的數學模

發行人 主編：蘇 助理編輯 編輯小組

創刊日網址：h

天文

克卜勒與 德 比較有興 學教師 然與哥 半徑比 他假定 的方式 中（見下 中間的 理論讓

Cosmog

這個假設 有名的觀 離開教 克卜勒

：洪萬生（台 蘇惠玉（西松 輯：黃俊瑋（

組：蘇意雯（

葉吉海（

王文珮（青 英家銘（

：1998 年 10 月 http://math.ntnu

文學中的

與戰神之間 國天文學家 興趣的，但

。某天上課 白尼《天體 非常接近 當時已知的 圍繞太陽排 下圖1）。一 五種正多面 克卜勒寫下

graphicum

設的前提似 觀測天文學 書的城市時 因為他的數

灣師大數學系 高中）副主編 和平高中）

台北市立教育 陽明高中）陳 青溪國中）

台北醫學大學 月5 日 每月

u.edu.tw/～horn

的數學模

間的戰爭 家克卜勒（J 但是後來在 課在黑板上 體運行論》中

，因此大受 的除了月亮 排列，使得 一切像是天 面體。這個 下《宇宙的

）一書，於 似乎很難行 學家第谷‧

時，拜訪了當 數學能力得

退休教授）

：林倉億（台 大學）蘇俊鴻 彥宏（成功高

） 5 日出刊 ng

模型（

台北

Johannes K 他的天文學 畫著正三角 中的木星與土 受啟發，整個

之外的六大 幾何圖形可 天意註定好的 關於行星軌 奧秘》（My 於1596 年出 得通，但是 布拉赫（T 當時在布拉 到了這份工

南一中）

（北一女中）

中）

III）─

蘇惠玉 北市立西松

Kepler, 157 學教授推薦 角形的內切 土星軌道（

個生活為之 大行星都以 可以完美地 的一樣，六 軌道與距離

Mysterium

出版。儘管克 是結果卻是 Tycho Brah 拉格進行觀測

工作。

HPM

─克卜勒

松高中

71−1630）在 薦下，到奧地 切圓與外接圓

均輪）

之改觀。

以這樣 地鑲嵌其 六大行星 離的幾何

克卜勒 是驚人的準確

he, 1546−16 測的第谷，第







通訊第十九卷

勒的天

在大學學習 地利一所新 圓時，發現

確。他將這 601）。當他 第谷當時正

天文學中的 的天文模型 國立臺灣師 班學長姊獎 為什麼要讀

卷第二、三期

天文模型

習時，原本對 新教的教會學 現這兩者的半

這本書寄給當 他因為宗教原 正缺一位數學

的數學模型（I

師範大學「數學 獎學金」設置 讀科普(I)

