建築風洞結構風載重程式設計與應用
內 政 部 建 築 研 究 所 自 行 研 究 報 告
中華民國 105 年 12 月
建築風洞結構風載重程式設計與應用
內 政 部 建 築 研 究 所 自 行 研 究 報 告
中華民國 105 年 12 月
（本報告內容及建議，純屬研究小組意見，不代表本機關意見）
研 究 人 員 ： 李鎮宏 研究員兼主任
研 究 期 程
中華民國 105 年 2 月至 105 年 12 月
Architecture and Building Research Institute,
Ministry of the Interior
Final Report
Wind Load Programming Design and
Application of the Building Wind Tunnel
Test
By
Lee, Zhen-Hung
目 次
表次
………Ⅲ
圖次
………Ⅴ
摘要
………Ⅶ
第一章 緒論
………1
第一節 研究緣起與背景………1
第二節 研究目的與方法………1
第三節 文獻回顧………4
第二章 建築結構風力分析概述
………7
第一節 單自由度線性系統………8
第二節 多自由度線性系統………12
第三節 順風向結構響應………20
第四節 隨機振動………27
第三章 風洞風載重程式設計………33
第一節 頻率域響應分析………34
第二節 模態分析………37
第三節 結構風載重計算步驟………44
第四章風洞試驗與耐風規範之風力分析
………55
第一節 風洞實驗設置………55
第二節 設計風力分析………58
第三節 共振風力與最高樓層振動加速度………77
第四節 建築物耐風設計規範風力檢核………85
第五章 結論與建議
………111
第一節 結論………111
第二節 建議………112
附錄一 期初審查意見答復表
………113
附錄二 期中審查意見答復表
………115
附錄三 期末審查意見答復表
………117
參考書目
………119
表次
表 3-1 結構模態分析資料 45
表 3-2 樓層風力分配與加速度輸出資料格式 47
表 3-3 風力載重組合型式 53
表 4-1 結構系統特性 60
表 4-2 載重組合 X1 61
表 4-3 載重組合 X2 62
表 4-4 載重組合 Y1 63
表 4-5 載重組合 Y2 65
表 4-6 載重組合 R1 66
表 4-7 載重組合 R2 67
表 4-8 載重組合 R3 69
表 4-9 載重組合 R4 70
表 4-10 載重組合 T1X 71
表 4-11 載重組合 T1Y 73
表 4-12 載重組合 T2X 74
表 4-13 載重組合 T2Y 75
表 4-14 風向角 240 度、Fy 共振風力參與比例 79
表 4-15 基底擾動共振風力參與比例 80
表 4-16 建築物頂樓尖峰加速度(建築物耐風設計規範) 82
表 4-17 最高居室樓層加速度 83
表 4-18 建築物資料與工址風環境 85
表 4-19 風吹向 AB 牆面之順風向風力 95
表 4-20 風吹向 AB 牆面之橫風向設計風力 96
表 4-21 風吹向 AB 牆面之扭轉向設計風力 97
表 4-22 風吹向 BC 牆面之順風向風力 106
表 4-23 風吹向 BC 牆面之橫風向設計風力 107
表 4-24 風吹向 BC 牆面之扭轉向設計風力 108
表 4-25 依耐風設計規範計算所得基底設計風力載重組合 109
表 4-26 風洞實驗結果之基底設計風力載重組合 109
圖次
圖 1-1 ABRIWIND1 資料輸入介面 2
圖 1-2 ABRIWIND1 資料輸出介面(風力歷時) 3
