兩種教學系列化理論之分析研究 -以國中一元一次方程式為例

國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授：胡豐榮 博士

兩種教學系列化理論之分析研究

-以國中一元一次方程式為例-

研究生：黃之敬 撰

中

華

民

國

一

○

三

年

一

月

摘要

教科書不但是中小學學生重要的學習資源，也是教師教學活動的依據。 然而，即使是相同的單元，不同版本的教科書，其教材呈現的內容順序，可 以發現是有其差異性，此時衍生的學習困難或迷思概念，很有可能是來自教 科書的內容編排順序。 有鑑於此，本研究利用一元一次方程式之教學結構圖，分別探討傳統教 學系列化與課題重要度融入傳統教學系列化之分析，並進行比較分析。 根據傳統教學系列化之實例計算，本研究發現目標函數值有相同情形， 而經由加入重要度為基礎的實例計算，則可以改善同值問題。另外，四種型 態之教學策略的比較分析，發現僅脈絡型沒有差異，其餘三型之結果均不相 同。 最後依據研究結論，對教育行政機關及學校，提出建議。 關鍵字：教學系列化、圖解映射法、重要度、脈絡型教學策略、應用型教學 策略、非脈絡型教學策略、基礎型教學策略

On analysis of two teaching sequencing theories

-illustrated by the teaching unit of equation with one variable and one degree-

Abstract

Textbook is not only important for primary and secondary students learning resources, but also the basis for teaching activities. However, even for the same unit, different versions of textbooks, teaching materials presented in the order in which content can be found have their differences, learning difficulties or

misconceptions derived at this time, is likely to be organized as sequence from textbooks.

In this research, the teaching hierarchy of the unit named equation with one variable and one degree was utilized to analyze STS and ISTS methods,

respectively.

We found that the objective function has the same value in some cases in terms of STS. However, this seldom occurred in ISTS. In addition, there is only one same result of the context strategy in the comparison between STS and ISTS.

Finally, according to research findings on educational authorities and schools to make recommendations.

Key words: strategic task sequencing method, illustrative mapping method,

important index, context type instructional strategies, applied type instructional strategies, non-context type instructional strategies, foundation type instructional strategies

目次

第一章 緒論...1 第一節 研究動機...1 第二節 研究目的...2 第三節 名詞釋義...3 第二章 文獻探討...5 第一節 傳統教學系列化理論...5 第二節 重要度為基礎之教學系列化理論...10 第三節 相關實證性研究...12 第三章 研究結果...17 第一節 傳統教學系列化實例計算...17 第二節 重要度為基礎之教學系列化實例計算...40 第三節 兩種教學系列化實例計算方法比較分析...65 第四章 結論與建議...70 第一節 結論...70 第二節 建議...72 參考文獻...74

表目次

表 2-1：一元一次方程式的教學課題...8 表 3-1：一元一次方程式教學課題之重要度...41 表 3-2: 兩種實例計算方法在教學順序上之差異比較表...69

圖目次

圖 2-1：教學策略與參數的關係...7 圖 2-2：一元一次方程式之教學結構圖...9 圖 3-1：一元一次方程式之教學結構圖加入虛擬課題 0...17 圖 3-2：一元一次方程式之教學結構圖加入虛擬課題 0 及重要度...40 圖 3-3：脈絡型教學策略比較圖...65 圖 3-4：應用型教學策略比較圖...66 圖 3-5：非脈絡型教學策略比較圖...67 圖 3-6：基礎型教學策略比較圖...68

第一章 緒論

本研究參考竹谷誠教授所提出之教學結構圖系列化之推估，以傳統教學 系列化實例計算傳統與以重要度為基礎之教學系列化實例計算兩種推估方法 進行比較與分析。本章茲從研究動機、研究目的、名詞釋義三節來進行說明。

第一節 研究動機

在日常生活當中，時常都需要用到數學知識或技能，不論是日常購物、 比賽計分，或是投資、利息等，都以數學為基礎。而國民的數學能力常常被 用來象徵一個國家的競爭力，因此，國民數學教育一直是各國關注的議題。 而數學也常被認定為是科學之母，老師、家長，甚至是學生自身都非常重視 數學的成績， 常常認為數學成績不好，學業成績就會低落。偏偏數學又是學 生學習上常常討厭的科目之一，在學習上，令許多學生產生焦慮感，隨著年 齡增加，不喜愛數學的比例也跟著正成長（陳淑美，1998；黃敏晃，1996）。 在學校教育中，大多的教師和學生對教科書甚為依賴，李宗薇（1998）指出 目前國內小學教師超過 90%是按照課本進行教學，其中教室內 95%的教學活動 會受到教科書上的影響；而學生的學習活動，超過 75％的課堂時間以及 90％ 的家庭作業時間都著重在課文上。由此可知，教科書不但是中小學學生重要 的學習資源，亦是教師教學活動的依據（藍順德，2002）。以國小數學教學為 例，教師常常根據教科書的編排順序，來進行教學活動，然而，即使是相同

的單元，不同版本的教科書其中教材所呈現的內容順序，可以發現是有差異 的，因此衍生出學習困難或迷思概念，很有可能來自教科書的內容編排順序 （沼野一男，1976，1986；赤堀侃司、清水康敬，1989；赤堀侃司，1992； 竹谷誠，1992；竹谷誠、佐佐木整，1993， 1997；竹谷誠、船橋芳雄、中內 辰哉，2007）。因此，為特定的學生訂出符合其能力的教學順序，儼然是個相 當重要的課題。（沼野一男，1976，1986；赤堀侃司、清水康敬，1989；赤 堀侃司，1992；竹谷誠，1992；竹谷誠、佐々木整，1993，1997；竹谷誠、 船橋芳雄、中內辰哉，2007）。

第二節 研究目的

因為考慮課題重要度於教育系列化時，可以增加結構圖路徑的訊息，及 進出各課題的有向邊個數，因此，將重要度的概念，融入傳統教學系列化分 析時，其分析結果是否較為有效，頗值得深入探討，基於此，本研究之目的 如下： 一、傳統教學系列化實例計算。 二、以重要度為基礎之教學系列化實例計算。 三、兩種實例計算方法之比較分析

第三節 名詞釋義

針對本研究所涉及之相關名詞的界定與說明如下：

一、教學結構圖

此研究所指教學結構是由V 與

E

所構成的有向圖 G ，簡寫成G( , )V E ， 其中的V 是基本概念或能力所成的集合，而為方便起見，V 中的元素簡稱為 課題。另外，

E

是由有向邊所形成的集合，有向邊用來刻畫課題和課題之間 兩兩的關聯性。

二、重要度

本研究之重要度為參考日本學者佐佐木、竹谷誠兩人於西元1998年所提 出之圖解映射法(illustrative mapping method,簡稱IM法），針對 v 中的每一課

題 v ，賦予一正數 ( )I v ，稱為重要度，其定義如下： ,

( )

(

)

( ,

)

j j j j v V v v

I v

C v v

C v v

 







_， ( , ) # ( ) # ( ) ( ) { : , }, ( ) { : , }. C u v A u R v A u z V z u R v z V v z       其中 存在以課題 為起點 課題 為終點之路徑 存在以課題 為起點 課題 為終點之路徑 符號#表示集合的個數。

