實數系的建構與性質
微積分的起源約莫於十七世紀後半期, 由英國物理學家、數學家牛頓 (I. Newton, 1643–1727)與德國 哲學家、數學家萊布尼茨(G. W. Leibniz, 1646–1716)各自建立了微積分的計算系統, 而在那個年代 的科學家們也已經會用微積分的方式描述並推演, 將很多自然界的現象包括物理、天文等進行深入地 探討與認識。 雖然微積分在那時候就已彰顯出強大的威力並回答各式物理與天文上的問題, 但是這當中的數學 邏輯論述上存在著很多有待澄清的地方。 特別是關於 「無窮 — 無窮大或無窮小」 的概念總是以一種 似懂非懂的方式進行闡述, 這引起了人們長達一個多世紀的爭論, 而這件事在數學上引發了第二次的數學危機。 直到十九世紀初, 柯西 (A. L. Cauchy, 1789–1857) 及魏爾斯特拉斯 (K. Weierstrass,
1815–1897)等人替極限理論做進一步詮釋下才將微積分奠定了更穩固的基礎。 又過了半個世紀, 康托
(G. Cantor, 1845–1918)與戴德金(R. Dedekind, 1831–1916)等人發現到: 極限理論實際上依賴於
更根本的問題, 也就是對於實數必須要有一個清楚的認識,於是當實數的完備性建立之後,當初有待澄
清的問題才得以完全解決。
而實數的完備性(completeness of the real numbers)到底是什麼樣的概念呢? 我們必須先從數
系的建構開始討論起, 然而關於正整數集合 N (natural numbers) 與整數集合 Z (integers) 的意義
及性質, 這裡預設各位在一年級的數學導論課程或是數論的課程中已經學到相關的理論, 故在此不多 做解釋。 倘若你完全沒有修過這兩門課, 或是你覺得你修了這兩門課但是沒有學好, 我認為這不至於 對高等微積分的學習有直接的衝擊, 不妨就還是以國小、國中、高中對於自然數與整數的認知繼續往下 學習即可。 這一章的內容篇排如下: 第1.1節將簡介有理數的系統, 當中會說明體(field) 還有全序 (totally order)的概念, 這兩個概念及其運算規則將在下一節要介紹的實數完備性當中經常地使用。 第 1.2節
將闡述實數的完備性, 這裡採用戴德金切割法 (Dedekind cut method)進行建構並給予完整地論述。
第 1.3 節相較於前一節來說是獨立的單元, 我們將用基數 (cardinality) 的方式討論一個集合的元素
個數, 並引出可數集 (countable set) 與不可數集 (uncountable set) 這兩個概念。 從這個面向出發,
也可以區分有理數集與實數集的差別。
這裡附帶一提的是, 關於實數完備性的理論, 在數學歷史上已經建立非常多互相等價的敘述, 這些
敘述都各有特色, 而且也影響著數學分析在不同面向的發展, 所以我們會在第 3 章重新回到實數完備
性的課題進一步探討這個理論。
1.1
有理數的基本性質
考慮 有理數 (rational numbers)所成的集合: Q = p q p ∈ Z, q ∈ N, (p, q) = 1 , 其中最後一個條件(p, q) = 1表示p與q 互質(coprime);也就是說, p與q的 最大公因數(greatest common divisor)是 1。 以下列出有理數集的基本運算規則: (F) 在有理數集 Q 上可定義加法運算 +與乘法運算 · 使得對任意 a, b ∈ Q 都有 a + b ∈ Q 以及 a · b ∈ Q,並且有以下的運算規則: (F+C) 加法交換律 (commutative law): 對所有 a, b ∈ Q, a + b = b + a。 (F+A) 加法結合律 (associative law): 對所有 a, b, c ∈ Q, (a + b) + c = a + (b + c)。(F+Id) 加法單位元素 (additive identity): 存在元素 0 ∈ Q 使得對所有 a ∈ Q, a + 0 =
0 + a = a。
(F+Iv) 加法反元素 (additive inverse): 每個元素 a ∈ Q 都存在另一元素 −a ∈ Q 使得
a + (−a) = (−a) + a = 0。 (F·C) 乘法交換律 (commutative law): 對所有 a, b ∈ Q, a · b = b · a。 (F·A) 乘法結合律 (associative law): 對所有 a, b, c ∈ Q, (a · b) · c = a · (b · c)。 (F·Id) 乘法單位元素 (multiplicative identity): 存在元素1 ∈ Q使得對所有 a ∈ Q, a · 1 = 1 · a = a。 (F·Iv) 乘法反元素(multiplicative inverse): 每個元素a ∈ Q, a 6= 0 都存在另一元素 a−1 ∈ Q使得 a · a−1 = a−1· a = 1。 (F·+D) 乘法對加法的分配律 (distributive law): 對所有a, b, c ∈ Q, a · (b + c) = a · b + a · c。
(O) 在有理數集 Q上可定義 全序關係 <(total order relation),並且有以下規則:
(O1) 三一律 (trichotomy law): 對任意 a, b ∈ Q, 則a < b, a = b, b < a三者之一必成立。
(O2) 遞移律(transitivity): 對於 a, b, c ∈ Q, 若a < b 且b < c, 則 a < c。
(O3) 加法的保序性 (compatibility of < and +): 若 a, b ∈ Q且a < b, 則對任何c ∈ Q都 有 a + c < b + c。
(O4) 乘法對正有理數的保序性 (compatibility of < and ·): 若 a, b ∈ Q, 0 < a且 0 < b, 則
0 < a · b。
關於全序關係, 我們有時候會用 >符號, 也就是說 a < b 與b > a 同義。 此外, 再與等號搭配,
根據課程的屬性, 以上所列舉的條文, 在高等微積分 (advanced calculus) 或數學分析 (math-ematical analysis) 課程中應以最自然的方式感受並順勢使用, 不應刻意地去背誦之; 也就是說, 此 時我們是把上述規則視為已知而直接使用, 就像各位在中學階段進行數字的運算時並不會刻意強調每 一步到底是用了什麼規則, 而我們所關心的重點將放在其它地方 (例如這一章要討論實數完備性之意 義)。 但是如果你是在代數學 (algebra)的課程中, 因為那門課強調的是集合、運算、關係之間的結構性 (structure),於是就必須花時間逐一理解每一個規則代表的意義, 甚至要對各種規則之間進行比較, 所 以在代數課當中勢必要花時間把每個條文都確實地記起來。 在此簡要補充上述規則在代數學上使用的術語: 滿足 (F) 所有性質之集合稱為 體 或 域(field);
若一個集合滿足 (O1) 與 (O2) 這兩個條件的話, 則稱集合是一個 有序集 (totally-ordered set); 若
一個集合同時滿足 (F) 與 (O) 的所有條件, 則稱之為 有序體 (totally-ordered field)。 所以有理數
是一個有序體, 而我們會把 (Q, +, · , <) 整體稱為 有理數系(rational number system)。 以下指出一個有理數系 (Q, +, · , <) 的性質: 定理 1 (有理數的稠密性). 任兩個不相等的有理數之間必存在第三個有理數。 證明: 若 x, y ∈ Q, 假設x < y, 則 x+y 2 ∈ Q,並且x = x+x2 < x+y 2 < y+y 2 = y。
1.2
戴德金切割與實數的完備性
在正式進入這個主題前, 先想一想你對實數集 R 的了解有多少? 沒一會兒你就會發現你似乎說不清 楚這個集合的意思, 它不像正整數集N就是{1, 2, 3, . . .}、整數集Z就是由正整數集與0還有正整數 取負號全部收集而成的集合、有理數集 Q就是彼此互質的整數與正整數相除所成的集合那樣, 它們都 有很明確的表達告知該集合內的元素組成之方式。 或許你還可以再擠出一點點對於實數集的認識, 像 是 √2 還有 π 是實數但不是有理數, 也可能想到循環小數與不循環小數會和實數集的討論有一些關 聯, 或是你依稀記得中學老師曾經告訴你實數集就把它想像成是一條數線, 數線上的每個點就代表一 個數, 好像這樣的說詞就可以把你說服並不再追問了。 這裡不妨岔個題, 跟你說一個數學老師們最經典的騙術: 推卸責任法。 回想一下你學習數學的經驗 就會發現到, 小學數學老師會跟你說: 「某某觀念現在對你來說太難了, 等到你讀國中的時候, 數學老 師就會把這件事跟你解釋清楚。」 然而上了國中, 國中數學老師就會說: 「某某觀念各位在小學的時候 就學過了, 這裡不再多述。」 這個現象也必然發生在其它求學階段 (甚至像這份講義的一開始一樣, 把 正整數與整數的討論完全推卸給數學導論或數論老師), 這就是導致你對實數集一知半解的原因。 而這 件事你也不需要有什麼過多的怨言, 台灣的數學教育本來就會讓數學老師的騙術一再上演而且成功, 短時間內無法扭轉。 回到正題, 前一節我們只是對有理數系(Q, +, · , <)有了初步認識, 關於有理數集Q,它不僅僅是 那些可表示成 p q 的數字所成的集合而已, 其中 p ∈ Z, q ∈ N, (p, q) = 1,實際上有理數集還賦予了加 法+與乘法 ·還有全序<的結構。 現在我們要繼續對有理數系進一步討論以建立實數系。 在歷史上, 有很多理論都可以建立實數系, 一些教科書中將會看到作者用十進位小數的方法鋪陳實數系, 而這份講義則是採用 戴德金切割法 (Dedekind cut method) 建構實數。 戴德金切割法的特
