1-3-2指數與對數-指數函數

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(1)3-2 指數與對數-指數函數 【目標】 認識指數函數 y  a x 及其圖形與性質,並透過圖形直觀了解指數函數的遞增﹑遞 1 a. 減性與凹口向上的性質與意義。再者,能理解指數函數 y  a x 與 y  ( ) x 及 y  k  a x 三個圖形的關係,並能利用指數函數的性質,處理與指數相關的簡易方程式與不 等式的問題。 【目的】 一般人口量通常呈現穩定的倍數成長,也就是為一種指數函數的例子,所以本節 要介紹指數函數的圖形及其性質。 【定義】 1. 函數: 設 x, y 是變數,若變數 y 的值由變數 x 的值決定,則變數 y 是變數 x 的函數。 註: 只要給定變數 x 的值,變數 y 的值由變數 x 的值可唯一決定,就稱 y 是 x 的 函數。 2. 指數函數: 設 a 是正實數,函數 f ( x )  a x 稱為以 a 為底的指數函數,其中 x 可取任意實 數,此函數的圖形是坐標平面上所有點 ( x, a x ) 所形成。 3. 遞增、遞減: 設正實數 a  1,指數函數 f ( x)  a x 。 (1) a  1 時, y  f (x) 是嚴格遞增函數( x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) )。 (2) 0  a  1 時, y  f (x) 是嚴格遞減函數( x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) )。 4. 一對一函數: 若函數 y  f (x) 的定義域內任意兩個相異元素 x1 , x2 ,它們所對應的函數值 f ( x1 ), f ( x2 ) 也相異,就稱 y  f (x) 為一對一函數 5. 函數圖形的凹击性涵意: (1) 凹向上: f ( x1 )  f ( x 2 ) x  x2  f( 1 ) 時,稱函數凹向上。 函數 y  f (x) 滿足 2 2 (2) 凹向下: f ( x1 )  f ( x 2 ) x  x2  f( 1 ) 時,稱函數凹向下。 函數 y  f (x) 滿足 2 2 6. 指數函數: 設 a  0, x  R ,稱函數 f ( x)  a x 為以 a 為底數的指數函數。 註: 一般只有討論 a  1 的情形。. 8.

(2) 【性質】 指數函數 y  a x , a  0, a  1 之圖形的特性: 1. 曲線在 x 軸上方,即對於任意實數 x , f ( x)  a x  0 恆成立,且過定點 (0,1) 。 2. 當 a  1 時,曲線由左而右上升;當 0  a  1 時,曲線由左而右下降。即 (1) 當 a  1 時, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) (嚴格遞增)(大於 1 越乘越大)。 (2) 當 0  a  1 時, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) (嚴格遞減)(小於 1 越乘越小)。 3. x 軸上方任一水平線都與曲線有唯一交點。 註: 一對一函數:平行於 x 軸的直線都至多與 y  a x 的圖形交於一點。 4. 曲線凹口向上(曲線上任兩點連接線段在曲線上方)。. 5. (指數律)對於任意實數 x1 , x2 ,恆有 (1) f ( x1  x2 )  f ( x1 ) f ( x2 ) 。 f ( x1 ) (2) f ( x1  x 2 )  。 f ( x2 ) 6. (1)當 a  1 時,圖形由左往右逐漸上升,愈向右邊( x   )上升得愈快,愈 向左邊( x   )圖形愈接近 x 軸,稱 x 軸是 y  a x 圖形的漸近線。 (2)當 0  a  1 時,圖形由左往右逐漸下降,愈向左邊( x   )上升得愈 快,愈向右邊( x   )圖形愈接近 x 軸,稱 x 軸是 y  a x 圖形的漸近線。 1 7. y  a x 的圖形與 y  ( ) x 的圖形對稱於 y 軸。 a 證明: 1 1 1 1 y  a x  ( ) x 其圖形可由以 (  1 )為底的指數函數 y  ( ) x 的圖形以 y 軸 a a a a. 為對稱軸鏡射得到。換句話說,底數互為倒數的兩指數函數,其圖形對稱於 y 軸。. 9.

(3) 8. 設 P1 ( x1 , a x1 ), P2 ( x2 , a x2 ) 是曲線 y  a x 上相異兩點 M 是 P1 P2 的中點, x x. 1 2 x x x1  x2 a x1  a x2 , ) ,又令曲線上點 P ( 1 2 , a 2 ) 。 2 2 2 x1  x2 x1 x2 a a 故  a x1  a x2  a x1  x2  a 2 。 2 由此可知曲線上任意兩點 P1 , P2 連接線段 P1 P2 的中點都在曲線上方,如圖所. 則M(. 示,又曲線連續不斷,所以曲線凹口向上。. 9. 底數 a  1 的指數函數 y  f ( x)  a x ,其圖形具有前述的特徵, 其中(2)表示: x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) 10. 函數具有此性質時,稱為嚴格遞增函數。 11. 特徵(3)表示給定底數 a  1 時,對每一正實數 y0 ,恰有一正實數 x0 ,使 y0  a x 。 【問題】 1. 試用描點法畫出 y  2 x 的圖形。 2. 試用描點法畫出 y  3 x 的圖形。 1 3. 試用描點法畫出 y  ( ) x 的圖形。 2 1 x 4. 試用描點法畫出 y  ( ) 的圖形。 3 5. 觀察上述幾個圖形中,哪幾個為互相對稱的圖形? 註: 底數互為倒數的兩指數函數,其圖形對稱於 y 軸。 0. 10.

