學生的數學素養由教師陶冶-教師的素養誰關照/ 54

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學生的數學素養由教師陶冶－教師的素養誰關照

劉玉玲銘傳大學師資培育中心副教授

一、前言

20 世紀末，隨著社會經濟的發展，各國人才需求的類型產生了變化。數學作為一門基礎學科，在教育中佔有非常重要的地位。資訊化社會中，數學對人的影響是全方位的，絕大多數的國家都已將數學素養作為國民綜合素養的一個重要指標，發展學生的數學素養也成了數學教育的主要目的。國際經濟合作暨發展組織（OECD）在 2000 年成人素養報告中，清楚指出國民素養與個人受雇狀況、薪資、健康以及繼續進修都有相關，核心素養已是當下各國教育界關注的焦點。歐美對數學素養課程實踐方面，已有學校課程、教科書的開發、教師培訓、教學方式以及學生學業評量，以及有國際性和國內本土的數學素養測量。早期數學教育是一種英才教育的模式，隨著資訊化社會與經濟的發展，為考試而學習的現象逐漸改變。數學教育不僅是一種全民義務教育，也是一種人格教育。歐美先進國家吸引學生學習數學的動機是數學的社會價值和數學本身的魅力，而這些都屬於素養的範疇（黃友初，2013）。發展學生的數學素養為數學教育的唯一目的，而如何在具體的教育實踐中培養學生的數學素養，成為今後各國數學教育的主要任務。許多國家為了大力提倡培養學生的數學素養，開始從事數學課程改革。不僅在課程標準中對數學教學內容做了較大的調整，刪除難、繁的教學知識，增加了新科技、數學的應用等內容，重視非形式化的數學。此外，將數學文化融入數學教學中、數學教師在理念上認同數學素養的重要性，提升學生在數學學習中的主體性地位等課程與教學改革策略。以新加坡為例(徐偉民、柯富渝， 2014)，學生數學考試的題型已有變化，例如增加了實際應用題和體現現代計算工具的題目，適當減少了計算量很大的題目。在這種情況下，數學教育出現了很大的改觀，例如學生的課堂參與度增加，教學中增加了情境性的建立和數學文化的融入。國內教育部自民國 101 年至 106 年配合十二年國民基本教育的實施，研擬了 6 年期程的「提升國民素養實施方案」，希望藉由對國民素養概念的宣導、培育、及評鑑追蹤等方式，陶育全民的基本素養，檢視課程、教師及學校扮演的角色，以因應全球化、科技日新月異以及知識快速變化的挑戰。《十二年國民基本教育課程發展指引》（以下簡稱《指引》）（國家教育研究院，2014）定義「核心素養」為一個人為適應現在生活及未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度；核心素養強調學習者在生活中能夠實踐力行的特質，而其內涵則建基於以人為本

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之終身學習者的培養。前述《指引》提供一個清晰的圖像，陳述國中生經歷核心素養為導向的教學之後所應達成的理想狀態，而成就這份願景的具體路徑，則須經由數學教師之課程的學習內容、教學方法及學習評量地支持與實踐。然而，國內的教師尚在瞭解核心素養，教師的數學素養又在推廣中，如何加強教師的數學素養與評量是值得關切的議題。