時候,想法很單純且清楚,只是在最後的論述過程中, 由於一直把概念往上堆疊的情況下所以會顯得有 一點冗長, 但整體而言, 戴德金的這套理論仍然是最為人推崇。 戴德金所建構的實數完備性理論, 第一步是引進了有理數集的切割, 現寫成定義如下: 定義 1 (有理數集的切割). 有理數集 Q 的一個 切割 (cut) 指的是 Q 當中的一個子集合 Q 並且滿 足以下三個條件: (A) 集合Q 非空, 而且 Q 6= Q。 (B) 若r ∈ Q而且對所有 r′ ∈ Q 滿足 r′ < r, 則 r′ ∈ Q。 (C) 若r ∈ Q, 則存在 r′′ ∈ Q使得 r < r′′。 我們先用以下兩個例子說明有理數集 Q的切割可能之情況: 例 2. 定義集合 Q = {r ∈ Q|r < 1}, 則 Q是有理數集Q的一個切割。 證明: (A) 因為0 ∈ Q, 0 < 1, 因此Q 非空。 因為2 ∈ Q, 2 > 1, 所以 2 6∈ Q,因此Q 6= Q。 (B) 若r ∈ Q, 即r ∈ Q, r < 1。 對所有 r′ ∈ Q 滿足 r′ < r, 則 r′ < r < 1, 所以 r′ ∈ Q。 (C) 若r ∈ Q, 取r′′= r+1 2 ∈ Q,則 r = r+r2 < r ′′= r+1 2 < 1+12 = 1 得知 r ′′ ∈ Q 且r < r′′。 由上述討論得知 Q = {r ∈ Q|r < 1}是有理數集 Q的一個切割。 例 3. 定義集合 Q = {r ∈ Q|r ≤ 0} ∪ {r ∈ Q|r > 0, r2< 2}, 則Q 是有理數集Q的一個切割。 證明: (A) 取1 ∈ Q 所以Q 非空; 因為 2 ∈ Q, 2 > 0且 22 = 4 > 2, 所以 2 /∈ Q,於是 Q 6= Q。 (B) 若 r ∈ Q 並且對所有 r′ ∈ Q 滿足 r′ < r, 如果 r′ ≤ 0, 則 r′ ∈ Q; 如果 r′ > 0, 則 (r′ )2 < r2 < 2 得到r′ ∈ Q。 (C) 對於 r ∈ Q, 若 r ≤ 0, 取 r′′ = 1即為所求; 若 r > 0, 考慮 r′′ = r − r2−2 r+2 = 2r+2r+2 ∈ Q, 此 時, 因為r2− 2 < 0,所以 −r2−2 r+2 > 0, 於是 r < r ′′。 此外 , (r′′ )2− 2 = 2r + 2 r + 2 2 − 2 = 4r 2+ 8r + 4 − 2(r2+ 4r + 4) (r + 2)2 = 2(r2− 2) (r + 2)2 , 因為r2 < 2, 所以 (r′′)2 − 2 < 0,得到 (r′′)2 < 2, 所以 r′′ ∈ Q。 由上討論得知 Q = {r ∈ Q|r ≤ 0} ∪ {r ∈ Q|r > 0, r2 < 2}是有理數集Q的一個切割。 上述兩個例子分別都代表有理數集Q的切割,但是這兩個切割有什麼主要的差異呢? 為說明這關 鍵性的差異, 我們需要引進以下兩組定義。
定義 4 (上界;下界). 給定一個有序集 S,而有另一個集合 E ⊂ S,
(A) 若存在C ∈ S 使得對所有x ∈ E 都滿足x ≤ C,則稱集合 E 是 有上界的(bounded above),
此時C 稱為集合E 的一個 上界 (upper bound)。 (B) 若存在 c ∈ S 使得對所有 x ∈ E 都滿足 x ≥ c, 則稱集合 E 是 有下界的 (bounded below), 此時c 稱為集合E 的一個 下界(lower bound)。 定義 5 (最小上界;最大下界). 給定一個有序集S, 而有另一個集合 E ⊂ S, (A) 若存在 M ∈ S 滿足以下兩個條件, 則稱 M 是集合 E 的 最小上界 或 上確界(supremum): (1) 對所有 x ∈ E 都有 x ≤ M。 (M 是E 的一個上界) (2) 對所有 M′ ∈ S 滿足 M′ < M, 存在 x′ ∈ E 使得 M′ < x′。 (任何小於M 的數都不是 E 的上界) 一個集合E 的最小上界我們會用記號 sup E 表示。 (B) 若存在 m ∈ S 滿足以下兩個條件, 則稱 m是集合 E 的 最大下界 或 下確界(infimum): (1) 對所有 x ∈ E 都有 x ≥ m。 (m是E 的一個下界) (2) 對所有 m′ ∈ S 滿足 m′ > m,存在 x′ ∈ E 使得 m′ > x′。 (任何大於m的數都不是 E 的下界) 一個集合E 的最大下界我們會用記號 inf E 表示。 特別注意的是: 這兩組定義當中的 C, c, M, m 都是在有序集 S 內找尋滿足條件的元素。 而且有 關最小上界與最大下界的第二個條件當中, M′ 與 m′ 也是有序集 S 當中的元素; 換言之, 各位在認 識這兩組定義時, 應該要體會到一開始的設定一定會有一個大的有序集S 還有一個它的子集合E, 然 後關於集合E 的上界、下界或是最小上界、最大下界都是在大的有序集 S 上找到滿足條件的元素。 以下先指出最小上界與最大下界的一個性質: 定理 6. 記S 是有序集且 E ⊂ S,若 E 的最小上界存在, 則唯一;若 E 的最大下界存在, 則唯一。 證明: 假設 M1, M2 ∈ S 都是集合 E 的最小上界。 如果 M1 < M2, 那麼從 M2 是最小上界的意 義來看, 存在 x′ ∈ E 使得 M1 < x′, 則 M1 不是 E 的上界, 於是 M1 < M2 不對。 同樣地, 如果 M2 < M1, 那麼從 M1 是最小上界的意義來看, 存在 x′ ∈ E 使得 M2 < x′, 則M2 不是E 的上界, 於是M2 < M1 不對。 因此, 由三一律(trichotomy law)得知 M1 = M2。 至於最大下界若存在則唯一的討論也是類似的, 在此也一併說明: 假設 m1, m2 ∈ S 都是集合 E 的最大下界。 如果 m1 > m2, 那麼從 m2 是最大下界的意義來看, 存在 x′ ∈ E 使得 m1 > x′, 則 m1 不是 E 的下界, 於是 m1 > m2 不對。 同樣地, 如果 m2 > m1, 那麼從 m1 是最大下界的意義 來看, 存在 x′ ∈ E 使得 m2 > x′, 則 m2 不是 E 的下界, 於是 m2 > m1 不對。 因此, 由三一律 (trichotomy law)得知 m1 = m2。
現在將指出 例2 與 例3中關於有理數的切割之主要差異。 例 7. (A) 考慮有理數集Q的切割 Q = {r ∈ Q|r < 1}, 則 Q的最小上界在 Q中存在。 (B) 考慮有理數集Q的切割Q = {r ∈ Q|r ≤ 0} ∪ {r ∈ Q|r > 0, r2 < 2},則Q 的最小上界在Q 中不存在。 證明: (A) 證明1 ∈ Q 是Q 的最小上界: 因為對所有r ∈ Q都滿足 r < 1, 所以 1是 Q的一個上界。 對 任何 M′ ∈ Q滿足 M′ < 1, 考慮 r′ = M′+1 2 ∈ Q, 則 r ′ = M′+1 2 < 1+12 = 1, 所以 r ′ ∈ Q; 此外, M′ = M′+M2 ′ < M′2+1 = r′ , 所以M′ 不是 Q 的上界。 因此1是 Q的最小上界。 (B) 首先證明滿足 r2> 2 的正有理數都不是最小上界: 假設 r ∈ Q 滿足 r > 0, r2 > 2, 考慮 r′ = r −r2−2 r+2 = 2r+2r+2 ∈ Q,則r ′ < r, 並且 (r′ )2− 2 = 2r + 2 r + 2 2 − 2 = 4r 2+ 8r + 4 − 2(r2+ 4r + 4) (r + 2)2 = 2(r2− 2) (r + 2)2 , 因為r2 > 2, 所以 (r′)2− 2 > 0, 得到(r′)2 > 2, 所以 r 不是 Q的最小上界。 再證不存在正有理數滿足 r2 = 2: 假設存在有理數 r = p q, 其中 p, q ∈ N, (p, q) = 1 使得 r2 = 2, 那麼 pq22 = 2 得到 p2 = 2q2, 所以 p2 是偶數, 得到 p 也是偶數。 記 p = 2m, 再代回 p2 = 2q2 得到 q2 = 2m2, 於是 q2 也是偶數, 得到 q 也是偶數, 這與 (p, q) = 1 矛盾。 所以不 存在正有理數滿足 r2 = 2。 最後, 由 例 3 的 (C) 的討論得知, 集合 Q 內的元素也不會是 Q 的最小上界。 因此Q 的最小 上界在 Q中不存在。 經過上面的分析, 我們會說切割 Q = {r ∈ Q|r < 1} 定義了一個有理數 1; 換言之, 我們把切割 Q = {r ∈ Q|r < 1} 與有理數 1 對應; 而對於切割 Q = {r ∈ Q|r ≤ 0} ∪ {r ∈ Q|r > 0, r2 < 2} 而言,因為它無法在Q中找到最小上界, 於是稱這個切割定義了一個 無理數(irrational number) α。 關於滿足r2 = 2 的正無理數, 就如各位在國中或高中數學課程中學到的概念, 我們將它記成 √2。 於是我們利用有理數集的切割之概念定義實數集:
定義 8. 實數集(real number set) R是將所有的有理數切割之最小上界收集而成的集合。
這裡再次解釋上述的想法: 現考慮任何一個有理數集 Q的切割 Q, 如果 Q的最小上界可以在 Q 當中找到,則切割Q定義了一個有理數; 如果Q的最小上界無法在Q當中找到,則切割Q定義了一 個無理數; 這時我們硬是用一個符號 (數字) 表示這個切割Q, 然後將有理數與那些新定義的符號(數 字)全部收集起來, 稱之為實數集 R。 於是, 我們把有理數集的切割放到實數集這個更大的框架中, 就得到: 任何一個有理數集Q 的切割之最小上界在實數集R中存在。
這裡必須澄清兩件事: (1) 在 1.1節 定理 1 告知的是有理數的稠密性: 任兩個不相等的有理數之間必存在第三個有理數, 所以有理數集是一些密密麻麻的點, 無論用放大鏡或是更高倍的顯微鏡觀察有理數, 它都還是密 集地分佈。 但是上面討論要說明的是: 有理數集雖然是 「密集地分佈」, 但是卻 「漏洞百出」。 所 謂的漏洞就是那些無理數, 將所有無理數收集起來再與有理數集取聯集而成的實數集, 就是一條 「完整無縫隙的數線」, 也就是各位在中學時學到對於實數的概念與感覺一致。 (2) 觀察 定理6的敘述: 「記S 是有序集且 E ⊂ S,若E 的最小上界存在, 則唯一;若 E 的最大下 界存在, 則唯一。」 敘述當中是說 「若」E 的最小上界 「存在」 的話, 則這個最小上界是獨一無二 的; 而 例7 說明的是: 如果是在有理數集 Q當中想找出有理數切割之最小上界的話, 可能會找 不到。而在實數集R的意義下, 我們承認這些有理數的分割之最小上界可以在實數集中找到。 到目前為止, 我們只完成了實數集 R的最初步認識; 也就是說, 至此只告知了實數集 R的元素有 哪些。 對於實數集 R上的某個元素 α, 我們的認知是把它理解成有理數集的一種切割 Qα。 而且由前 面的例子知道: 有一些實數集的元素並非有理數。 接下來要做的事情是: 在實數集 R上我們可以定義 加法 +、乘法 ·、以及全序 < 的概念, 並且檢視 (F) 與(O) 的所有性質。 這麼一來, 將這些結果結合 而得知實數集搭配加法、乘法、全序關係 (R, +, · , <)是一個有序體 (totally-ordered field)。
(O) 首先定義兩實數 α, β ∈ R的大小關係α < β 為: Qα$ Qβ。 然後證明性質(O1) 與(O2):
(O1) 三一律: 對任意 α, β ∈ R,則 α < β, α = β, β < α三者之一必成立。 • 給定 α, β ∈ R,如果 α < β 與α = β 都不對, 則存在 a ∈ Qα 使得 a /∈ Qβ。 對所 有b ∈ Qβ, 則有b < a, 又a ∈ Qα 得到 b ∈ Qα, 因此Qβ $ Qα 得到 β < α。 (O2) 遞移律: 對於 α, β, γ ∈ R,若 α < β 且 β < γ, 則 α < γ。 • 若α < β 且 β < γ, 則Qα $ Qβ $ Qγ, 得到 α < γ。 (F) 給定 α, β ∈ R, 因為 α 對應於有理數集的一種切割 Qα, 而β 對應於有理數集的一種切割 Qβ, 將α + β 對應到集合Qα+β = {a + b|a ∈ Qα, b ∈ Qβ},首先檢視Qα+β 是有理數集的一個切 割: (A) 存在 a ∈ Qα, b ∈ Qβ, 所以 a + b ∈ Qα+β。 取 a′ ∈ Q − Qα, b′ ∈ Q − Qβ, 則 a′ + b′ ∈ Q − Qα+β,所以 Qα+β 6= Q。 (B) 若 r ∈ Qα+β, 則 r = a + b, 其中 a ∈ Qα, b ∈ Qβ, 若有 r′ < r, 則 r′ − b < a, 所以 r′ − b ∈ Qα, 於是 r′= (r′− b) + b ∈ Qα+β。 (C) 若 r ∈ Qα+β, 則r = a + b, 其中 a ∈ Qα, b ∈ Qβ, 因為存在a′′ ∈ Qα 使得 a < a′′, 令 r′′= a′′+ b, 則r < r′′ 且r′′ ∈ Qα+β。 由上討論得知Qα+β 是有理數集的一個切割。
定義完實數集R上的加法後, 現在要檢視實數集上的加法規則: (F+C) 加法交換律: 對所有 α, β ∈ R, α + β = β + α。 • 因為Qα+β = {a + b|a ∈ Qα, b ∈ Qβ} = {b + a|b ∈ Qβ, a ∈ Qα} = Qβ+α, 所以 α + β = β + α。 (F+A) 加法結合律: 對所有 α, β, γ ∈ R, (α + β) + γ = α + (β + γ)。 • 因為 Q(α+β)+γ = {(a + b) + r|a ∈ Qα, b ∈ Qβ, r ∈ Qγ} = {a + b + r|a ∈ Qα, b ∈ Qβ, r ∈ Qγ} = {a + (b + r)|a ∈ Qα, b ∈ Qβ, r ∈ Qγ} = Qα+(β+γ), 所以(α + β) + γ = α + (β + γ)。 (F+Id) 加法單位元素: 存在元素0 ∈ R使得對所有 α ∈ R, α + 0 = 0 + α = α。 • 定義 0 是切割 Q0 = {r ∈ Q|r < 0}。 若 a ∈ Qα, b ∈ Q0, 則 a + b < a 得到 a + b ∈ Qα, 所以 Qα+0 ⊂ Qα。 另一方面, 若 a ∈ Qα, 則存在 a′′ ∈ Qα 使得 a < a′′ , 得到a − a′′ < 0, 於是a = a′′ + (a − a′′ ) ∈ Qα+0, 所以 Qα⊂ Qα+0。 因 此Qα+0 = Q0+α = Qα, 即0 + α = α + 0 = α。 (F+Iv) 加法反元素: 每個元素α ∈ R 都存在另一元素 β ∈ R使得 α + β = β + α = 0。 建構 完畢後會用−α 表示 α 的加法反元素。 • 給定α ∈ R,它對應於一個切割Qα, 令 Qβ 是滿足以下條件的有理數所成的集合: Qβ = {b ∈ Q|存在 r > 0使得 − b − r /∈ Qα}, 首先證明Qβ 是有理數集Q的一個切割: (A) 取a′ / ∈ Qα,令 b = −a′− 1, 則−b − 1 /∈ Qα 得到 b ∈ Qβ, 因此Qβ 非空。 取 a ∈ Qα, 因為所有r > 0 都滿足 a − r = −(−a) − r ∈ Qα, 所以 −a /∈ Qβ, 因此 Qβ 6= Q。 (B) 取b ∈ Qβ,則存在r > 0使得−b−r /∈ Qα。 對所有b′ < b,則 −b′ −r > −b−r, 於是 −b′ − r /∈ Qα, 因此 b′ ∈ Qβ。 (C) 若 b ∈ Qβ, 則存在 r > 0 使得 −b − r /∈ Qα。 取 b′′ = b + r2 > b, 則 −b′′ −r 2 = −b − r /∈ Qα,因此 b ′′ ∈ Qβ。 由上討論得到Qβ 是有理數集Q的一個切割。 • 再證 α + β = 0: 若 a ∈ Qα, b ∈ Qβ, 則存在 r > 0 使得 −b − r /∈ Qα, 所以 a < −b − r,得到 a + b < −r < 0,也就是說, Qα+β ⊂ Q0。 另一方面, 若 r ∈ Q0, 取 r′ = −r2, 則 r ′ > 0。 取整數 k ∈ Z 使得 kr′ ∈ Qα 但 (k + 1)r′ ∈ Q/ α。 令 b = −(k + 2)r′,因為 −b − r′ = (k + 1)r′ / ∈ Qα, 所以 b ∈ Qβ 得到 r = kr′+ b ∈ Qα+β, 因此 Q0⊂ Qα+β。 由上述討論得知Qα+β = Q0,即 α + β = 0。