三、傳統教學結構策略系列化

此研究是指傳統教學結構策略系列化是由日本學者竹谷誠、船橋芳雄、

中內辰哉三人於西元2007年提出之STS法，STS法能將非線型的教學結構圖 ( , ) G V E ，根據其中理論把V 中的元素，按順序排出一直線的順序，因此， 對於非線型的教學結構圖，提供給教師先教哪個課題，之後再教哪個課題的 功能；根據STS法，可把傳統教學結構系列化，一共分四種類型，即基礎型、 脈絡型、應用型與非脈絡型四型。

第二章 文獻探討

本章茲從傳統教學系列化理論、重要度為基礎之教學系列化理論、相關 實證性研究等三節來進行說明。

第一節 傳統教學系列化理論

一、STS 法

根據竹谷誠（1992）課題系列化法的主張，從教學研究圖的製作初期到前提 課題到目標課題的系列時，應該透過候選課題集合，根據STS法的算則，選擇 可到達的下一個課題，而完成自下而上系列化的教學策略。 STS 法其算則如下面敘述，先給定一個教學結構圖，並將其表示成， 在 其中表示基本概念以及知識所成的集合，簡稱課題所成的集合， 用來表示課 題間的順序關係。而教學結構圖系列化是指從中，適當地選取課題，依序排 成一整個系列，例如系列，表示先教，再教，ㄧ直教到的順序。而系列化的 過程概念圖如圖 2-1-1 所示。（引自李柏儒、郭輝煌、李仲瑜、王瑀、許天 維、胡豐榮，（2012）。教學結構圖的課題系列化法研究。測驗統計年刊， 20，87-96）。 設教學結構圖G( , )V E 且V 



v v₁, ₂, ,v_n



，假設 O 中部分系列決定到 1, 2, , k 1 v v v_ ，考慮選擇第 k 個課題v 的情況： k (一) 當k 1時，設初期的前提課題集合為V₁，共通假想的前提課題v 到₀

初期前提課題皆設定有順序的指向關係，此時的候選課題集合為V 。 ₁ (二) 共前提性指數與共目標性指數：設v 與_i v_j的共同前提性指數 f_ij，則 1 ( ( ) ( )) ( ) ij p i p j f n S v S v n V   (1)同樣的v 和_i v_j的共同目標性指數g_ij，則 1 ( ( ) ( )) ( ) ij o i o j g n S v S v n V   (2)系列化指數：設v 與_i v_j的系列化指數_ij，則_ij ( ,v v_{i j}) f_ij g_ij (3)但   1 (4) 為前提指向性因子， 為目標指向性因子(竹谷誠，1992)， 另外式(4)中的與 控制條件，是為了將系列化指數_ij規格化而加入 的，可得 1 _ij 1 (5)另外，隨著讓 與 改變，製作系列的時候所選擇的教學策略會改 變，在下節會詳述。 (6)由是可知，第 k 個課題為v ，加入到原系列 O 的後面。同時新的候選k 課題集合會從V 裡將_k v 刪除。換句話說，新的候選課題集合_k V_k1，包括 { } k k V  v 和因v 而產生的候選課題，如果是 k_k n就結束，若不是就以 1 k n 重複此步驟。 (三) 設V 為第 k 個候選課題的集合，且令_k vkVk，若對任意的v V k，都 可以滿足(6)時，則v 為我們決定的第 k 個課題。_k (vk1, )v (vk1,vk)

二、四種教學策略

如算式(4)所表示的， 和 是依據   1的限制條件變化數值。從 此限制條件可以得到與 的範圍如圖 2-1。代表性的 4 種教學策略如下所 述。   圖 2-1 教學策略與參數 , 的關係 (一)脈絡型教學策略：0  1,0  1(典型如 0.5, 0.5)的時 候之系列化，選擇著重前提課題與目標課題兩者的連續性。 (二)基礎型教學策略：0     1, 1  0(典型如 0.5,  0.5)時 之系列化，選擇著重前提課題及其連續性，並且輕視目標課題及其連 續性。 (三)非脈絡型教學策略： 1      0, 1  0 非脈絡型 基礎型 應用型 脈絡型 -1 -1 1 1

(典型如  0.5,  0.5)時之系列化，選擇輕視前提課題與目標課 題兩者的連續性。 (四)應用型教學策略： 1   0,0  1(典型如  0.5, 0.5)時 之系列化，選擇著重目標課題及其連續性，並且輕視前提課題及其連 續性。

三、傳統教學系列化實例計算

根據竹谷誠等，在 2007 年發表之論文所提出一元一次方程式的教學 14 個課題， 分別羅列如下表 2-1 所示： 表 2-1: 一元一次方程式的教學課題 資料來源： 引自竹谷誠等(2007)。2007 年的課題系列的戰略估計法。 一元一次方程式之 14 個課題，依據課題與課題之數學邏輯關係，利用專家的詮 釋結構分析法(Takeya, 1999)，經部分修正竹谷誠等之結構圖，得到以下圖 2-2 之教 編號 學習的課題 1. 可以說出解方程式的意思 2. 能夠化解同類項 3. 能夠理解即使等式兩邊同除或乘以一個相同的數，等式不會改變 4. 能夠移項 5. 能說出方程式的意思 6. 能說等式的意思 7. 能夠理解即使在等時兩邊同加或減去相同的數，等式不會改變 8. 能利用等式的性質解一元一次方程式，但是係數須為整數 9. 可以解出 ax+b=c+dx 型態的方程式 10. 可以解出 ax+b=(a-1)x+c 型態的方程式 11. 可以解出 ax+bx=c+d 型態的方程式 12. 可以解出 ax=b 型態的方程式 13. 可以解出 ax+(1-a)x=b+c 型態的方程式 14. 可以解出 x=a 型態的方程式

圖2-2：一元一次方程式之教學結構圖

10

8

9

11

13

12

4

₂

3

₇

₁₄

6

5

1

第二節 重要度為基礎之教學系列化理論

在教學活動進行時，它是一個系列化的活動，所以當某位教學者，在教 學結構圖G( , )V E 的架構下，完成教學活動時，即可表示得出一個系列化 1, 2, , i 1, ,i , n 1, n O v v v_ v v_ v 的結果。此時，根據 STS 法的理論，如何客觀推 估此為教學者的教學策略，是屬於哪一型的教學策略之問題，即所謂之教學 結構圖系列化之推估。 回顧前一節之 STS 理論，在各階段未計算系列化指數fij gij之前，其 實候選課題的集合，就已經先定出來了，例如 STS 法進行到第 j 階段時，表 示已經決定出課題v v₁, ₂, ,v_j₁，則此時Vj之決定，和 , 的值無關。Vj建構 的機制如下： ㄧ、若課題 u 被選入V_j，則 u 必須與課題v v1, 2, ,vj1中之任何一個有緊鄰關係。 二、若課題 u 被選入V_j，則 u 之所有的下位課題所成的集合，必須成為



v v1, ,2 ,vj1



的子集。 教學結構圖系列化的推估工作，即是在既有O v v₁, ₂, ,v_i1, ,v_i ,v_n1,v_n 系列化之下，逐一檢視每一個階段，什麼樣的 , 取值，可使得該階段被教 學者教了的課題的系列化指數f_ij g_ij達到最大。由於 ,  的取值，可從平 面座標中的四個現象分別考慮來決定，因此，假設第 j 階段上述既有的系列 O 中，v_jV_j，則可本研究令在第 k 象限（k 1, 2,3, 4）， 和 之最佳解集和 為 k j A 與 k j B 。利用集合直積（product）的表徵，最佳的解集合等價於下面集 合：







