討論與真實情境對兒童解決問題的影響

(1)

94 教育研究集刊第 49 輯第 1 期

Tyler

,

R. W.

(1

949).

Basic principles ofcurriculum and

ins的'，fction.

Chicago: The

Univers 句

Chicago Press

Walker

,

D. (1990).

Fundamentals

of叫川'cuI帥，

New York: Harcourt Brace Jovanovich

95

教育研究集刊第四十九輯第一期 2003 年 3 丹頁 95-133

討論與真實情境對兒童解決時題的影響

黃幸美

摘要本研究以 80 位四年級兒童為對象，探討討論與提供實物的真實情境，對兒童解決生活數學問題與類比遷移解題的影響，以及分析兒童討論解題的策略與錯誤類型。研究結果發現，同時提供討論與實物的真實情境，兒童解決問題的表現最好。兒童在單獨提供貨物或討論，或兩者並具的情境，於解題後經過三週的時間，類比遷移解題表現優於無實物無討論情境純的兒童。在解題策略分析上，兒童多數使用乘、除以及混合加、減還算，或等重重連力日策略，而且使用一一點數或跳數策略仍可見。在好與差解題者的類比遷移解題與錯誤類型分析上，好解題者雖然解題表現優於差解題者，而且解題錯誤次數低於差解題者，但是仍有購貿過多或不足的錯誤。未能買得剛剛好與提取不棺僚的訊息解題，是兒童解題錯誤比例較高的類型。針對研究結果與發現，本文並提出相闋的教學與研究建議。關鍵字:討論、真實情境、類比遷移本文作者為臺北市立師範學院初等教育學車副教授電子郵件為﹒ edith131@ms47.hine t.net 投稿耳期: 2002 年 9 月 10 日，採周日期 2003 年 2 月 14 日

(2)

Keywords: verbal interaction

,

real-world settings

,

analogical

transfer

real-world settings. Moreover

,

children tend to mix addition

,

multiplication and

countmg to solve problems through verbal interaction

wi也 peers

in the performance of

tasks. Accuracy at picking the best buys as well as selecting essential

information 仕am

problem contexts were the

m勾or

difficulties in children's problem-solving. In the

conclusion of this study

,

the author offered some suggestions in teaching and research

of related topics

96 Bulletin of

Educatiο nal

Research

March

,

2003

,

Vol.

49 No.1

pp.

95-133

A Study of the Influence of Verbal Interaction

and

Real-明Torld

Settings in Children's

Problem-Solving

Hsin-Mei E. Huang

Abstract

Eighty fourth-grade

chil也，en

worked in mixed-ability dyads and were randomly

asslgne丘 to

four experimental conditions: with

an吐 without

real-world settings

verbal interaction with peers. Dyads of children were asked to solve two daily

mathematical

probl臼TIS

in the

fi凹t

phase. Three weeks later

,

the

chil吐ren

solved

daily mathematical

problems 晶 delayed

transfer tasks. Dialogues

betw臼n

pairs

children during problem-solving were analyze

d.

Results show that verbal

accompanied by real-world settings is the most effective way to improve

performance in solving problems. Either verbal interaction or real-world setting

children's analogical transfer compared with solving problems individually withont

Associate professor

,

Department of Elementary Education

,

Taipei Municipal

College

E-mail:

“

ithI31@ms47.hinetnet

Manuscript

receive位 Sep.

10 ,

2002; Accepted: Feb. 14

,

2003

Hsin-Mei E. Huang

(3)

決數學問題為核心。在學校數學學習方面，以往的教學偏重個人獨自解題，兒童少有與同傍合作解決問題的經驗(鄧好、許天維， 1995) 。隨著課程與教學改革的推動，小學數學課程標準與九年一貫課程數學領域教育呂標，皆重視使用數學語言溝通、討論，與解決問題能力的培養(教育部，

1993 '

2000) 。自從民國八十五年全面推展數學新課程以來，其教學理念為重視兒童的理解學習，鼓勵語言互動式溝通合理性思考，數學課皇室裡常可見教師導引兒童討論解題的教學景象，兒童也學習數學談論與合作解題。然而，兒童合作討論的學習成效控叫可，值得實證研究作檢視。

於合作討論的能力分組方面，

Irw

in (2001)

,

Swing 和 Peterson

( 1982 )

,

Webb

(

1982划的研究指出，異質分組可以產生較多的討論互動，好與差解題者的配對討論解題，可以有效提升差解題者的學習表現。因此，本研究擬進一步探討好與差解題者合作討論解決問題的表現。另一方面，在重視數學討論與溝通解題學習下，兒童解題策略類型雖然比較多樣化(黃幸美， 1999; 鍾靜，

1995;

Huan臣， 2001;

Leung & Wu

,

2000)

，但是就兒童平時的課室學習，問題類型多來自於教科書性質的文字問題，其問題較單純，或是紙筆性質的作業練習，非屬於真實生活情境問題。兒童於生活中常面臨應用數學知識解決問題的情境，在真實情境中不同能力的兒童，如何共同討論使用策略解決問題，有待研究作進一步分析。實物操作、語言的使用，以及與他人社會互動，是兒童認識現實世界與邏輯數學關係，建構知識的重要途徑(Karnii

&

Ewin臣，

1996; Lowrie &

Clem扭扭，

2001

)。數學邏輯知識包含哥哥係的覺察，然而關係不直接存在於個殊事物的外表，其乃學習者透過觀察、操作等廢程，作抬象化的內省與推理，例如分類、對應、

比較、組合等操作，繼而將事物作連結的心理運作建構出來的 (Kamii

&

Ewin臣，

1996; Lowrie &

Cleme帥， 2001 )。區此，提供兒童實物操作，亦常被鼓勵於數學教

學中使用 (Gravemeijer，

1991; Heuvel-Panbuizen

,

2001; 恥ys，

Suydam &

Lindqu戚，

1995

)。在提供實物約真賞情境，對兒童解決問題的影響吉凶可;不同的討論與實物情境，是否影響兒童類比遷移解題的表現，尚乏實證研究探討。類 tt遷移是學習與解決問題的重要能力，其認知歷程為學習者自來源問題建立知識墓模，注意來源與標的問題所包含的結構特徵相似性，繼而將來源問題 98 教育研究集刊第 49 輯第 l 期

壹、購論

兒童知識建構的來源，除了學校課程學習之外，生活問題解決經驗亦為重要

來源。近年來認知與教學研究者，指出有意義的學習乃發生於社會情境與文化

脈絡中，知識內容只有從其所產生的環境脈絡去解釋，訊息處理方能產生意義

(Cobb

,

1996; Watson

,

1998) 。此種重視情境脈絡並融合兒童生活經驗的學習觀，

受下列三方面的實徵研究與理論支持，第一，從人類的智能觀點而言，解決日常

生活相關問題的能力，是一種實務性的智慧( practi晶I intelligence) ，它雖有別於

學術性的智慧，但也是智慧能力重要的成分。生活問題具有多元解題途徑的性質，

沒有圈定的答案，其與生活相闕，解題者需應用個人知識與經驗，使用策略有效

地解決問題，因此，解決臼常生活問題即為實務性智慧的表現(Wagner，

2000;

2002) 。第二，從認知學習的觀點而言，人類在學習情境，具有主動地將新、舊經

驗作聯結的心智運作能力 (Me帥， Ross&M旺恤姐，

2001; Sternberg

,

1999) 。

供兒童熟悉的日常生活情境，在文化環境脈絡賦予情境意義之下，可以有效地引

發兒童經驗連結，建構知識(Irwin，

2001; Rogoff

,

1990; Lave

,

1988); 第三，從

知識的遷移與推理思考觀點，統整所學的知識、技能，類比遷移解決問題，以及

基於解決問題的經驗，將知識再建構，使個人的知識基模更精緻化，皆梅益後績

的推理解決問題 (Nickers凹，

1994; Mayer

,

2000; Vosniadou & Ortony

,

1989)' 培養

類比遷移解決問題的能力，是教育的重要目標。

根據 Vygotsky 及語言互動學習觀的學者，指出使用語言進行溝通、說明理由、

質疑與澄清概念，引證回答挑戰的質疑，繼而引導出結果與解題行動的潛在途徑，

t述的討論活動，乃具有目標導向的思考性質，隱含知識與技能的處理與應用，

也是另一種形式的問題解決與心智活動 (Glasson & Lal此， 1993; O'Connor

,

1998;

Vygo臼ky，

1978;