(O) 討論完實數集R 上的加法後, 可以先證明 (O3)的性質: (O3) 加法的保序性: 若α, β ∈ R, α < β,則對任何γ ∈ R 都有 α + γ < β + γ。 • 由 α < β 得到 Qα$ Qβ, 所以對任何 γ ∈ R都有 Qα+γ $ Qβ+γ, 所以 α + γ < β + γ。 至於實數上的乘法運算·,首先定義正實數集R+= {α ∈ R|α > 0}的乘法規則: 若α, β ∈ R+, 將α · β 對應到集合 Qα·β = {q ∈ Q|q < a · b, a ∈ Qα, b ∈ Qβ, a, b > 0}, 同樣地, 要先檢視Qα·β 是Q 的一個切割: (A) 取 q = 0 ∈ Q得到 q ∈ Q, 因為存在a′ / ∈ Qα, b′ ∈ Q/ β,取 q′ = a′· b′, 則q′ ∈ Q/ α·β, 於 是 Qα·β6= Q。 (B) 給定 q ∈ Qα·β, 對任何 q′ ∈ Q, q′ < q, 遞移律告知 q′ < q < a · b, 其中 a ∈ Qα, b ∈ Qβ, a, b > 0, 所以 q′ ∈ Qα·β。 (C) 對任何 q ∈ Qα·β, 則 q < a · b, 其中 a ∈ Qα, b ∈ Qβ, a, b > 0, 因為存在 a′′ ∈ Qα 與 b′′ ∈ Qβ 滿足0 < a < a′′, 0 < b < b′′, 記q′′= a′′· b′′, 則 q′′> q且 q′′∈ Qα·β。 由上討論得知Qα·β 是Q 的一個切割。 接著我們可以把(O4) 證明完畢。 (O4) 乘法對正實數的保序性: 若 α, β ∈ R+, 則 0 < α · β。 • 對於r ∈ Q0, 以及a ∈ Qα, b ∈ Qβ, a, b > 0, 則r < 0 < a · b 得知r ∈ Qα·β, 因此 Q0$ Qα·β 得到 0 < α · β。 (F) 再證乘法對於正實數集 R+ 的情況成立: (F·C) 乘法交換律: 對所有 α, β ∈ R+, α · β = β · α。 • 這是因為 Qα·β= {q ∈ Q|q < a · b, a ∈ Qα, b ∈ Qβ, a, b > 0} = {q ∈ Q|q < b · a, b ∈ Qβ, a ∈ Qα, b, a > 0} = Qβ·α。 (F·A) 乘法結合律: 對所有 α, β, γ ∈ R+, (α · β) · γ = α · (β · γ)。 • 若q ∈ Q(α·β)·γ,則q < c·r,其中c ∈ Qα·β, r ∈ Qγ, c, r > 0,得到q < c·r < a·b·r, 其中 a ∈ Qα, b ∈ Qβ, r ∈ Qγ, a, b, r > 0, 記 d = b · r, 則 q < a · d, 其中 a ∈ Qα, d ∈ Qβ·γ, a, d > 0, 即q ∈ Qα·(β·γ)。 因此 Q(α·β)·γ ⊂ Qα·(β·γ)。
• 若 q ∈ Qα·(β·γ), 則 q < a · d, 其中 a ∈ Qα, d ∈ Qβ·γ, a, d > 0, 得到 q < a · d < a · b · r,其中 a ∈ Qα, b ∈ Qβ, r ∈ Qγ, a, b, r > 0, 記 c = a · b, 則 q < c · r,其中 c ∈ Qα·β, r ∈ Qγ, c, r > 0, 即 q ∈ Q(α·β)·γ。 因此 Qα·(β·γ) ⊂ Q(α·β)·γ。 由上討論則有Q(α·β)·γ = Qα·(β·γ), 即 (α · β) · γ = α · (β · γ)。 (F·Id) 乘法單位元素: 存在元素1 ∈ R+ 使得對所有α ∈ R+, α · 1 = 1 · α = α。 • 對任何 q ∈ Qα·1, 則 q < a · b,其中 a ∈ Qα, b ∈ Q1, a, b > 0, 得到 q < a, 其中 a ∈ Qα, a > 0, 所以q ∈ Qα。 因此 Qα·1⊂ Qα。 • 給定q ∈ Qα, 存在a ∈ Qα, a > 0 使得 q < a, 又存在 a′′∈ Qα 使得 q < a < a′′, 所以 q < a = a′′ · aa′′, 其中 a ′′ ∈ Qα, a a′′ ∈ Q1, a ′′ , a a′′ > 0 因此q ∈ Qα·1, 得到 Qα⊂ Qα·1。 由上討論可知Qα·1= Q1·α= Qα。 因此 α · 1 = 1 · α = α。 (F·Iv) 乘法反元素: 每個元素α ∈ R+ 都存在另一元素 β ∈ R+ 使得 α · β = β · α = 1。 建構 完畢後會用α−1 表示 α 的乘法反元素。 • 給定α ∈ R+, 它對應於一個切割Q α, 令Qβ 是滿足以下條件的有理數所成的集合: Qβ = {b ∈ Q|b ≤ 0} ∪ b ∈ Q 存在 r > 0使得 1 b − r /∈ Qα , 首先證明Qβ 是有理數集Q的一個切割: (A) 首先, 0 ∈ Qβ;取a ∈ Qα, a > 0,則任何的r > 0都滿足 1 1 a −r = a−r ∈ Qα, 所以 1 a ∈ Q/ β,因此 Qβ 6= Q。 (B) 若 b ∈ Qβ, 對於 b′ ∈ Q, b′ < b, 這裡只需討論 0 < b′ < b 的情況即可。 因為 存在 r > 0 使得 1 b − r /∈ Qα, 而 1 b′ − r > 1 b − r, 所以 1 b′ − r /∈ Qα, 因此 b′ ∈ Qβ。 (C) 若b ∈ Qβ,這裡只需討論b > 0的情況即可。 因為存在r > 0使得 1b−r /∈ Qα, 令 b′′ 滿足 1 b′′ = 1 b − r 2, 則 b1′′ − r 2 = 1b − r 2 − r 2 = 1b − r /∈ Qα, 而且 1 b′′ = 1 b − r 2 < 1b 得知 b ′′ > b, 所以 b′′ ∈ Qβ。 由上述討論得知Qβ 是有理數集Q的一個切割。 • 欲證明α · β = β · α = 1: 若q ∈ Qα·β,則q < a·b,其中a ∈ Qα, b ∈ Qβ, a, b > 0, 因為存在r > 0 使得 1 b − r /∈ Qα, 而 a ∈ Qα 得到 a < 1b − r, 於是 q < a · b < 1 − r · b < 1,因此 Qα·β ⊂ Q1。 另一方面, 欲證 Q1 ⊂ Qα·β, 先看 Qα⊂ Q1 的情況, 而且以下的討論只需要看正有 理數的情形即可。 若0 < q < 1, 取 n ∈ N使得qn∈ Q α 而qn−1∈ Q/ α。 若 1 qn−1 ∈ Qβ, 則q = qn·qn−11 , 其中 qn∈ Qα,qn−11 ∈ Qβ 就告知 q ∈ Qα·β。
若 1 qn−1 ∈ Q/ β, 則對任何有理數 r > 0, qn−1 − r ∈ Qα。 由有理數的稠密性, 存在 q′′ ∈ Q使得 qn< q′′ < qn−1, 現將 q′′ 重新表示如下: q′′ = qn−1− r′ = qn+ r′′ = qn+ q · r′′′ , 其中 r′ , r′′ , r′′′ > 0, 則 q = q · (qn−1+ r′′′ ) ·qn−11+ r′′′ = (q n + q · r′′′ ) ·qn−11+ r′′′, 得到 qn + q · r′′′ = q′′ ∈ Qα; 關於 qn−11+r′′′, 取有理數 r′′′ 2 > 0, 則 1 1 qn−1+r′′′ −r ′′′ 2 = q n−1+ r′′′ −r ′′′ 2 = q n−1+r′′′ 2 ∈ Q/ α, 所以 1 qn−1+r′′′ ∈ Qβ, 因此Q1 ⊂ Qα·β。 再看 Q1⊂ Qα 的情況, 給定 q 滿足 0 < q < 1, 取 n ∈ N 使得 qn−11 ∈ Qα 而 1 qn ∈ Q/ α。 若qn∈ Q β, 則q = qn−11 · q n,其中 1 qn−1 ∈ Qα, q n∈ Q β 就告知 q ∈ Qα·β。 若qn∈ Q/ β,則對任何有理數r > 0, q1n−r ∈ Qα。 由有理數的稠密性,存在q ′′ ∈ Q 使得 1 qn−1 < q ′′ < q1n, 現將q ′′ 重新表示如下 : q′′ = 1 qn − r ′ = 1 qn−1 + r ′′ = q 1 qn+ r ′′′ , 其中 r′ , r′′ , r′′′ > 0, 則 q = q 1 qn+ r ′′′ · 1 1 qn + r ′′′ 因為qq1n + r ′′′ = q′′ ∈ Qα,對於 1 1 qn+r′′′ 而言,因為 1 qn+ r ′′′ −r2′′′ = q1n+ r′′′ 2 ∈/ Qα,所以 1 1 qn+r′′′ ∈ Q β, 於是Q1 ⊂ Qα·β。 由上述討論可知 Qα·β = Qβ·α = Q1, 因此每個元素 α ∈ R+ 都存在另一元素 β ∈ R+ 使得 α · β = β · α = 1。 (F·+D) 乘法對加法的分配律: 對所有 α, β, γ ∈ R+, α · (β + γ) = α · β + α · γ。 • 若q ∈ Qα·(β+γ),則q < a·d其中a ∈ Qα, d ∈ Qβ+γ, a, d > 0,得到q < a·(b+r) = a · b + a · r其中a ∈ Qα, b ∈ Qβ, r ∈ Qγ, a, b + r > 0。 因為β > 0, γ > 0,所以可 取到b′′> 0, d′′> 0使得 q < a · b′′ + a · r′′,令 c = a · b′′ , d = a · r′′,所以 q < c + d 其中 c ∈ Qα·β, d ∈ Qα·γ, 因此 q ∈ Qα·β+α·γ,也就是說, Qα·(β+γ)⊂ Qα·β+α·γ。 另一方面, 若 q ∈ Qα·β+α·γ, 則 q < c + d 其中 c ∈ Qα·β, d ∈ Qα·γ, c, d > 0, 得 到 q < a′ · b + a′′ · r 其中 a′, a′′ ∈ Qα, b ∈ Qβ, r ∈ Qγ, a′, a′′, b, r > 0。 取 a = max(a′ , a′′ ),則q < a·b+a·r = a·(b+r)其中a ∈ Qα, b+r ∈ Qβ+γ, a, b+r > 0, 所以 q ∈ Qα·(β+γ),於是 Qα·β+α·γ ⊂ Qα·(β+γ)。 由上討論, 得到對所有α, β, γ ∈ R+, α · (β + γ) = α · β + α · γ。