二、數學素養的意涵與數學教學

(一) 數學素養的意涵陸昱任和譚克平（2006）在檢視數學素養文獻時可發現，英國多用 Numeracy 及 Mathematical Literacy 表示數學素養的意涵。Numeracy 最早源起於 1959 年英國的 Crowther Report（Black, S., & Yasukawa, 2014）意指認識數字並具備關於數字的讀寫能力。英國和鄰近的蘇格蘭和愛爾蘭，常以 Literacy and Numeracy 當作其小學基礎教育的主題（例如 Department for Education, 2003）。「國際學生能力評量計畫」（PISA）施測對象是即將完成國民共同教育階段的 15 歲少年，而不是兒童，選用了 Mathematical Literacy 這個詞（單維彰， 2016）。有關臺灣核心素養的建構歷程在李國偉、黃文璋、楊德清、劉柏宏 (2013) 數學白皮書有詳實的介紹。洪裕宏等人於2006～2008 執行國科會計畫《界定與選擇我國國民核心素養之概念參考架構與理論基礎研究》（簡稱台灣DeSeCo），指出「國民核心素養的目在界定與選擇一組核心素養，以期讓具備這些素養的個人可以實現成功人生，使社會整體能運作良好。」該研究對應於OECD 所界定出的三項核心素養層面，提出20 項台灣的基本素養。蔡清田、陳延興(2013) 主持的國家教育研究院委託計畫《K-12 一貫課程綱要各教育階段核心素養與各領域課程統整研究》（簡稱K-12 一貫課程研究），該計畫訂定三範疇九面向國民核心素養內涵，對於數學素養的具體內容，並沒有深入的探討與申論。李國偉、黃文璋、楊德清、劉柏宏 (2013)為因應「12 年國民教育」之三範疇九面向國民核心素養內涵，此計畫對於數學素養建議文的內容，不僅尋求高中、職教師的意見回饋，也同時嘗試了解國中、小教師的看法。在提升數學素養的四大目標上，涉及數學思維、學習態度、利用工具的三項目標，都可以貫穿到國中、小的數學教育，因此國中、小數學教師會關注提升數學素養的議題。「台灣 DeSeCo 」將 OECD 的「DeSeCo」關鍵概念「competence」譯為「素養」，「literacy」譯為「能力」。李國偉等人的研究發現OECD 的 DeSeCo 計畫，「competence」所指的是一個人在特定的情境中，能成功地滿足情境中的複雜要求與挑戰，順利執行生活任務，強調個體在複雜的環境中，如何藉由自我的特質、思考、選擇，及行動，來獲致成功的生活或美好的生活的理想結果。李國偉等人指出 PISA 的測驗在評量擁有「competence」時的「literacy」程度。因此針對國中數學領域來講的「素養」，應該放置在PISA 的「literacy」脈絡來理解；高中職則放在「competence」的脈絡來理解。

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(二) 數學素養與數學教學國內目前傳統的應試教育模式依然在目前的數學教育中存在，培養數學素養並不是否定傳統的數學教育模式，傳統教育中也有很多優勢值得肯定，需要加以吸收（劉柏宏，2016）。 PISA 的主席德蘭格（De Lange，2003）認為數學是數學素養的基礎，但是數學並不等於數學素養。De Lange 指出 PISA 的數學素養理論體系中也包含了如何在學校數學教育中培養學生的數學素養。由於在資訊時代，個體的發展離不開數學素養，用培養數學家的方式對學生進行數學教學也是不恰當的，因此，目前世界各國的數學課程都朝著培養學生的數學素養方向進行改革，包括內容情境化，學生的主體化，教學形式的多樣化，學業的多元評量等。

三、國中教師的數學素養與數學

教學

(一) 國中學生的數學素養與評量十二年國教課程前導學校雖已在運作，目前大多數的學校數學教育並沒有為培養學生的數學素養做好準備。傳統的數學教學過於強調計算和公式，很難讓學生看到數學的實際價值，學生也很難將學校數學和現實世界進行聯繫。為此，學校的數學課程和教師的教學必須在知識和現實問題之間建立聯繫，讓學生能在生活中與社會文化的情境脈絡下，獲取有價值的資訊，建立模型，解決問題，並能正確講述或者描寫，讓周圍人瞭解其工作（李國偉、黃文璋、楊德清、劉柏宏，2013）。事實上，歐美在培養學生的數學素養時經歷階段性的挑戰，美國國家研究委員會（NRC）的《加入進來：幫助兒童學習數學》（Adding it up：helping children learn mathematics）報告指出美國數學教育只有在過程的流暢性這個能力做的比較好，而在其他的概念性的理解、策略性的能力、合適的推理以及積極的傾向這四個方面都還比較缺乏（Kaye Stacey，2002）。數學素養的發展不是單一的線性關係，而是一種不同層次間可以同時發展、彼此相關，但發展速度可能不一致的複雜模型（單維彰，2016）。勒吉尼克和達馬斯塔特（Lengnik, 2005）從教育的視角分析，數學素養的核心並不是僵化，而是要隨時代與文化的需求而與時俱進。這可從 PISA 數學素養的定義修訂過程可見端倪，從PISA 2003 到 PISA 2009，對數學素養的定義都是一樣的：「個體認識並理解數學在社會所起的作用，面對問題能作出有根據的數學判斷，能夠有效地運用數學，以及作為一個有創新精神、關心他人和有思維能力的公民，能應用數學來滿足當前及未來生活中的能力。」 PISA 2012對數學素養的定義變成：「個體能在各種情況下形成、使用和解釋數學的能力，包括數學推理、使用數學的概念、過程、事實和工具，來描述、解釋以及預測現象；它能幫助作為一個創新、積極和善於反思的公民認識數學在世界中所扮演的角色，並能做出良好的判斷和決定。」