圖 1-3 ABRIWIND1 資料輸出介面(無因次風力係數) 3
圖 1-4 門窗風雨試驗之操控界面 6
圖 1-5 帷幕牆風雨試驗之操控界面 6
圖 2-1 單一自由度系統示意圖 8
圖 2-2 衝擊函數圖 10
圖 2-3 任一函數 F(t) 12
圖 2-4 懸臂結構前 4 個基本模態 13
圖 2-5 細長結構示意圖 14
圖 2-6 建物順風向受風示意圖 21
圖 2-7 頻譜密度
S
(
f
)
H
(
f
)
2,
S
(
f
1)
H
(
f
)
2and
S
(
f
)
26
圖 2-8 函數 y(t)定義 31
圖 3-1 線性系統響應示意圖 35
圖 3-2 線性系統結構風荷載下頻率域分析流程示意圖 35
圖 3-3 風力分析 ABRIWIND2 程式輸入頁面 46
圖 3-4 風力分析 ABRIWIND2 程式輸出頁面 47
圖 3-5 風力組合圖形示意圖 52
圖 3-6 八種風力載重示意圖 52
圖 3-7 ABRIWIND2 程式圖控介面 54
圖 4-1 建物模型與周遭地況 56
圖 4-2 風速剖面 57
圖 4-3 紊流強度剖面 57
圖 4-4 模型架設與測試風向比對 59
圖 4-5 樓層設計風力 59
圖 4-6 基底擾動剪力 Fx 中共振項參與比例 81
圖 4-7 基底擾動剪力 Fy 中共振項參與比例 81
圖 4-8 基底擾動扭矩 Tz 中共振項參與比例 82
圖 4-9 樓層側向加速度 83
圖 4-10 樓層層間變位角 84
圖 4-11 建築物的示意圖 86
摘要
關鍵字：模態分析、隨機振動、風載重程式一、研究緣起
建築物高度超過100公尺，或風力總橫力大於地震總橫力時，依
建築物耐風設計規範建議可依風洞試驗結果來進行耐風設計。凡
施行風洞試驗之建築物，其設計風力、設計風壓與舒適性評估得
以風洞試驗結果為準。目前預估大樓受風影響程度的方法，通常
可利用數值計算或風洞物理模擬試驗，一般都市地形、地況過於
複雜以及流況之高度三維性，使得數值模擬在應用上有其極大的
侷限性與困難度。因此，以風洞物理實驗配合實場的氣象資料來
取得風力載重及外牆風壓資料，是目前較為可行且兼具信賴度的
方法。
建築風洞結構風力試驗由兩部分組合而成，其一包含複雜縮尺
寸建築模型之氣動力風洞試驗過程，其二為實場建物風力解析，
該部分需進行模態振型與隨機振動分析。經由104年自辦案研究，
已完成「建築結構風載重試驗」之監測系統與數據分析程式設計
(ABRIWIND1)，該部分已可將建築模型實驗成果立即計算，完成
第一部分之氣動力風洞試驗資料計算。惟建築物實場風力計算(第
二部分)需包含工址設計風速、結構特性(各樓層質量、高度、自然
振動頻率、低階模態振形)等，方可繼續計算實場各樓層設計風力。
該部分實驗室雖已有獨立撰寫的程式可供應用，但為加速分析減
少計算中斷及人員更迭或訓練不足造成操作疏漏。本研究將繼續
以LabVIEW設計實場分析程式，一併納入先前研究所撰寫之監測
系統中，達到實驗完成，整體報告數據計算亦同時完成的目標，
縮短建築風力試驗報告出具時程。
二、研究方法及過程
圖形化輔助介面GUI（Graphical User Interface）在使用上可讓操
作者更加明瞭需輸入分析的參數種類與執行結果，LabVIEW則具
有此一優點，不僅可與量測系統結合進行實驗數據分析，更可結
合其數值分析功能，整合進行建築風洞結構風力混合分析(Hybrid
Simulation)。
建築結構受風反應可視為高斯機率分布，因此可以平均值
M 及
變異數
σ
M組合而成，由於建築物阻尼比低，其結構反應相對屬窄
頻，可將其視為單一頻率
f
0，下伴隨不同振幅與相位之隨機振動。
)
ln(
2
5772
.