接著, 對於 α ∈ R,定義 α · 0 = 0 · α = 0。 至於其它情況, 則用以下方式定義乘法: α · β = −(α · (−β)) 若α ∈ R+, β ∈ R− −((−α) · β) 若α ∈ R− , β ∈ R+ (−α) · (−β) 若α ∈ R− , β ∈ R−, 其中R− = {α ∈ R|α < 0}。 現在要逐一驗證乘法的規則在 R上都成立。 (F·C) 乘法交換律: 對所有 α, β ∈ R, α · β = β · α。 • 若α = 0 或 β = 0,則 α · β = 0 = β · α。 • 若α ∈ R+, β ∈ R−, 則 α · β = −(α · (−β)) = −((−β) · α) = β · α。 • 若α ∈ R− , β ∈ R+, 則α · β = −((−α) · β) = −(β · (−α)) = β · α。 • 若α ∈ R− , β ∈ R−, 則 α · β = (−α) · (−β) = (−β) · (−α) = β · α。 (F·A) 乘法結合律: 對所有 α, β, γ ∈ R, (α · β) · γ = α · (β · γ)。 • 若α = 0 或 β = 0或 γ = 0, 則(α · β) · γ = 0 = α · (β · γ)。 • 若 α, β ∈ R+, γ ∈ R−, 則 (α · β) · γ = −((α · β) · (−γ)) = −(α · β · (−γ)), 而 α · (β · γ) = α · (−(β · (−γ))) = −(α · (−(−(β · (−γ))))) = −(α · (β · (−γ))) = −(α · β · (−γ)),所以(α · β) · γ = α · (β · γ)。 反覆利用乘法交換律也可得知其它兩 正一負的三實數乘法結合律也成立。 • 若α ∈ R+, β, γ ∈ R− ,則(α·β)·γ = −(α·(−β))·γ = (−(−(α·(−β))))·(−γ) = (α · (−β)) · (−γ) = α · (−β) · (−γ) = α · ((−β) · (−γ)) = α · (β · γ)。 反覆利用乘 法交換律也可得知兩負一正的三實數乘法結合律也成立。 • 若α, β, γ ∈ R− , 則 (α · β) · γ = ((−α) · (−β)) · γ = −(((−α) · (−β)) · (−γ)) = −((−α) · (−β) · (−γ)) = −((−α) · ((−β) · (−γ))) = −((−α) · (β · γ)) = α · (β · γ)。 (F·Id) 乘法單位元素: 存在元素1 ∈ R使得對所有α ∈ R, α · 1 = 1 · α = α。 • 若α = 0, 則α · 1 = 0 = 1 · α = α。 • 若 α ∈ R−, 則 α · 1 = −((−α) · 1) = −(1 · (−α)) = 1 · α, 而 −((−α) · 1) = −(−α) = α, 所以α · 1 = 1 · α = α。 (F·Iv) 乘法反元素:每個元素α ∈ R−{0}都存在另一元素β ∈ R−{0}使得α·β = β·α = 1。 建構完畢後會用 α−1 表示α 的乘法反元素。 • 對於α ∈ R−, 取 β = −(−α)−1 ∈ R−, 則 α · (−(−α)−1) = (−(−α)−1) · α = (−(−(−α)−1)) · (−α) = (−α)−1· (−α) = 1。 (F·+D) 乘法對加法的分配律: 對所有 α, β, γ ∈ R, α · (β + γ) = α · β + α · γ。 • 若α = 0,則α·(β+γ) = 0 = α·β+α·γ;若β = 0,則α·(β+γ) = α·γ = α·β+α·γ; γ = 0的情況與 β = 0的情況一樣地討論。
• 若β + γ = 0, β > 0, 則γ < 0,考慮 β = (β + γ) + (−γ), 則α · β = α · ((β + γ) + (−γ)) = α · (β + γ) + α · (−γ),得到α · (β + γ) = α · β − α · (−γ) = α · β + α · γ。 • 若α ∈ R− , β+γ ∈ R+,則α·(β+γ) = −((−α)·(β+γ)) = −((−α)·β+(−α)·γ) = −(−α) · β − (−α) · γ = α · β + α · γ。 • 若 α ∈ R+, β ∈ R− , β + γ ∈ R+, 考慮 γ = (β + γ) + (−β), 則 α · γ = α · ((β + γ) + (−β)) = α · (β + γ) + α · (−β) = α · (β + γ) − α · β, 所以 α · (β + γ) = α · β + α · γ。 • 若 α ∈ R+, β ∈ R− , β + γ ∈ R−, 則 α · (β + γ) = −(α · (−(β + γ))) = −(α · (−β + (−γ))) = −(α · (−β) + α · (−γ)) = −α · (−β) − α · (−γ) = α · β − (−(α · (−(−γ)))) = α · β + α · γ。 • 若 α, β, γ ∈ R− , 則 α · (β + γ) = (−α) · (−(β + γ)) = (−α) · (−β + (−γ)) = (−α) · (−β) + (−α) · (−γ) = α · β + α · γ。 • 若α, β, β + γ ∈ R− , γ ∈ R+, 考慮 β = (β + γ) + (−γ),則α · β = α · ((β + γ) + (−γ)) = α · (β + γ) + α · (−γ) = α · (β + γ) − α · γ,因此α · (β + γ) = α · β + α · γ。 • 若α, β ∈ R− , γ, β + γ ∈ R+, 則α · (β + γ) = −((−α) · (β + γ)) = −((−α) · β + (−α) · γ) = −(−α) · β + (−(−α) · γ) = −(α · (−β)) − (−α) · γ = α · β + α · γ。 至此我們已全部證明完實數集 R關於有序體的所有性質 (F)與 (O)。 現在我們就可以再從實數 集 R出發, 討論對於實數集的切割以及戴德金切割原理並引進確界原理。 定義 9. 實數集R 的一個 切割(cut) 指的是實數集R的一個子集合 R 滿足以下三個條件: (A) 集合R 非空, 而且R 6= R。 (B) 若x ∈ R 而且對所有x′ ∈ R 滿足x′ < x, 則 x′ ∈ R。 (C) 若x ∈ R, 則存在 x′′ ∈ R使得 x < x′′。 從上面的建構, 就得到關於實數集切割的一個重要性質, 它成為實數系當中的一個公理。
公理 (戴德金切割原理, Dedekind Cut Principle). 對於實數集 R 的任何一個切割 R 之最小上界
在 R中存在。
換言之, 我們說
實數系 (R, +, · , <, (D)) (real number system) 是一個滿足戴德金切割原理的有序體。
為了後續的討論,我們將戴德金切割原理稱為 實數的完備性公理(D)。至此, 利用戴德金提出的切割原
理可以將實數系建構完畢而有清楚的認識。 然而在往後數學分析的討論, 若要將所有事物都用戴德金
切割原理進行論述將會變得非常複雜, 於是我們需要一個比戴德金切割原理還要容易操作的方式以進
行各種運算及邏輯推演。 以下要介紹的確界原理(Supremum Principle)日後便取代了戴德金切割原
理, 這是因為確界原理描述實數完備性的方式是以一般的非空有界集 (nonempty and bounded set)
為闡述確界原理與戴德金切割原理之間的關係, 我們需要以下定義: 定義 10 (最大元素;最小元素). 給定一個有序集合 E, 若有一個元素 x ∈ E 滿足對所有 y ∈ E 都 有y ≤ x, 則稱x是E 的 最大元素(maximum element);若有一個元素x′ ∈ E滿足對所有y ∈ E 都有 y ≥ x′, 則稱 x′ 是E 的 最小元素 (minimum element)。 這裡應注意的是: 若將上面的定義與 定義4 還有 定義 5相比, 最大元素與最小元素是在有序集 合 E 當中尋找滿足條件的元素, 並不是在一個更大的有序集合 S 尋找元素。 另一方面, 一個集合 E 的最大元素與最小元素不見得存在, 例如整數集Z就沒有最大元素也沒有最小元素。 這是因為對任何 k ∈ Z, 都有 k + 1 > k,所以 k不是集合Z 的最大元素。 此外,因為 k − 1 < k, 所以k 不是集合 Z 的最小元素。 以下兩個定理將說明戴德金切割原理與確界原理互相等價。 定理 11 (確界原理, Supremum Principle; Infimum Principle).