期合刊第一版

型

對神學是 學校當數 半徑比居

當時赫赫 原因被迫 學助理，

III）─克卜勒

學系60 級甲 辦法

版

勒

HPM 通訊

在與 不願讓他 建構一個 將很難 八年的戰 常將這段 爭（wa 第谷突 第谷的觀 為基礎 一定律

（Astro

在此 我們以 的經緯度 下了。事

（投影 為黃道帶

（Anta 文學家 緯度方 間的夾

圖1 左

訊第十九卷第二

與第谷合作 他接觸真正 個與哥白尼 搞的火星軌 戰鬥，因為 段研究火星 arfare with

然因為膀胱 觀測資料，

上，加上複

，並與第二

onomia nov

此我們先暫 經緯度標示 度。在上一 事實上在運 在恆星背景 帶（Zodia ares）與畢宿

所進行的觀 面則是在天 角。

左圖為《世界

二、三期合刊

作的這段時 正的觀測數 尼模型完全 軌道問題交 為火星在西 星軌道的漫 Mars）。不 胱感染去世

，因為有這 複雜的數學 二定律一起

va）中。

暫停來整理 示地球上的 一篇中我們 運行的是地 景上）。在1

c），並將分 宿五（Alde 觀測就是看 天球的赤道

界的和諧》原著 刊第二版

間，第谷就 據，僅想利 不同的體系 給他去研究 方以戰神M 長奮鬥過程 不過，他付

之後，克卜 些完整詳盡 運算，克卜 發表在160

一下，克卜 點，當時觀 已經認識了 球，因此黃 1600 年代，

分布在上面 ebaran）為 看行星投影在

面與北極星

著中的插圖，

就真的只把 利用克卜勒 系。為了安 究，這一研 Mars 命名 程，比喻為 付出的心力都

卜勒使了點 盡且精確的 卜勒於1605

09 年出版的

卜勒時代的 觀測時測量 了所謂的黃 黃道（eclip

，天文學家 的星座以座 為基準點，每

在黃道帶上 星（北半球

右圖為《宇

把克卜勒當成 勒的數學長才 安撫克卜勒 研究下去就是

，因此，克 為與戰神之間

都是值得的 點小手段得以 的觀測數據

5 年公佈他 的《新天文

的天文學家是 的是行星投 黃道與黃道帶 tic）即是地 家們將這個軌 座落在這個

每30 度為一 上哪一個星座 球）之間分成

宇宙的奧秘》1

成助理，

才，去

，第谷 是長達 克卜勒

間的戰 的。在

以掌握

，以此 他的第 文學》

是怎麼進行 投影在以恆 帶，現在是 地球在天體 軌道上下一 大圓直徑兩 一個劃分，

座上面的度 成90⁰，測量

621 年版本中

行天文觀測的 恆星為背景的 是時候把座標 體上的平均運 一條寬9 度的 兩端的天蠍

分成十二星 度數即是它的 量北極星與

中的圖。

的？如同 的天球上 標轉換一 運行軌道 的區域稱 蠍座α 星

星座。天 的經度。

與行星之

克 不管是 進行的觀 到行星 的圓形軌 十二期 情況。（

事 得與心血 克卜勒 置圖，

的拉花 圖上可 將托勒 中點為 據「應 以及托 該就是

圖

卜勒在天體 在量或質方 觀測能夠比 的運行是從 軌道之圓心

）提到的行

（見下圖2）

實上，《新 血結晶寫在 先將第谷與 時間就從從

？克卜勒就 以清楚看出 密的勻速點 圓心的圓形 該」要符合 勒密以勻速 火星圓形軌

3：中心的 a

體模型建立 方面，都是 比擬。再加 從轉動上的 心（mean su 行星衝（op

）

天文學》有 在這本書上 與他自己對 從1580 年畫 就將這個圖 出火星的逆 點（equant 形軌道上，

合這個假設 速點為參考 軌道上的點

a 點代表地球

上的一大優 數一數二的 上克卜勒認 地球觀測的 un）。例如 pposition），

有個副標題

，其主要目 火星的觀測 畫到1596 年 稱為「四旬 行現象。接

），均輪與本 繞著勻速點 設的模型，於

點觀測的觀

（如圖4）

球的位置

優勢，正是 的，更不是 認為自己稍 的，並以真

，在＜天文

，就應該考

題叫做「論火 標當然就是 測資料，詳 年，見圖3 旬齋節的椒 接著，克卜 本輪的觀念 點做等角速

於是，他分 觀測數據中

。

圖2：紅色 間的夾角為

圖

HPM

是第谷精確的 是托勒密或哥 微勝過哥白 真正的太陽為 文學中的數

慮真正的太

火星」，克卜 是要決定火 詳細地畫了一

。這張圖猛 鹽餅」（pan 勒必須要建 念再次引入 速度運行。接

分別從自己以 挑選四個時 色為真正的行

為錯誤假設造

4：太陽到勻

通訊第十九卷

的觀測數據 哥白尼時代 白尼一點的 為固定的參 學模型（II 太陽、地球

卜勒將他與 火星的軌道半

一張從地球 猛一見，是不

nis quadrag

建立自己的

，假設火星 接著從觀測 以太陽為參 時間點，兩 行星衝，兩者 造成的誤差

勻速點的距

卷第二、三期

據，在當時這 代，沒有任何 的地方，就在 參考點，而不 I）＞（見第 球與行星成一

與火星多年的 半徑。在第一 球觀測火星的 不是很像餅

gesimalis）

的天體運行模 星在以太陽及 測數據著手

參考點的觀測 兩組系統中的

者

距離已知

期合刊第三版

這些數據 何工具所 在於認識 不是運行 第十八卷 一直線的

的奮戰心 一章中，

的運行位 餅乾上面

，從這個 模型。他 及勻速點

，這些數 測數據，

的交點應

版

HPM 通訊

克卜 在這些計

如果 我花 loa thr

克卜勒 將第谷與 個大小 圓形軌

克 他的計算 一個週期 且太陽

−火距S 的日−火 存在，

克卜勒 現在 知不正確 在近日 所經過

訊第十九卷第二

卜勒用了一種 計算之後，

果你覺得這 花費了大把 athing, it sh

rough it at

千辛萬苦地 與自己正確 剛好在第谷 道？

卜勒並沒有 算方式。如 期（687 天 到地球的距

SM。很不幸 火距並不一

一者為圓形

的面積定律 在先把焦點

確，但至少 點時運行速 的弧長與所

二、三期合刊

種重複步驟

，他抱怨說

這個令人厭 把時光計算 hould more least seven

地計算得到 確的觀測值 谷觀測資料

有就此停手 如下圖5，他 天）之後，此 距離SE已知

幸地，克卜 一致。換句話

形軌道，哪

律

點轉回面積定 少可以提供 速度較快，在 所用時間之

刊第四版

驟的迭代法來

：

厭煩的方法讓 算了至少七十 e properly f nty times at

這個圓形軌 代入，反推 的誤差容忍

，他接下來 他先選擇一 此時地球在 知。由簡單的

卜勒用真實的 話說，模型

一個錯了？

定律。克卜 較為近似的 在遠日點時

間的關係。

來進行計算

讓你覺得厭 十次。（If th fill you wit t the expen

軌道之後，

推回火星應 忍值之內，所

來要計算太 一個火星位於 在E 的位置

的正弦定理

的觀測數據 型的假設錯誤

？

卜勒起初還是 的結果。在 時走得較慢，

。在此克卜 圖5

算，這是個相

厭惡，那麼你 his wearisom h compassi se of a grea

總要檢驗一 應該要在的位 所以，這個

太陽到火星的 於行星衝的

，其中θ 與 理： ₀

sin(180

SM

據計算出來 誤。在模型

是使用火星 在克卜勒之前

他想要知道 勒假設太陽

相當繁瑣又

你應該要對 me method ion for me at deal of ti

一下是否符 位置，發現 圓形軌道應

的距離。下 的時間點及其

與α 都是觀

0

) sin

M



^



的日−火距 型中的假設

星圓形軌道的 前的天文學 道的是火星 陽到火星的

又複雜的計算

對我充滿同情 d has filled y

as I have g ime.）

符合觀測資料 現誤差在

2

之

應該沒有錯

下面，簡單說 其位置，然 觀察可得的數

n( )