 





, : 1, 1, ,



k k j j j j j j A B     v_ u  v_ v  u V 。

反之，假設第 j 階段上的述既有的系列 O 中，vjVj，則令 k j A 



， k j B 



。 教學結構圖系列化的推估理論，乃利用指標函數（indicator function） ( ) k j F



與Gk_j( )



來定義隸屬度函數（membership function） k( )與 k( )， 其分別之定義如下： 1 ( ) 0 k i k i _k i A F A           ， 1 ( ) 0 k i k i _k i B G B           ， 1 1 ( ) ( ) n k k i i F n     



， 1 1 ( ) ( ) n k k i i G n     



， 這裡nn V

 

。 因為  1，所以可得下面性質： 1 1 ( ) (1 )     ， 2 2 ( ) (1 )     ， 3 3 ( ) ( 1 )      ， 4 4 ( ) ( 1)      。 根據上面的性質，即可知道欲建構教學結構圖系列化之推估理論，僅需計算 ( ) k   ，k 1, 2,3, 4即可。因此，定義教學結構圖系列化之推估函數M x ，( ) 0 x 1如下： 2 1 4 3 1 (4 1), 0 , 4 1 2 (4 1), , 4 4 ( ) 2 3 (4 2), , 4 4 3 (4 4), 1. 4 x x x x M x x x x x      _{  }    _{  }     _{  }        很明顯的，其推估函數具有 0M x( ) 1 之性質。 接下來，根據前節所提四種教學策略



 ,



I₁，



 ,



I₂，



 ,



I₃，



 ,



I4，其中分別定為脈絡型、基礎型、非脈絡型、應用型之教學性策略，

故M x( )在0 1 4 x   ，1 2 4 x 4， 2 3 4 x 4， 3 1 4  x 的區間裡，可以分別表 示基礎型、脈絡型、應用型、非脈絡型教學策略。 藉由推估函數M x 的圖型，找到最大值所在的區間，論定其教學型態，( ) 若最大值橫跨兩個教學型態，則可以區間最長的部分所屬的教學型態，來論 定待推估的系列化的教學型態名稱。

第三節 相關實證性研究

一、賴慧鞠、許敬平、黃之敬、王櫻娜 、許天維、胡豐榮(2013) 教學

結構圖系列化之推估與應用。

（一） 研究動機： 教學結構圖對於教學活動所進行的影響，有如同建築工程時的建築藍圖 之角色，其中的重要性與應用，獲得過去以試題關聯結構以及知識結構為題 的理論和實證性研究的支持。其中，以知識結構圖計分之研究（廖寶貴、曾 志鈿、胡豐榮、許天維，2004；鄭雅云、楊世仁、胡豐榮、許天維，2004； 林瑞雪、陳佑誠、胡豐榮、許天維，2004；簡煌哲、劉湘川、郭伯臣，2006）， 或以知識結構圖為基礎所開發之系統（劉育隆、曾筱倩、郭伯臣，2006；曾 彥鈞、張雅媛、郭伯臣，2006），或是做為測驗編製之應用研究（曹傑如、 洪榮照、曾彥鈞、謝鴻達，2009），這些研究都可反應出有正確的教學結構 圖的重要性。以國小數學的單元教學為例，教師往往根據教科書或者是教師

手冊之編排順序，來進行教學活動，然而，即使在同樣的單元，不一樣的教 科書版本，其中教材所依序呈現的內容，常常可以發現是有差異性的，此時 衍生的學習困難以及迷思概念，很有可能來自教科書內的內容編排順序，持 這樣的觀點的國外學者，特別是日本的行動計量學者相當多（沼野一男， 1976，1986；赤堀侃司、清水康敬，1989；赤堀侃司，1992；竹谷誠，1992； 竹谷誠、佐々木整，1993，1997；竹谷誠、船橋芳雄、中內辰哉，2007）。 因此，在正確的教學結構圖之前提之下，日本學者竹谷誠、船橋芳雄、中內 辰哉三人於2007 年，以理論的觀點建構系的列化順序，提出四種不一樣的 教學策略，分別為脈絡型、基礎型、應用型和非脈絡型四種型態。 （二） 研究目的： 在這樣的背景之下，一個相當實際的問題很自然的產生，即是在教學現 場，教師根據一定的順序教完一個單元，如果從評鑑的立場，來檢視教學者 其單元教學時，是否客觀的描述其是屬於上述的哪一種型態？這樣的問題， 是有其實務層面的需求，主要來自外在教育環境之變革，教師進行例行週三 教學觀摩、校長或主任的教師觀課、教室走察等等評鑑制度，其核心部分， 即針對教學者的教學，是否能夠做出客觀性的評論。基於此，此研究擬參考 日本學者竹谷誠等之研究，提出教學結構圖系列化之推估，並且將此技術應 用於國小數學「分數加法」的教學上，以提供數學教育或相關領域之教學評

鑑時參考。 （三） 研究資料： 針對分數加法之十二個教學課題進行教學結構圖系列化推估理論的應 用，依據課題和課題之間的數學邏輯關係，利用專家的詮釋結構分析法 (Takeya, 1999)所得出教學結構圖，並調查彰化縣十所小學，「分數加法」的 教學活動設計，發現有八成的教師傾向於一系列來進行教學，依據教學結構 系列化推估理論利用STS法計算之後，對此系列之教學順序推估所屬哪種教學 策略。 （四） 主要研究結果： 對於分數加法的十二個教學課題，現場教師的一系列教學順序經推估後 所屬應用型之教學策略。 （五） 評述： 有鑑於 STS 法理論的實用價值，加以實務上，一個單元之教學，往往是 根據教學者之豐富的經驗，或其使用之教科書之不同，所得到的教學順序， 也就是所謂的系列化，也隨其不同，而產生不同的教學效果。而在這樣的前 提下，一個客觀及嚴謹的理論，也就是靠著隸屬度函數，來評述教學者的教 學型態或風格，這為此研究STS 法之推估理論的精隨。STS 法之推估理論，

特別是應用於教學評鑑的場合，前節是推估理論應用於國小分數加法之教學 上，研究發現其中80%國小教師所偏好之教學順序，屬於應用型的教學策略， 此結果顯示應用型的教學策略，被比較多數的基層教師所採用。根據此結果， 顯示STS 法的推估理論，其貢獻不但能客觀評估和檢視教學者所進行之教 學，其所呈現的風格和趨勢，而且提供多元教學技術改進參考，同時，STS 法 的推估理論之貢獻，亦可做為教科書編排時，提供多元的教學順序版本，可 讓教學者根據學生的能力，選擇合適學生的版本，並設計出適當的教學策略。 今後 STS 法的推估理論，也可改良隸屬度函數的定義，例如結合模糊理論或 是灰色理論，進而能邁向資訊化之處理，並開發套裝軟體，讓推估的計算更 加有效率，以便能融入更多領域之應用，這些都是為後續研究極待開發之課 題。

第三章 研究結果

本研究旨在探討一元一次方程式於七年級之教學順序上的優化。研究者 利用教學結構圖系列化理論並根據竹谷誠等(2007年)發表之論文中所提出的 一元一次方程式教學的14個課題進行實例計算，提供教師在實際教學順序上 參考的準則。根據研究目的，本研究結果共三節，第一節為傳統教學系列化 實例計算、第二節重要度為基礎之教學系列化實例計算、第三節兩種推估方 法比較分析。

