利用一維光子晶體對低吸收材料的介電性質、厚度之特性檢測與探討

國 立 交 通 大 學

光 電 工 程 研 究 所

碩 士 論 文

利用一維光子晶體對低吸收材料的介電性質、厚

度之特性檢測與探討

Measurement and Study of the Dielectric

Properties and Thickness of the Low-Loss

Materials by 1-D Photonic Crystal

研究生:葉昭緯 Chao-Wei Yeh

指導教授:張振雄 Chen-Shiung Chang

中華民國九十六年七月

利用一維光子晶體對低吸收材料的介電性質、厚

度之特性檢測與探討

Measurement and Study of the Dielectric

Properties and Thickness of the Low-Loss

Materials by 1-D Photonic Crystal

研 究 生 : 葉昭緯 Student: Chao-Wei Yeh

指導教授 : 張振雄 Advisor: Prof.

Chen-Shiung Chang

國 立 交 通 大 學

光 電 工 程 研 究 所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Institute of Electro-Optical Engineering College of

Electrical Engineering and Computer Science

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the

Requirements for the Degree of

Master

in Electro-Optical Engineering

July 2007

Hsin-chu, Taiwan, Republic of China

利用一維光子晶體對低吸收材料的介電性質、厚度

之特性檢測與探討

研究生:葉昭緯 指導教授:張振雄 教授 國立交通大學光電工程研究所

摘要 在本論文中，我們利用一維光子晶體結構的性質，應用二種不同的結構設 計，藉由量測穿透率值並利用傳輸矩陣法(TMM)計算出最佳化的吸收係數值，改 善了在自由空間下對於低吸收材料之吸收係數的檢測結果。同時我們也應用了可 調式光子晶體模組的特性，利用穿透頻率的調動結果逹成了量測材料在不同頻率 下吸收係數值的變化。除了理論的模擬計算外，我們也以微波實驗來驗証我們的 結果。 另外我們也提出了應用等效折射率的觀點，對於非導磁性材料經由量測反射 係數值，得出介電常數與厚度組成的非線性聯立方程組，最後再利用布洛依登法 求解得出待測材料的介電常數、吸收係數與厚度值。

Measurement and Study of the Dielectric Properties and

Thickness of the Low-Loss Materials by 1-D Photonic

Crystal

Student:Chao-Wei Yeh Advisor:Prof. Chen-Shiung Chang

Institute of Electro-Optical Engineering College National Chiao Tung University

Abstract

By using the properties of 1-D photonic crystal, we designed two different structures in this thesis. By measuring the transmittance with these structures, we obtained the optimized absorption coefficient by Transfer Matrix Method. Consequently, we improved the accuracy of absorption coefficient measurement for low-loss materials in free-space. At the same time, we applied the tunable modules of photonic crystal to obtain the absorption coefficient in different frequencies with the shift of transmission frequencies. Besides the theoretical simulation, we also verified our result by microwave experiments.

In addition, we took the aspect of effective refractive index to nonmagnetic materials. At the end, the Broyden’s Method has been used to solve the nonlinear consociation equations with unknown parameters of dielectric constant and thickness. So that, we can know the dielectric constant, absorption coefficient, and the thickness of the material under test.

誌 謝

經過了二年的努力，本篇論文終於得以完成。首先，我要先感謝我的指導教 授張振雄老師，平日在他的悉心教導下，除了觸發我產生許多的想法外，也讓我 對於光子晶體的理論基楚更為紮實、嚴謹。同時也要非常感謝謝文峰老師以及程 思誠老師在meeting時，耐心地指導，給予我寶貴的建議。另外，也要特別感謝 實驗室的博班學長龔彥彰，除了在實驗方面給予的幫助外，也讓我學會了如何做 研究，以及思考問題的解決方法。 同時也要感謝實驗室裡的各位同學，在交大二年的共同生活中，一起製造的 歡樂陪我跨越了無數的灰暗低潮期。假正經的大師兄；常破音的老王；什麼都會 修的張祕書；行動力十足的猛姜；以及光電所裡其他的同學們，梁輝鴻、陳仕承、 王韋文、立凡...等。因為認識了你們，讓這段平凡的日子，在記憶裡變得很不 平凡。 最後，我要感謝我的家人與親友團們，有了他們在背後的大力支持，不只照 料著我生活上以及經濟上能夠不虞匱乏，同時也讓我能無後顧之憂地，全心完成 碩士學業。 葉昭緯 2007. 07. 20 于交大