SE

 



即可 距，跟模型中

，一者為勻

的假設，雖 學家，已經知 星到達遠日點 的距離與速度

算過程，

情，因為 you with gone

料吧。他 之內，這 了。耶？

說明一下 然後經過

數據，而 可求的日

中算出來 勻速點的

雖然他已 知道行星 點之後，

度成反比，

即 ¹

2

r r



在於行星 米德尋 新立體 小三角 這種處理 中，他

透過 的向徑 示，最後 和，也 夠嚴謹 定律：太 不正確 的最後 速度假設

克卜勒 如 圓形軌 道中心 要放棄 會摧毀 努力與 開始了

2 1

v

v （我們現 星每個時刻 求圓周長與 幾何》（No 形的方式，

理曲線面積 曾多次引用

過他的速度

（距離）成 後他推理得 就是，太陽

，他還是將 太陽與行星 的圓形軌道 一章第60 設。

的橢圓軌道 上所述，克 道中心的距 的距離較遠 這種從古希 克卜勒一直 掙扎之後，

長達2 年修

現在知道這 刻的速率皆 與直徑之比

ova stereom

，解釋了阿 積的分割手 用阿基米德

度假設，他將 成正比，那 得到通過有 陽−火星連線 將它陳述成 星的連線在 道假設與不 章中，重新

道定律 克卜勒起初 距離，進行 遠，而其他 希臘以來一 直以來想要

，為了符合 修正、再修

這個關係只在 不相同，在 的過程中得

metria dolior

基米德所得 段，以及這 的書籍與內

將速度轉換成 麼，在選取 限弧段所需 線所掃過的

一個「法則 相等的時間 正確的速度 新以橢圓的

假設火星的 了各種計算 部分的距離 直根深蒂固 追求的「宇 實際觀測數 正的計算過 圖6 經過 之向 間就

在近日點與 在微積分這 得到啟發，

rum vinario

得的圓面積 這種方法可以

內容。

成每個無窮 取適當的單 需的時間，

的面積（見圖 則」（law）

間內掃過的 度關係所得 的性質說明這

的運行軌道 算之後，發 離較小（見 固的基本信 宇宙和諧」

數據，他只 過程。

6：將扇形作 過每一無窮小 向徑表示，如 就相同。

HPM

與遠日點才成 這個的工具還

他曾在自己

orum,Linz）

積與直徑上正 以產生的威

窮小弧段所 單位之後，時

可以看作構 圖6）。儘管

，亦即我們 的面積相等。

得到的正確關 這個面積定

道為圓形，但 發現火星在近 圖7），因此 信念，對克卜

，不過基於 好將軌道轉 作無窮多個三

小弧段的時間 如果面積一樣

通訊第十九卷

成立）。這個 還沒發明之 己寫的另一

）中，以將 正方形面積 威力，事實上

需的時間與 時間就可以 構成那個部 管他知道這個 們現在所稱的

。我們可以 關係。克卜勒 定律，倒是沒

但是，在他 近日點與遠 此，軌道不 卜勒而言並 於對真理的追

轉而假設成 三角形的分割

間可以每一點 樣，所經過的

卷第二、三期

個問題的困 之前，克卜勒 一本書《測量 將圓分割成無 積比，他相當 上，在《新天

與太陽−火星 以連線的這段 部分扇形的所 個無窮小的 的克卜勒行 以看到這是一

勒僅在《新 沒有修改他

他對火星到所 遠日點附近時 不可能是圓形 並不容易，更 追求，經過 成某種卵形曲

割，

點 的時

期合刊第五版

困難之處 勒從阿基 量酒桶的 無窮多個 當地熟悉 天文學》

星之連線 段向徑表 所有向徑 的論述不 行星第二

一個基於 新天文學》

他錯誤的

所假設的 時，到軌 形。雖然 更何況還 過多年的

曲線，並

版

HPM 通訊

克 離描繪計 太陽到

類似於橢

=0.0042

:

HE HB

1.00429 個數字

sec(5 180

剛好是

:

NE NZ

當我

此時克

NP

換句話說 何？甚麼 該如何

克 度β 所

訊第十九卷第二

卜勒利用觀 計算火星的 圓心的距離

橢圓的卵形 29，剛好等

1: (1 2

HB

 

e

9 這個數字 剛好就是5

'

0

8 ) 1

cos(5



EH 與

EN

Z≈NE EH

:

我看到這時

卜勒靈機一

P：（太陽−

說，太陽−

麼樣的曲線 決定呢？

卜勒在《新 決定的火星

二、三期合刊

觀測的19 種 的軌道，如圖 離NH=e 已

形曲線之短

等於1 ² 2

e ，因

2

2)

e

≈1 ² : 2



e

引起了克卜

0 '