第一節 傳統教學系列化實例計算

本節根據STS法把一元一次方程式的14個課題加入虛擬課題0，如下圖3-1 所示： 圖3-1：一元一次方程式之教學結構圖加入虛擬課題0 10 8 9 11 13 12 4 ₂ 3 7 14 0 6 5 1

壹、典型脈絡型之實例計算

設典型脈絡型之教學順序為(a a a a a a a a a a a a a a a_{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15})，此時 1 2   、 1 2   。因課題0為虛擬課題，故a₁ 0，其詳細計算如下： 1.決定選擇可能之集合V₁: 根據圖3-1可得V₁ 

 

2, 6 2.比較 (0, 2) 、(0, 6)之大小: 1 1 (0, 2) : 1 6 3.5, 2 2 1 1 (0, 6) : 1 13 7, 2 2           因為 所以a₂ 6。 3.決定選擇可能之集合V₂: 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₂ {2,3,5, 7} 4.比較 (6, 2)



、



(6,3)、



(6,5)、



(6,7)之大小: 1 1 (6, 2) : 1 5 3, 2 2 1 1 (6,3) : 2 5 3.5, 2 2 1 1 (6,5) : 2 9 5.5, 2 2 1 1 (6, 7) : 2 5 3.5, 2 2                     因為

所以a₃ 5 5.決定選擇可能之集合V₃: 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₃ {1, 2,3, 7} 6.比較 (5,1) 、(5, 2)、(5,3)、(5, 7)之大小: 1 1 (5,1) : 3 8 5.5, 2 2 1 1 (5, 2) : 1 5 3, 2 2 1 1 (5,3) : 2 4 3, 2 2 1 1 (5, 7) : 2 2 2, 2 2                     因為 所以a₄ 1 7.決定選擇可能之集合V₄: 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₄ {2,3, 7,14} 8.比較 (1,2) 、(1,3)、(1,7)、(1,14)之大小: 1 1 (1, 2) : 1 5 3, 2 2 1 1 (1,3) : 2 4 3, 2 2 1 1 (1, 7) : 2 2 2, 2 2 1 1 (1,14) : 4 7 5.5, 2 2                     因為 所以a₅ 14

9.決定選擇可能之集合V₅: 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₅ {2,3, 7} 10.比較 (14,2)



、



(14,3)、



(14,7)之大小: 1 1 (14, 2) : 1 5 3, 2 2 1 1 (14,3) : 2 4 3, 2 2 1 1 (14, 7) : 2 3 2.5, 2 2                因為 根據以上算式可發現 (14,2)



與 (14,3)



數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₆ 3 11.決定選擇可能之集合V₆: 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₆ {2,3,12} 12.比較 (3, 2) 、(3, 7)、(3,12)之大小: 1 1 (3, 2) : 1 3 2, 2 2 1 1 (3, 7) : 2 2 2, 2 2 1 1 (3,12) : 3 4 3.5, 2 2                因為 所以a₇ 12 13.決定選擇可能之集合V₇: 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₇ {2, 7}

14.比較 (12,2)



、



(12,7)、(3,12)之大小: 1 1 (12, 2) : 1 3 2, 2 2 1 1 (12, 7) : 2 2 2, 2 2           因為 根據以上算式可發現 (12,2)



與 (12,7)



數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₈ 7 15.決定選擇可能之集合V₈: 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₈ {2, 4} 16.比較 (7, 2) 、(7, 4)之大小: 1 1 (7, 2) : 1 3 2, 2 2 1 1 (7, 4) : 3 4 3.5, 2 2           因為 所以a₉ 4 17.決定選擇可能之集合V : ₉ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₉ {2} 所以a₁₀ 2 18.決定選擇可能之集合V₁₀: 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₀ {9,10,11,13} 19.比較 (2,9)



、



(2,10)、



(2,11)、



(2,13)之大小:

1 1 (2,9) : 2 2 2, 2 2 1 1 (2,10) : 2 2 2, 2 2 1 1 (2,11) : 2 2 2, 2 2 1 1 (2,13) : 2 2 2, 2 2                     因為 根據以上算式可發現 (2,9) 、 (2,10)



、 (2,11) 、 (2,13) 數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₁₁ 9 20.決定選擇可能之集合V₁₁: 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₁{10,11,13} 21.比較 (9,10) 、(9,11)、(9,13)之大小: 1 1 (9,10) : 8 1 4.5, 2 2 1 1 (9,11) : 8 1 4.5, 2 2 1 1 (9,13) : 6 1 3.5, 2 2                因為 根據以上算式可發現 (9,10) 與 (9,11) 數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₁₂ 10 22.決定選擇可能之集合V₁₂: 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₂ {11,13}

23.比較 (10,11) 、 (10,13) 之大小: 1 1 (10,11) : 6 1 3.5, 2 2 1 1 (10,13) : 6 1 3.5, 2 2           因為 根據以上算式可發現 (10,11)



與 (10,13)



數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₁₃ 11 24.決定選擇可能之集合V : ₁₃ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₂ {13} 所以a₁₄ 13 25.決定選擇可能之集合V : ₁₄ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₄ {8} 所以a₁₅ 8 將以上實例計算整理後，可發現O(6,5,1,14,3,12,7, 4, 2,9,10,11,13,8)為典型脈 絡型教學策略。

貳、典型應用型之實例計算

設典型應用型之教學順序為(a a a a a a a a a a a a a a a_{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15})，此時 1 2    、 1 2   。因課題0為虛擬課題，故a₁ 0，其詳細計算如下： 1.決定選擇可能之集合V : ₁ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁ {2, 6} 2.比較 (0, 2) 、 (0,6) 之大小: 1 1 (0, 2) : 1 6 2.5, 2 2 1 1 (0, 6) : 1 13 6, 2 2             因為 所以a₂ 6 3.決定選擇可能之集合V : ₂ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₂ {2,3,5, 7} 4.比較 (6, 2) 、 (6,3) 、 (6,5) 、 (6,7) 之大小: 1 1 (6, 2) : 1 5 2, 2 2 1 1 (6,3) : 2 5 1.5, 2 2 1 1 (6,5) : 2 9 3.5, 2 2 1 1 (6, 7) : 2 5 1.5, 2 2                         因為

所以a₃ 5 5.決定選擇可能之集合V : ₃ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₃ {1, 2,3,7} 6.比較 (5,1) 、 (5, 2) 、 (5,3) 、 (5,7) 之大小: 1 1 (5,1) : 3 8 2.5, 2 2 1 1 (5, 2) : 1 5 2, 2 2 1 1 (5,3) : 2 4 1, 2 2 1 1 (5, 7) : 2 2 0, 2 2                         因為 所以a₄ 1 7.決定選擇可能之集合V : ₄ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₄ {2,3,7,14} 8.比較 (1,2) 、 (1,3) 、 (1,7) 、 (1,14) 之大小: 1 1 (1, 2) : 1 5 2, 2 2 1 1 (1,3) : 2 4 1, 2 2 1 1 (1, 7) : 2 2 0, 2 2 1 1 (1,14) : 4 7 1.5, 2 2                         因為 所以a₅ 2

9.決定選擇可能之集合V : ₅ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₅ {3, 7,14} 10. 比較 (2,3)



、 (2,7)



、 (2,14)



之大小: 1 1 (2,3) : 1 2 0.5, 2 2 1 1 (2, 7) : 1 2 0.5, 2 2 1 1 (2,14) : 1 5 2, 2 2                   因為 所以a₆ 14 11.決定選擇可能之集合V : ₆ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₆ {3, 7,13} 12.比較 (14,3)