0
)
ln(
2
ˆ
0 0T
f
T
f
g
g
M
M
p M p
擾動風力分成二大部分背景值與共振部分，兩者動態影響在建
築物高度上的分布特性不盡相同，
2 2 ,i i i M
B
R
，共振風力引致
基底彎矩，可以功率頻譜密度函數
S
P*(f)來表示，則輸入/輸出間關
係如下式:
S
P*(f)=|H(f)|
2S
P*(f)
經由積分該功率譜密度函數下所圍面積為它的方差，亦即
0 * 2 *S
P(
f
)
df
P =
|
H
(
f
)
|
S
P*(
f
)
df
2在建築結構低阻尼比下，上式可以被簡化成
(
)
4
0 * 0 2 *f
S
pf
P
三、重要發現
本研究已應用 LABView 完成風力計算程式(ABRIWIND2)設計與應
用，將建築模型風洞實驗結果，依據模態分析與隨機振動理論，
分析計算實體建築物所受之風力大小，內容包含:
1.
不同風向角下建築物各樓層設計風力與基底風力計算。
2.
樓層極值設計風力自動研判：
由於風洞實驗過程中來流風向計有 36 組，而每組風向下皆
有 12 項風力載重組合，共計 432 筆資料需加以判斷各載
重組合下之極值設計風力，該部分已一併納入程式加以自
動判讀各載重組合下極值風力對應之來流風向。
3.
擾動背景風力與共振風力比例探討：
本研究以實驗室往年進行過之建築結構風載重 1 案，其工
址位於台南市為分析對象，探究共振風力於高層建築風力
設計中所參與之比例；由於該案之深寬比達(L/B) 2.65，
基底共振項參與比例最大值為 21.44%，發生在建築最大面
寬 Y 向上。
4.
回歸期為 50 年的風力作用下，建築物層間變位角檢核。
5.
回歸期為半年的風力作用下，居住最高樓層側向加速度檢
核。
四、主要建議事項
建議一
應用風力分析程式資料庫建立:立即可行建議
主辦機關：內政部建築研究所
協辦機關： －
以本研究所產出之風力分析程式，進行結構風載重檢測案測
試，並加以比對耐風設計規範中相關設計參數與實測結果之差
異，作為未來研修規範之參考。
建議二
調諧質量阻尼器(TMD)抗風初步設計:中長期建議
主辦機關： 內政部建築研究所
協辦機關： －
降低建築物最高樓層振動加速度的裝置可以採用，惟需證明在
回歸期半年的風力作用下，建築物最高樓層振動尖峰加速度值在
容許值以內，需借由額外阻尼比設計所能提供之應變能來進行分
析。
第一章 緒論
第一節 研究緣起與背景
建築風洞結構風力試驗由兩部分組合而成，其一包含複雜縮尺寸建築
模型之氣動力風洞試驗過程，其二為實場建物風力解析，該部分需進行
模態振型與隨機振動分析。經由去年自辦案研究，已完成「建築結構風
載重試驗」之監測系統與數據分析程式設計，該部分已可將建築模型實
驗成果立即計算，完成第一部分之氣動力風洞試驗資料計算。
惟建築物實場風力計算(第二部分)需包含工址設計風速、結構特性(各
樓層質量、高度、自然振動頻率、低階模態振形)等，方可繼續計算實場
各樓層設計風力。該部分實驗室雖已有獨立撰寫的程式可供應用，但為
加速分析減少計算中斷及人員更迭或訓練不足造成操作疏漏。本研究將
繼續以LabVIEW設計實場分析程式，一併納入先前研究所撰寫之監測系
統中，達到實驗完成，整體報告數據計算亦同時完成的目標，縮短建築
風力試驗報告出具時程。
第二節 研究目的與方法
圖形化輔助介面 GUI（Graphical User Interface）在使用上可讓操作者
更加明瞭需輸入分析的參數種類與執行結果，LabVIEW 則具有此一優
點，不僅可與量測系統結合進行實驗數據分析，更可結合其數值分析功
能，整合進行建築風洞結構風力混合分析(Hybrid Simulation)。
104 年自辦案[6]所研發的程式(ABRIWIND1)的風洞實驗監測分析程
式，已可針對不同地況設定、風速剖面及剛性模型，利用熱線式風速計