5 18 的正割

18 )' =1.004 的夾角，此

H，其中Z

時，彷彿從

一動，當 HP

−火星距離）

−火星距離=

線才會滿足

新天文學》

星位置P，過

刊第六版

種不同位置 圖8，若設圓 已知。他發現

軸頂點間的

因此可得：

:1 =1.00429 卜勒的注意 割值，即

429，在這種

此時E 為與

為火星軌道

從夢中被喚醒

HP 與 HA 的

）= NP：

= PH HT = 太陽到火星

中曾前後採 過太陽位置

圖7

的太陽−火 圓的半徑為 現在圓周與

的距離 EB

9：1。

意，他注意到

種情形中，

與遠日點A

道上的點。

醒，見到一

夾角為任意

（在直徑上

=1+ cos

e

 星的距離函

採取了三種 置所在的S 作

火星距 為1，

與這個

到這

0 '

5 18

成90⁰時圓

見到此克

一道曙光像我

意角β（不一

上的垂直投影

（令其為ρ 函數



 1 e

種不同的軌道 作SP的平行

圓周上的點

卜勒有如大

我穿透。我

一定90⁰）時

影 PT ）

ρ）。但是這 cos

e 

？這

道曲線，如 行線，交原

。因此HE

大夢初醒，他

我開始了底下

時，

這個軌道曲線 這時火星的位

如圖9，對於 原先的圓形軌

圖8

: HB

≈

他說：

下推理。

線到底為 位置又

於任意角 軌道（均

輪）於 1. 使用

2. 出現

3. 使用

點，

在小心地 小，只有

在 原來他所 現代的符

的垂直

的數據

此NB=

NM=1

ML

²=N = =

1

=

1

=

(

= B

亦即 ML

K’點，三種 用在《新天

現在45-50 章

用於的51-6

，以SK為半 地比較過觀 有第3 種曲

經過許多無 所追求的一 符號精簡地

線，交火星

知

HE HB

:

= HE =1。又

+ cos

e

 ， NM²−NL²

（1+ cos

e



2 cos

e 

 

2

cos

2

e 



1 

e2

)(1 c 

2sin2

BH 

ML

=BH

sin



種畫法皆以 文學》的第

章，以SK

'

60 章，由上

半徑畫弧，

觀測數據後 曲線剛好符

無用的計算 一直近在眼 地來說明他

星軌道於M

2

1: (1 2

B

 

e

又已知NL=

由畢氏定理

）² −（ e

2

cos

2

e 

 

2

cos

2

e 

  cos

2

)

 =

KL BH



HK

以S 為圓心畫 第39-44 章

'

為半徑畫弧

上述的觀測數

交 PF 於M

，克卜勒發 合觀測的數

追逐之後，

前啊，他也 的證明過程

M 點，此時N

2

) ≈1 ² :1 2



e

=

e

cos



，

理可知

cos



）²

2

2 cos

e e

 



L

K

=

HB KL



HA

畫圓，分別

，以SP為半

弧，火星的

數據結果所

M 點。

發現第1 種 數據，那麼

，克卜勒最 也坦承自己 程。如圖1

NM 即為太 1 =1.00429

，

s



 cos

2

B A

。

圖9

HPM

別如下：

半徑畫弧，

的位置應該在

所啟發，過

種曲線（圓形 麼，第3 種曲

最後決定姑且 己就像做了許 0，按照第

太陽−火星距

：1，但 sec



均輪

通訊第十九卷

其中P 為

在與本輪的

P 點作SK



形軌道）太 曲線是甚麼

且用橢圓來 許多錯事的 3 種畫法，

距離ρ=1+ e

c（5⁰18’）=

本輪

卷第二、三期

為預測之火星

的交點V。

 '

的垂線，

太大，第2 種 麼呢？

來試試，結過 的生手一般

，從K 點做 cos 。並且

=1.00429=

期合刊第七版

星位置。

交於K

種曲線太

過才發現

。我們以 做對稱軸

且由觀測

NB HB

，因

版

HPM 通訊

這個意

以

b a

的 中

b

1 此克卜

克

（Harm 位，他所 氣。這三 程中，科 對觀測或 改再修改 勒沒能打 在還體

參考文獻 Katz, V

Pea 項武義

書館 張海潮 霍金編/

網站資 KEPLE Kepler'

http://w

訊第十九卷第二

思是說，當

比例壓縮，

e

2

 ，會滿足 勒得到他的

卜勒的第三

monies of th

所走的是一 三個定律的 科學家一開 或實驗結果 改，不畏辛 打破一千多 會不到這個

獻：

Victor (1998 arson Educ

、張海潮、

館。

、沈貽婷 /導讀（張

資源：

ER’S DISC 's Planetar

www-histor

二、三期合刊

當我們以 HA

，即為橢圓

足

2 2

2 2

1

x y



b

 的第二定律

三定律作為

he World）

一條沒有前 的發現過程 開始需要某 果有信心，

辛苦又枯燥 多年來對圓 個宇宙簡單

8). A Histor cation, Inc.