、 (14,7)



、 (14,13)



之大小: 1 1 (14,3) : 2 4 1, 2 2 1 1 (14, 7) : 2 3 0.5, 2 2 1 1 (14,13) : 5 2 1.5, 2 2                    因為 所以a₇ 3 13.決定選擇可能之集合V : ₇ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₇ {7,12,13}

14.比較 (3,7) 、 (3,12) 、 (3,13) 之大小: 1 1 (3, 7) : 2 2 0, 2 2 1 1 (3,12) : 3 4 0.5, 2 2 1 1 (3,13) : 2 1 0.5, 2 2                    因為 所以a₈ 12 15.決定選擇可能之集合V : ₈ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₈ {7,11,13} 16.比較 (12,7)



、 (12,11) 、 (12,13) 之大小: 1 1 (12, 7) : 2 2 0, 2 2 1 1 (12,11) : 7 2 2.5, 2 2 1 1 (12,13) : 5 1 2, 2 2                     因為 所以a₉ 7 17.決定選擇可能之集合V : ₉ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₉ {4,11,13} 18.比較 (7, 4) 、 (7,11) 、 (7,13) 之大小: 1 1 (7, 4) : 3 4 0.5, 2 2 1 1 (7,11) : 2 1 0.5, 2 2 1 1 (7,13) : 2 1 0.5, 2 2                     因為

所以a₁₀ 4 19.決定選擇可能之集合V : ₁₀ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₀ {9,10,11,13} 20.比較 (4,9) 、 (4,10)



、 (4,11) 、(4,13)之大小: 1 1 (4,9) : 4 2 1, 2 2 1 1 (4,10) : 4 2 1, 2 2 1 1 (4,11) : 2 1 0.5, 2 2 1 1 (4,13) : 2 1 0.5, 2 2                             因為 根據以上算式可發現 (4,11) 與 (4,13) 數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₁₁ 11 21.決定選擇可能之集合V : ₁₁ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₁{9,10,13} 22.比較 (11,9)



、 (11,10)



、 (11,13)



之大小: 1 1 (11,9) : 8 1 3.5, 2 2 1 1 (11,10) : 6 1 2.5, 2 2 1 1 (11,13) : 6 1 2.5, 2 2                      因為 根據以上算式可發現 (11,10)



與 (11,13)



數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₁₂ 10

23.決定選擇可能之集合V : ₁₂ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₂ {9,13} 24.比較 (10,9)



、 (10,13)



之大小: 1 1 (10,9) : 8 1 3.5, 2 2 1 1 (10,13) : 6 1 2.5, 2 2               因為 所以a₁₃ 13 25.決定選擇可能之集合V : ₁₃ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₃ {9} 所以a₁₄ 9 26.決定選擇可能之集合V : ₁₄ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₄ {8} 所以a₁₅ 8 將以上實例計算整理後，可發現O(6,5,1, 2,14,3,12,7, 4,11,13,9,10,8)為典型應 用型教學策略。

參、典型非脈絡型之實例計算

設典型非脈絡型之教學順序為(a a a a a a a a a a a a a a a_{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15})，因課題0為 虛擬課題，此時 1 2    、 1 2    。故a₁ 0，其詳細計算如下： 1.決定選擇可能之集合V : ₁ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁ {2, 6} 2.比較 (0, 2) 、 (0,6) 之大小: 1 1 (0, 2) : 1 6 3.5, 2 2 1 1 (0, 6) : 1 13 7, 2 2                 因為 所以a₂ 2 3.決定選擇可能之集合V : ₂ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₂ {6} 所以a₃ 6 4.決定選擇可能之集合V : ₃ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₃ {3,5,7}

5.比較 (6,3) 、 (6,5) 、(6, 7)之大小: 1 1 (6,3) : 2 5 3.5, 2 2 1 1 (6,5) : 2 9 5.5, 2 2 1 1 (6, 7) : 2 5 3.5, 2 2                         因為 根據以上算式可發現 (6,3) 與 (6,7) 數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₄ 3 6.決定選擇可能之集合V : ₄ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₄ {5, 7} 7.比較 (3,5) 、 (3,7) 之大小: 1 1 (3,5) : 2 4 3, 2 2 1 1 (3, 7) : 2 2 2, 2 2                 因為 所以a₅ 7 8.決定選擇可能之集合V : ₅ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₅ {4,5} 9.比較 (7, 4) 、 (7,5) 之大小: 1 1 (7, 4) : 3 4 3.5, 2 2 1 1 (7,5) : 2 2 2, 2 2                 因為 所以a₆ 5

10.決定選擇可能之集合V : ₆ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₆ {1, 4} 11.比較 (5,1)



、 (5, 4)



之大小: 1 1 (5,1) : 3 8 5.5, 2 2 1 1 (5, 4) : 2 3 2.5, 2 2                 因為 所以a₇ 4 12.決定選擇可能之集合V : ₇ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₇ {1} 所以a₈ 1 13.決定選擇可能之集合V : ₈ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₈ {14} 所以a₉ 14 14.決定選擇可能之集合V : ₉ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₉ {10,12,13} 15.比較 (14,10)



、 (14,12) 、(14,13)之大小: 1 1 (14,10) : 5 2 3.5, 2 2 1 1 (14,12) : 5 4 4.5, 2 2 1 1 (14,13) : 5 2 3.5, 2 2                         因為

根據以上算式可發現 (14,10) 與 (14,13) 數值相同 在此選擇左邊所以a₁₀ 10 16.決定選擇可能之集合V : ₁₀ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₀ {12,13} 17.比較 (10,12)



、 (10,13) 之大小: 1 1 (10,12) : 5 1 3, 2 2 1 1 (10,13) : 6 1 3.5, 2 2                 因為 所以a₁₁12 18.決定選擇可能之集合V : ₁₁ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₁{9,11,13} 19.比較 (12,9) 、 (12,11) 、(12,13)之大小: 1 1 (12,9) : 7 2 4.5, 2 2 1 1 (12,11) : 7 2 4.5, 2 2 1 1 (12,13) : 5 1 3, 2 2                         因為 所以a₁₂ 13 20.決定選擇可能之集合V : ₁₂ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₂ {9,11}

21.比較 (13,9) 、 (13,11) 之大小: 1 1 (13,9) : 6 1 3.5, 2 2 1 1 (13,11) : 6 1 3.5, 2 2                 因為 根據以上算式可發現 (13,9)



與 (13,11)



數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₁₃ 9 22.決定選擇可能之集合V : ₁₃ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₃ {11} 所以a₁₄ 11 23.決定選擇可能之集合V : ₁₄ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₄ {8} 所以a₁₅ 8 將以上實例計算整理後，可發現O(2,6,3,7,5,1, 4,14,10,12,13,9,11,8)為典型非 脈絡型教學策略。

肆、典型基礎型之實例計算

設典型基礎型之教學順序為(a a a a a a a a a a a a a a a_{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15})，因課題0為虛 擬課題，此時 1 2   、 1 2    。故a₁ 0，其詳細計算如下： 1.決定選擇可能之集合V : ₁ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁ {2, 6} 2.比較 (0, 2) 、 (0,6) 之大小: 1 1 (0, 2) : 1 6 2.5, 2 2 1 1 (0, 6) : 1 13 6, 2 2               因為 所以a₂ 2 3.決定選擇可能之集合V : ₂ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₂ {6} 所以a₃ 6 4.決定選擇可能之集合V : ₃ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₃ {3,5,7}