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比較上述兩個定義，可發現 identify and understand 變成了 recognize，認識和理解數學的角色變成了認可數學的角色； concerned 變成了 engaged，關心他人變成了積極的人；並將能力（capacity）的內容具體化，包括了數學推理、使用數學的概念、過程、事實和工具，來描述、解釋以及預測現象。這說明了PISA 的數學素養定義變的更加具體，描述更為合理。 (二) 國中教師應具有的數學素養 PISA 數學素養的發展已有相當長的時間與成熟度，PISA 對於「數學素養」的定義得到國際上廣泛的採納。由於東西方文化背景存在較大的差異，西方的數學素養評量、課程與教學改革不一定適合東方的數學教育，不宜照搬，但可以借鑒，特別是他們的研究方法普遍比較科學。李國偉等研究者(2013)以其為基礎並參照國情，將數學素養內涵更加明確闡述如下：數學素養的核心內涵應指「個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、社會、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷，並在解決問題的歷程中，能有效地與他人溝通觀點。」因此提升數學素養的願景是：「有效學習數學的思維方式，以便靈活運用數學知識、技能與工具，解決生活中的問題，並成為具備理性反思能力的國民。」據此願景，訂定提升數學素養的四大目標，分別是1、學習並發揮數學思維的特長。2、充實並活用基本的數學知識。3、建立健康的對待數學的態度。4、善於利用計算器與數位工具。歐美對數學素養的研究已有相當長的時間，包括數學素養的內涵、測量、教師培訓、學校課程、課堂教學等等都有了較為深入的理論探索和實踐操作。特別是在實踐方面，不但有國際性和國內本土的數學素養測量，更是在學校課程、教科書的開發、教師培訓、教學方式以及學生學業評量方面都有了具體的實施。相關實證研究顯示提高學生數學素養的關鍵舵手是班級內的數學教師，數學活動經驗的累積是提高學生數學素養的重要指標（Shanahan & Shanahan, 2008），不斷提高自身的數學素養，善於挖掘教學內容的教育價值，發展結合生活經驗與社會文化脈絡的教材與案例，提供多元學習機會、豐富學生的數學視野，以提高學生的數學素養。以目標1 而言，「學習並發揮數學思維的特長」部分；教師應具有的數學思維的素養。個體在社會生活中都需要認識事物，分析事物，並作出合理判斷，這些都離不開數學思維的運用。教師需瞭解數學思維的三種特色（1）由繁化簡、以簡馭繁（抽象性）、（2）有條有理的分析與推論（邏輯性）（3）永續而深刻的創新力，方能協助學生學習並發揮數學思維的特長。以目標2 而言，「充實並活用基本的數學知識」的數學素養。李國偉等人(2013)指出 PISA 數學素養已發展成熟，國中數學教育是沿用 PISA 數學素