、姚珩 (201

(2015).《古 卜天等譯）

COVERY：

ry Laws：

ry.mcs.st-an

圖 刊第八版

HA

=1=a， H

。也就是曲

 這個橢圓1

：行星運行

一個經驗事 中。這三個 人走過的路

，也為後世 些理論，隨 那麼就修改 的計算過程 形軌道在哲

、純粹與和

ry of Mathe

10).《千古之

古代天文學 (2004).《站

http://www ndrews.ac.u

圖10：右圖為

HB

=b 時，

曲線上任一

圓方程式，並 行的軌道即

事實首次出 個行星定律 路，有精確 世的科學家 隨時對理論 改理論。克 程，才終於 哲學、美學 和諧的美。

ematics: An

之謎−幾何

中的幾何方 站在巨人肩

w.keplersd uk/Extras/K

為《新天文

這個曲線上

一點M(x, y)

並且太陽在 即是以太陽為

出現在後來出 在天文學與 確的觀測數據 家做了一個傑 論與實地觀測 克卜勒花了幾 於讓理論與觀 學與宗教上的

Introductio

何、天文與物

方法》。台北 肩上》。台北

iscovery.co Keplers_la

文學》中第 59

上的點可看

，

x

cos



在其中一個焦 為一焦點的

出版的《世 與物理學上 據做靠山，

傑出的示範 測或實驗結 幾年的時間 觀測結果一 的「盲目」

on (2nd edi

物理兩千年

北：三民出 北：大塊文化

om/Intro.ht aws.html

9 章的插

看成圓上相對



，

y



b

si

焦點的位置 的橢圓。

世界的和諧》

上都有相當重 也有敢於創 範。在科學的 結果進行比較 間做了這樣的 一致。如果當 信念，或許

ition). Bost

年》。台北：

版社。

化出版社。

tml

對應的點 in



，其

置上。 因

》 重大的地 創新的勇 的發現過 較，如果 的事，修 當初克卜 許我們現

ton:

商務印

HPM 通訊第十九卷第二、三期合刊第九版

1. 為節省影印成本，本通訊將減少紙版的的發行，請讀者盡量改訂 PDF 電子檔。要訂閱請將您的大名，

地址，e-mail 至 suhy1022@gmail.com

2. 本通訊若需影印僅限教學用，若需轉載請洽原作者或本通訊發行人。

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4. 本通訊內容可至網站下載。網址：http://math.ntnu.edu.tw/∼horng/letter/hpmletter.htm 5. 以下是本通訊在各縣市學校的聯絡員，有事沒事請就聯絡

《HPM 通訊》駐校連絡員 日本：陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group)

基隆市：許文璋（銘傳國中）

台北市：英家銘（台北醫學大學）楊淑芬（松山高中）杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇慧珍（成功高中）

蘇俊鴻（北一女中）陳啟文（中山女高）蘇惠玉（西松高中）蕭文俊（中崙高中）

郭慶章（建國中學）李秀卿（景美女中）王錫熙（三民國中）謝佩珍、葉和文（百齡高中）

彭良禎、鄭宜瑾（師大附中）郭守德（大安高工）張瑄芳（永春高中）張美玲（景興國中）

文宏元（金歐女中）林裕意（開平中學）林壽福、吳如皓 (興雅國中) 傅聖國（健康國小）

李素幸（雙園國中）程麗娟（民生國中）林美杏（中正國中）朱賡忠（建成國中）

新北市：顏志成（新莊高中） 陳鳳珠（中正國中）黃清揚（福和國中）董芳成（海山高中）孫梅茵

（海山高工）周宗奎（清水中學）莊嘉玲（林口高中）王鼎勳、吳建任（樹林中學）陳玉芬

（明德高中）羅春暉 (二重國小) 賴素貞（瑞芳高工）楊淑玲（義學國中）林建宏 （丹鳳國中）

莊耀仁（溪崑國中）、廖傑成（錦和高中）

宜蘭縣：陳敏皓（蘭陽女中）吳秉鴻（國華國中）林肯輝（羅東國中）林宜靜（羅東高中）

桃園縣：許雪珍、葉吉海（陽明高中）王文珮（青溪國中） 陳威南（平鎮中學）

洪宜亭、郭志輝（內壢高中） 鐘啟哲（武漢國中）徐梅芳（新坡國中） 程和欽 (大園國際高中)、

鍾秀瓏（東安國中）陳春廷（楊光國民中小學）王瑜君（桃園國中）

新竹市：李俊坤（新竹高中）、洪正川（新竹高商）

新竹縣：陳夢綺、陳瑩琪、陳淑婷（竹北高中）

苗栗縣：廖淑芳 (照南國中)