5,比較 (6,3) 、 (6,5) 、(6, 7)之大小: 1 1 (6,3) : 2 5 1.5, 2 2 1 1 (6,5) : 2 5 3.5, 2 2 1 1 (6, 7) : 2 9 1.5, 2 2                      因為 根據以上算式可發現 (6,3) 與 (6,7) 數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₄ 3 6.決定選擇可能之集合V : ₄ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₄ {5, 7} 7,比較 (3,5) 、 (3,7) 之大小: 1 1 (3,5) : 2 4 1, 2 2 1 1 (3, 7) : 2 2 0, 2 2              因為 所以a₅ 7 8.決定選擇可能之集合V : ₅ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₅ {4,5} 9,比較 (7, 4) 、 (7,5) 之大小: 1 1 (7, 4) : 3 4 0.5, 2 2 1 1 (7,5) : 2 2 0, 2 2              因為 

10.決定選擇可能之集合V : ₆ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₆ {1, 4} 11.比較 (5,1)



、 (5, 4)



之大小: 1 1 (5,1) : 3 8 2.5, 2 2 1 1 (5, 4) : 2 3 0.5, 2 2               因為 所以a₇ 4 12.決定選擇可能之集合V : ₇ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₇ {1} 所以a₈ 1 13.決定選擇可能之集合V : ₈ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₈ {14} 所以a₉ 14 14.決定選擇可能之集合V : ₉ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₉ {10,12,13} 15.比較 (14,10)



、 (14,12) 、(14,13)之大小: 1 1 (14,10) : 5 2 1.5, 2 2 1 1 (14,12) : 5 4 0.5, 2 2 1 1 (14,13) : 5 2 1.5, 2 2                   因為

根據以上算式可發現 (14,10) 與 (14,13) 數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₁₀ 10 16.決定選擇可能之集合V : ₁₀ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₀ {12,13} 17.比較 (10,12)



、 (10,13) 之大小: 1 1 (10,12) : 5 1 2, 2 2 1 1 (10,13) : 6 1 2.5, 2 2             因為 所以a₁₁13 16.決定選擇可能之集合V : ₁₁ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₁ {12} 所以a₁₂ 12 17.決定選擇可能之集合V : ₁₂ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₂ {9,11} 18.比較 (12,9) 、 (12,11) 之大小: 1 1 (12,9) : 7 2 2.5, 2 2 1 1 (12,11) : 7 2 2.5, 2 2             因為 根據以上算式可發現 (12,9)



與 (12,11)



數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₁₃ 9

19.決定選擇可能之集合V : ₁₃ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₃ {11} 所以a₁₄ 11 20.決定選擇可能之集合V : ₁₄ 根據圖3-1與選擇可能集合之定義可得V₁₄ {8} 所以a₁₅ 8 將以上實例計算整理後，可發現O(2,6,3,7,5, 4,1,14,10,13,12,9,11,8)為典型基 礎型教學策略。

第二節 重要度為基礎之教學系列化實例計算

本節根據STS法把一元一次方程式的14個課題加入虛擬課題0及重要度， 如圖3-2所示： 圖3-2：一元一次方程式之教學結構圖加入虛擬課題0及重要度

12

₂₀

10

8

9

11

13

12

4

₂

3

7

14

0

6

5

1

11

8

8

7

14

14

8 8

4

4

4

4

10

10

10

10

12

6

18

13

24

28

表 3-1: 一元一次方程式教學課題之重要度 課題 重要度 課題 重要度 1 52 8 34 2 22 9 37 3 22 10 30 4 28 11 26 5 42 12 60 6 51 13 21 7 22 14 68 *虛擬課題 0 重要度為 19

壹、典型脈絡型之實例計算

設典型脈絡型之教學順序為(a a a a a a a a a a a a a a a_{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15})，此時 1 2   、 1 2   。因課題0為虛擬課題，故a₁ 0，其詳細計算如下： 1.決定選擇可能之集合V₁: 根據圖3-2可得V₁ 

 

2, 6 2.比較 (0, 2) 、(0, 6)之大小: 1 1 1 1 (0, 2) : 1 6 19 (22 34 37 30 26 21) 98, 2 2 2 2 1 1 1 1 (0, 6) : 1 13 19 (52 22 28 42 51 22 2 2 2 2 34 37 30 26 60 21 68) 263,                                    因為 所以a₂ 6

3.決定選擇可能之集合V₂: 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₂ {2,3,5, 7} 4.比較 (6, 2)



、



(6,3)、



(6,5)、



(6,7)之大小: 1 1 1 1 (6, 2) : 1 5 19 (34 37 30 26 21) 86.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (6,3) : 2 5 (19 51) (22 60 37 26 34) 128, 2 2 2 2 1 1 1 1 (6,5) : 2 9 (19 51) (42 52 68 60 30 26 21 2 2 2 2 34) 207,                                             因為 1 1 1 1 (6, 7) : 2 5 (19 51) (22 28 37 30 34) 114, 2 2 2 2               所以a₃ 5 5.決定選擇可能之集合V₃: 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₃ {1, 2,3, 7} 6.比較 (5,1)



、



(5, 2)、



(5,3)、



(5,7)之大小: 1 1 1 1 (5,1) : 3 8 (19 51 42) (52 68 60 26 30 21 34 2 2 2 2 37) 225.5, 1 1 1 1 (5, 2) : 1 5 19 (37 30 26 21 34) 86.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (5,3) : 2 4 (19 51) (37 26 60 34) 116.5, 2 2 2 2 (5, 7                                              因為 1 1 1 1 ) : 2 2 (19 51) (30 34) 69, 2    2 2   2   所以a₄ 1

7.決定選擇可能之集合V₄: 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₄ {2,3, 7,14} 8.比較 (1,2)



、



(1,3)、



(1,7)、



(1,14)之大小: 1 1 1 1 (1, 2) : 1 5 19 (37 30 26 21 34) 86.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (1,3) : 2 4 (19 51) (60 37 26 34) 116.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (1, 7) : 2 2 (19 51) (30 34) 69, 2 2 2 2 1 1 1 1 (1,14) : 4 7 (19 51 42 52) 2 2 2                                                因為 (68 60 26 30 2 21 37 34) 225.5,         所以a₅ 14 9.決定選擇可能之集合V₅: 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₅ {2,3, 7} 10.比較 (14,2)



、



(14,3)、



(14,7)之大小: 1 1 1 1 (14, 2) : 1 5 19 (37 30 26 21 34) 86.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (14,3) : 2 4 (19 51) (60 37 26 34) 116.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (14, 7) : 2 3 (19 51) (34 37 30) 88, 2 2 2 2                                       因為 所以a₆ 3 11.決定選擇可能之集合V₆: 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₆ {2,3,12}

12.比較 (3, 2) 、(3, 7)、(3,12)之大小: 1 1 1 1 (3, 2) : 1 3 19 (34 37 26) 60, 2 2 2 2 1 1 1 1 (3, 7) : 2 2 (19 51) (34 37) 72.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (3,12) : 3 4 (22 19 51) (60 37 26 34) 128, 2 2 2 2                                     因為 所以a₇ 12 13.決定選擇可能之集合V₇: 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₇ {2, 7} 14.比較 (12,2)