Webb多 1989， 1991 )。就數學領域的問題解決而言，其本身也包含複

雜的社會實務 (Ernest， 1998) ，非只是認知的例行性活動;而在認知處理歷程上，

包含問題訊息的趨近、轉譯、應用事實知識與推理，構思、解題策略與評斷，其與

語言互動的討論學習歷程是相符應的(黃幸美，2001)。因此，本研究也以討論解

(4)

一、研究對蠶的考量

貳、研究方諧與溫程

本研究欲了解兒童應用所學的數學知識，解決隱含乘法概念的生活數學問題的表現，而小學中年級學生在學校數學課已經學習乘法、除法問題，也多有與同儕合作解題與討論約經驗，較能表達想法，有助於收集解題者在解決問題時討論的資料。因此，選取四年級兒童為受試對象。討論與真實情境對兒童解決問題的影響

101

黃幸美兒童將習得的解題策略， i呆詔一段時間，並能應用於解決新問題的表現，是一種習得知識的結果，也是將知識類比遷移的表現。但是有部分兒童可能受迷失概念，或執行解題程序不理想影響，導致解題錯誤。欲了解干擾解題者成功解題的因素，除了探討其學習與解題過程以外，分析解題者的解題錯誤類型，也是診斷解題者迷失概念的有效途徑 (Sternberg ， 1999) 。認知兒童的知識學習與概念建構情形，是教師教學知識的重要成分 (Shulm間， 1986 ， 198 7) ，本研究針對兒童應用數學概念:解決問題作分析，研究結果將有助劉小教師認知兒童的解題思考與概念建構情形，提伏於教學過程診斷兒童的概念學習之參考。綜合前述之理論探討與研究動機，本研究目的在於分析提供實物的真實情境與討論，對兒童解決生活數學問題的影響，並分析兒童討論解題的策略，比較好與差解題者類比遷移解題表現與錯誤類型的差異。研究結果期以提供教師設計生活數學教學，以及診斷兒童數學概念學習之參考。本研究探討四個問題一、不同討論與實物情境的兒童，其解決問題的表現是否有差異。二、不同討論與實物情境的好與差解題者，類比遷移解題的表現是否有差異? 三、分析兒童在討論解決時題時，所使用的策略。函、分析好與差解題者的解題錯誤類型，並比較其差異。

與標的問題的結構特徵， f乍對應與遷移解題，並擴展對應所產生的解決方案

( Vosniadou

&

Orlo呵， 1989) 。有關類比遷移解決問題之相關研究，雖然有學者對

於兒童解決數學文字問題多所探討(例如﹒黃幸美，林美珍，鄭晉昌，

1997

;黃

幸美，鄭晉昌， 2000 ;黃幸美，

2000 ' 2001)

0

u登上述研究材料設計，乃以國小數

學教科書，以及仿數學習作的荷題為主，學習材料非屬於生活時題，亦非以真實

情境佈霞方式呈現。另一方面，在受試者學習以後到遷移解題時間的問距方面，

多數研究探討立即類比遷移解題，或有以時問問鹿為兩天(例如﹒Anderson

&

Finchm甜， 1994;Ph戶， 2001) ;或為一遍(例如; Catrambone

&

Holy。此， 1989) 作

延右遷移研究，但是少有研究針對小學兒童 'f乍更長時間間距的延右遷移解題探

討。

根據教育心理學者對於學習的定義，指出﹒學習是個體因經驗而使個體行為

或行為潛勢產生改變，且維持良久的歷程(張春興， 1994) 。同時，根據前文之情

境學習與討論學習的觀點，學習者透過討論與真實情境學習，可以有效建構知識。

學習者對來源材料若有良好的學習，也將有理想的學習保留與類比遷移解題表

現。因此，本研究擬以兒童學習來j原材料後，經較長的時間問距延右，探討其類

比遷移解決結構特徵相似的問題之表現。解決問題的問答討論，猶如有聲的思考對話。蒐集與分析解題者的解題討論

內容資料，是了解解題者如何使用策略解題的途徑。就我圓話，前的數學課程與教

學而言，雖然有部分的小學推展活動性的評量，例如﹒設計情境作業的獨關活動，

以檢驗兒童是否具備作業相闊的數學概念，或推展統整性的遊i戲活動，評核兒童

是否己學會活動相闋的知識概念(例如:林惠貞，

1999 ;

Huan臣， 2001) 。此顯示

當前數學教育己逐漸重視連結兒童的活動經驗，但是上述活動重點僅止於讓兒童

經驗課室以外的數學活動，以及檢核他們是否己學會預定的課程單元知識;但是

分析兒童在真實情境解決生活數學問題的討論表現、解題策略，猶欠缺探討。

在數學知識方面，乘法概念是生活應用及數學課程中重要的一環，在白

活賞務方面，諸多問題情境需要應用乘法概念進行解題思考，了解兒童應用

概念於解決問題的表現，以及不同能力解題者的解題錯誤類型，

童的教學生n識與概念層次，具有意義。

100 教育研究集刊第 49 輯第 l 期

(5)

圖 1 研究階段與過程函、討論解題措段類比遷移解題階段 1 同樂會問題 3 運動會問題一一 "12舖地板問題三週後討論與真實情境對兒童解決問題的影響

103

討論解題階段 l1'J組討論與實物情境。 I 問題類別 1 寶物與討論組 11 燈謎佈置問題 2 寶物無討論組 3 無實物討論組 12露營問題 4無實物無討論組黃幸美

(一)受試兒童取樣:為減少其他變異因素影響實驗效果，受試兒童自參加預

試學校，選取非參與預試的其他四年級班級 80 位兒童參與施測。受試兒童的平均

年齡為 118.16 個月。

在研究相闋的行政協調方面，研究者於取得受試學校之行政單位同意後，並

年級教師座談，讓教師了解本研究目的，另一方面也從討論中了解教師平峙

的數學教學情形。本研究受試兒叢使用的教科書為國立編譯館發行的第七冊審定

(國立編譯館， 1999) 。教師們也表示，兒童平時的學習多有同儕討論與合作

(二)受試兒童分組之安排在討論解題階段的分組，以好與直至解題者兩人

對方式解題。首先，由受試班級教師，根據兒童在三年級下學期的數學終成

，分數高於平均數者為好的解題者，分數低於平均數者為

差的解題者。在搭檔分組的同縛，除參考數學成績以外，請級 f王老師也酌量兒童

平時的人際互動情形，以兒童合作討論意願較強者，作分組的考量，藉此使不合

作討論的可能性降到最低。當教師安排好組別之後，以隨機分派方式將兩人一粗

的兒童，安排到四個討論與實物情境施瀉。 (三)討論與實物情境及施測方式﹒ 討論與實物情境的安排，包含下列四種情境: 1 寶物與討論組提供問題情各類實物，兒童可以操作實物，並鼓勵作解題討論。 2.實物無討論組:提供 102 教育研究集刊第 49 輯第 l 為在真實情境的佈置方面，乃提供問題情境相符的實物，佈置商店的情境，讓受試兒童模擬購物，可以觸摸、搬動、計數與操弄寶物。但是類似於超市購物的情況，不得將包裝拆封。在研究過程方面，包含討論解題與美頁比遷移解題階段，呈如園 l 所示。在討論解題階段，四組討論與實物情境的兒童，解決來源問題一一燈謎佈置問題與露營問題。經過三週之後，四組受試兒童於類比遷移解題階段，解決標的問題一一同樂會問題、鋪地板間體與運動會問題。五個問題呈如附件所示。兩個階段的施測時間，皆以兒童完成解題為原則，末限制解題時間。

二、研究工具的設計

在研究工具的設計上，包含兩個歷程 (一)問題的初步設計-研究者從平時參訪與觀察國小校園活動、教室佈置，蒐集教師有關生活數學教學相關問題立資料，以及參考 Ruwisch

( 1998

)之研究，設計三個問題，分別為.卡通崗卡問題、同樂會問題一一購物問題，以及運動會問題一一購物問題。繼而將三個問題設計成問卷形式，調查 36 位參加師範學院碩士學分班暑期進修課程的國小在職教師，調查教師對研究工具的問題情境是否符合兒童生活也驗的意見。分析結果，發現教師認為卡通圖卡問題、同樂會問題、運動會問題的情境，符合兒童生活經驗的百分比，分別為 69 .4%

;

97.3% ;