論文目錄

頁次

中文摘要...i

英文摘要...ii

誌謝...iii

論文目錄...iv

圖目錄...vii

表目錄...ix

第一章 研究背景介紹 ...1

1-1 材料之介電常數簡介...1

1-2 低吸收材料之應用...3

1-3 常見的材料檢測方法...5

1-4 光子晶體簡介...8

第二章 模擬方法與設計理論...10

2-1 傳輸矩陣法 (Transfer matrix method)...10

2-1.1 單一均勻等向介質層之計算...10

2-1.2 多層等向介質結構之矩陣運算法...15

2-2 多層介電質的等效折射率...18

2-2.1 合成總場之波阻抗...18

2-2.3 等效折射率...20

2-2.4 應用等效折射率求解未知材料之性質...23

2-3 布洛依登法 (Broyden’s Method)...24

2-4 可調式光子晶體模組...26

第三章 實驗架構與量測方法...30

3-1 儀器設置及架設...30

3-2 量測方法...32

第四章 結果與討論...35

4-1 低吸收係數材料之探討...35

4-1.1 運用傳輸矩陣法求解最佳化之吸收係數...35

4-1.2 探討吸收係數隨頻率變化之關係...42

4-2 運用等效折射率法求解材料之性質...46

4-2.1 在自由空間下求得單層材料之性質...46

4-2.2 理論誤差與探討...50

4-2.3 置入光子晶體模組求解待測材料之性質...53

4-3 實驗結果與探討...60

4-3.1 低吸收係數之測量...60

4-3.2 介電性質與厚度之測量...64

第五章 結論與未來工作...68

5-1 結論...68

5-2 未來工作...69

圖目錄

圖 1.1 各種極化機制對介電常數的貢獻與頻率的關係圖...2 圖 1.2 DR 結構示意圖...4 圖 1.3 平行板電容法測量原理圖………5 圖 1.4 1D,2D,3D 光子晶體結構示意圖……….8 圖 2.1 單一均勻等向介質層之示意圖………..…………10 圖 2.2 多層均勻等向介質層之示意圖………..……16 圖 2.3 雙層介電質上之垂直入射………..…18 圖 2.4 多層介電質垂直入射之電場、磁場示意圖………..……20 圖 2.5 5 層介質等效折射率及厚度示意圖……….……21 圖 2.6 5 層介質等效折射率Neff( )示意圖……….……22 + 圖 2.7 5 層介質等效折射率Neff( )示意圖……….…22 − 圖 2.8 可調式濾波器調動模組一結構圖……….………27 圖 2.9 以光子晶體設計可調式濾波器示意圖………..…27 圖 2.10 調動模組在不同調動距離之穿透頻譜……….……28 圖 2.11 探討調動模組置入光子晶體 Q 值變化之影響………28 圖 2.12 調動模組二、三之結構圖………..……29 圖 2.13 比較不同調動模組之調動範圍………29 圖 3.1 量測系統之儀器架設相關流程示意圖………..…31 圖 3.2 微波穿透率量測系統架設示意圖………..…32 圖 3.3 微波反射率量測系統架設圖………..……33 圖 4.1 具有缺陷之一維光子晶體結構………..…36 圖 4.2 10 周期光子晶體缺陷頻率穿透頻譜圖………37 圖 4.3 不同吸收係數對應之穿透頻譜圖...38 圖 4.4 待測材料為缺陷層之示意圖………40