與六力平衡儀分別量得模型高度處之風速與基底六力歷時，並計算局部
座標與全域座標之無因次化平均風力係數與擾動風力係數。
於 ABRIWIND1 中需輸入參數包含：
1.六力平衡儀(SFB)之電壓轉換為風力之 6×6 矩陣
2.建物模型寬、高與實場建物之寬、高(m)
3.每筆原始電壓數據總樣本數(一般為 32768 筆=2
15)
4.取樣頻率
5.試驗時風向角
圖 1-1 ABRIWIND1 資料輸入介面
資料來源:本研究輸出部分包含三大部分:
1. 風力歷時:模型基底風力歷時圖形及模型參考風速歷時與平均風速
(圖 1-2)
2. 無因次風力係數:(1)局部座標(結構座標) (2)全域座標(來流座標)下之
無因次平均風力係數與擾動風力係數(圖 1-3)
3. 無因次風力係數與風速歷時數據
圖 1-2 ABRIWIND1 資料輸出介面(風力歷時)
資料來源:本研究
圖 1-3 ABRIWIND1 資料輸出介面(無因次風力係數)
今年研究則接續程式 ABRIWIND1 分析所得之實驗數據，持續應用
LabVIEW 軟體進行實場建築物風力分析程式(ABRIWIND2)的開發，針對下
列各項來加以建立分析:
(1) 各樓層風力分析與載重組合
(2) 回歸期為半年的風力作用下，居住最高樓層加速度檢核
(3) 回歸期為 50 年的風力作用下，建築物層間變位角檢核。
(4) 樓層極值設計風力研判
(5) 調諧質量阻尼器(TMD)初步設計
第三節 文獻回顧
依文獻[1]所述在虛擬儀控軟體的開發上，工業界所用的工具中以
LABview 占 32%、Microsoft Visual Basic(VB)占 13%、Visual C++占 10%、
Matlab 占 4%及 LabWINDOWS/CVI 占 4%。由此可知 LabVIEW 虛擬軟
體在工業用上的市占率頗高；加上現行風雨風洞實驗室之門窗及帷幕牆
風雨試驗所用以操控之介面(圖 1-4 與圖 1-5)係以 LabVIEW 撰寫而成，為
能兼顧後續整體監測系統之相容性，故本案採用 LabVIEW 來撰寫建築風
力測試之監控界面。
虛擬儀控（Virtual Instrumentation）於 1970 年代推出，一直到 1980 年
代早期，主要提供把傳統儀器連接至 PC 的方法，在那段時間裡 PC 也漸
漸開始變得普及。此階段虛擬儀控是指設計者可使用 PC 的軟體和硬體
（通常以介面卡為主），將其儀器連接在一個共用的匯流排上，那時由
IEEE 488 標準所定義的匯流排，現在被稱為 GPIB（General Purpose
Interface Bus）。這個方法為傳統儀器使用者帶來好處，提供了自動化的
資料儲存及分析，因此可消除人為錯誤的變數。它也節省重複測試的時
間，設計者可直接重複執行軟體程式，而不需要每次重複做同樣的手動
步驟。
此外，虛擬儀控軟體也改善使用介面，讓常用的作業變得更加容易，
對新使用者或進階使用者均有所幫助。舉例來說，NI LabVIEW 軟體加入
Express VI，也就是透過交談式視窗設定組態，帶領使用者完成各種作
業，例如進行測量、使用快速傅利葉轉換分析頻率資料、或是產生報表
的函數。NI LabVIEW 也包括新式結構，例如共用變數，建立複雜的分散
式量測及控制系統的設計者都可使用，這也增加了在節點之間分享資料
的方便性。因此，虛擬儀控軟體逐漸地演化成為非程式設計師的生產工
具，資料擷取硬體工具組附有立即可用的資料記錄軟體，因此初學者可
以在不需設計程式的情況下，迅速地進行基本測量。
LabVIEW 圖形介面可結合各種資料擷取器(如 NI.DAQ、IEEE-488 等)
及 PC 本身的資料傳輸介面(如 USB)，對儀器作控制或資料的擷取分析，
其程式之撰寫係以圖形物件(Icon)及連線( Connect Wire)來取代一般程式