86.1% 。從教師的意見調查結果可發現，本研究問題的情境設計符合兒童的生活經驗。(二)研究工具的預測:根據前述三儕綺題之結構與情境，再設計五題類似問題，即同樂會問題、露營問題、燈謎佈置問題、鋪地板問題與運動會向題。然後以臺北市中正區一所公立小學，撞機抽取

87 位四年級兒童，進行預試，以了解其鑑別度與難度。其結果於後文陳述。

三、研究階段、施瀏工具與過程設計

(6)

表 1 討論解題與類比遷移解題階段問題的結梅特敏、難度與鑑7JJj度

、類比遷移解題階段

討論與真實情境對兒童解決問題的影響 1 的四組兒童;於完成討論解題，經過三週之後，進行類比遷移解題施測。施濟j閑文字與圖繪f并陳的紙筆作業方式呈現。受試兒童在自己原屬的班級教室各自。施測者作施測說明並口述每個問題，兒童於聆聽與閱讀完問題以後，將解黃幸美討論解題階段的問題 _{類上七遷移解題繽段的問題} 問題情境 _露營問題燈謎佈童問題同樂會問題 _{鋪地板筒題} 運動會聞題每類物品各I J 張不同尺每類物品各l 三個不同尺各色鈴錯有不有不同數量寸的壁報紙有不同數量 _{寸的房閑地}同數量的包裝的包裝(每物 _{【面積量為。1} 的包裝(每物板【三個房問 (每包島主角 b) 問題中的物每包的數量2 不同顏色信每包的數量的地板面積，品數量為 σ) 封的包裝數為 α) 各為 a] 量(每包數量 2. 不同顏色地為的板的包裝數量(每包數量為的等量/組 l 長方形等量/組 l 長方形等量/紐乘法模式 2 等量/組: 2 等量/車且，可整徐可整除

X x b

2:

30 X

xb~a Xxb 主 18

Xxb

2:

a

Xxb

三三 α 每包的份數a 需先確定 _{每包的份數}a 需先確定 a 在問題情境中算術結構 _{是 b，其份量}_{bε{3 ，6 ，8}} _{是 b，其份量}_{bε{3，6 ，8}} _{的數量為30，23 ，} 包含 2，3人5 ，包含 2，3人5，

16 ,

9 ,

40

6 ,

7 ,

8

6 ,7,

8

bε{2，5 ，7} 冗餘訊息一項物品信封尺寸兩項物品 _地板尺寸項物品難度

49

39

50

44

43

鑑別度

96 .78

92

58

75

問題情境的各類實物，兒童可以操作實物，但是個別解題不作討論。 3.無實物討論組，不提供問題情境的實物，但是鼓勵兒童作解題討論。 4.無實物無討論組不提供問題情境的實物，兒童個別解題不作解題討論。

個組兒童於解題之前，施測者先說明施測的方式，口述問題情境與作答方式，

然後提供一份文字與置繪併陳的作業單，請兒童將解答寫在採購單上。臼吾計說解題的過程，全程作錄影與錄音。

使用於兩個解題階段的研究工異，五個問題的結構特徵、難度，以及鑑別度，

分別星如表 1 FJT示。從表 l 可見，討論解題階段的露營問題與燈謎佈置問題，

分別為 49 與狗，鑑別度分別為 .96 與 78 。遷移解題給段的河樂會問題、

板問題與運動會問題，難度分別為鉤;

.4

4;

.43 ，鑑別度分別為 92; .58 與

兩個解題階段的問題結構特徵比較方面，兩兩問題之間，脈絡，皆具有相似特徵與對應性。例如:燈謎佈置問題與鋪地板問題，

的數學結構徵是相似的，皆屬於等量的乘法模式。露營問題與同樂會問題，

問題的數學結構徵是相似的，皆屬於等組的乘法模式。

會問題，其數學結構為等組的乘法模式，此方面與露營問題、同樂會問題相似

但是在算VIti'結構特徵方面，其與前述四個詞題之間，略微有差異。

兩個解題階段問題的表面特徵之比較方藹，五個問題皆有冗商訊息，

的情墳、物品與包裝數量，皆存有差異，因此，表面特徵部分相似， 104 教育研究集刊第49 輯第 1 期

(7)

參、研究結果

表 3 不同討論與實物情境組別兒童的數學學期成績之變異數分析摘要表 (N=80)

一、不同討論與實物情壤組別兒童的數學學期成續平均數之

比較

討論與真實情境對兒童解決問題的影響

107 SS

Of

MS

F

組筒

14.34

3

4.78 _。7

是盟內

5502.05

76

72 .4

0

總數

5516.39

79

是過lJ ij

M

SO

實物與討論組廿三20

)

88.15

6.19

實物無討論組 (n~20

)

87.05

10.92

無實物討論組 (n~20

)

87.65

8.37

無實物無討論組 (n~20

)

88.00

7.87

黃幸美

九、資料分析

在資料量化分析方面，所使用之統計考驗為變異數分析、卡方分析作適合度考驗。各統計考驗的顯著水準'皆採用的顯著水準。在內容分析方面，使用 Kappa

一致性分析，以及質性分析方法。

為了解悶組兒童在正式施測前的數學學期成績是否真差異，以受試兒童在八

十七學年度第二學期的數學學業總成績，使用變異數分析必<O VA 進行考驗。從

表 2 與表 3 可見，四組兒童的數學學期成績的變異數分析結果為 F 汀，76)= 肘，戶的，顯示本研究四組兒童的數學學朗總成績未真顯著差異 o 表 2 不同討論與實物情境組別兒童的數學學期成績之平均數與標準差

七、兒童的解題策略分析

在兒童討論解題的策略分析方面，乃統合討論解題階段的實物與討論組組兒章，與無實物討論組 10 組兒童，於討論解題階段的錄影帶與錄音帶，

論過程內容轉譯成文字稿。其他兩組則因個別解題，而非與同儕討論解題，因此，

不列入分析。在資料分析方法上，採用內容分析方法 (Lincoln

&

Guba

,

1985) 。

由於研究工具的每個問題皆包含採購數樣物品，因此，兒童可能混合使用多

種不同策略，而非只使用單一策略。在策略使用的次數統計方面，乃以討論小組

為單位，計數各小組所編碼的不同策略類型，不重複計數相同的策略類型。

六、揉購單的計分方式

兩個解題階段之評分，皆根據兒童在採購單上的答案計分，每答對一項 5 分。

燈謎佈置問題滿分為 15 分，露營問題滿分為 35 分。同樂會問題滿分為 35 分;幸福

地板筒題滿分為 15 分，運動會問題滿分為 25 分。評分為採取多重計分方式。

八、好與差解題者的錯誤類型分析

由於類比遷移解題階段為兒童個別解題，反應個人所學得的知識遷移表現，

因此，錯誤類型分析也以此階段的解題紀錄為主。同時，此階段三個問題皆屬於

乘法性質的問題，問題結構特徵也具有相似性，因此，錯誤類型乃統合兒童在此

階段所解決的三個問題，作錯誤類型分析。

在兒章討論解題策略類型與遷移解題的錯誤類型分析，為研究者與一名國小

在職教師，共同作分析。在資f物全析歷程中，有些許分類不一致的部分，兩位分

類者再根據受試兒童之解題紀錄作進一步討論，以建立共識，增進資料分析的百

靠性 (Lincoln

&

Gu泊， 1985) 。然後參考 Miles 與 Huberm叩(1 994 )對資料苦辣

的建議，於完成兒童的解題策略與錯誤類型分類與計次以後，

與統計成百分比例。

(8)

表 7

各組好與差解題者在類比遷移角專題得分之變異數分析摘要表

(N=80)

變異來源

SS

OF

MS

F

組別

_4965.50

₃

_1655.01

7.77*

解題者

₇₉₄₀

.1

1 7940.11

組耳目×解題者

1633.84

3

544.61 37.30*

總數

15327.50

72

212.88

2.56 * P

<

.05

函，使用二因子變異數分析。從表六與表七可發現，討論情境與解題者的交互作

用效果未達顯著水準， F 汀，立 )=2 鉤，

p<

.06

;車且耳目與解題者的主要效果，皆達顯

著水準，分別為F

C3.72)

~7.77， p< 衍; F

(I.W

~37 鉤，籽，的。由於四種討論i育境組

別的主要效果達綴著水準，再進行Tukey 事後比較分析，結果發現，實物與討論

組、實物無討論組、無寶物討論粗，解題表現皆優於無寶物無討論組。在解題者的事後比較方面，為好的解題者優於差的解題者。

表 6 各組好與美解題者在類比遷移解題得分之平均數與標準差

討論與其實情境對兒童解決問題的影響

109

在直~U 解題得分

M

SO

實物與討論組好解題者 (n~10)