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養。教師應具有PISA 所梳理出的四大領域數學素養知識，分別是（1）變化與關係、（2）空間與形狀、（3）數量、（4）不確定性與數據。生活及科學裡充斥著各式各樣為人所在意的變化與關係。在處理事物時，想要達成有效的成果，常需掌握其間的各種變化與關係。數學裡由於經常在檢驗邏輯因果關係是否成立，因此使人熟練數學思維方法，也有助於了解生活及科學裡的種種變化與關係。生活中充滿著隨機性，使得人們對很多事物常感不確定，因此需做各種預測。有些預測方式缺乏科學依據，但是即使胡亂猜測，獲得正確答案的機率仍有可能不為零，致使人們難以放棄擲爻算命、求神拜佛等手段。為了做有科學根據的預測，也就是所謂讓數據說話，可利用統計方法，先收集資料，加以整理及分析，然後給出推論。就目標3 而言，「建立健康的對待數學的態度」，教師應視數學為「人格發展的基礎」之一環，協助學生建立健康的對待數學的態度，如喜好數學程度、對數學的信心、以及數學的運用。教師需不再追求測驗分數的優異，避免打擊學生的學習信心，減少內心與精神上的挫折。教師協助學生體驗數學的美感，獲得精神美感的提升。就目標4 而言，「善於利用計算器與數位工具」，教師應具有數位工具的硬體使用能力，更應注意數位素養提出的「計算思維」，並能呼應數學思維。目前歐美國家，甚至許多亞洲國家，已將數位工具視為數學教學必備的工具之一，也允許在測驗時使用手持計算器；運用數位科技能力是中小學生共通的數學能力。華人社會傳統上比較強調計算能力，對於引入數位科技於數學活動始終比較被動和消極。觀看我們的鄰居香港、新加坡早已開始數學課程與教學的改革。我們的教師對於數學素養的認同是應該關切的，雖然國內資訊融入教學已多時，但九年一貫並未強調「跨領域」數位工具融入數學教學。12 年國教的脈絡下，數位工具與數學教學的結合勢在必行。國內已有零散的相關研究散落在資訊與資工相關領域，可鼓勵數學教師從事數位工具融入數學教學的行動研究，以及教師的資訊科技訓練，奠定將資訊科技融入數學教學的理論和實務基礎，以便能有效使用數位工具輔助教學與評量。如表 1 所示，數學素養目標與評量。表 1 學生的數學素養與數學素養評量內容

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四、結語

學生的數學素養由教師陶冶，教師的素養誰關照？提升數學素養的理念，必須通過教師現場教學的落實，才能體現到學生身上。師資培育的配套措施，首先是提升教師本身的數學素養程度。在教師的養成過程中，應注意其開放性的態度，主動尋求認識社會上各行各業或其他學科所需用的數學，以便將來提供學生做參考。此外，要徹底的推行以培養數學素養為目的的教學模式，需要在學生的考試模式、教師的評鑑體制上做根本的變革，才能為其創造良好的外部條件。 參考文獻  田光復（2004）。學習領域的分割、構成、統整與教育文化現狀。 http://www.trd.org.tw/Dresource/nine/3_ 3.htm  李國偉、黃文璋、楊德清、劉柏宏（2013）。教育部提升國民素養實施方案—數學素養研究計劃結案報告。 教育部提升國民素養專案辦公室研究計劃成果報告。  徐偉民、柯富渝（2014）。臺灣、芬蘭、新加坡國小數學教科書幾何教材之比較。教科書研究，7（3），101-141。  陸昱任、譚克平（2006）。論數學素養之意涵。中華民國第22屆科學教育學術研討會論文。台北：國立臺灣師範大學。  國家教育研究院（2014）。十二年國民基本教育課程發展指引。 http://www.naer.edu.tw/ezfiles/0/1000/at tach/15/pta_2279_8619537_09968.  單維彰（2016）。數學教材為支持素養學習所需的解構與重構。 http://shann.idv.tw/article/paper2016a.pdf  單維彰（2015）。高中數學的分流設計與變革。科學月刊，9，549。 http://scimonth.blogspot.tw/2015/09/blo g-post_69.html  黃友初（2013）。歐美數學素養發展狀況簡述。收錄於李國偉、黃文璋、楊德清、劉柏宏（編著），教育部提升國民素養實施方案—數學素養研究計 劃結案報告（頁195-234）。  劉柏宏（2016）。從數學與文化的關係探討數學文化素養之內涵─理論與案例分析。臺灣數學教育期刊，3 （1），55-83。  蔡清田、陳延興(2013)。國民核心素養之課程轉化。課程與教學，16(3)， 59-78。

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