(A) 若一個非空的集合 E ⊂ R有上界, 則有最小上界。 (上確界原理) (B) 若一個非空的集合 E ⊂ R有下界, 則有最大下界。 (下確界原理) 證明: (A) 以下先證明: 若一個非空的集合 E ⊂ R有上界, 則有最小上界。 (A1) 若 E 有最大元素M, 則 M 就是 E 的一個上界。 另一方面, 因為 M ∈ E, 所以任何小 於 M 的實數 M′ ∈ R 必有 M′ < M, 得到 M′ 不再是 E 的上界, 所以 M 是E 的最 小上界。 (A2) 若 E 沒有最大元素, 則將實數集 R按照以下方法建立一種切割 R: 考慮集合 R′ 是將所 有 E 的上界收集而成的集合, 記R =R − R′。 首先要驗證的是集合 R 是實數集R的一個切割: • 任取x ∈ E,則 x ∈ R; 因為E 有上界, 所以 R′ 非空, 得到 R 6= R。 • 對於x ∈ R, x′ ∈ R 而且 x′ < x, 則 x′ 不是E 的上界, 因此 x′ ∈ R。 • 若x ∈ R, 則 x 不是 E 的上界, 所以存在x′′ ∈ E 使得 x < x′′, 而 E 中沒有最大 元素告知x′′ / ∈ R′, 得到 x′′ ∈ R。
由戴德金切割原理 (Dedekind Cut Principle)得知: 分割R 確定了一個實數α,它是R
的最小上界。 欲說明 α 也是 E 的最小上界, 這是因為 E ⊂ R, 而分割的意義得知 α 是 E 的上界。 另一方面, 任何 β < α, 存在 x′ ∈ R 使得β < x′,而 x′ 不是 E 的上界告知 存在 x′′ ∈ E 使得 x′ < x′′, 得到 β < x′′ 其中 x′′ ∈ E, 於是α 是 E 的最小上界。 (B) 以下要證明的是: 若一個非空的集合 E ⊂ R 有下界, 則有最大下界。
給定非空集合 E, 考慮集合 −E == {−x|x ∈ E},定義 因為集合 E 非空, 所以集合−E 非空。 因
為集合E 有下界,即存在 m ∈ R使得對所有x ∈ E 都有x ≥ m;得到對所有−x ∈ −E都有
以下要證明: 實數 −α 是集合 E 的最大下界。 (B1) 對所有 x ∈ E,則 −x ∈ −E,得到 −x ≤ α,於是x ≥ −α, 因此−α 是集合 E 的下界。 (B2) 對任意 m′ ∈ R使得 m′ > −α, 則−m′ < α, 所以 −m′ 不再是集合 −E 的上界, 所以 存在 −x′ ∈ −E 使得 −m′ < −x′,得到 m′ > x′, 於是 m′ 不再是集合 E 的下界。 由上述討論得知−α 是集合 E 的最大下界。 定理 12. 由確界原理可推得戴德金切割原理。 證明: 若R 是實數集R的一個切割, 因為R 6= R,即存在x ∈ R使得對所有y ∈ R都有y < x, 所 以 x 是集合 R 的一個上界, 由確界原理(Supremum Principle)得知: α = sup R在 R中存在。 因
此R 定義了一個實數 α, 於是戴德金切割原理 (Dedekind Cut Principle)成立。
由上面討論, 我們把實數系改寫成以下敘述:
實數系 (R, +, · , <, (S)) (real number system) 是一個滿足確界原理的有序體。
確界原理在此把它稱為 實數的完備性公理 (S)。至此, 我們已完成 「實數的完備性公理 (D) ⇔實數的 完備性公理 (S)」 的論證。 關於實數的完備性, 我們還會在第 3 章介紹其它與實數的完備性公理等價 的敘述並給予證明。 現在我們要證明的是實數系(R, +, · , <, (S)) 也具有稠密性。 定理 13 (實數的稠密性). 任兩個不相等的實數間必存在第三個實數,並且這個實數可以取到有理數。 證明: 給定 α, β ∈ R而且 α < β, 因為 α 是由 Qα 決定, 而 β 是由 Qβ 決定, 並且 Qα $ Qβ, 所 以存在有理數 q ∈ Qβ 使得 q /∈ Qα, 於是 α ≤ q < β (注意到若 α 是有理數的話, 等號可能成立)。 因為Qβ 沒有最大元素,所以如果在前一個步驟中選到 q = α的話,那麼就重新找一個更大的有理數 α = q < q′ < β,則 q′ 即為所求。 這一節的最後還要介紹一個之後會經常用到的阿基米德性質: 定理 14 (阿基米德性質, Archimedes Property). 若x, y ∈ R, x > 0,則存在 n ∈ N使得 nx > y。 證明: 考慮集合 E = {nx}n∈N, 假設結論不對, 則 y 是集合 E 的一個上界, 所以 E 會有最小上界 α = sup E。 因為α 為最小上界, 而且 x > 0, 所以 α − x 不是 E 的上界, 所以存在 m ∈ N使得 α − x < mx, 即 α < (m + 1)x ∈ E, 這與 α 為最小上界這個性質矛盾。 因此, 存在 n ∈ N 使得 nx > y。 關於阿基米德性質最常見的應用有以下兩個: (A) y ∈ R 給定, 然後取 x = 1, 則存在 n ∈ N使得 nx > y ⇒ n > y;也就是說, 任給一個實數 y, 一定會有比y 還要大的正整數 n。 (B) x > 0 給定, 然後取 y = 1, 則存在 n ∈ N 使得 nx > y ⇒ nx > 1 ⇒ 0 < 1 n < x; 也就是說, 任給一個正數 x, 在 0 和 x 之間一定會有一個長相是 1 n 的有理數, 這個有理數的分子是 1, 分 母是某個正整數n。
1.3
可數集與不可數集
各位在小學的時候是否有跟同學玩過 「鬥片」 或 「翹牌」? 它是一種五顏六色的塑膠片, 通常都是卡通 造形的圖案,兩人各取一個鬥片放在桌上,用手輪流推送自己的鬥片, 只要自己的鬥片壓在對方的鬥片 上就算贏, 即可獲得對方的鬥片。 鬥片在我那個年代風行一時, 文具店賣著各式各樣的鬥片, 常常放學後就會去文具店挑選購買喜 歡的鬥片, 隔天期待著下課時間和同學對戰。 我小時候手腦很不協調, 每玩必輸, 所以一度手上有幾十 個鬥片不一會兒就輸得精光, 卻見強者我同學有個專門放鬥片的盒子而且愈裝愈滿。 而我印象很深刻 的一件事情是有一次我用一個很不起眼的小小鬥片贏到同學的一個夜光鬥片, 那個夜光鬥片真的是太 漂亮了, 之後就被我收藏起來。 講這個故事是要提出一個大家在比較數量多少的一個常用方法, 那就是先分別計數自己手上的鬥 片, 數完之後再分別報數, 得到強者我同學 94 狂, 而我只有 87 個沒辦法再多了, 所以強者我同學的 鬥片比較多。 如果我們不在意94、87這兩個數,只是想要知道 「誰的鬥片多或少」 的情況下,這時有另 外一個方法,那就是把同學的鬥片盒放在左手邊, 自己的鬥片盒放在右手邊,然後左手右手同時抓取一 個鬥片出來,在不斷地抓取之下, 結果會在某個時刻, 左手還可以再抓出一個鬥片而右手無法再抓出一 個鬥片, 這時就知道左邊盒子的鬥片數是比較多的。 回到數學層面, 這一節想要回答以下三個數學問題: (1) 正整數的個數與正偶數的個數哪個比較多? (2) 有理數的個數與實數的個數哪個比較多? (3) [0, 1] 區間中的實數與[0, 2] 區間中的實數哪個比較多? 有些人會覺得這三個問題都很簡單, 比方說會有以下的 「迷思」(這裡特別注意, 我故意把迷思二字 加上引號, 代表著以下推論是有些狀況的): (A) 正整數比正偶數來說多了正奇數, 所以正整數個數比正偶數多。 (B) 實數比有理數來說多了無理數 (比方說 √2 還有π 等),所以實數個數比有理數多。 (C) [0, 2] 區間比 [0, 1] 區間多了 (1, 2] 這一段, 所以 [0, 2] 中的實數個數比 [0, 1] 中的實數多。 如果想清楚上面三個論述, 就會知道這三個論述的觀點都是以兩個集合之間利用包含 ⊂ 的關係看待 事情。 利用集合的包含關係在某些情況的確可以描述元素個數多寡的關係, 但也不難發現有的時候兩 個集合在包含的意義下是沒有辦法比較的, 例如A = {1, 2} 與B = {2, 3} 彼此沒有包含的關係。 在代數學上, 我們會說集合搭配包含的關係 ⊂會形成 偏序集 (partially ordered set)。
但是就以 A = {1, 2} 與 B = {2, 3} 這兩個集合來說, 雖然兩集合並沒有包含的關係, 卻可以清
楚地 「計數」 集合中的元素個數, 因為集合 A 與集合 B 的元素個數都是兩個, 所以我們會說集合 A
與集合 B 「一樣多」。 於是我們希望在數學上提出一個可以 「數個數」 的概念, 進而比較任兩個集合的
不曉得各位有沒有意識到剛才的三個問題比起數鬥片數量的問題來說困難得多, 這是因為基本上 這三個問題都沒有辦法好好地 「算」 個數, 就以正整數集合來說, 讓 1, 2, 3, . . . 依序地排列之下, 你 是看不到正整數的盡頭, 而正整數看不到盡頭這件事若用數學的術語來說, 則是指正整數有 後繼元素 (successor),而有理數、實數、或是區間的元素怎麼計算個數又更加困難。 這告訴我們在面對這些問題 時, 我們無法利用第一種數鬥片的方法 (先各別計算個數, 再說出數字比較大小) 處理之, 但是第二種 方法產生了契機說明清楚。 另一個要提的是: 上述用集合包含的關係所得的論述和現在所謂的數個數之間又有什麼樣的關聯 呢? 雖然正式的數學術語還沒有介紹, 但是這裡想先給各位一點點感覺, 若兩個集合之間有包含的關 係時, 對於集合中的元素個數來說, 將以 「相對保守」 的方式下結論, 比方說: (1) 因為偶數集包含於整數集, 所以可以下的結論是 「偶數集的個數不會比整數集來得多」。 (2) 因為有理數集包含於實數集, 所以 「有理數集的個數不會比實數集來得多」。 (3) 因為[0, 1] 區間包含於[0, 2] 區間, 所以 「[0, 1] 中的實數個數不會比 [0, 2] 中的實數多」。 換言之, 若要從集合包含的關係看上述這三組集合的元素個數時, 只能知道小集合的元素個數不會比 大集合的元素個數來得多, 那它們會被歸類成一樣多還是少很多呢? 就要再繼續探討。 以下就要好好地回答這三個問題。 為了解釋完整起見, 我們有必要把集合與映射相關的術語重新 介紹一次。 定義 1 (映射;定義域;對應域;值域). 給定兩個集合 X, Y, 若有一種規則 f 將集合 X 中的每個元素 x,都對應到集合Y 中的唯一元素y,則稱f 是集合X到Y 的一個 映射(mapping)。 其中y 稱為x