、



(12,7)、(3,12)之大小: 1 1 1 1 (12, 2) : 1 3 19 (34 37 26) 60, 2 2 2 2 1 1 1 1 (12, 7) : 2 2 (19 51) (34 37) 72.5, 2 2 2 2                       因為 所以a₈ 7 15.決定選擇可能之集合V₈: 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₈ {2, 4} 16.比較 (7, 2)



、



(7, 4)之大小: 1 1 1 1 (7, 2) : 1 3 19 (34 37 30) 62, 2 2 2 2 1 1 1 1 (7, 4) : 3 4 (19 51 22) (28 34 37 30) 114, 2 2 2 2                          因為 所以a₉ 4

17.決定選擇可能之集合V : ₉ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₉ {2} 所以a₁₀ 2 18.決定選擇可能之集合V₁₀: 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₀ {9,10,11,13} 19.比較 (2,9)



、



(2,10)、



(2,11)、



(2,13)之大小: 1 1 1 1 (2,9) : 2 2 (19 22) (37 34) 58, 2 2 2 2 1 1 1 1 (2,10) : 2 2 (19 22) (30 34) 54.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (2,11) : 2 2 (19 22) (26 34) 52.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (2,13) : 2 2 (19 22) (21 34) 50, 2 2 2 2                                             因為 所以a₁₁ 9 20.決定選擇可能之集合V₁₁: 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₁{10,11,13} 21.比較 (9,10) 、(9,11)、(9,13)之大小: 1 1 1 1 (9,10) : 8 1 (22 28 22 68 52 42 51 19) 34 2 2 2 2 173.5, 1 1 1 1 (9,11) : 8 1 (22 60 22 68 52 42 51 19) 34 2 2 2 2 189.5, 1 1 1 (9,13) : 6 1 (22 68 2 2 2                                        因為 1 52 42 51 19) 34 147.5, 2       

所以a₁₂ 10 22.決定選擇可能之集合V₁₂: 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₂ {11,13} 23.比較 (10,11) 、 (10,13) 之大小: 1 1 1 1 (10,11) : 6 1 (22 68 52 42 51 19) 34 147.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (10,13) : 6 1 (22 68 52 42 51 19) 34 147.5, 2 2 2 2                             因為 根據以上算式可發現 (10,11)



與 (10,13)



數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₁₃ 11 24.決定選擇可能之集合V : ₁₃ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₂ {13} 所以a₁₄ 13 25.決定選擇可能之集合V : ₁₄ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₄ {8} 所以a₁₅ 8 將以上實例計算整理後，可發現O(6,5,1,14,3,12,7, 4, 2,9,10,11,13,8)為典型脈 絡型教學策略。

貳、典型應用型之實例計算

設典型應用型之教學順序為(a a a a a a a a a a a a a a a_{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15})，此時 1 -2   、 1 2   。因課題0為虛擬課題，故a₁ 0，其詳細計算如下： 1.決定選擇可能之集合V : ₁ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁ {2, 6} 2.比較 (0, 2)



、 (0,6)



之大小: 1 1 1 1 (0, 2) : 1 6 19 (22 34 37 30 26 21) 78, 2 2 2 2 1 1 1 1 (0, 6) : 1 13 19 (52 22 28 42 51 22 34 2 2 2 2 37 30 26 60 21 68) 243,                                        因為 所以a₂ 6 3.決定選擇可能之集合V : ₂ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₂ {2,3,5, 7} 4.比較 (6, 2) 、 (6,3) 、 (6,5) 、 (6,7) 之大小: 1 1 1 1 (6, 2) : 1 5 19 (34 37 30 26 21) 66.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (6,3) : 2 5 (19 51) (22 60 37 26 34) 56, 2 2 2 2 1 1 1 1 (6,5) : 2 9 (19 51) (42 52 68 60 30 26 2 2 2 2 21 34) 135,                                                   因為 1 1 1 1 (6, 7) : 2 5 (19 51) (22 28 37 30 34) 42, 2 2 2 2                

所以a₃ 5 5.決定選擇可能之集合V : ₃ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₃ {1, 2,3,7} 6.比較 (5,1) 、 (5, 2) 、 (5,3) 、 (5,7) 之大小: 1 1 1 1 (5,1) : 3 8 (19 51 42) (52 68 60 26 30 2 2 2 2 21 34 37) 110.5, 1 1 1 1 (5, 2) : 1 5 19 (37 30 26 21 34) 66.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (5,3) : 2 4 (19 51) (37 26 60 34) 44 2 2 2 2                                                   因為 .5, 1 1 1 1 (5, 7) : 2 2 (19 51) (30 34) 3, 2 2 2 2               所以a₄ 1 7.決定選擇可能之集合V : ₄ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₄ {2,3,7,14} 8.比較 (1,2) 、 (1,3) 、 (1,7) 、 (1,14) 之大小: 1 1 1 1 (1, 2) : 1 5 19 (37 30 26 21 34) 66.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (1,3) : 2 4 (19 51) (60 37 26 34) 44.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (1, 7) : 2 2 (19 51) (30 34) 3, 2 2 2 2 1 1 1 (1,14) : 4 7 (52 42 1 2 2 2                                                       因為 1 9 51) (68 60 26 2 30 21 37 34) 57.5,           所以a₅ 2

9.決定選擇可能之集合V : ₅ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₅ {3, 7,14} 10.比較 (2,3)



、 (2,7)



、 (2,14)



之大小: 1 1 1 1 (2,3) : 1 3 19 (34 37 37 26) 40, 2 2 2 2 1 1 1 1 (2, 7) : 1 3 (19) (37 26 34) 40, 2 2 2 2 1 1 1 1 (2,14) : 1 5 (19) (37 30 26 21 34) 66.5, 2 2 2 2                                           因為 所以a₆ 14 11.決定選擇可能之集合V : ₆ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₆ {3, 7,13} 12.比較 (14,3)



、 (14,7)



、 (14,13)



之大小: 1 1 1 1 (14,3) : 2 4 (19 51) (60 34 37 26) 44.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (14, 7) : 2 3 (19 51) (34 37 30) 16, 2 2 2 2 1 1 1 1 (14,13) : 5 2 (19 51 42 52 68) (21 34) 90, 2 2 2 2                                               因為 所以a₇ 3 13.決定選擇可能之集合V : ₇ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₇ {7,12,13}

14.比較 (3,7) 、 (3,12) 、 (3,13) 之大小: 1 1 1 1 (3, 7) : 2 2 (19 51) (37 34) 0.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (3,12) : 3 4 (19 51 22) (60 37 26 34) 33, 2 2 2 2 1 1 1 1 (3,13) : 2 1 (19 51) 34 18.5, 2 2 2 2                                           因為 所以a₈ 12 15.決定選擇可能之集合V : ₈ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₈ {7,11,13} 16.比較 (12,7)



、 (12,11) 、 (12,13) 之大小: 1 1 1 1 (12, 7) : 2 2 (19 51) (34 37) 0.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (12,11) : 7 2 (19 51 42 52 68 22 60) 2 2 2 2 (26 34) 129.5, 1 1 1 1 (12,13) : 5 1 (19 51 42 52 68) 34 101, 2 2 2 2                                                 因為 所以a₉ 7 17.決定選擇可能之集合V : ₉ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₉ {4,11,13}