文字撰寫方式，藉由物件間的連線操作定義程式之執行邏輯程序及功
能。其中，圖形化程式設計 (graphical system design, GSD) 又稱為「視覺
化程式設計」，現在已成為程式設計的發展趨勢與主流，其特點是讓使
用者利用圖形化元素進行程式設計，有別於以往文字條列式的程式呈現
方式，其利用圖塊、 接線與其他的輔助標誌進行圖形上的排列， 讓整
體圖形的呈現具有邏輯性與功能性，如 Visual Basic、Visual C# 及 Visual
J# 等，相較於傳統文字式程式設計語言，讓設計者更容易瞭解程式所組
成的功能與設計概念。
圖1-4 門窗風雨試驗之操控界面
資料來源:本研究
圖1-5 帷幕牆風雨試驗之操控界面
第二章 建築結構風力分析概述
進行動態分析時，首先得對動態負載的形式有一明確定義，而此動
態負載一般可以時間函數來加以表示，並可藉振幅、頻率及相位等函
數參數來決定。在實際的問題上，如地震時結構振動、飛機飛行時受
大氣振動、船舶或潛艇航行時受洋流的波動…等，其動態負載特性往
往無法預先加以確認，必須以或然率及統計的形式來加以描述，此種
形式的動態負載均屬於隨機振動的範疇。
隨機過程可分為靜定(stationary)及非靜定(non-stationary)兩大類，靜
定過程的統計特性是不隨時間原點選取的不同而有所改變，非靜定過
程則相反。靜定隨機過程的統計特性中有一非常重要的關係就是:相
關係數與功率頻譜密度函數間存在傅立葉轉換對(Fourier Transform
Pair)的關係。然而，常係數線性微分方程系統的隨機分析法中，可依
據先求響應的相關函數，還是先求其功率頻譜密度函數，而區分為時
間域與頻率域兩種方法。由於功率頻譜密度函數據有明確的物理意
義，而且在響應功率譜與激振功率譜之間存在著比較簡單的代數關
係，所以對於靜定隨機過程常藉助於頻率域法先求得功率譜後，在經
積分運算求得系統的均方響應。但對於非靜定隨機過程，功率譜就失
去其意義，此時可採時域法，直接由積分運算求系統的均方響應。章
第一節 單自由度線性系統
結構動力主要是探討承受隨時間變化之外力作用下結構響應，如圖
2-1 所示單一質量系統 m 連結於 B 點，AB 桿假設其質量可忽略。其
質量
m 的位移 x(t)大小主要受(1)AB 桿件回復力與(2)運動系統之阻尼
力所控制。回復力假設是線性且與位移
x(t)成正比，黏滯性阻尼與質
量
m 的速度成正比。因此，一具牛頓第二運動定律，該質點 m 之運
動方程式可以下式來加以描述:
)
(t
F
kx
x
c
x
m
(2.1.1)
其中
F(t)是作用在質點 m 上隨時間改變的負載，k 是桿件 AB 之勁度，
c 是阻尼係數
圖 2-1 單一自由度系統示意圖
資料來源:本研究m
t
F
x
f
x
f
x
2
(
2
a)
(
2
a)
2(
)
/
1
(2.1.2)
其中
m
k
f
a
2
1
(2.1.2)
km
c
2
1
(2.1.3)
其中
f
a為結構自然振動頻率，
ζ
1為阻尼比，
2
k /
m
為臨界阻尼
接下來針對單自由度系統(SDOF)之簡諧運動、衝擊外力與静定隨機
外力之結構響應加以探究。
一、 簡諧運動(Harmonic Load)
當外力為
)
2
cos(
)
(
t
F
0ft
F
(2.1.5)
其公式
2.1.2 穩態解如下
)
2
cos(
)
(
)
(
t
F
0H
f
ft
x
(2.1.6)
2 1 11
2
tan
a af
f
f
f
(2.1.7)
2 / 1 2 2 1 2 2 2 2{[
1
(
)
]
4
(
/
)
}
4
1
)
(
a a am
f
f
f
f
f
f
H
(2.1.8)
H(f):機械阻抗係數(Mechanical Admittance Coefficient)