(4) 【討論】 1. 試利用 y  2x 的圖形畫出 y  22 x 的圖形。 解答: 點 P( x0 , y0 ) 在 y  2x 的圖形上  y0  2 x0  y0  2  點 Q(. 2(. x0 ) 2. x0 , y0 ) 在 y  22 x 的圖形上。 2 1 2. 所以將 y  2x 的圖形以 y 軸為基準,水平伸縮 倍,便得 y  22 x 的圖形。. 2.. a  1 時, y  a x 的圖形可由 y  2 x 的圖形以 y 軸為基準,水平方向伸縮而得。 註: 事實上,由於對任何大於 1 的實數 a ,都有一正實數 k ,使 a  2k ,故以 a 為 1 k. 底的指數函數 y  a x  (2k ) x  2kx ,都可以用 y  2x 的圖形伸縮 倍得到。當 然,要用 y  10 x 的圖形伸縮也是可以的。 3. 試利用 y  2x 的圖形作出 y  2– x 的圖形。 解答: 點 P( x0 , y0 ) 在 y  2x 的圖形上  y0  2 x0  y0  2 (  x0 )  點 Q( x0 , y0 ) 在 y  2 – x 的圖形上。. 所以將 y  2x 的圖形以 y 軸為對稱軸鏡射, 便得 y  2– x 的圖形。. 11.

(5) 4. 試利用 y  2x 的圖形畫出 y  8  2 x 的圖形﹒ 解答: 點 P( x0 , y0 ) 在 y  2x 的圖形上  y0  2 x0  y0  8  2x0 3  點 Q( x0  3, y0 ) 在 y  8  2 x 的圖形上。. 所以將 y  2x 的圖形沿 x 軸平移 3 單位(左移 3 單位),便得 y  8  2 x 的圖形。. 12.

(6) 【方法】 1. 將函數中 ( x, y) 以 ( x, y) 代入,表將圖形對 x 軸作對稱, 也就是將 y  f (x) 的圖形變數變換成為對 x 軸對稱的圖形  y  f (x) , 即 y  f ( x)  y   f ( x) 表將圖形對 x 軸作對稱。 證明: 若 ( x0 , y 0 )  y  f ( x)  y 0  f ( x0 )   y 0   f ( x0 )  ( x 0 , y 0 )  y   f ( x ) 即將 y  f (x) 的圖形對 x 軸作對稱會得到 y   f (x) 的圖形。 2. 將函數中 ( x, y) 以 ( x, y) 代入,表將圖形對 y 軸作對稱, 也就是將 y  f (x) 的圖形變數變換成為對 y 軸對稱的圖形 y  f ( x) , 即 y  f ( x)  y  f ( x) 表將圖形對 y 軸作對稱。 證明: 若 ( x0 , y 0 )  y  f ( x)  y 0  f ( x0 )  y 0  f (( x0 ))  ( x0 , y 0 )  y  f ( x) 即將 y  f (x) 的圖形對 y 軸作對稱會得到 y  f ( x) 的圖形。 3. 將函數中 ( x, y) 以 ( x, y) 代入,表將圖形對原點作對稱, 也就是將 y  f (x) 的圖形變數變換成為對原點對稱的圖形 y   f ( x) , 即 y  f ( x)  y   f ( x) 表將圖形對原點作對稱。 證明: 若 ( x0 , y 0 )  y  f ( x)  y 0  f ( x0 )   y 0   f (( x0 ))  (  x 0 , y 0 )  y   f (  x ) 即將 y  f (x) 的圖形對原點作對稱會得到 y   f ( x) 的圖形。 4. 求對稱圖形方程式: 將原方程式的 ( x, y) 替換成對稱點代入,所得到的新方程式即為對稱圖形方程 式。 5. 對稱點: ( x, y) 對於 x 軸、 y 軸、原點及 y  x 的對稱點分別如下: y ( y, x). ( x, y). O. ( x, y). 13. ( x, y) x ( x, y).

(7) 【問題】 試利用平移、旋轉、伸縮、對稱等幾何方法畫出下列圖形: 1. 試畫出 y  2 x 的圖形。 2. 試畫出 y  2  x 的圖形。 3. 試畫出 y  2 x 的圖形。 4. 試畫出 y  2  x 的圖形。 5. 試畫出 y  2 x  1 的圖形。 6. 試畫出 y  2 x 1 的圖形。 7. 試畫出 y  2 | x| 的圖形。 8. 試畫出 y  2 | x| 的圖形。 9. 試畫出 y  2 | x| 的圖形。 10.試畫出 y  2 | x| 的圖形。. 2 x  2x 11.試畫出 y  的圖形。 2 2 x  2x 12.試畫出 y  的圖形。 2 2.5. 2. 1.5. 1. 0.5. -5. -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. -0.5. -1. -1.5. -2. -2.5. 【方法】 指數形式的問題中,比較大小的常用方法有如下幾種: 1. 化成同底數。 2. 化成同指數。 3. 與 0,1比較大小。 4. 兩兩相比。 5. 取對數。 【性質】 1. 指數比較大小時所使用的性質: (1) 當 a  1 (嚴格遞增):(1) x  0  a x  1。(2) x  0  a x  1 。 (2) 當 0  a  1 (嚴格遞減):(1) x  0  a x  1。(2) x  0  a x  1 。 14. 5.

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