0914 三角函數的應用解答

三角函數的應用 0914 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.三角形的三邊長比為 3:5:7，則其最大內角為 (A)60 (B)90 (C)120 (D)135 (E)150 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 利用餘弦定理 2 2 2 3 5 7 15 1 cos 2 3 5 2 3 5 2            故最大角為 120 （ ）2.設 為實數，若sin 2 1 3

  ，則(sin  cos )2  (A)2

3 (B)1 (C) 4 3 (D) 5 3 【094 年歷屆試題.】 解答 A

解析 (sin cos )2 sin2 2sin cos cos2 1 sin 2 1 1 2 3 3            

（ ）3.已知四邊形 ABCD（按順序）中，AB8，BC5，AD3，且ABC  ADC  60，則 CD 之長為多少？ (A)5 (B)6 (C)7

(D)8 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設CDx 在△ABC 中， 2 2 2 8 5 2 8 5 cos 60 49         AC 在△ADC 中，_AC2₃2_x2   _{2 3 x cos 60} _x2_3x₉ 由 和 知 x2 3x  9  49  x2 3x  40  0  (x  8)(x  5)  0  x  8 或  5（不合） 故CD8 （ ）4.有一隻螞蟻在平行四邊形 ABCD 的平面上從 A 點出發，行走至 C 點覓食，若ABC  150，AB16，BC15 8 3 ，則螞蟻由 A 點行走至 C 點之最短距離為何？ (A)16 (B)17 (C)18 (D)19 【097 年歷屆試題.】 解答 B 解析 在△ABC 中，由餘弦定理知： 2 2 2 2 cos AC AB BC  AB BC  B 2 2 3 16 (15 8 3) 2 16 (15 8 3) ( ) 2          2 2 16 (15 8 3) 16 3(15 8 3)      2 16 (15 8 3)[(15 8 3) 16 3]      2 16 (15 8 3)(15 8 3)     2 2 2 16 [15 (8 3) ]     256  225  192  289 ∴ AC 28917

（ ）5.四邊形 ABCD 中，若AB4，BC6，CD6， B 120，  D 60 ，則AD (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)10 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 △ABC中 2 _{2 2} 4 6 2 4 6 cos120 76         AC △ACD中 2 _{2 2} 6 2 6 cos 60        AC x x 2 76 36 6  x   x 2 6 40 0  x  x   x10或4（不合） ∴ AD10

（ ）6.在△ABC 中，設A、B﹑C 之對應邊長分別為 a、b、c，若B  120，a  5，c  3，則△ABC 的外接圓面積為何？ (A) 7

3 (B)49 3 (C) 7 3 (D) 49 3  【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 b2 _c2 _a2 _2cacosB  ₃2 ₅2 ₂  ₃  ₅  _cos120 ₉  ₂₅  ₍  ₁₅₎  ₄₉ 49 7 b    又 2 sin b R B  7 2 sin120 R    7 2 3 2 R   7 3 R   ∴ △ABC 的外接圓面積為 2 7 2 49 ( ) 3 3 R      （ ）7.設sin 3 5    ，tan 1 3   ，且 270    360，180    270，則 sin(   )的值為 (A)2 10 10 (B) 3 10 10  (C) 10 10  (D) 10 10 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 270 360，180 270 3 sin 5    ，tan 1 3   ∴ cos 4 5   ，sin 1 10    ，cos 3 10   

故sin( ) sin cos cos sin ( 3)( 3 ) 4( 1 ) 10

5 10 5 10 10              （ ）8.△ABC 中，sin 5 13 A ，cos 4 5 B  ，則 a:b:c  (A)25:32:15 (B)16:32:25 (C)25:16:39 (D)25:39:16 【龍騰自命題.】 解答 D

解答 A 解析 令ADt、DC2t，其中 t  0 ∵ ∠BDC  60  ∠BDA  120  ∠ABD  30 ∴ △DAB 為等腰三角形  DBt 由餘弦定理知，在△BCD 中， 2 2 2 2 cos ( ) BC DB DC  DB DC  BDC  t2 _(2t)2 ₂  _t  _2t  _cos60 _3t2  _BC _3t 由正弦定理，在△BCD 中 3 sin 60 sin t t C    1 sin 2 C  ∠C  30或 150（不合） 故∠DCB  30 故選(A) （ ）10.山上有一塔，塔高為 20 公尺，某人在地面上一點，分別測得山頂、塔頂的仰角為 45、 60，求山高為幾公尺？ (A)20



3 1



(B)20



3 1



(C)10



3 1



(D)10



3 1



【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 △ACD中   AD CD h △ABD中 :  3 :1 BD AD



20



: 3 :1  h h 3 20  h h





20 10 3 1 3 1      h （公尺） （ ）11.從高 200 公尺的建築物 A 的屋頂測量另一建築物 B 之地基的俯角是 30，而其屋頂的仰角是 45，請問建築物 B 的高度為幾公尺？ (A)200



3 1



(B)200



3 1



(C)100



3 1



(D)100



3 1



【隨堂講義補充題.】（ ）12. cos( ) cos( ) sin( )sin( )

3 6 3 6  _  _{ }  _  _{ } (A)1 (B)0 (C)1 2 (D) 3 2  【龍騰自命題.】 解答 B 解答 A 解析

如圖，FGCD200

△CFG中，CF 3 FG200 3 △CEF中，EFCF 200 3

所求FGEF200200 3 200



3 1



（公尺） 解析 cos( ) cos( ) sin( )sin( )

