 之一根，則 (3)
= (A)－ 6 (B)－ 3 (C)－ 2 (D) 2 (E) 6。(4) = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 (E) 6。 [４－４．複數的極式][證明題] １.設 2cos z 1 z＋ ＝ ，且nN，證明： 2cosn z 1 zn＋ n＝ 。 ２.設 0＜＜2
，試證 2 sin 2 n cos 2 ) 1 n ( sin n cos 2 cos cos 1 ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ； 2 sin 2 n sin 2 ) 1 n ( sin n sin 2 sin sin ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ 。 ３.w=cos 7 2 +isin 7 2 (1)證明(1-w)(1-w２)(1-w3)(1-w４)(1-w5)(1-w6)=7 (2)由(1)計算 sin 7 sin 7 2 sin 7 2 值= 。 (3)1+w+w２+……+w70= 。 (4)w‧w２‧w3‧……‧w13= 。 (5)1+ w 1 +w2 1 + w2 1 +……+w2 1 = 。 ４.設 z 為實係數方程式x2(2cos)x10之一根，試證不論n 為任一自然數，z 恒為方程式 0 1 x n cos 2 x2n n 之一根。[４－４．複數的極式][多選題] １．BE ２．AE ３．AC ４．ABCDE [４－４．複數的極式][計算題] １． ) 4 4 k 2 sin i 4 4 k 2 (cos ) 2 ( z 4 1 k ＋ ＋ ＋ ＝ ２．{ 2 i 3 2 1 ＋ ，－1， i 2 3 2 1 － }。 ３．36 54 ４．(1)3 2( 4 sin i 4 cos ) (2)2( 3 5 sin i 3 5 cos ) (3)4(cos0+isin0) (4)2( 2 3 sin i 2 3 cos ) (5)2 2(cos345°+isin345°) ５．(1)cos330°+isin330° (2) 2 sin37°(cos225°+isin225°) ６．(1)15° (2)280° (3)75° ７． 4 2 6－ ，2－ 3 ８． 4 3 ９．(1)－ 64 1 (2)－29(1+ 3i) １０．(0，1) １１．( 3，－1) １２．1 １３．24 １４． ) i 2 2 2 2 ( １５．(1－2i) １６．z=2－i 或－1－2i １７．z= ，1 i， 2 2 i 2 2 １８．(1)－1 (2)3 (3)729 (4)9 (5)16 (6)2 １９．(1)1 (2)2 (3)121 ２０．－2 ２ １．(1)0 (2)0 (3)n 為奇數時為 1，n 為偶數時為－1 (4)n (5)2n－1 (6)n 為奇數時為 1，n 為偶數時 為0。 ２２．i， 2 i 3－ － ， 2 i 3－ 。 ２３． 10 ) 3 k 4 ( sin i 10 ) 3 k 4 ( cos zk ， k=0，1，2，3，4 ２４．(1)2 3i， 32i，i，－i， 3－2i ，2 3－i (2) ) i 1 ( ) 6 4 k sin( i ) 6 4 k cos( zk ，k=0，1，2，…，7 ２５．(1) 9 1 k 2 sin i 9 1 k 2 cos x ，k=0，2，3，5，6，8 (2) i 2 3 3 2 1 x ，－4， i 2 3 3 2 1－ ２６． 面積3 3，周長6 2 ２７． 4 1 － ，P( 4 1 － ﹐ ２８．0) －2cos110 ，290 ２９． 36 ３０．2＋i 或 －2－i ３１．{－1，2＋i，1－i} ３２． 2 3 4＋ ３３． 5 1 ３４．7 ３５． 31 49 [４－４．複數的極式][單選題] １．D ２．D ３．E ４．D ５．A ６．A ７．C ８．A ９．B １ ０．D １１．E [４－４．複數的極式][填充題] １．-11 ２．3 ３．－299 ４．12 ５．11 ６．1 ７． 4 3 2 ８．－8 ９．2 , 11 １０．－6 , －2 １１．－2 , －1 １２．2sin70° , 20° １３．－8 , －1 １４．1
＋ 3 3 i , 3 3 2 １５． 2 3 ＋ i 2 1 , 1 １６．3 , {－1 , 2＋i , 1－i} １７． 13， 3 3 ， 3 13 １８．(－ 2， 2) １９． 2， 4 5 ２０． 2， 4 ２１． i 3 1－ － ２２． i 2 1 23 ２３． 2 i 2 22 － ２４． i 2 3 2 1 ２５．( 2 3 2 1 2 3 2 ，－ ) ２６． 2 1 － ２ ７．( 2 1 － ， 2 3 ) ２８． 16 5 ２９． 3 ３０．2 ３１．1，0，-1 ３２．10， 2+ 2 3 ３３．－ 3i ３４．(－1，2)， 2，4 ３５．1200 ３６． 3 4 3 10 ， ３７．1 ３８． 2 1 3 ３９．1，40° ４０．500 ４１．± 15 ４２． 2 2 2 ４３． 3 4 i 3 2 ４４．1 ４５．50 ４６．28 ４７．(1)圓(2)直線 ４８．(1) 2 3 (2)10 ４９．2(cos120°+isin120°) ５ ０． 5 3 ， 5 1 ， 125 44 ５１．i ５２．-i ５３． 3 3 ５４． 8 15 π ５５． 2 1 ５６． 2 i 3 ５７．3 ５８．(1)4k+1(2)1225 ５９．12，432 ６０．±(3-2i) ６１．-i，-3+i ６ ２．(-1,2)， 2，4 ６３．3 3，6 2 ６４．(1)4(2)11 [４－４．複數的極式][綜合題] １．E,A ２．E,C,A,D [４－４．複數的極式][證明題] １．略 ２．略 ３．(1)略(2) 87 (3)1(4)1(5)1 ４．略
