國中數學5 1 1比例線段

1−1 比例線段

◎平行線截比例線段性質： 如右圖，若△ABC 中，D、E 分別為 AB 、 AC 上一點，且 DE // BC ，則 (1) AD ： DB ＝ AE ： EC 。 (2) AD ： AB ＝ AE ： AC 。 (3) DB ： AB ＝ EC ： AC 。 (4) DE ： BC ＝ AD ： AB ＝ AE ： AC 。 【說明】(1)連接 BE 和 CD ， 則 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ △ADE 面積：△BDE 面積＝ AD ： DB △ADE 面積：△CDE 面積＝ AE ： EC …

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∵△ABE 面積＝△ADE 面積＋△BDE 面積＝△ADE 面積＋△CDE 面積＝△ACD 面積， 又 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ △ADE 面積：△ABE 面積＝ AD ： AB △ADE 面積：△ACD 面積＝ AE ： AC ∴ AD ： AB ＝ AE ： AC 。

(3)由(1)、(2)知，△BDE 面積＝△CDE 面積，且△ABE 面積＝△ACD 面積， 又 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ △BDE 面積：△ABE 面積＝ DB ： AB △CDE 面積：△ACD 面積＝ EC ： AC ∴ DB ： AB ＝ EC ： AC 。 (4)過 D 作 DF // AC ，且與 BC 相交於 F 點， 則四邊形 DFCE 為平行四邊形， 得 DE ＝ FC (平行四邊形對邊相等)， 又 DF // AC ，∴ FC ： BC ＝ AD ： AB ， 因此 DE ： BC ＝ FC ： BC ＝ AD ： AB ， 所以 DE ： BC ＝ AD ： AB ＝ AE ： AC 。 【觀念釐清】(1)像 AD ： DB ＝ AE ： EC 這樣，它們之間是成比例的，就稱這四條線段為比例線段。 (2)若一條直線平行於三角形的一邊，且與另外兩邊相交，則此直線會把這兩邊截成比例 線段，且稱這個性質為平行線截比例線段性質。 練習3 ：如右圖，△ABC中，D、E分別為 AB 、 AC 上一點，且 DE // BC ， 若 AD ＝6、 DB ＝9、 AE ＝4，則 EC 的長度為何？ A B _C D _E A B _C F D E A C D E B A B _C D _E

練習4：如右圖，△ABC 中，D 點在 AB 上，過 D 作平行 BC 的直線， 交 AC 於E點，若 AB ＝12、 AC ＝18、 AD ＝6，則 AE 、 EC 分別為多少公分？ 練習5：如右圖，△ABC 中，D、E 分別為 AB 、 AC 上一點， 且 DE // BC ， DB ＝ DE ，若 AD ＝9， BC ＝10， 則 DE 長度為何？ 練習6：如右圖，D、E 兩點把 AB 分成三等分，分別通過 D、E，作 BC 的平行線， 並與 AC 交於F、G兩點。若 BC ＝12，則 DF ＋ EG 的值為何？ ◎平行線截比例線段性質逆敘述： 如果一條直線將三角形的兩邊截成比例線段，則此直線與三角形的第三邊平行。 如右圖，若△ABC 中，D、E 分別為 AB 、 AC 上一點， 且 AD ： DB ＝ AE ： EC ，則 DE // BC 。 【說明】在 → AB 上找一點 F，使得 FC // DE ， ∵ FC // DE ，可知 AD ： DF ＝ AE ： EC ， 又已知 AD ： DB ＝ AE ： EC ， ∴ DF ＝ DB ，因此 F 點與 B 點是重合的， 也就是說 FC 與 BC 是同一條線段，故 DE // BC 。 【觀念釐清】同理，若 AD ： AB ＝ AE ： AC 或 DB ： AB ＝ EC ： AC ，也可得證 DE // BC 。 練習7：如右圖，若 AE ＝2、 AD ＝ EC ＝4、 DB ＝8，且∠B＝30°， 則∠ADE的度數為何？ A B C D E A B _C D E A B _C D E F A _D B E C A B D C E A B C F _G D E