18.比較 (7, 4) 、 (7,11) 、 (7,13) 之大小: 1 1 1 1 (7, 4) : 3 4 (19 51 22) (28 34 37 30) 19, 2 2 2 2 1 1 1 1 (7,11) : 2 1 (19 51) 34 18.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (7,13) : 2 1 (19 51) 34 18.5, 2 2 2 2                                           因為 所以a₁₀ 4 19.決定選擇可能之集合V : ₁₀ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₀ {9,10,11,13} 20.比較 (4,9) 、 (4,10)



、 (4,11) 、 (4,13) 之大小: 1 1 1 1 (4,9) : 4 2 (19 51 22 28) (37 34) 25.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (4,10) : 4 2 (19 51 22 28) (30 34) 29, 2 2 2 2 1 1 1 1 (4,11) : 2 1 (19 51) 34 18.5, 2 2 2 2 1 1 1 (4,13) : 2 1 (19 51 2 2 2                                                       因為 1 ) 34 18.5, 2     根據以上算式可發現 (4,11) 與 (4,13) 數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₁₁ 11 20.決定選擇可能之集合V : ₁₁ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₁{9,10,13}

21.比較 (11,9) 、 (11,10) 、 (11,13) 之大小: 1 1 1 1 (11,9) : 8 1 (22+60+22+68+52+42+51+19) 34 2 2 2 2 154.5, 1 1 1 1 (11,10) : 6 1 (19 51 42 52 68 22) 34 2 2 2 2 112.5, 1 1 1 (11,13) : 6 1 2 2 2                                      因為 1 (19 51 42 52 68+22) 34 2 112.5,         根據以上算式可發現 (11,10) 與 (11,13) 數值相同 在此選擇教學結構圖左邊，所以a₁₂ 10 22.決定選擇可能之集合V : ₁₂ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₂ {9,13} 23.比較 (10,9) 、 (10,13) 之大小: 1 1 1 (10,9) : 8 1 (19 51 42 52 68 22+28+22) 2 2 2 1 34 154.5, 2 1 1 1 1 (10,13) : 6 1 (19 31 42 52 68 22) 34 2 2 2 2 112.5,                                   因為 所以a₁₃ 13 24.決定選擇可能之集合V : ₁₃ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₃ {9} 所以a₁₄ 9

25.決定選擇可能之集合V : ₁₄

根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₄ {8}

所以a₁₅ 8

將以上實例計算整理後，可發現O(6,5,1, 2,14,3,12,7, 4,11,10,13,9,8)為典型應

參、典型非脈絡型之實例計算

設典型非脈絡型之教學順序為(a a a a a a a a a a a a a a a_{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15})，此時 1 2    、 1 2    。因課題0為虛擬課題，故a₁ 0，其詳細計算如下： 1.決定選擇可能之集合V : ₁ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁ {2, 6} 2.比較 (0, 2) 、 (0,6) 之大小: 1 1 1 1 (0, 2) : 1 6 19 (22 34 37 30 26 21) 98, 2 2 2 2 1 1 1 1 (0, 6) : 1 13 19 (52 22 28 42 51 22 34 37 2 2 2 2 30 26 60 21 68) 263,                                              因為 所以a₂ 2 3.決定選擇可能之集合V : ₂ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₂ {6} 所以a₃ 6 4.決定選擇可能之集合V : ₃ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₃ {3,5,7}

5.比較 (6,3) 、 (6,5) 、(6, 7)之大小: 1 1 1 1 (6,3) : 2 5 (19 51) (22 60 37 26 34) 2 2 2 2 128, 1 1 1 1 (6,5) : 2 9 (19 51) (42 52 68 60 30 26 2 2 2 2 21 34) 207, 1 1 1 (6, 7) : 2 5 (19 2 2 2                                                 因為 1 51) (22 28 37 30 34) 2 114,           所以a₄ 7 6.決定選擇可能之集合V : ₄ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₄ {3, 4,5} 7.比較 (7,3) 、 (7, 4) 、(7,5)之大小: 1 1 1 1 (7,3) : 2 2 (19 51) (34 37) 72.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (7, 4) : 3 4 (19 51 22) (28 34 37 30) 114, 2 2 2 2 1 1 1 1 (7,5) : 2 2 (19 51) (30 34) 69, 2 2 2 2                                                 因為 所以a₅ 5 8.決定選擇可能之集合V : ₅ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₅ {1,3, 4}

9.比較 (5,1) 、 (5,3) 、(5, 4)之大小: 1 1 1 1 (5,1) : 3 8 (19 51 42) (52 68 60 26 30 2 2 2 2 21 34 37) 225.5, 1 1 1 1 (5,3) : 2 4 (19 51) (37 26 60 34) 116.5, 2 2 2 2 1 1 1 1 (5, 4) : 2 3 (19 51) (34 37 2 2 2 2                                                      因為 30) 88, 所以a₆ 4 10.決定選擇可能之集合V : ₆ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₆ {1,3} 11.比較 (4,1)



、 (4,3)



之大小: 1 1 1 1 (4,1) : 2 3 (19 51) (34 37 30) 88, 2 2 2 2 1 1 1 1 (4,3) : 2 2 (19 51) (34 37) 72.5, 2 2 2 2                                因為 所以a₇ 3 12.決定選擇可能之集合V : ₇ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₇ {1} 所以a₈ 1 13.決定選擇可能之集合V : ₈ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₈ {14} 所以a₉ 14

14.決定選擇可能之集合V : ₉ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₉ {10,12,13} 15.比較 (14,10)



、 (14,12)



、



(14,13)之大小: 1 1 1 1 (14,10) : 5 2 (19 51 42 52 68) (30 34) 2 2 2 2 151.5, 1 1 1 1 (14,12) : 5 4 (19 51 42 52 68) (60 37 2 2 2 2 26 34) 199, 1 (14,13) : 5 2                                            因為 1 1 1 2 (19 51 42 52 68) (21 34) 2 2 2 147,              所以a₁₀ 13 16.決定選擇可能之集合V : ₁₀ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₀ {10,12} 17.比較 (13,12)



、 (13,10)



之大小: 1 1 1 1 (13,12) : 5 1 (19 51 42 52 68) 34 2 2 2 2 136, 1 1 1 1 (13,10) : 6 1 (22 68 52 42 51 19) 34 2 2 2 2 147.5,                                     因為 所以a₁₁12 18.決定選擇可能之集合V : ₁₁ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₁{9,10,11}

19.比較 (12,9) 、 (12,10)



、(12,11)之大小: 1 1 1 1 (12,9) : 7 2 (19 51 42 52 68 22 60) 2 2 2 2 (37 34) 197, 1 1 1 1 (12,11) : 5 1 (19 51 42 52 68) 34 136, 2 2 2 2 1 1 1 (12,13) : 7 2 (19 51 42 52 68 22 60) 2 2 2                                                      因為 1 2 (26 34)   191.5, 所以a₁₂ 10 20.決定選擇可能之集合V : ₁₂ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₂ {9,11} 21.比較 (10,9) 、 (10,11) 之大小: 1 1 1 (10,9) : 8 1 (22 28 22 68 52 42 51 19) 2 2 2 1 34 173.5, 2 1 1 1 1 (10,11) : 6 1 (22 68 52 42 51 19) 34 2 2 2 2 147.5,                                       因為 所以a₁₃ 11 22.決定選擇可能之集合V : ₁₃ 根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₃ {9} 所以a₁₄ 9

23.決定選擇可能之集合V : ₁₄

根據圖3-2與選擇可能集合之定義可得V₁₄ {8}

所以a₁₅ 8

將以上實例計算整理後，可發現O(2,6,7,5, 4,3,1,14,13,12,10,11,9,8)為典型非