3 6 3 6  _  _  _  _      cos[( ) ( )] cos 0 3 6 2  _  _        （ ）13.地面上有二點 B、C 被一水池隔開，小聖在地面上找一點 A，量得AB80公尺，AC50公尺，並測得CAB  60，求 BC 長為 (A)50 公尺 (B)60 公尺 (C)70 公尺 (D)80 公尺 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 由餘弦定理： 2 _{2 2} 80 50 2 80 50 cos 60 6400 2500 4000 4900 BC            ∴ BC 490070（公尺）

（ ）14.f(x)  2sinx  3cosx  4 的最大值等於 (A) 4 5 (B)7 (C) 4 13 (D)9

【龍騰自命題.】 解答 C

解析 ( ) 2sin 3cos 4 13( 2 sin 3 cos ) 4 13 sin( ) 4

13 13 f x  x x  x x   x  ∵  1  sin(x )  1 ∴ 4 13 13 sin(x)  4 4 13 （ ）15.求 f(x)  cos2_{2x  2sin}2 x 之極小值為 (A)1 4 (B) 1 2 (C) 3 4 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 C

解析 ( ) cos 22 2sin2 cos 22 2 1 cos 2 2

x

f x  x x x  

_{cos 2}2 _{cos 2 1 (cos 2} 1₎2 3

2 4 x x x       ∴ cos 2 1 2 x 時， ( ) 3 4 f x  為極小值

（ ）16.△ABC 中，若BC 13，AC3，∠A  60°，則 cosC 之值為何？ (A) 2 3 13  (B) 1 13  (C) 1 13 (D) 2 3 13 【101 年歷屆試題.】 解答 C

由餘弦定理知： 2 2 2 ( 13) 3 x    2 3 x cos 60  13  9  x2 3x  x2 3x  4  0  (x  4)(x  1)  0  x  4 或  1（不合） 2 2 2 ( 13) 3 4 1 cos 2 13 3 13 C      另解： ∵ BCAC ∴ ∠A ∠B（大邊對大角）  0° ∠B 60°  ∠B 為銳角 由正弦定理知 sin sin BC AC A B  13 3 sin 60sin B  3 3 sin 2 13 B 則 2 cosB 1 sin B 1 ( 3 3 )2 5 2 13 2 13   

cosC  cos[180°  (A  B)]  cos(A  B)  (cosAcosB  sinAsinB)  (cos60°cosB  sin60°sinB)  (1 5 3 3 3 22 13 2 2 13 )  1 13 （ ）17.若 為第二象限角且sin 4 5   ，則 sin2 的值為 (A)24 25 (B) 24 25  (C) 4 5  (D)8 5 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 sin 4 cos 1 ( )4 2 3 5 5 5         （∵  為第二象限角） 4 3 24

sin 2 2sin cos 2 ( )

5 5 25          （ ）18.在△ABC 中，BC1，CA2，AB 3，則A  (A)15 (B)30 (C)45 (D)60 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2 2 2 2 ( 3) 1 3 cos 2 2 2 3 A      ∴ A  30 （ ）19.求 cos15  (A) 6 2 4  (B) 6 2 4  (C) 3 4 (D) 1 4 【隨堂測驗.】 解答 A

解析 cos15 cos(60 45 )

cos 60 cos 45 sin 60 sin 45

1 2 3 2 6 2 2 2 2 2 4                  （ ）20.△ ABC 中， A 120，AB3，AC5，求 BC (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 2 2 2 2 2 2 cos 5 3 2 5 3 cos120 25 9 15 49 a b c  bc A            ∴ BC a 7 （ ）21.三角形邊長為 13、14、15，此三角形的外接圓半徑為 (A)65 4 (B) 65 6 (C) 65 8 (D) 13 5 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 13 14 15 65 4 4 4 84 8 abc abc R R         △ △ （ ）22.△ABC 中，若 b2 _{ (c  a)}2 _{ 3ca，則} B  (A)30 (B)60 (C)120 (D)150 【龍騰自命題.】 解答 C

解析 b2 _(c  _a)2 _3ca  _b2 _c2 _2ca  _a2 _3ca   _ca  _c2 _a2 _b2

2 2 2 ₁ cos 120 2 2 2 c a b ca B B ca ca            （ ）23.如下圖，設直線 L1、L2、L3、L4的斜角分別為1、2、3、4，則它們的大小順序為 (A)1  2  3  4 (B)4  3  2  1 (C)2  1  4  3 (D)3  4  1  2 【龍騰自命題.】 解答 A （ ）24.下列哪一組數據可為鈍角三角形的三邊長？ (A)1、2、3 (B)2、3、4 (C)3、4、5 (D)4、5、6 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 (A)不能構成三角形之三邊 (B)22 ₃2 ₄2 _{∴ 為鈍角△} (C)3、4、5 為直角△之三邊 (D)42 ₅2 ₆2 _{∴ 為銳角△} （ ）25.直線 : 3L x 3y 1 0與 x 軸的交角為 (A)30、150 (B)60、120 (C)45、135 (D)90 (E)0 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 直線 L 與 x 軸的一個交角即為 L 的斜角  直線的斜率m  3  3tan