◎三角形兩邊中點連線性質： (1)三角形兩邊中點的連線段會平行第三邊，且長度為第三邊長度的一半。 (2)過三角形一邊中點且平行另一邊的直線，會通過第三邊的中點。 【說明】(1)如右圖，△ABC 中，若 D、E 分別為 AB 、 AC 中點， 則 DE // BC 且 DE ＝1_{2 BC 。} ∵D、E 分別為 AB 、 AC 中點，∴ AD ： AB ＝ AE ： AC ＝1：2，得 DE // BC 。 ∵ DE // BC ，∴ DE ： BC ＝ AD ： AB ＝1：2，得 DE ＝1_{2 BC 。} (2)如右圖，△ABC中，D為 AB 中點，作 DE // BC ，與 AC 相交於E，則E是 AC 中點。 ∵ DE // BC ，∴ AE ： EC ＝ AD ： DB ＝1：1，即 AE ＝ EC ，得E為 AC 中點。 練習8 ：如右圖，△ABC中，若¯ AB ＝¯ AC ＝8、¯ BC ＝4，D、E分別為 ¯ AB 、¯ AC 中點，則 ¯ DE 的長度為何？ 練習9：如右圖，△ABC 中，D、E 分別為 AB 、 AC 上一點， 且∠ADE＝∠ABC＝90°、 BC ＝15、 AD ＝ DB ＝4， 則 AE 與 DE 的長度為何？ 二、平行線截比例線段性質的應用： 如右圖，L1//L2//L3，而且分別與 M1相交於 A、B、C 三點， 與 M2相交於 D、E、F 三點，則 AB ： BC ＝ DE ： EF 。 【說明】如右圖，過 A 作 M2的平行線 M3， 並分別與 L2、L3相交於 G、H 兩點， ∵L1//L2//L3，M3//M2， ∴四邊形 AGED 與四邊形 GHFE 都是平行四邊形， 因此 AG ＝ DE ， GH ＝ EF …

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練習10 ：如右圖， AD // BE // CF 。若 AB ＝x＋1、 BC ＝3x－1、 DE ＝5、 EF ＝10，則x的值為多少？ 【觀念釐清】可以應用平行線截比例線段性質，利用尺規作圖將一條線段按比例來分割。 練習11 ：已知 AB ，利用尺規作圖在 AB 上找到一點C， 使得 AC ： CB ＝1：2。 練習12 ：已知 AB ，利用尺規作圖在 AB 上找到一點D， 使得 AD ： DB ＝2：3。 三、中點坐標： ◎數線上線段的中點坐標：已知 A(a)、B(b)，a＜b，則 AB 的中點 M 的坐標為a＋b_{2 。} 【說明】設 M 點的坐標為 x，∵M 為 AB 的中點，∴ AM ＝ MB ，

即 x－a＝b－x，2x＝a＋b，x＝a＋b_{2 ，得 M 點坐標為}a＋b_{2 。}

◎坐標平面上線段的中點坐標：已知 A(a1 , b1)、B(a2 , b2)，則 AB 的中點坐標為( a1＋a2 2 , b1＋b2 2 )。 例如：已知 A(2 , －3)、B(－8 , 5)，則 AB 的中點坐標為(2＋(－8)₂ , (－3)＋5₂ )＝(－3 , 1)。 【說明】已知坐標平面上兩點 A(a1 , b1)、B(a2 , b2)，且 M 是 AB 的中點，如下圖。 x y O M B(a2 , b2) A(a1 , b1) _x y O C E D M B(a2 , b2) A(a1 , b1)

(1)若從 A、B、M 作 x 軸的垂線，分別與 x 軸交於 C、D、E 三點，可知 C(a1 , 0)、D(a2 , 0)。 (2)已知 AC // ME // BD ，且 M 為 AB 的中點，得 DE ： EC ＝ BM ： MA ＝1：1， 所以 E 為 CD 的中點，可知 E(a1＋a_{2 , 0)。} 2 (3)若從 A、B、M 作 y 軸的垂線，分別與 y 軸交於 F、G、H 三點，可知 F(0 , b1)、G(0 , b2)。 (4)已知 GB // HM // FA ，且 M 為 AB 的中點，得 GH ： HF ＝ BM ： MA ＝1：1， 所以 H 為 GF 的中點，可知 H(0 , b1＋b_{2 )。} 2 (5)根據 E 點與 H 點的坐標，可知 M(a1＋a_{2 ,} 2 b1＋b_{2 )。} 2 A B C D E F A B A B A M B a x b