在映射f 之下的 像(image);而 X 稱為 f 的 定義域(domain), Y 稱為 f 的 對應域(codomain),
而集合R = {f (x)|x ∈ X} 稱為 f 的 值域(range)。 各位有時候會在某些文獻或書籍中會看到作者把f : X → Y 稱為 函數(function)。而一般來說, 若對應域Y 並非實數集的時候, 通常會採用映射一詞形容 f,而函數這個詞在多數情況會特別用來描 述f : X → R的關係。 定義 2 (一對一;映成). (A) 若映射 f : X → Y 滿足以下性質: 「對任何x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 都有 f (x1) 6= f (x2)」, 則稱 f : X → Y 是 一對一 (one-to-one, injective)。 (B) 若映射 f : X → Y 滿足以下性質: 「對任何 y ∈ Y , 都存在 x ∈ X 使得 f (x) = y。」, 則稱 f : X → Y 是 映成的 (onto, surjective)。 在檢查一個映射是否為一對一的時候, 我們也可以用它的否逆命題檢查之; 也就是說,假設f (x1) = f (x2), 若能推得 x1= x2 的話, 那麼也可以得知f : X → Y 是一對一。 現在我們利用是否可以在兩個集合當中建立一對一且映成的映射來定義兩個集合內的元素個數之 多寡。
定義 3. 如果兩個非空集合X 和Y 之間存在一對一且映成的映射, 則稱集合X 和Y 有相同的基數
(have the same cardinality)。
當兩個集合有相同的基數時, 則可以驗證這是一種 等價關係 (equivalence relation),此時會用記 號 X ∼ Y 表示。 所謂等價關係, 指的是滿足以下三個條件的關係: (A) 對任何集合 X 都有 X ∼ X。 (B) 給定X 與Y 為兩集合, 若 X ∼ Y ,則 Y ∼ X。 (C) 給定X, Y, Z 為三個集合, 若X ∼ Y 且 Y ∼ Z,則 X ∼ Z。 現在花一點時間討論為什麼 「兩個集合有相同的基數」 這件事是一種等價關係。 (A) 考慮 f : X → X, 其中f (x) = x。 若 x1 6= x2,則 f (x1) = x1 6= x2 = f (x2), 所以 f 是一對 一。 對於x ∈ X,則有 x ∈ X 使得f (x) = x, 所以 f 是映成的。 因此, X ∼ X。 (B) 若 X ∼ Y , 即存在一對一且映成的映射 f : X → Y。 因為 f 是映成的, 所以對任意 y ∈ Y , 存在 x ∈ X 使得 f (x) = y。 因為 f 一對一, 如果 f (x1) = y 又 f (x2) = y 的話, 因為 f (x1) = y = f (x2), 所以 x1 = x2。 由上討論得知: 對任意 y ∈ Y , 存在唯一 x ∈ X 使得 f (x) = y。 於是我們可以建立一個映射 g : Y → X, 其中 g(y) = x, 而且 x 和 y 之間的關係 是用f (x) = y 決定。 若 y1 6= y2, 因為分別存在 x1, x2 使得 f (x1) = y1, f (x2) = y2, 則 g(y1) = x1, g(y2) = x2, 如果x1= x2, 則 f (x1) = f (x2), 得到 y1= y2 矛盾, 故 x1 6= x2。 因此映射 g是一對一。 因為對任意x ∈ X 都有 f (x) = y,所以就有g(y) = x, 於是 g 是映成的。 由上討論得知: 若 X ∼ Y ,則 Y ∼ X。 (C) 因為 X ∼ Y , 所以存在一對一且映成的映射 f : X → Y , 因為 Y ∼ Z, 所以存在一對一且映 成的映射 g : Y → Z。 考慮映射 h = g ◦ f : X → Z。 若 x1 6= x2, 則 f (x1) 6= f (x2), 得到 g(f (x1)) 6= g(f (x2)), 於是 h(x1) 6= h(x2), 因此 h 是一對一。 對任意 z ∈ Z, 存在 y ∈ Y 使得 g(y) = z, 對於 y ∈ Y , 存在 x ∈ X 使得 f (x) = y, 所以 h(x) = g(f (x)) = g(y) = z, 因此 h 是映成的。 由上討論得知: 若 X ∼ Y 且 Y ∼ Z,則X ∼ Z。 現在將給出集合元素個數的分類定義: 定義 4. 給定一個集合 S,
(A) 若S 是空集合 (empty set), 或是存在 n ∈ N 使得 S 與 {1, 2, . . . , n} 有相同的基數, 則稱集 合S 是 有限集 (finite set)。
定義 5. 給定一個集合S,
(A) 若S 與正整數集N有相同的基數, 則稱集合 S 是 可數集(countable set)。
(B) 若S 不是有限集也不是可數集, 則稱集合 S 是 不可數集 (uncountable set)。
注意到這份講義的定義, 可數集並不包括有限集, 可數集這個詞在此就專指與正整數集有相同基
數的集合, 所以有時候我們會特地強調它是一個 無窮可數集 (infinite countable set)。 然而有些書籍
或文獻會把有限集也納入可數集的情況,這種見仁見智的定義方式, 只要前後文自成系統就好了, 不需 要對這件事有過多的困擾。 探討一個集合可數或不可數有一套深刻的理論, 這裡並不打算完整介紹那個理論, 因為它並不是 高等微積分課程的主軸。 這裡的重點只是要用最精簡且最快速的方法回答前面三個問題, 從中讓大家 了解自然數集N、整數集 Z、有理數集 Q與實數集R在可數與不可數的意義下之關係。 根據上面關於集合基數的定義, 現在就可以回答第一個問題: 正整數集與正偶數集的基數比較。 例 6. 正整數 N與正偶數 2N有相同的基數。 證明: 建立映射f :N → 2N 為f (n) = 2n。 (A) 對於m, n ∈ N, m 6= n, 則 f (m) = 2m 6= 2n = f (n),所以f :N → 2N是一對一映射。 (B) 對於y ∈ 2N, 則 y = 2m其中 m ∈ N,所以f (m) = 2m = y 得到f :N → 2N是映成的。 由上討論得知N ∼ 2N。 至於第二個問題的答案,則需要慢慢建構。 先以結論而言,下面的討論最終將告知有理數集是可數 集, 而實數集是不可數集。 所以實數集的元素個數比有理數集的元素個數還要多很多。 引理 7. 假設集合 A 是可數集, 而集合 E ⊂ A。 若 E 不是有限集, 則 E 是可數集。 證明: 因為 A 是可數集, 則存在 f :N → A是一對一且映成的映射。 換言之, 我們可以將A 中的元 素給予標號f (1) = a1, f (2) = a2, . . . , f (n) = an, . . ., 於是A = {a1, a2, . . . , an, . . .}。 對於E ⊂ A 且E 不是有限集, 從 a1, a2, a3, . . .開始尋找, 將第一個落在 E 中的元素記為 an1, 再從an1 之後找到下一個落在 E 中的元素記為 an2, 由此得到ank 是在 ank−1 之後尋找下一個落在 E 中的元素。 如此建立了映射F :N → E,其中 F (k) = ank。 以下將證明 N與E 有相同的基數。 (A) F 是一對一映射: 若k′ 6= k′′ 得到 F (k′ ) = ank′, F (k ′′ ) = ank′′, 因為 nk′ 6= nk′′, 而 f :N → A是一對一映射, 所以 ank′ 6= ank′′,即 F (k ′ ) 6= F (k′′), 因此F 是一對一。 (B) F 是映成的: 對於 a ∈ E ⊂ A, 因為 f : N → A 是映成的, 所以存在n ∈ N 使得 f (n) = a, 按照記號的約定, 會記成 a = an, 而對於 F 來說, 依序從 F (1), F (2), . . . , F (n) 開始找起, 一 定會在 {1, 2, . . . , n}當中找到某個數 k使得 F (k) = an= a, 所以 F 是映成的。