_65.70

₇

_.4

₂

差解題者 (n~10

)

53.20

17.95

實物無討論組好解題者 (n~ lO

)

₆₇

_.4

₀

_3.75

差解題者 (n~10)

_39.90

_23.17

無寶物討論組好解題者 (n~ lO)

_62.70

₆

_.4

₁

差解題者 (n~10)

_53.20

_9.68

無實物無討論組好解題者 (n~10)

54.60

13

.4

3

差解題者 (n~10)

24

.4

0

21

.4

4

黃幸美討論解題紐別

M

SO

實物與討論組 (n~2日〕

45.70

4.28

賞物無討論在fl (n~20)

3

1.7

0

14.20

無實物討論組 (n~20

)

36.10

12.68

無實物無討論組 (n~20

)

29.25

14.79

變異來源

SS

OF

MS

F

時問

_3155.24

₃

₁₀₅

_1.7

₅

_7.02*

在亞內 113 日9.95

76

149.87

總數

14545.19

79 *

p<

.05

於比較不同討論與實物情境、好與差解題者在類、比遷移解題表現之差異方表 5 不同討論與實物情境組別見童在討論解題得分之變異數分析摘要表 (N=80)

二、不問討論與實物情境組到兒童討論解題表現之差異比較

三、不商討論與實物情境、好與差解題者在類比遷移解題

lji，之比較

為了解不同討論與實物情境對兒童解題表現的影響，使用單因子變異數分析。從表 4 可發現，四組兒童在討論解題表現的平均數，自高而低排列，依序為﹒ 寶物與討論組，無實物討論組，實物無討論組，無實物無討論組。從表 5 可發現，組別的主要效果這顯著 F (}，76 月恨， p< 衍，使用 Tukey 事後比較分析，結果發現，實物與討論紐約表現顯著高於寶物無討論組、無實物無討論組。表 4 不同討論與實物情 i竟組別兒童討論解題表現的平均數、標準差 108 教育研究集刊第 49 輯第 1 期

(9)

泣， 23 ， 240 J (露營問題) (七)重複累加策略。兒童以單位份數連續累加，直到和達到所需的份數 o

1)iU

如﹒生 2:r_我加加看 _{'4+4~8:8十8~}

_{16; 16+4=20;}

_{20+4~24' 不夠啦!} _J _(露營向題) (八)使用以一或二或三為計數單位之計數策略。兒童以一，或二，或三，為計數單位，點算總數。 1.以一為言十數單位，點數出所需的總數。例如﹒

生 2

: r

1 ，2，3，4，5 ，6几8，9， 10， 11 ， 12，口， 14， 15， 16

0 J

(露營問題)

2 以二為計數單位，點數出所需的總數。例如: 生 1

: r

2人6，8， 10， 12， 14，而，時，鉤。 J (露營問題) 3 以三為計數單位，點數出所需的總數。例如.

生 1 和生 2: r3爪9， 12， 15 ， 18，21 ，24，27，鉤。 J (露營問題)

(九)畫格子並數算。在燈謎佈置問題解決上，兒童使用尺在作業單上畫出格子，數算格子以求區積。例如，生 2: r 藍色這個沒有畫格子，我來畫格子。」

生 1 :口，2，3人5爪7 ，...泣，32，刃，34，35，36

0 J

(燈謎佈置問題)

(十)使用心理還算。兒童直接說出答案，未表現任何策略。例如，生 2: r 黃色壁報紙，這邊是 4 張，這邊 5 張，總共 20 張。 J (燈謎佈置問題) 從表 8 可見，兒童討論解，題所使用各種策略之次數百分比，出亮而低排列，依序為 r 直接使用乘法或除法一個步驟完成解題 J ' r 混合使用計數方法(以或二為計數單位)、加法與乘法策略」、「重複累加策略」、「混合使馬乘法與減法策略」、「混合使用2日法與乘法策略 J 、「混合使用加法、 j成法與乘法策略」、「混合使用加法、減法、乘法與徐法策略 J ' r 使用以或二或三為計數單位之計數策、「畫畫格子並數算」、「使用心理還算 J 0 110 教育研究集刊第 49 輯第 1 期

四、兒童討論解題策略分析結果

兩位分類者共同根據兒童討論解題的錄影帶與文字稿，對解題策略類型作分類與編碼。兩人的分類結果經 Kappa 的一致性分析，為 .57 ， p< 衍，顯示分類結果具有一致性。兒童討論解題使用的策略包含十種，分別陳述如下，以及表 8 所示。 (一)直接使用乘法或徐法一個步驟完成解題。兒童了解乘與徐互逆的鷗係，應用九九乘法，完成乘與除的解題。所使用的策略包含三種 l 在所需的總數量確定下，交互使用乘法與除法。例如生 1

:

r 長和寬兩邊都是 6

' 6 X6

~

36 '

36 土 6~6'6 包 6 個，好啦! J (燈謎佈童問題) 2 先確定應乘的倍數，再求出積。例如.生 1

:

r 藍色，我記得是 6x6'6x ~

36

0 J (燈謎佈置問題)。 3. 直接以被除數除以除數，求出商。例如生 2: r30 土 5 ~

6 '

6 包夾子 o J (露學問題〕 (二)混合使用加法與乘法策略。兒童在解題過程中，部分使用加法策略，分使用乘法策略。例如﹒生 2

: r

4 十 4~8' 5+5~10' 的 +8~18' 1丸 x3~1凶8 '所以說 l閃8 張。 J (露營悶題) (三)混合使用乘法與滅法策略。兒童使用乘法，將倍數逐一累乘，求出積( 買的量) ，再根據題自所需的總最j 成其購買的量，以檢驗是否買得剛剛好。例如生 1

:

r 火種， 7xl=7'7X2=14...7X5~ 鈣，剩 5 顆。 J (3 5-30=5 用心算 (露營問題) (四)混合使用加法、減法與乘法策略。例如，生 1:

rO.5x8=4'

3x8~24

24+4=28' 28-6=22"'

J (燈謎佈置問題) (五)混合使用加法、減法、乘法與除法策略。例如:生 2: r_{紫色的這個} 有 ₈ _張裝和₃ _張裝 _，

5 x4

~

20

(黃色壁報紙所需的信封數) ，就等於 11 丁， 11~9'973=3' 所以，就 4 包 3 張裝的。 J (燈謎佈置問題) (六)混合使用計數方法(以一或二為計數單位)、加法與乘法策略。例如:

2:

r24' 那要怎麼買? J' 生 1

:

r 喔!

24 ' 8 xl = 8 ' 8 X 2 = 16 '

17，此，吟，鉤，黃幸美討論與其實情境對兒童解決問題的影響

111

(10)

成問題條件所需的畫作解題， llP購買的總包數未能合乎「買得剛剛好」的條件，或在運動會問題上，亦未滿足「各色氣球預定購買的個數」的條件。好與差解題

者在此類型的次數比例比較，經卡方適合度分析， χ2 〈 1，N=462)=600 ，籽，衍，差

解題者的次數百分比例，高於好解題者。第三類:提取不相闋的訊患解題。兒童雖使用加、;或或乘法運算，並列出算式記錄，但是未能針對問題條件思考，提取與解題無闊的訊息作運算。例如購買的包數與商店陳售之包數不fir ;照蜀示繪圖或列寫算式。好與差解題者在此類

型的次數比例比較，經卡方適合度分析， χ2(1，NZ462):1956 ，軒的，差解題者的

次數百分比例，高於好解題者。第四類:填答失誤或不完整。兒童表現充分解題，但是在算式紀錄或答案填寫失誤。例如﹒採購之算式紀錄、計算結果正確，但答案之單位寫錯，或填寫算

式紀錄時，數字筆誤。好與差解題者在此類型的次數比例比較，經卡方適合度分

析， χ2(1F462戶， 51

'

p> 衍，兩種解題者的次數百分比例，沒有差異。

第五類計算失誤。兒童表現充分解題，但是乘法還算錯誤。好與差解題者

在此類型的次數比例比較，經卡方適合度分析， χ2(1，N斗62)

=1.