相似的當外力為
)
2
sin(
)
(
t
F
0ft
F
(2.1.9)
公式
2.1.2 穩態解如下
)
2
sin(
)
(
)
(
t
F
0H
f
ft
x
(2.1.10)
二、 衝擊荷重(Impulse Load)
0 時(圖 2-2)，即
t tt
dt
t
for
t
0(
)
1
lim
0
0
)
(
(2.1.11)
圖 2-2 衝擊函數圖
資料來源:本研究於衝擊函數作用下，系統時間域響應函數為
G(t
)
，任一荷重
F(t)(圖
2-3)可視為單一元素衝擊量
F
(
d
')
'的總和，對於該線性系統於時間
t 之衝擊響應，即為
G
(
t
')
F
(
')
d
'，系統在時間 t 之響應如下
td
F
t
G
t
x
(
)
(
')
(
')
'(2.1.12)
上式積分上下限表示，在時間 t 之前的單一元素衝擊響應皆需考慮進
去，以
t
'來轉換上式上下限
0(
)
(
)
)
(
t
G
F
t
d
x
(2.1.13)
當外力
F(t)=F
0cos(2πft
)
，由公式 2.1.6 與 2.1.13 可求得如下二式
0(
)
cos(
2
)
cos
)
(
f
G
f
d
H
(2.1.14)
0(
)
sin(
2
)
sin
)
(
f
G
f
d
H
(2.1.15)
使用公式
2.1.14
與
2.1.15
取平方
2 0 0 1 1 2 2 1 22
(
)
cos
(
)
cos(
2
)
(
)
cos(
2
)
G
f
G
f
d
f
H
(2.1.16)
2 0 0 1 1 2 2 1 22
(
)
sin
(
)
sin(
2
)
(
)
sin(
2
)
G
f
G
f
d
f
H
(2.1.17)
將上二式相加
2 0 0 1 2 1 2 1 2(
)
(
)
(
)
cos
2
(
)
G
G
f
d
f
H
(2.1.18)
三、 靜定隨機荷重響應
當外力
F(t)
係由靜定隨機訊號其頻譜密度函數為
S
F(f)
所生成，而頻譜
密度之響應函數為
S
x(f)
則可由公式
2.4.2
0，2.4.21 與 2.1.13 推導如
下：
R
f
d
f
S
x(
)
2
x(
)
cos(
2
)
x
t
x
t
dt
f
d
T
T T T(
)
(
)
cos(
2
)
1
lim
2
/2 2 /
2
lim
1
T//22 0(
1)
(
1)
1 T TT
dt
G
F
t
d
G
(
)
F
(
t
)
d
cos(
2
f
)
d
0 2 2 2
0(
1)
0(
2)
(
1 2)
2
G
G
R
F
cos(
2
f
)
d
d
2
d
1
0 0(
1)
(
2)
cos
2
(
1 2)
1 22
G
G
f
d
d
R
F(
1
2)
cos
2
f
(
1
2)
d
(
1
2)
0 0(
1)
(
2)
sin
2
(
1 2)
1 22
G
G
f
d
d
R
F(
1
2)
sin
2
f
(
1
2)
d
(
1
2)
(2.1.19)
最後一個步驟係
1 2 1 2
2
cos
2
cos
f
f
(2.1.20)
由公式
2.4.2
0，2.4.23 及 2.1.18 可得
)
(
)
(
)
(
f
H
2f
S
f
S
x
F(2.1.21)
上式即代表只要知道一外力靜定隨機訊號之譜密度函數，乘以機械阻
抗係數平方，即可得在頻率域之系統響應。
圖 2-3 任一函數 F(t)
資料來源:文獻[2 ]第二節 多自由度線性系統
由實驗結果可知道對於某些連續彈性低阻尼比結構而言，當受到一
正弦函數激勵之下，將在某些特定頻率上產生共振現象。伴隨著這些
共振或自然頻率，同時會有其對應結構特徵、模態與振幅，如圖
2-2
代表一懸臂結構之前
4
個基本模態。這些特徵位移模態與頻率為結構