台中市：阮錫琦（西苑高中）、林芳羽（大里高中）、洪秀敏（豐原高中）、李傑霖、賴信志、陳姿研（台中 女中）、莊佳維（成功國中）、李建勳（萬和國中）

彰化市：林典蔚（彰化高中）

南投縣：洪誌陽（普台高中）

嘉義市：謝三寶（嘉義高工）郭夢瑤（嘉義高中）

台南市：林倉億（台南一中）黃哲男、洪士薰、廖婉雅（台南女中）劉天祥、邱靜如（台南二中）張靖宜

（後甲國中）李奕瑩（建興國中）、李建宗（北門高工）林旻志（歸仁國中）、劉雅茵（台南科學園 區實驗中學）

高雄市：廖惠儀（大仁國中）歐士福（前金國中）林義強（高雄女中）

屏東縣：陳冠良（枋寮高中）楊瓊茹（屏東高中）黃俊才（中正國中）

澎湖縣：何嘉祥 林玉芬（馬公高中）

金門：楊玉星（金城中學）張復凱（金門高中） 馬祖：王連發（馬祖高中）

附註：本通訊長期徵求各位老師的教學心得。懇請各位老師惠賜高見！

HPM 通訊

國立臺

一、緣起 二、名額 三、金額 四、申請 本校 學普 五、申請

(一

（二

六、審查 七、基金 （一

（二 八、本辦

附錄：

Aczel, A Aczel, A 獲勝機

訊第十九卷第二

臺灣師範

起：為鼓勵 額：每年一 額：每名1 請資格與條 校數學系學 普及讀物有 請時間及程

) 凡符合本 及讀物閱

）本獎學金 委員會公 查委員暨程 金保管及運 一）本獎學 友募集 二）本獎學 辦法經系務

推薦閱讀 Amir (阿米 A. D. (阿米 機率》，究

二、三期合刊

範大學「

勵數學系學 一至二名。

15,000 元。

條件：

學士班在校 有興趣者。

程序：

本獎學金申 閱讀心得報 金申請每學 公開審查核 程序：由本 運用方式：

學金由本校 集作為獎學 學金之金額 務會議通過

讀書單 米爾‧艾克塞

爾‧艾克塞 竟出版社。

刊第一○版

數學系 6

100 學士班優秀學

校學生前一學 已請領其他

申請資格的學 報告，向本系 學年辦理一次 核定，並由本 本系獎助學金

校獎學金管理 學金之用。

額，必要時得 過後，提請獎

塞爾) (譯者林 塞爾) (譯者

。

60 級甲班

0.1.13 九十 學生特訂定

學年度各科 他校內獎學

學生，請備 系提出申請 次，申請期 本系擇期公 金管理委員

理委員會負

得由本獎學 獎學金管理

林祁堂) (19 者邱文寶) (2

班學長姊

十九學年度第 定本辦法。

科表現特殊優 學金者，不得

備妥申請書、

請。

期間為每年1 公開表揚。

員會負責。

負責保管，以

學金審查委員 理委員會核備

998). 《費馬 006). 《大

姊獎學金

第一學期第

優異者，而 得再請領本

、成績單以

10 月，由本

以每年由數

員會調整之 備後實施，

馬最後定理 於1/2--投資

金」設置辦

第二次系務會

而且對於閱讀 本項獎學金

以及至少兩篇

本系獎助學

數學系60 級

之。

修訂時亦同

》，時報出版 資、愛情、

辦法

會議通過

讀推動數

。

篇數學普

學金審查

級甲班系

同。

版公司。

生活的

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HPM 通訊第十九卷第二、三期合刊第一五版

為什麼要讀科普(I)

吳允中

台師大數學系四年級

為什麼人們需要（數學）科普呢？從我自己的學習經驗談起，很多同學與部分老師 常問起，你的自然學科（或說是理工方面能力）從哪裡學來的？好似一句簡白的疑問，

不過，這問句已經植下了一個反面的假設 -- 不是學校教的吧！沒錯，我便是從諸位「善 操此論」的大師之科普著作中取經來的。

首先不論學科，先從喜好層面來看。熱愛音樂的人應該先是聆聽過某段美妙的旋律 才產生學習的欲望，而非一開始就從五線譜與四分之一音符起了著迷；專職運動的人也 不曾見過他是為了「暖身操」而踏上這項職業；國際影帝影后的成長，起初絕對不是喜 歡被導演卡來卡去而投入影視圈。舉出這些例子，幾乎我們都可認同：先給我了解這方 向上有什麼驚豔的成果，才有辦法說服我勤練基本功，而數學的發展也是如此，別把「公 設 -- 定義 -- 定理」這套系統一開始就帶入學校，更誇張地描述，國內少數學童，在未 曾接觸的數學新領域中，他們都被本末倒置地灌輸知識！

由《幹嘛學數學》一書中有一段文字: 你沒有數學細胞，但一定有數學頭腦，並描 述生物學家道金斯（Richard Dawkins）在《盲目的鐘錶匠》中寫道：

面對數學還有一件很重要的事，就是別被它嚇倒。數學並不向數學祭司所假裝的那 麼困難，每當我覺得快被嚇倒的時候總是想起湯普生（S. Thompson）在《微積分 很簡單》一書所說的名言：「一個傻子能做的事，另一個也能。」

我想極力表達數學就是生活中想要知道的事！而科普正好從這分面下手。很簡單的例子，

今天是8 月 5 日星期三，那麼 18 天以後是星期幾？這絕對不是要先學高斯的同餘符號 才有權利知道的事。有人說數學就是加減乘除開根號而已！沒錯，而且你該慶幸沒有碰 到不是的！例如集合論、拓樸學、抽象代數，碰到這些「只有代表意義的符號」的學科 時，我們躲在公廁裡唱山歌可能還比較不尷尬。在此，不得不在對十九世紀的德國數家 康托爾（Cantor）踹上一腳，他只在講一推無意義的東西。雖然有點義憤填膺，不過有 個學習數學的中心思想：千萬別被邏輯絆住腳。

進入正式數學課題前，還是不免俗地從多數教授喜愛測試新進學生能力的題目:

證明

2

是無理數。

我認為這真的不具意義！首先

2

是無理數路人皆知，再者，這麼經典的考古題，學生 早就把無窮遞降法的過程一字不漏地背熟了，然後這時只是在把它「反芻」出來而已！

不過呢，我倒是有個好點子，如果我是面試官那麼我會請學生回答如下問題：

HPM 通訊第十九卷第二、三期合刊第一六版

無理數的無理數次方是否必定為無理數

我們先請學過複變的人噤聲一下。（因為複變理論可證明一項違反直覺的事實：

i

ⁱ  ） 那麼，這時請回答「必定是無理數」的人（應該為數不少）起立一下，把一張小卡片偷 偷交給他們每位，而卡片上究竟寫了什麼奧秘呢？

( 5)

^{ }

 5

我想這些站著的學生都會發出會心一笑，並且瞬間找到無窮個反例。得說抱歉的是，這 是一個正確的答案，卻不是個「好」答案，那麼又是怎樣的反例稱得上石破天驚呢！？

且看

2

的妙用：

有理數 得反例 考慮

( 2)

²

無理數

| ( 2) |

^{2 2}

 2

^{2 2}=(

2

)²=2 得反例

其實，我們邏輯上將一條難走的路分走成兩段好走的。先不管起初是否

( 2)

²為無理數，

最終都得到了反例！曾經將這個推導拿給國一的學生看，他立即領會其中奧義，並作註 解: 這事證明了一件似乎沒作證明的證明。我十分地高興，因為他讓數學地抽象性提升 到本質的自我認知，簡言之，這個事實已被他當成常識。

我們回頭看看一開始的題目：證明

2

是無理數。本來失去了對這老掉牙題目的興 趣，不過，在蔡聰明教授的《數學拾貝》一書中，有個章節專在討論這件事，此次讀後 頗愛他的第十八種證法：

由於a 與 b 被 3 除的餘數為 0、1、2 (三種情況) 故a²與b²被3 除的餘數為 0、1 (兩種情況) 若a²+b²被3 整除 即a²+b²≡0 ( mod 3) 則a²與b²各被3 整除 即a²≡b²≡0 ( mod 3) 考慮

2

a



b 其中 a、b 互質，則a²

 2

b²



a²



b²

 3

b²

亦即3 | a²

b

²

 3 | a

且

3 | b

，a 與 b 互質，這是矛盾，故

2

為無理數。

一樣是反證法，這則論證的巧妙之處在於，利用a²

 2

b²到平方數模3 的特性。直觀而 言，我們先將等式兩端平方以削去根號，然後移項得到。這樣說吧，甲錢數的平方是乙 錢數平方的兩倍，對旁觀者而言，會希望將這兩值作總和，則其和必為3 的倍數，即

HPM 通訊第十九卷第二、三期合刊第一七版

2 2

3 | a  。這時再套用引理中的結論，其實可用窮舉法輕易驗證：

b

若a²≡b²≡1 (mod 3)，則a²



b²≡2 (mod 3) 不合 若a²≡0 且b²≡1 (mod 3) ，則a²



b²≡1 (mod 3) 不合 若a²≡1 且b²≡1 (mod 3) ，則a²



b²≡1 (mod 3) 不合 若a²≡b²≡0 (mod 3)，則a²



b²≡0 (mod 3) 成立

所以，只有最後一行成立，即3 | a 且² 3 | b ，而 3 又是質數，所以²

3 | a

且

3 | b

。

其實每一步驟寫起來不少，意義上卻是十分顯然的。

另外，我會更喜歡測試學生的題目：

試求調和級數之和或證其發散。

關於調和級數在當年被約翰・白努利提出挑戰帖，名震一時。此級數描述為所有自然數 的倒數和，即

^{1 1 1 1} ...

1 2 3

k N^ k

   



，若讓一般社會人士回答此問題時，他們可能認為

所有加無限多次的級數都是趨於無窮的，這也不例外。不過，當他們被幾何級數和

1 1

2

^k

k N





所說服時，又會對本例的斂散性改口。在於他們沒有接受到數字和的「直

覺」。言下之意，難道筆者就有「直覺」可以灌輸給讀者？確實，以下將用「炫富」的 方法，來體現調和級數的生活作息，以下給出四例：

大家都聽說比爾先生很有錢，不過無人得知確切金額。這日的晚宴上，郭董就向他 炫富。比爾笑笑不答，他將存摺拿出試種，其實在場之人無不覺得此舉貽笑大方，

因為上頭的交易記錄著：

1NT、

¹

2

NT、

¹

3

NT、

¹

4

NT……

一位善於心算的秘書悄悄跟郭董說:「前一百筆金額總和約為 5.18 元；前一千筆金 額總和約為7.48 元；錢一萬筆金額總和也不超過這個蔣公銅板，怎敢跟上百億身價 的您相比呀!!」而比爾接著說:「我身價比不上蔣公銅板好了，不過我有無窮多筆金 額呀! 小蝦米總有一天也能吃掉大鯨魚。」他便讓他的會計師向各位來賓說明……

例一 :

會計師對存摺中的金額作了分類並說道:「我老闆第一筆有一元、接下來一筆有五毛，接 下來兩筆超過五毛，接下來四筆超過五毛，接下來八筆超過五毛………所以這裡面可以 提領出無窮多次的五毛。」

HPM 通訊第十九卷第二、三期合刊第一八版

( ) ( ) ( ^{1 1 1 1} ) ( ^{1 1 1 1} ) ( ^{1 1 1 1 1 1 1 1} ) ...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

S

                

1 ¹ 2 ¹ 4 ¹ 8 ¹ ...