80 ' p>

，的，兩種解

題者的次數百分比例，沒有差異。

第六類空白未答。兒童未作任何解題紀錄，在採購單上空白米答。好與差

解題者在此類型的次數比例比較，經卡方適合度分析，

χ2(IJJ=462)E496 ， p< 衍，

差解題者的次數百分比例，高於好解題者。從表 9 可見，六種錯誤類型的次數百分比由高而低，依序排列為購買的量不足;購買的暈過多;提取不相闋的訊息解題;空白未答，填答失誤或不完整，

計算失誤。好解題者的錯誤總次數低於差解題者，經卡方適合度分析，

χ2(11=462l

~

_{37.71 ' p<}

_{.的。購買的量不足或過多，以及提取無闋的訊息解題，是兩種解題} 112 教育研究集刊第49 輯第 1 期表 8 見童討論解題策略;欠數與百分比解題策略次數百分比 (--)直接使用乘法或除法一個步驟完成解題。 27

34.6%

(二封昆合使用加法與乘法策略。 3

3.8%

(三)混合使用乘法與滅法策略 9

1 1.5%

(四)混合使用加法、減法與乘法策略。 2

2.6 %

(五)混合使用加法、減法、乘去與徐法策略。 2

2.6%

(六封昆合使用計數方法(以一或二為計數單位)、加法與乘法策略。 20

25.6%

(七)重複累加策略。 II

14.1%

U\)使用以一或二或三為言十數單位之計數策略 2

2.6%

(九畫格子並數算。 1

1.3%

(十M吏用 Ie}、理還算。 1

1.3%

總次數

78 100%

五、好與差解題者的錯誤類型分析

兩位分類者統合全體受試兒童，在類比遷移解題階段解決三個問題的作業單，作解題錯誤類型分析。在分析過程上，先去除各問題解題完全正確者，其中運動會問題為 21 人，同樂會問題為 44 人;舖地板問題為 1 人，然後針對各題解題錯誤作類型分類。兩位分類者的分類結果，經 Kappa 的一致性分析，結果為 87 ， p< 衍，顯示分類結果具有一致性。好與差解題者在類比遷移解題上的錯誤類型，包含六種，各錯誤類型次敏、百分比與適合度考驗，星如表 9 所示，並分別樣述如下: 第一類﹒購買的量過多。兒童有解題行為，也完成部分解題，但是未能根據問題所需求的包數(數量) ，達成「買得剛剛好」與「使 f布置以後，剩下的量最少」

的條件。好與聽聽者都七類型的次數比例比較，絞卡方適合度分析，

χt2(川I，N =蝠祖腳2ρ)

7.7η2 ，籽，衍，差解題者的次數百分比例，高於好解題者。第二類購質的量不足。兒童有解題行為，也完成部分解題，但是未足以達黃幸美討論與真實情境對兒童解決問題的影響

113

(11)

討論與其實情境對兒童解決問題的影響

115 一、研究結果與討論

黃幸美 (一)討論、提供實物的其實情境與兒童解決間是表現的關能在不同討論與實物情境紐別兒童，討論解題表現之差異比較方面，本研究發現兒童在不同討論與賞物情境組別，其討論解題表現存有差異。提供討論與實物的真實情境兩者並存，對兒童解題的助益效果強於獨自解題(無討論無實物提供) ，也優於只提供實物無討論的情境。此研究結果部分支持合作討論對解決問題正向助益效果的研究發現 (Greasser

&

Person

,

1994 ;

Kin臣，

1989

,

1990;

Webb

,

1989

,

1991)

，值得注意的是，本研究發現對小學中年級學童的問題解決，單獨提供討論或實物的情境，其助益解題效果未顯著優於無討論與無實物的情境。因此，對學齡階段兒童的解決問題而言，討論與實物提供兩者並重，對兒童合作解題的助益方有明顯的效果。除此以外，單獨提供討論與實物的真實情境，對兒童學習與解決問題的影響，可從下列兩方面作討論﹒ l 提供實物的真實情境，其對認知發展階段處於具體運恩鄉的兒童而言，是學習與理解數學抽象符號、表徵，以及建立數感，不可或缺的活動(懿秋木，

1996;

National Conncil ofTeachers

ofMathemat帥，

NCTM

,

2000) 。提供具體的實物，有助兒童了解問題的情境脈絡，其猶如提供問題的表面特徵'同時，藉助解題時的，將問題特徵異象化;但是成功地解題， j為須注意問題的訊剖商討牛，認知問替在結構特徵(

Gentner

&

Ra社ermar凹，

1993)

，以及將視覺訊息轉化為解題，並執行解題程序(Lowrie

&

Clemen紹， 2001 )。欲成功地將視覺訊息轉化為

解題表徵，立主執行解題程序，解題者需要理解悶題潛在的概念，考最問題條件與結合計算技能。因此，單純提供實物的真實情境，其對兒童解決多項步驟的複雜 '助益效果仍是有限的。 2. 本研究材料的問題設計，雖然取自兒童約生活經驗，但是每一問題皆包含。兒童欲完成解題，除了確定來源與標的問題之間的特徵棺似性以外，詞題特徵的限制，正確掌握問題訊息與潛在關係 (Keane，

199 7)

，以及、解題經驗與技能，表現於解題。例如﹒研究者於後續梧談兒

114

教育研究集中! 第 49 輯第 1 期表 9 好與差解題者解題錯誤類型、;欠數、百分比與適合度考驗錯誤類型好解題者差解題者總;女數適合度考驗x' f:直次數百分比 ;史數百分比次數百分比 (-)購買的量過多

62 37.6%

75 25.3%

137 29.7%

χ2(13N斗62)=7.72* (二)購買的量不足

74 44.9%

99 33.3%

173

37 .4%

χ2(1!NZ462 〉 =600* (三)提取字相闋的訊

19

1 1.5%

88 29.6%

107 23.2%

χ2 〈 IN=4已2) ~

19.56*

，皂、解題 (四)填答失誤或不完

5 3.1%

13

4 .4%

18 3.9%

χ2(1NE462)=51 整 (五)言十算失誤 _{。 6%} _。 _。% _{。 2%} χ2 〈 I

TQ=462)z

lso

(六)空白未答

4

2 .4%

22

7 .4%

26 5.6%

χ2 〈 I N斗62)

= 4.96*

總次數

165 100%

297 100%

462 100%

χ2(13E462)23771*

*p

<

.05

肆、研究結果之討論興建議

合作討論解題是當前備受推展的教學活動，真實情境與實物提供，有更視為正向助益兒童解題思考的媒介。因此，本研究以國小學童為研究對象，設計與兒童生活經驗相闋的生活數學問題情境，提供模擬購物的真實情境，讓兒童合作討論蝶量，探討討論與真實情境對兒童解決問題與類比遷移解題的影響，分析兒童討論解決問題的策略，與角專題的錯誤類型。以下根據研究結果與發現，並綜合相的理論，分別提出討論，以及對教學與後續研究的建議。

(12)

討論與真實情境對兒童解決問題的影響

117

黃幸美與同儕之間使用相同的語彙，可以轉換較困難的詞彙與表達，使用讓對方聽得懂的語言表達，以進行溝通，同儕討論因而被視為智慧交換的歷程，有助知識的建構，但是同儕之間合作討論的互動程度，卻可能影響學習與解題效果(也時，

1989;

Webb

,

1982b

,

1991

)。從研究中觀察兒室主討論解題的過程，發現好解題者有 E寺獨自

解題，並未與差解題者充分溝通與討論，此現象亦見之於 Webb

(

1989) 的研究，

當雙方討論不足時，對差解題者學習效果的助益也有限。 (2)解題者的知識與監控能力，影響解題表現。好解題者雖能夠提出正確的解題策略，但是可能受限於語文表達能力與知識監控能力不足，常只提出數學算式，對解題程序與問題條件呼應的情形，貝目缺乏詳細的理由說明與解釋，而且不善於檢查自己與他人知識的缺失或策略的錯誤，此也將影響討論學習效果。 (3)在問題解決歷程中，好解題者表達較多的解題想法或貨物操作，其有如準備教人的一方，傾向組織其認知結構，以利於向對方陳述與說明，此種認知結

構的組織性，促進教人者對事實性表徵與事實本身闊係的保留 (Bargh

&

Schul

,

1980

)。好解題者傾向說明想法，平卑盆個人知識的建構，可能因而解題表現優於差

解題者。相對地，差解題者傾向為被解釋的對象，倚賴好解題者的解題策略 (Swing

&

Peterson

,

1982; Webb

,

1982a)