A B C D E F L1

L

L

3. 已知坐標平面上三點 A(3 , 0)、B(－ 1_{2 , 3)、C(x－y , y)。若 B 為} AC 中點，則 x、y 的值各為多少？ ¯ A

B

D E

F G

B C D

E

A 習作

1. 在梯形 ABCD 中， AD // BC ，且 AD ＝4、 BC ＝7，則△ABC 面積：△ACD 面積為何？

A

D

E

F

B

C

L

M

M

L

L

6. 依步驟作圖並回答問題。 (1)依下列步驟作圖：

c

d

e

f

g

B E D C A B F E D C A 類題補充 1. 如右圖，L // BC ，且 L 與 BC 的距離為 2，若 DE ＝2， BC ＝6， 則△ABC 面積為多少？ 2. 如右圖，在△ABC 中， DE // FG // BC ，且 AD ： DF ： FB ＝1：2：3， (1)若 AC ＝18，則 EG ＝ 。 (2)若 BC ＝12，則 DE ＋ FG ＝ 。 3. 如右圖，若 DE // BC ， AD ＝12， BD ＝x＋3， AE ＝3x， CE ＝10，則 (1) x＝ 。 (2)若 BC ＝20，則 DE ＝ 。 4. 如右圖，△ABC 為一直角三角形， DE // BC ， DF // AC ，若△ADE 的面積恰 等於正方形 DECF 面積，則△BDF 面積：正方形 DECF 面積的比值為 。 5. 將△ABC 的一邊 AC 分成八等分，自各等分點作平行 BC 之線段七條，若 BC ＝10，則這七條線段 之和＝ 。

6. A、B、C 三點在同一直線上，C 點在 A、B 兩點之間，且AC＝3BC，若 A(－3 , 3)、B(6 , －2)， 則 C 點坐標為何？ B L E D C A B F G E D C A

B F G H E D C A A B D C E F 7. 如右圖，△ABC 中，D 為 BC 上一點，若 BD ＝6， 且△ABD 面積：△ADC 面積＝1：2，則 CD ＝ 。 8. 如右圖，△ABC 中，∠BAC＝90°， AD ＝ DC ， AF ＝ FD ， AH 、 FG 、 DE 皆垂直於 BC ，若 AB ＝5， AC ＝12，則 (1) AH ＝ 。(2) DE ＋ FG ＝ 。 9. 如右圖，△ABC 中， AD 和 BF 相交於 E 點，若 BD ： CD ＝5：3， AE ： ED ＝2：3，則△ABE 面積：△ABC 面積＝？ 10. 如下圖，△ABC 中，若 AD ： DE ： AC ＝1：2：6， AF ： AB ＝2：5， 則△ABC 面積：四邊形 BCEF 面積＝？ A B C D F E 11. 如圖，△ABC 中， DE // BC ， EF // CD ，若 AD ＝9， AB ＝12，則 AF ＝？ A B C D E F 12. 四邊形 ABCD 為平行四邊形，若 A(2 , 2)、B(－4 , －2)，C(6 , －3)，則第四個頂點 D 的坐標為何？ A B C_D

加強練習

1. 已知一梯形 ABCD，上底 AD ＝3，下底 BC ＝5，若兩對角線 AC 、 BD 相交於 E 點，則下列哪一組 三角形的面積相等？

(A)△ABC、△ACD (B)△ABE、△CDE (C)△ABD、△BCD (D)△BCE、△ADE

2. 如下圖，△ABC 中，D 點在 AC 上，且 E 點在 BD 上，若 AD ： AC ＝3：4， BE ： ED ＝1：3， 則△AED 面積：△BCD 面積＝？ A B C D E 3. 如下圖，若 AD // BE // CF ，且 AD ＝5， BE ＝ 9， CF ＝15，則 DE ： EF ＝？ A D C F B E 4. 在△ABC 中，D、E 兩點分別在 AB 、 AC 上，則下列何者不能確定 DE // BC ？ (A) AD ： BD ＝ AE ： CE (B) DE ： BC ＝ AE ： AC (C) AB ： BD ＝ AC ： CE (D)∠AED＝∠ACB 5. 如右圖，在△ABC 中， DE // BC ，若 AD ＝6， AC ＝9， CE ＝5， DE ＝3，則 DB BC 之值為何？ 6. 如下圖，在△ABC 中， BC 的中垂線分別交 AB 、 BC 於 D、E 兩點。 若 BD ＝10， AD ＝6， BC ＝16，則△ABC 面積為多少？ A B E D C 7. 如下圖，若 AD // BE // CF ，且 AD ＝5， BE ＝ 9， CF ＝15，則 DE ： EF ＝？ A D C F B E 8. 如右圖，△ABC 中，D、E 兩點分別為 AB 、 AC 的中點，且 DF ⊥ BC ， EG ⊥ BC ，若 AB ＝12， AC ＝5，∠A＝90°，則 (1) FG ＝？(2)四邊形 DFGE 周長＝？ 9. 坐標平面上有 C、D 兩點， CD 的中點坐標為(4 ,－1)，若 C(1 , 5)，則 D 點坐標為何？ A D E B C A B C G E F D

Ans：1.(B)；2. 9：4；3. 2：3；4.(B)；5. 10_{9 ；6.} 384_{5 ；7. 2：3；8.(1)} 13_{2 ，(2) 1713；9. (7 ,－7)。} 8