特性，與外加荷重無關，而是與其勁度、動量等性質相關。
圖 2-4 懸臂結構前 4 個基本模態
資料來源:本研究因此，假如
z
是沿著建築高度方向的移動座標，則側向位移
x
i(z)
可以被寫成下式，其中
ξ
i(t)
為廣義座標，代表每一個模態撓曲量
x
i(z)
的參與程度。模態
x
i(z)
具有一重要特性，其正交性如下
:
3
,
2
,
1
)
(
)
(
)
,
(
z
t
x
z
t
i
x
i i i(2.2.1)
0
)
(
)
(
)
(
x
z
x
jz
m
z
dz
system i(2.2.2)
其中
m(z)
為結構單位長度質量
雖然結構系統為連續分布但卻隨著各自的自然頻率反應，就像單自由
度系統，因此單一質量系統之動能
(KE, Kinetic Energy)=
M
x
22
1
整個結構系統的動能為
x
z
t
dz
z
m
2
1
KE
system 2)
,
(
)
(
(2.2.3)
)
(
)
(
)
,
(
z
t
x
z
t
x
i
i(2.2.4)
2 i iM
2
1
KE
(2.2.5)
其中廣義質量
M
i
system i ix
z
m
z
dz
M
(
)
2(
)
(2.2.6)
在結構系統中可假設其在同一高程
z
上的側向位移
x
都相同
(
如圖
2-3)
，當阻尼比甚小，則廣義座標
ξ
i滿足下式
(
)
2
(
2
)
(
)
(
2
)
2
(
)
(
)
1
,
2
,
3
i
M
t
Q
t
f
t
f
t
i i i i i i i i(2.2.7)
i i if
M
分別是第
i
階模態之阻尼比、自然振動頻率與廣義質
量，而
Q
i(t)
為第
i
階模態之廣義外力，以下式表示
H i it
p
z
t
x
z
dz
Q
0(
,
)
(
)
)
(
(2.2.8)
H
是結構高度，
p(z,t)
是作用在結構上隨時間變化之單位長度外力，以
衝擊函數定義，當集中荷重
F(t)
作用在
z
1高度時，如下式
) ( ) ( ) , (z t F t z z1 p (2.2.9)
則廣義外力可以下式表示之
z z z i z it
p
z
t
x
z
dz
Q
1 1 0(
,
)
(
)
lim
)
(
(2.2.10)
圖 2-5 細長結構示意圖
資料來源:本研究以下就
MDOF
之簡諧運動、單一静定隨機外力、雙静定隨機外力
之結構響、載重互相關性對結構反應的影響及分布靜定隨機外力加以
探究。
一、簡諧運動
假設一集中荷重形式如下，作用在座標
Z1
上
:
ft
F
t
F
(
)
0cos
2
(2.2.11)
依照公式
2.2.1
0，第 i 階模態之廣義外力為
ft
z
x
F
t
Q
i(
)
0 i(
1)
cos
2
(2.2.12)
而公式
2.2.7
的穩態解則相似於式
2.1.6
的結果，其外力形式如式
2.1.5
)
2
cos(
)
(
)
(
)
(
0 i 1 i i it
F
x
z
H
f
ft
(2.2.13)
其中
2 2 2 2
1/2 2 21
(
/
)
4
(
/
)
4
1
)
(
i i i i i if
f
f
f
M
f
f
H
(2.2.14)
2 1)
/
(
1
)
/
(
2
tan
i i i if
f
f
f
(2.2.15)
由公式
2.2.1
可知，在結構
z
座標上反應如下
i i i i ift
f
H
z
x
z
x
F
t
z
x
(
,
)
0(
)
(
1)
(
)
cos(
2
)
(2.2.16)
更可以將上式簡易寫成
2
(
,
,
)
cos
)
,
,
(
)
,
(
z
t
F
0H
z
z
1f
ft
z
z
1f
x
(2.2.17)
依照公示
2.4.4a
與
2.4.4b
2 / 1 2 1 2 1 1