，如果差解題者未能針對對方所提的想法作出回

應，以及要求對方較詳細的理由解釋，充其量僅為接受解答，其學後應用也因而

，難以與好解題者有相同的表現。 (三)兒童討論解決照題的策略從分析兒童討論解題使用約十種策略，可發現四年級兒童自二年級關始學習

乘除概念，經過一年多的學習經驗，約35%以上的兒童能直接應用學校所學的乘

法基本事實(九九乘法)完成運算，例如「直接使用乘法或除法一個步驟完成解

題 j 、「使用心理運算」策略，表示兒童認識乘法概念中的高、低階單位的關係(劉

秋木，

1996; Clark

&

Kamii

,

1996; Mulligan

&

Wrigh

t,

2000

)。另有約 60%的兒童使

民混合的運算方式，以及親單位內的數量為抽象約合成，進行等重量達加的還算，

例如:使用「混合使用乘法與減法策略」、γ 混合使用加法、 j成法與乘法策略」、「混

合使用加法與乘法策略」、「混合使用力日法、;成法、乘法與除法策盟各」與「重複累

加策略J 解，題。根據 Clark 和 Kamii

(I

996 )對兒童認知乘除概念發展的研究， j:)、

116 教育研究集刊第 49 輯第 l 期章，對於判斷問題情境與個人購物經驗是否相似的觀點，兒童表示 r 這些東西和超市寰的很像，但是和腦袋裡要想的不一樣汀，可見雖然對問題情境熟悉，但是解題時仍需要提取相關的概念與運算技能，方能成功解題。應用數學概念與還算技能解決問題，屬於高層次的心智運作，熟悉的情境與具體實物，雖然提供足以讓兒童趨近的表面特徵，但是對後纜的解題策略、能否正確的執行解題程序，未真顯著影響闊係。因此，教學不能僅以提供兒童熟悉且甘情境為滿足。 3 本研究在討論解題階段所提供的問題作業，皆呈現圖示表徵各物牛的包裝數量單位與包數，在無實物提供的情境下，兒童雖然不能實際操作寶物，但是進行解題討論時可參考圖示，圖示表徵對四年級兒童解題討論，可能具有部分程度的助益性，因此，提供實物的真實情境效果對問題解決的影響不明顯。 (二)不同討論與實物情境、好與差解題者在主頁比遷移解題表現之比較 1.本研究發現不同討論與實物情境組別的兒童，於類比遷移解題的表現存有差異，實物與討論組、實物無討論組、無實物討論組的表現，皆優於無實物無討論組，而且，好解題者在類比遷移解題的表現，優於差解題者。綜合上述的研究結果可見，雖然實物無討論組、無實物討論組，爾組兒童在討論解題階段的解題表現，與無實物無討論組沒有明顯差異，但是兩組兒童於經過討論或實物操作的解星星經驗，猶具有學習效果，其與提供討論與實物組兒童，於經過一段時間之後的遷移解題表現，皆{憂於無實物無討論組的解題表現。就習與類比遷移的意義而言，學習者能保留愈多習得的知識技能，以及活化知識ι 對應解決新街題， llP為認知學習的最高旨趣。本研究發現討論與提供實物的真情境，對兒童學習來源問題，經過三週以後，類比遷移解題具有相當程度的助其可能由於兒童從討論或實物情境，在解決來源淘題的當時，對問題的內容、刑構與情境脈絡，或以語言討論解題方法或操作實物，對來i 原問題基模的訊息處較深入，樽益學後遷移解決結構相似的標的問題。 2 在好與差解題者的解題表現比較方面，研究發現好解題者的解題表現優差解題者，而且差解題者的解題錯誤次數多於好解題者。影響上述結果的原ESl 可從研究過程的觀察，提出三方面說明 (1)好與差解題者合作討論的互動程度，可能影響學習與解題效果。雖然兒

(13)

是教師對差解題者進行學習輔導須予修正的問題。

二、教學與研究建議

(一)教學建議 l 兒童在合作討論育境學習，重iG'、在於討論成員之間，進行知識的「取與給」交流，藉此歷程達到知識建構，也是教師導引學生合作討論學習的旨趣 (Co凶，

1996

)。教師當了解所謂開放兒童討論的機會，並非只是讓兒童有說話的機會，更重要的是導向結構性的問答討論。本研究發現四年級兒童在經歷三年多的討論學習經驗，其與同伴討論解題的表現，猶可發現互動行為與討論品質尚待加強之處 c 欲導引學生作高結構性互動、有效的解題討論 'Koh缸，

Ezell

,

Hoel 和 Strain(l 994

)

與 Noddings (1 985) 提出以下建議(1)教師先介紹重要的主題概念; (2)指導討論的原則與步驟，例如: j發清問題，輪流發言的原則，聆聽與尊重他人合理性想法的態度等; (3)主持開放性的合作討論。換句話說，確立議事程序，並讓學生練習與熟悉、討論程序、規則，而旦在討論進行時，教師須親學生討論的內容是否切題，並作適時的介入，以避免難題。 2欲使不同能力者能從合作討論中進行知識學習，教師一方面加強兒童同儕之間的有結構問答討論，指導能力好的解題者分享、解釋說明訊息，一方面監控自己的思考，另一方面幫助能力較低的解題者學習，對於能力較低的解題者，指導其從何儕討論互動中，適當地提問與尋求概念的了解，皆值得教師在施行合作討論教學加以轉導的要務。 3 就兒童的解題策略與錯誤類裂研究發現，提供以下教學建議(1)教師可以多提供與兒童生活躍豆驗獨聯的情境與文字問題，因為學習者的數學概念基揍，有部分是建構自生活經驗相闋的情境。問題目類型的設計也簡而繁，讓兒童學習掌握解題相關的訊息，能剔除不相關訊息之干擾，以及提供具體物的操作，加強兒童正確掌握高、低階單位所代表的數量與關係，以成功執行還算 (NCTM，

2000)

,

因為數學知識的學習包含概念、程序與直觀三部分，兒童在學習間題解決程序時，未必學習到相對應的概念，如此他們也不能將所學得的程序性知識遷移解決新問題，例如:差解題者常表現取用與解題無闋的數字，作解題與還算，他們雖 118 教育研究黨刊第 49 輯第 1 期

及 Mulligan 和 Wright (2000) 所提約乘法概念五個發展層次的觀點，本研究發現

四年級兒童的認知層次，多數處於第四與第五層次，即使用等量達加策略或直接

以乘/除運算，可以將單位內的數量作為抽象的合成(第四層次) ;或了解單位數 (低階)與單位量(高階)的關係'記憶乘法的事實知識(九九乘法)，以及認知乘/除互逆的關係(第五層次)。然而，使ffl--點數的策略或跳數策略，此種策

略常見之於二、三年級的兒童 (Franke

&

Ruwisch

,

2000;

Ruwis吭， 1998) ，但本研

究發現少數四年級兒童仍使用「晝格子並數算J 、 γ 使用以一或二或三為計數單位之計數策略 J 解題。上述兩種計數策略，根據 Mulligan l'口 Wright (2000) 的乘法

概念認知層次觀點，為第二階段的發展層次一一藉助感宮女日覺進行跳數方式的計數，與第三階段的發展層次一一混合使用加法或跳數方式計數，此間階段的兒童

可能尚未充分理解乘除互逆的關係。同時，畫格子一一計數的策略，雖然是兒童

解決面積問題時常用的方法 (Outhred

&

Mitchelmo間， 2000) ，但是其也是比較缺乏效率的方法。 (四)兒童的解題錯誤類型兮析，以弓之好其是解題者解題錯誤隸型比本研究分析兒童的解題錯誤類型，可歸納為六種，不同能力解題者的錯誤 ~之次數百分比，存有差異。好與差解題者在購質的數量過多或不足類型上，皆 {占有相當高的次數百分比。購物量能買得剛剛好，是解決生活問題的一種挑戰，也是實務智慧的表現 (Wagner，

2000

)。買得剛剛好的購物能力之培養，以融入的議題。另一方面，雖然好解題者在錯誤類型總次數低於差解題者，但是提取不相訊息解題，以及解題歷程的注意與解題後的監控能力，是可再提升的。從分析解題者解題錯誤類型，其解題能力的缺失，包含:一、不易正確掌握問題條件例如:處理鋪地板問題，求算面積是解題的第一步驟，尚須根據茁積量採購所的地板包數，以完成解題;但是部分差解題者將間積量視為所需的塊數答題能正確掌握問題條件與充分執行問題條件的需求，二、難以正確根據問題訊息: 題，其雖呈現解題記錄，但是無法達成解題目標，例如:r 提取不相關的訊息、解