2 4 8 16

        

1 ^{1 1 1 1} ...

2 2 2 2

     

例二 :

會計師先說了一則結論:「任意相鄰三項金額總和，大於中項的三倍」

亦即 :

^{1 1 1}

₂

^{2 1}

1 1 1

a a

 

a a



a



a

  

>

^{2 1 3}

a

 

a a 然後他表示:「花掉一元後會比原來的錢還多」

亦即

¹ ( ^{1 1 1} ) ( ^{1 1 1} ) ( ^{1 1 1} ) ( ^{1 1 1} ) ( ^{1 1 1} ) ...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

S

                

1 ^{3 3 3 3} ...

3 6 9 12

     

1 1 ^{1 1 1} ...

2 3 4

     

=1+S

因而S-1 > S，那麼依照這個步驟，不管比爾先生花去了多少錢都比原先的多!!

例三：

會計師他說了一件十分駭異的行為:「我每天都會檢查老闆的存款累積額

S ，然後只要

_n

在下班時繼續加總到

S ，這時絕對比上午的所得值多過五毛。」

_2n

^{1 1 1} ... ¹ 1 2 3

Sn

    

n

₂

^{1 1 1} ... ¹ ( ^{1 1} ... ¹ )

1 2 3 1 2 2

S n

n n n n

        

 

^{1 1} ... ¹

1 2 2

Sn

n n n

    

 

>

¹

2 2

n n

S n S



n

 

接著他表示:「那麼我老闆隨時想再多個五千億還不簡單!!」

註：5 千億等於

1

¹²

2  10

，令k

 10

¹²，則 _{2 1}

1

¹²

2 10

S k



S

 

HPM 通訊第十九卷第二、三期合刊第一九版

例四：

會計師話鋒一轉:「如果各位對剛才五毛、五毛的加感到緩慢的話，那我可以為你們展示 我老闆財產翻倍的厲害。」，我們先扣去第一筆金額，並記部分和為

T ，則可觀察到:

_n

T¹ =0

₄

^{1 1 1 1} 2 ¹ 2 3 4 2 4

T

     

即 T⁴>2T²

9

1 1 1 1 1 1 2 4 5 6 2 3 6

T

      

^{1 1 1 1 1} 3 ¹

3 7 8 9       3 9

即 T⁹>2T³

16

1 1 1 1 1 1 1 2 5 6 7 8 2 4 8

T

       

^{1 1 1 1 1 1} 4 ¹

3 9 10 11 12        3 12

1 1 1 1 1 1 1

4 13 14 15 16        4 4 16

即 T¹⁶>2T⁴

2

1 1 1 1 1 1

2 1 2 ... 2 2 2

Tn n

n n n n

       

 

^{1 1 1} ... ^{1 1 1} 3 2 1 2 2 3 3

n

3

n n n n

      

 

……

2 2

1 1 1 1 1 1

( 1) 1 ( 1) 2 ...

n n



n n



n n

 

n

  

n n

    即 2 2 _n

T

n 

T

那麼

T 會無止境的翻倍，何況又多加

_n 1 元的調和級數

S ！！

_n

這四個解法各有特色，例一是教科書上常見的手法，強調的是可以找到無窮多組的

1

2

來加總；例二是參見《天才之旅》中孟古利所給的精妙證明，就如筆者所註解：花掉 一元後會比原本的錢還多，有一種不斷自我複製的功能。例三、例四由筆者所給出，並 自戲稱神龍見首不見尾，因為 2

T 每個視為一隻龍，而

n

T 則是龍頭，

_n 2

T

n −

T 則為龍尾，而

_n 每分每秒龍尾總比龍頭來得長（數值大），所以會出現一直翻倍的現象。而前法

S 是龍

_n

頭，拖了一隻超過

¹

2

的龍尾

S

_2n−

S ，在動物體格的比例上雖然來得奇異（大頭寶寶！）

_n ，

HPM 通訊第十九卷第二、三期合刊第二○版

但它確實可以無窮盡地延長。

而對科普著作而言，我們必須把不具生命性的數字及圖形，點綴成活潑靈動的事件 或意境。可別小看這件事，正式的數學領域也頗重視此點，它便是我們所謂的「組合證 明」對數學必須強調「直觀」的重要性。這裡，筆者對於「拋物線的光學性質」作一個 直觀的例證，分為四段：

Step 1：用包絡直線建構拋物線

Step 2：以極限方法計算包絡直線的夾角 Step 3：計算拋物線切線的確實夾角 Step 4：用幾何法驗證光學性質

從此處出發，筆者為諸讀者細說拋物線的神奇力量。

未完待續

洪萬生附記：本文是吳允中榮獲「數學系 60 級甲班學長姊獎學金」的得獎作品，

下期續完。按：本獎學金旨在鼓勵本系學生閱讀數學普及書籍，因此，除了學業成 績有規定的條件之外，也必須繳交閱讀心得文章。允中是首位榮獲此獎學金的本系 學生，謹代表我們60 甲同窗好友，誠摯地恭喜他得獎！