圖 4.5 待測材料為缺陷層之穿透頻譜………..40 圖 4.6 可調式光子晶體模組結構圖………..…………42 圖 4.7 調動模組一在不同調動距離下之穿透頻譜……….………….43 圖 4.8 在調動模組下吸收係數隨頻率變化之關係圖………..43 圖 4.9 調動模組二在不同調動距離下之穿透頻譜………..44 圖 4.10 在調動模組下吸收係數隨頻率變化之關係圖………44 圖 4.11 產生多個穿透頻率時的情形………45 圖 4.12 單層材料結構示意圖………46 圖 4.13 單層介質材料穿透及反射頻譜圖………47 圖 4.14 加入光子晶體模組下待測材料為缺陷層之結構示意圖………53 圖 4.15 11 層介質缺陷層為待測材料之穿透反射頻譜圖……….53 圖 4.16 經調動後材料折射率的色散性質………..……..57 圖 4.17 經調動後吸收係數和頻率之關係………..……..57 圖 4.18 缺陷層厚度過厚時產生多根穿透頻率圖………59 圖 4.19 壓克力材料量測結構示意圖………60 圖 4.20 壓克力材料量測穿透頻譜圖………61 圖 4.21 壓克力材料經由 TMM 迭代結果之穿透頻譜圖……….…61 圖 4.22 壓克力材料調動結構示意圖………62 圖 4.23 依據圖 4.22 各調動結構之穿透譜頻實驗與迭代結果比較圖………62 圖 4.24 介電損耗值結果與其誤差範圍圖………63 圖 4.25 壓克力材料週期性結構以氧化鋁待測材料為缺陷層量測示意…………64 圖 4.26 反射頻譜圖形之實驗與理論比較圖………64 圖 4.27 氧化鋁材料等效折射率法求解結果與自由空間相位法折射率值比較圖 65 圖 4.28 氧化鋁材料經等效折射率法求解之吸收係數結果圖………66 圖 4.29 穿透頻譜圖形之實驗與理論比較圖………67

表目錄

表 1.1 各種可作高頻基板之高分子材料...3 表 4.1 結構一ni搜尋範圍與結果………..38 表 4.2 不同週期數材料之吸收係數檢測範圍………..39 表 4.3 結構二ni搜尋範圍與結果………..41 表 4.4 不同週期數材料之吸收係數檢測範圍………..41 表 4.5 單層材料布洛依登法初始值與數值解的結果討論………..48 表 4.6 探討不同的聯立方程式對解的影響………..50 表 4.7 探討可忍容誤差範圍對數值解的結果影響………..51 表 4.8 探討不同tr值對數值解的結果影響………...51 表 4.9 探討不同Jr-1初始值對解的結果影響……….52 表 4.10 探討對於選取不同頻率時經由反射率求解的結果……….55 表 4.11 探討不同的聯立方程式對解的影響……….56 表 4.12 不同材料參數之理論結果………58 表 4.13 多根穿透頻率時不同頻率點的求解結果………59 表 4.14 壓克力材料在不同排列結構下各頻率的迭代結果………63 表 4.15 氧化鋁材料之介電性質與厚度的求解結果………67

第一章 研究背景與介紹

前言：

在許多應用與元件設計上，材料的性質對於電磁波的影響佔了很大的比重。 而敘述材料的性質，主要由材料的介電常數、吸收係數…等性質來做探討。而其 中在微波領域裡探討低吸收材料的性質是我們較感興趣的地方，對於低吸收材料 其廣泛的應用除了印刷電路基板外，常見的應用也包含有由DR (Dielectric Resonator)結構所組成的各種元件，如：介質諧振天線(DR Antenna)[2]、介質諧 振濾波器(DR Filter) [5]、介質諧振震盪器(DR Oscillator)等[3]，應用在全球定位 系統(GPS)、太空通訊、以及行動電話通訊[3]等方面，因此檢測低吸收材料之性 質也顯得愈來愈重要。在本章我們會先簡介這些低吸收材料之應用，並討論目前 在微波材料上性質檢測的主要方法，探討其優缺點；以及介紹光子晶體的基本性 質與應用，並在稍後的幾章提出如何應用光子晶體的設計概念，來完成低吸收材 料的測量。

1-1 材料之介電常數簡介

不同的材料具備各種不同的特性，每一種性質都可以用一種物理量來表達。 材料與電磁波的交互作用跟材料的介電常數

ε

_r (

ε

_r =

ε

_r'− j

ε

_r")、導磁率μ_r (μ_r =μ_r'−jμ_r")及導電率σ等有關。對於介電材料而言，介電常數來自於本身可 以被極化的程度。而材料的極化機制可分為三種[1]，分別為:電子極化 (electronic polarization)、離子極化 (ionic polarization) 以及方向極化 (orientation