的錯誤類型，其徒有解題紀錄，但為無意義解題，三、少數差解題者尚未能應

乘法知識或所學策略進行解題，固而解題動機{!&落，甚或放棄解題。上述現象黃幸美討論與真實情境對兒童解決問題的影響

119

(14)

林惠貞 (1999 )。海謂天空開放教育。課程篇(1) :TT 教師群協同教學與課程統整。憂北單晶晶室。國立編譯館(1 999) 。國民小學數學教學指引，第七冊(四上)。臺北國立編譯館已教育部( 1993) 。國民小學課程標準。臺北台捷。教育部(2000 )。區民中小學九年一貫課程(第一學習階段)暫行綱要。畫北。教育部。黃幸美、林美珍、鄭晉昌 (1997) 。國小學童好與差解題者的類比推理解題表現之探討。教育與心理研究，

20

(上個) ，頁 111-139 。黃幸美(1 999 )。營造有意義學習環境之探討。憂北市立師範學院國小師資職前教育專業化學術研討會論文。黃幸美 (2000 )。兒童問答討論解決類比推理問題之探討。臺北市立師範學院學報，針，真 49-72 。黃幸美、鄭晉屆(2 000 )。解決數學問題的類比推理思考問題本目似性與領域知識的影響。臺北市立師範學院學報'的，頁 135-160 。黃主拉美( 200 1)。兒童解決數學及自然科學問題的時答討論與類比推理思考之研究。教育心理學報 '32(2)' 頁 123-1 抖。張春與 (1994 )。教這心理學自三化取向的遑論與實踐。臺北東華。劉好、許天維(1 995) 。數學科教材教法基本理念。載於八十三學年度國民小學新課程數學科研討會論文暨會議實盡量專輯(頁 11-46 )。臺北縣臺灣省圓民學校教師研習會 c 劉秋木(1 996 )。國小數學科教學研究。臺北五南。鍾靜(1 995 )。數學教師面對新課程的成長。載於八十三學年度國民小學新課程數學科研討會論文暨會議實錄專輯(頁 91-100 )。臺北縣臺灣省國民學校教師研習會 c

Anderson

,

J.

R. & Finchm冊，

J. M.(1994). Acquisition of procedural skills from examples

Journal ofExperimental Psychology

,

learni時， memo吵~

and

Cogniti帥.20(1)， 1322-1340

Bar訟，

J. A.

&

Schul

, Y.

(1980). On

theωgnitive

benefits of teaching.

J(ωrnal

of

Educatio叩l

Psychology

,

72(5)

,

593-604

能記憶九九乘法表，但是若沒有澄清乘法概念的高、低階單位量之間的關係'也

不能正確地應用乘法事實知識解決問題。同時，教師提供問題縛，先以每個問題

隱含一個解題目標，透過逐次的目標達成，幫助學生建構概念 (McNeil

&

Alibali

,

2000)

，區為複雜的程序乃發展自簡單的程序(Mayer，

1987

/1

990)

，從室里純的問題

也比較容易診斷出解題者的迷失概念。(3)在導向概念應用與解題作業方面，新近

的研究指出，數學的概念理解與程序性知識之間，具有相轎棺成之效(例如

Ri

ttle-Johnson

,

Siegler

&

Alibali

,

2001 )

，兩者適度的練習具有相互強化的效果。概

念建構是個持續的歷程，學生透過社會性的討論互動解決問題之後，也需要與白

己內在的認知系統作互動，統整個人與內、外在的互動歷程，將新訊息、表徵納入

概念網絡。尤其數學解題能力的培養是長期的過程，教師提供一些作業活動，讓

學生回顧與組織所學的知識，從數字運算與概念應用，察覺數學的規律 (Ph抖，

2001)

，是數學學習不可忽略的一環。 (二)對守主績研究的建設

l 本研究在討論解題階段，兒童的解題討論為開放式討論，沒有提供倒可指

導性的問答參考，雖然兒童平時多有小組討論解題的經驗，但是仍發現部分兒童

進行間答討論的程度不足之現象。未來的研究可於討論階段，提供指導性的提問

參考，或解題目標導向的問題提示(例如:

Brown

&

Palinsar

,

1989; King

,

1994)

,

進一步探討其對提升差解題者解題表現的影響。 2 在真實情境提供方面，本研究為符合日常的商店陳售情形，讓解題者可以

操作實物，但是不能拆封計數，此也可能影響寶物lj，i]益解題的效果。未來研究可

設計讓兒童可以拆閱包裝計數，以探討寶物的助益效果。

3.在問題材料的提供方面，提供書面作業可能降低兒童對寶物利用的程度，

因而影響解題表現。未來的研究，可試僅以口述說明問題取代書面作業，以比較

實物的真實情境與討論，對兒童解題助益效果的差異。

致謝﹒本研究為國科會研究專案 89-2413-H-133-003 之部分內容，文中論點不代表

國科會。本研究結呆曾於 2001 年第二十五屆心理與數學教育國際學術研室會 (The

25th Conference of the International Group for the Psychology

黃幸美討論與真實情境對兒童解決問題的影響

121 Mathematics

Education) 發表。本研究成謝研究助理王逸鼠、陳淑茗在研究

過程上的協助。

(15)

Irwin

,

K. C. (2001). Using everyday knowledge of decimals to enhance

unders臨的時 Journal

for

Reseσ阿h

in Mathematics

Educat叩1 ， 32(4)， 399-420

K剖nii，

C.

& Ewin臣， J.

K. (1

996). Basing teaching on Piage

t'

s constructivism. Childhood

Educati01習，刀(5)， 260-264

芷eane，

M. ([997). What makes an analogy difficult? The effects of order and causal

s 阻叫ure

on

analogical mapping. Journal ofExperimental Psychology: Learning

, Memo吵"

and Cogni

•

tion

,

23(4)

,

946-967

King

, A. (1

989). Verbal

interaction 阻d

problem-solving within computer-assisted cooperative

learning groups. Journal ofEducational Computing

Res帥叮h， 5(1)，

[-[5

忍睹，

A. (1

990). Enhancing peer interaction and learning in the classroom through reciprocal

qu自tioning. Ameriωn

Educational

R目叫阿h J，叫rnal，

27(4)

,

664-687

Ki時，A.

(1

994). Guiding knowledge

cons仕uction

in the classroom: Effects of

teachi啥也ildren

how to question

an吐 how

to explain. American

Edtκ ational

Research Journal

,

31(2)

,

338-368

芷ohler， F. \\尺， E且ll，卦，

Hoe[

,

K. &

Str剖n，

P. S.

(1

994). Supplemental peer

pract間 rna

first-grade math class:

E缸ects

on teacher

behavior 祖d

five low achievers' responding and

acquisition of conten

t.

The Elementary Schoo

lJ

ournal

,

94(4)

,

389-403

‘

Lin∞ln，

Y.

S. &

Guba

,

E.

G.

(1

985). Naturalistic

inquir弘 SAGE

Publications India

P吭，Lt

d

Lave

,

J. (1

988). Cognition inpractice. Cambridge: Cambridge University Press

L叫19，

S. S.

&帆，

R. (2000). Sharing

proble況1

posing and problem at home through

di呵

writing. Australian Primary

Mathen:叫es

Classroom.

5 (1),

2日-32

Lowrie丸，

T.

& Cα[e泣m甘e凹nt阻s，

M. A.

(ο200[).

V

rna訓1甘血hem虹rna阻a叫血恥t缸恤1凹C叫a叫[p凹b1e凹帥口ms叩o[廿vrn呵g.Jou門間官al afRe臼se，帥0由y陀c叫hi間"neα'hi/dh加oodEdl扣恥u缸4呵ca叫tio叭n爪1， 1圳呎卵Iη)，77-

93 Mayer

,

R. E.

(l

987 1!

990). Educational psychology: A

cogni訂閱。rpproach

林清山(譯)。教育心理學一一韶知取向。臺北遠流。

Mayer

,

R.

E. (2000). Intelligence and education. In

R. J.

Sternberg (Ed.)

,

Handbook of

intelli-genee

(p

p. 5[9-533).

Carnbri吐ge

University Press. USA

McNei[

,

N. M.

&

Alib甜，

M.

W.

(2000). Learning

mathematics 企"om

procedural instruction

Externally

impos吋 goals

influence what is learned.

Joω nal

of Educational Psychology

,

92(4)

,

734-744

Medin

,

D. L.,

Ross

,

B.