例 8. (0, 1)開區間中的有理數集 (0, 1) ∩ Q 是可數集。 證明: 按照以下方式將 (0, 1) ∩ Q的元素排列: 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 3 4, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, . . . , 也就是說, (0, 1) 中的有理數可表示成 p q, 其中 p, q ∈ N, p < q, (p, q) = 1,而上述排列的方式是先按 照分母 q 由小到大排列, 若 q 相同時, 再按照分子p 由小到大排列。 注意到上述的有理數排列必須把p, q 不互質的情況刪除。 現在我們把上述的有理數排列補回當初 不互質的元素: 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, . . . , 1 k, 2 k, . . . , k − 1 k , 1 k + 1, 2 k + 1, . . . , k k + 1, . . . , 補完之後, 我們不要把這些元素想成是兩數的除法, 而是純粹以指標 apq = pq 的眼光看待之, 其中 p, q ∈ N, p < q, q ≥ 2。 如果你把這些元素寫成表格的話, 則 apq 在表格中是位在上三角的地方。 記 A = {apq},此時建立f : A → N為 f (apq) = (0 + 1 + 2 + · · · + (q − 2)) + p。 (A) f : A → N是一對一: 若 apq6= ap′q′,則 p 6= p′ 或q 6= q′。 • 若 q 6= q′ , 比方說 q < q′ , 則q′ ≥ q + 1 得到q′ − 2 ≥ q − 1,所以 f (apq) = (0 + 1 + 2 + · · · + (q − 2)) + p ≤ 0 + 1 + 2 + · · · + (q − 2) + (q − 1) ≤ 0 + 1 + 2 + · · · + (q′ − 2) < 0 + 1 + 2 + · · · + (q′ − 2) + p′ = f (ap′q′)。 • 若q = q′ , p 6= p′, 比方說 p < p′, 則 f (apq) = (0 + 1 + 2 + · · · + (q − 2)) + p = (0 + 1 + 2 + · · · + (q′− 2)) + p < (0 + 1 + 2 + · · · + (q′ − 2)) + p′ = f (ap′q′)。 (B) f : A → N是映成的: 給定 n ∈ N,存在一數 q′ ∈ N ∪ {0} 使得 0 + 1 + 2 + · · · + q′ < n 但 是0 + 1 + 2 + · · · + q′+ (q′ + 1) ≥ n,令 q = q′+ 2, 記 p = n − (0 + 1 + 2 + · · · + q′), 則 f (apq) = n。 由上討論可知 A 是可數集; 最後再用 引理 7 的結果得知(0, 1) ∩ Q是可數集。 這裡我們回顧 例8 的建構方式, 因為在 (0, 1)內的有理數比較不好直接寫出它與正整數 N之間 的對應關係, 所以將那些分子、分母不互質的表達法全部補回去, 甚至把它們理解為不同的元素時, 因 為這樣子可以很清楚寫下規律, 也就是給定分母是 q ∈ N, q ≥ 2之下, 分子就從1, 2, . . . , q − 1依序 排列, 這麼一來就也以用定義的方式證明這個映射具有一對一與映成的性質。 而 (0, 1) ∩ Q在集合的 意義下是包含於上述所討論的集合, 而且它又不是有限集, 於是由 引理7 得知 (0, 1) ∩ Q是可數集。 下一個例題是要驗證: 比 (0, 1) ∩ Q再多0還有 1這兩個元素所成的集合仍然是可數集。 以下呈
例 9. [0, 1]閉區間中的有理數集[0, 1] ∩ Q 是可數集。 解. 因為存在一對一且映成的映射 f :N → (0, 1) ∩ Q, 現建立映射F :N → [0, 1] ∩ Q 如下: F (1) = 0, F (2) = 1, F (n) = f (n − 2), n ∈ N, n ≥ 3。 (A) F : N → [0, 1] ∩ Q 是一對一: 對於 m 6= n, 若 m, n ≥ 3, 因為 f 是一對一得知 F 是一對 一; 若 m = 1, n 6= 1, 則 F (1) = 0, F (n) > 0 得知 F (1) 6= F (n); 若 m = 2, n 6= 2, 則 F (2) = 1, F (n) < 1 得知F (2) 6= F (n)。 因此 F 是一對一。 (B) F :N → [0, 1] ∩ Q是映成的: 給定 a ∈ [0, 1] ∩ Q,若 a = 0, 則取n = 1 使得 F (n) = a; 若 a = 1,則取 n = 2 使得F (2) = 1, 若 a ∈ (0, 1) ∩ Q,因為 f 映成, 則存在 k使得 f (k) = a, 於是取 n = k + 2則得 F (n) = F (k + 2) = f (k) = a。 因此 F 是映成的。 由上討論得知: [0, 1] 閉區間中的有理數集[0, 1] ∩ Q 是可數集。 例 10. 若A1, A2, . . . , An, . . . 是可數集, 則∪∞n=1An 也是可數集。 證明: 因為對所有 n ∈ N, An是可數集, 所以將每個集合的元素用以下方式列出來: A1 = {a11, a12, a13, . . . , a1n, . . .} A2 = {a21, a22, a23, . . . , a2n, . . .} A3 = {a31, a32, a33, . . . , a3n, . . .} .. . An= {an1, an2, an3, . . . , ann, . . .} .. . 注意到aij 的第一個指標代表 aij 屬於集合Ai,第二個指標代表 aij 在 Ai 中與正整數之間的對應。 現在要將這些元素做以下的重排(這種排列方法稱為斜線排列法): f : ∪∞ n=1An−→ N aij 7−→ (0 + 1 + 2 + · · · + (i + j − 2)) + i 這種排列的方式可仿照 例8的討論可證明f 是一對一且映成的映射。 而且當An之間有共同的元素 時, 則聯集之後那些重覆的元素只能算一個元素, 所以用 例7 的結果得知∪∞ n=1An 是可數集。 將上述結果綜合起來就可以證明有理數集是可數集。 例 11. 有理數集是可數集。 證明: 因為對所有 k ∈ Z, [k, k + 1] ∩ Q是可數集, 所以由 例10 知有理數集可表示成 ∪∞ k=1([k − 1, k] ∪ [−k, −k + 1] ∩ Q) 是可數集。
最後要討論的是實數集的基數。 首先我們花一點時間解釋實數的小數表示法。 現以(0, 1)為例,給 定 (0, 1)中的實數a,記 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 現在想要將a改用小數點的方式註記, 方法 如下: (1) 將 (0, 1) 分成十等份, 由三一律 (trichotomy law)告知 a1 10 ≤ a < a1 10 + 1 10, 其中 a1 ∈ N,則 a1 是a的小數點第一位。 (2) 將[a1 10, a1 10+101 )再分成十等份,則三一律(trichotomy law)告知 a1 10+ a2 102 ≤ a < a1 10+ a2 102+1012, 其中a2 ∈ N,則a2 是 a的小數點第二位。 (3) 依上述原則, 將 n P k=1 ak 10k, n P k=1 ak 10k + 1 10n 再分成十等份, 由三一律告知 n X k=1 ak 10k + an+1 10n+1 ≤ a < n X k=1 ak 10k + an+1 10n+1 + 1 10n+1, 其中an+1∈ N, 則an+1 是a的小數點第 n + 1位。 (4) 由上述原則可將a ∈ (0, 1) 對應到一個小數表示法: 0.a1a2a3 . . . anan+1 . . .。 對於微積分課學得還不錯的同學, 可能會突然想到一件事: 印象中有好像有多個小數表示法代表 同一個實數, 比方說從 0.¯9 = 1 的經驗可推知 0.4¯9 = 0.5¯0。 但是上述將實數指定至一種小數表示法 與這個無關。 此外, 一個實數會有多種小數表示法的情形是出現在那個小數的某一位之後全部都是 9 的情況才會發生, 所以等一下的討論我們會避免使用 9這個數字。 例 12. (0, 1)區間中的實數集是不可數集。 證明: 利用反證法。 假設(0, 1) 區間中的實數集是可數集, 也就是存在一對一且映成的映射 f :N → (0, 1), 我們把這個對應關係寫出來: f (1) = 0. a11a12a13. . . a1n. . . f (2) = 0. a21a22a23. . . a2n. . . f (3) = 0. a31a32a33. . . a3n. . . .. . ... f (n) = 0. an1an2an3. . . ann. . . .. . ... 其中 aij ∈ N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。 考慮以下小數: r = 0. r1r2r3. . . rn. . ., 其中 ri= ( 4 如果 aii6= 4 7 如果 aii= 4, 則 r 為(0, 1)中的一個實數, 而由上述規定得知: 對所有i ∈ N, r 6= f (i), 得到r 無法和正整數集有 一對一的對應關係。 所以(0, 1) 區間中的實數集是不可數的。
最後要回答的是[0, 1] 區間與 [0, 2] 區間的基數比較。 例 13. [0, 1] 中的實數與 [0, 2] 中的實數有相同的基數。 解. 考慮映射f : [0, 1] → [0, 2] 為f (x) = 2 − 2x。 (A) 若 x1, x2 ∈ [0, 1] 且x1 6= x2, 則(2 − 2x1) − (2 − 2x2) = −2(x1− x2) 6= 0, 所以 f 是一對 一映射。 (B) 對所有 y ∈ [0, 2], 考慮 x =2−y2 ∈ R,則0 ≤ 2−y 2 ≤ 1, 而且 f (x) = f 2 − y 2 = 2 − 2 2 − y2 = 2 − (2 − y) = 2 − 2 + y = y, 所以f 是映成的。 由上討論得知: [0, 1] ∼ [0, 2]。