H.

& M訂krn缸，

A. B. (2001). Cognitive psychology (3"

cd.) 日缸court

College Publishers. USA

Brown

, A. L.

&

Palincsar

, A.

S. (1989).

Guided ∞ope叫ive

learning and individual knowledge

ac叫q阻叫SI血tIC阻n.In

L.

B.

Resn血lC仗k(但Ed句)， Kn叩ow附In咚'g， Ieα耐丹rn叫In略1 Robe甘F吋t Gla白se.由r(印pp.393-45[).

Hillsda[e

,

NJ:

Er吐lbaumI訂mn1

Catroambone

,

R. &

Ho[yoak

,

K. J. ([989). Overcoming contextual [imitation on

prob1em-solving transfer.

Jm州。I

of

Experim叩tal

Psychology:

Learni嗯，

Memmy

,

and Cognition

,

15(6)

,

1147-1156

Clark

,

F.

B. &

Karnii

,

C. (1

996). Identification of multiplicative thinking in

chil訂閱 in

grades

1-5.

Journal戶r

Research in

A也them叫 csEduωfion， 2 尺[)， 41 孔

Co恤，

P. (1

996). Where is the mind? A coordination of sociocultural and cognitive constructivist

perspectIv臼 In

C. T.,

Fosnot

(E吐)， Const間ctivism: The。所 perspecti陀丸。nd

(p

p.34-52). Teachers College

,

Columbia

Univers句 NY

Ern自t，

P. (1998). Mathematica[ knowledge and contex

t. In

A. Watson (Ed.)

,

Situated cognition

and the learning a/mathematics

(p

p.13-31). Center for Mathematics Education

RI的e缸仙，

Univ叮sity

of Oxford

Depart血ent

of Edncationa1 Studies. U.K

Franke

,

M. &

Ruwisch

,

S. (2000). A dollhouse as a situational coutext for

reasoning.

M叫 England

Mathematics

Journ叫，

18-28

Gentner

,

D.

&

Rattennann

,

M.

J.

([993). The roles of

simi[an大y

in transfer: Separating

trievabili句r fro血 inferential

soundness. Cognitive

P.句 chology，

25 ,

524-575

G[asson

,

G.

E. &

Lali

k,

R.

V.

(1993).

Reinterpreting 也e

learning

cycle 宜。m

a

constructivist perspective: A qualitative study of teachers' beliefs and practices. Journal

Research in Science

Teachinι 30(2)，

[87-207

Gravemeijer

,

K. E. P.

(1

99 J). An instructional-theoretical reflection on the use

In

L. Streefland (Ed.)

,

Realistic mathematics education in primary schoo!. On the

ofthe

op叩ing

ofthe

F，悶udenthal

Institute

(pp.57-76). Freudentha[

Insti扭扭，

Utrecht

Netherlands

Greasser

,

A. C.

&

Person

,

N.

K. ([994). Question asking

durir海關oring.

American

R臼ea阿hJo耐 nal，

31 (1),

104-137

H叫ve[-Panhuizen，

M. van den. (200[).

Chi肘'ren

learning mathematics.

Freudenthal

Utrech

t.

The Netherlands

Huan皂，

H. M. E. (2001). Teaching

math臼nati臼1

problem solving in Taiwan

elemen祖ry

In E. Pehkonen

(E吐)，

Problem solving around the world

(p

p.75-8[). Fin[and

,

University

Turku

(16)

First ICMI-EAST Asia Regional Conference on Mathematics Education

Shulman

,

L. S. (1986). Those who understand:

Kn

owledge

grow油田 teaching. Edl叫tiona!

R臼earcheη15(2)， 4-14

Shulman

,

L. S. (1987). Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Harvard

Educational

Revie叫 57(1)， 1-22

Sternber耳，

R. J. (1999).

Cogniti間 psychology (2吋 ed.).

Harcourt Brace

&

Company

,

USA

Swill臣，

S. R.

&

Peterson

,

P.

L. (1

982). The relationship of

studen臼 ability an吐 small-group

ms出ction

to student achievemen

t.

Arnerκ an

Educational

R自由阿h

Jou

l71

al

,

19(2)

,

259-274

九九osniadou，

S. &

0況。呵 A.

(1

989). Similarity and analogical reasonin

g.

Cambridge

,

U.K

Cambridge University Press

Vygots旬，

L.

S一 (1978).

Mind in

soci時 The developm 叫t

of higher psychological

pro此間自

Cambridge

,

:MA:

Harvard University

Pres心

Wagner

,

R. K.

(2000). Practical intelligence. In

R. J.

Sternberg

(E且)，

Handbook of intelligence

(p

p.380-395). Camblidge University Press. USA

Wagner

,

R.

K. (20日 2).

Smart people doing dumb things:

The 間se

of

manager凶 mcompeten此

In R.

J.

Sternberg

(Ed.)，持有!y

smart people cab be so stupid

(p

p

.4

2-63). Yale University

USA

Watson

,

A. (1

998) Situated cognition and the learning qfmathematics. Center For Mathematics

E吐lication

Research.

Universi可 of

Qxford Department of Educational Studies. U.K

Webb

,

N. M.

(1

989). Peer interaction and learning in small groups. International

Jo叫nalof

Educationa!Research， 13， 2l卜-40 W

恥'eb祕b，

N. M.

(υ19兜82划a吋) 旭 a帥na耳叫吋a剖均l抄加y戶sis

of

g伊ro~oup加叩.p III帥扭r恥a缸ct恤昀Ion 阻叫d 血叫a血伽erna酬a剖ti蚓晶叫I e叮叮ITO岫r阻s

in

h岫1祖叫et

c軒ro嗯ge叩ne臼ou田s ab恤1且Ii句可

groups.

Bl門叫iti叫'shJou叫UT.η2悶αalofe，叫dz缸4κCα叫tional

Psychology 50

,

1

一 11

Webb

,

N. M.

(1

982b). Group

ωmposltlOn， group interaction

,

and achievement in cooperative

small groups. Journal of

Educat仰的I

Psychology

,

74(4)

,

475-484

Webb

,

N. M.

(1

991). Task-related verbal interaction

an吐 m剖hemati臼 learning

in small groups

Journal戶rR郎的陀h

in Mathematics Education

,

22 ,

366-389

Miles

,

M.

B.

&

Huberman

,

A.

M. (1994).

Quali的five do的 analysis

(2"d ed.). SAGE Publica

tions India Pvt

,

Ltd

Mul1i皂曲，

J.

&

Wright

,

R. B. (2000).

Interview-base吐 assessment

of early multiplication and

division. In

Y.

Nakahara

&

M. Koyama (Eds.)

,

Proceedings ofthe

24"

Confe陀耽e

ofthe

Internatio間I

Groupfor

的e

Psychology ofmathematics

Educat酬，民 4， 4-17-24.

National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school

mathematics.

The National Council ofTeachers ofMathematics

,

Inc. USA

Nickers凹，

R. S.

(1

994). The teaching ofthinking

a吋 problem

solving. In R. J. Sternberg (Ed.)

,

Thinking and problem

solνing

(p

p. 409-441). Academic Press

,

In

c. USA

Noddin咎， N.

(1985). Small groups as a setting for research on mathematical problem solving. 111

E. A. Silver (Ed.)

,

Teaching and learning mathematicai problem solving

(pp. 345-360)

Hi

l1

sad1e. NJ:Erlbaum

0'

Connor

,

M.

C. (1

998). Language socialization in the mathematics classroom: Discourse

practl臼s

and

mathematical 也inking.

In M. Lampert

&

M. L. Bl

unk

(Eds.)，必lking

mathe-mattes in schoo

l.

Studies of teaching and learning

(p

p.17-55).

Cambri丑惡e

University

U

.K

Outh阻止L.

N. & Mi

tchelmore

, M.

C. (2000). Young children's intuitive understanding

rec個.ngular

area measuremen

t.

Journal for

R目叫陀h

in

Math臼natics

Education

,

144-167

Phye

,

G.

D. (2001). Problem-solving instruction

an吐 problem-solving

transfer: The

吐ence

issue. Journal of

Educat的nai Psychology，的(3)， 571-578

Re抖，R.

E.

,Suy也m，

M. N.

& Lindquis~

M.

(1995). Helping children learn mathematics

ed.). Allyn and BaconAsimon

&

Schuster Comapany

Rittl

• Johnson

,

B.

,Siegl缸，

R. S.

&

Alibali

,

M.

W.

(2001). Developing

concep血al