polarization)。

向反方向偏移，如此一來即形成了所謂的電子極化。這是所有介 電材料在外加電場下都會發生的現象。 (2) 離子極化：此種極化只發生在離子晶體中。帶正電的離子與帶負電的離子在 外加電場的作用下，會往相反方向偏移，形成了所謂的離子極化。 (3) 方向極化：此種極化只發生在材料內含有永久性電偶極。電偶極在受到外加 電場的作用下，會旋轉偶極的方向至順著外加電場的方向平行排 列。這種排列的趨勢會因為原子的熱振動(Thermal Vibration) 而 趨緩。所以，當溫度升高時，此種極化程度會降低。 圖1.1 各種極化機制對介電常數的貢獻與頻率的關係圖 一般物質的總極化率或量測到的極化率為此三種極化的總合。在實際狀況 中，由於外加電流通常是時變電流(AC)，所以造成電場是時變電場，也就是電場 方向隨時間而有180°的改變。隨著電場方向的改變，極化的方向也隨之而變。然 而，對於每一種極化作用，其感受到電場的改變後，再重新沿著新的電場方向排 列，會需要一段改變極化方向的時間。定義極化方向重新排列的最小時間倒數稱 為弛緩頻率(Relaxation Frequency)。隨著頻率的增加，當外加電場的頻率大過於

某一種極化機制的截止頻率時，此極化機制會因慣性作用跟不上外加頻率的變 化，造成喪失該極化作用而造成該材料介電常數下降。其中系統的電位移和外加 電場的相位會產生一個相位差δ，分別以數學式表示為_D( )_{ω =D e0} i(ω δt− )_與 0 ( ) i t E ω =E eω ，因此介電常的複數ε ω*_r( )為 * * 0 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i r r D D t e ' j " E t E δ 0 0 0 r ε ω ε ε ε − = = = ω − ε ω 所以ε ω 代表了受交變電場影響的介電常數，r'( ) ε ω 代表了電介質的耗損。由r"( ) 外加電場的頻率與介電常數的一般關係圖(圖1.1)可知，在微波頻帶 (3 ~ 300GHz) 範圍內，材料只剩下電子及離子極化等兩種機制。

1-2 低吸收材料之應用

在一些聚合物材料上，由於分子和分子之間經由共價化學鍵的鍵結，使得材 料呈現與原來純分子所構成之材料性質炯然不同。而其中以含氟系聚合物材料， 不僅使得材料對於電磁波的吸收損耗變得很小，並能適應在印刷電路基板上對於 低介質化、多層化、薄型化、高耐熱化、低熱膨脹化的要求。 表1.1 各種可作高頻基板之高分子材料

在這些基板上目前常見的材料有：鐵弗龍(聚四氟乙烯，俗稱Teflon，簡稱 PTFE )、聚苯乙烯(PS)、聚丙烯(PP)等，均較傳統的環氧樹脂複材(FR-4)來得好。 表1.1列出了各種可用作高頻基板之高分子材料之介電特性。[29] 近年來對於摻雜含有氧化鈦的陶瓷材料也能達成低吸收損耗、高溫度穩定的 特性[3]，並能使介電常數值大幅提高，廣泛的應用在全球定位系統(GPS)、衛星 雜訊降頻器(LNB)、以及無線通訊基地台等方面，利用DR (Dielectric Resonator) 結構(圖1.2)[4]所組成的各種元件，如：介質諧振天線(DR Antenna)、介質諧振濾 波器(DR Filter)、介質諧振震盪器(DR Oscillator)等微波器件上[3]。常見的材料有 BaNd2Ti5O14、BaNd2Ti3O11、(Zr,Sn)TiO4、BaOTiO2、SnO2–TiO2–ZrO2、

SrO–Nb2O5 –TiO2等。 圖 1.2 DR 結構示意圖 其中DR結構乃是利用介電質材料當作共振腔材料，使電磁波在介電材料內 依傳波的模態 (mode)、材料之尺寸與介電常數之值，達成某一特定頻率的共振， 並再由微帶線傳導使其達成選頻之特性。而在介質諧振濾波器上，以行動通訊基 地台為例，需要極窄的可通頻帶寬 (narrow bandwidth) 約10 MHz，高的無負載

Qu值 (unloaded Q factor) 約25000，低的穿透損耗 (mid - passband insertion loss) 約0.5dB。這些皆與應用在共振腔裡的低吸收材料有著密切的關係，因為此對於 這些微小的吸收材料tanδ <0.01，介電常數的虛部值ε 就變得非常重要。下節_r" 我們將簡介一些測量的方法，並探討其優缺點。

1-3 常見的材料檢測方法

在微波領域下對於材料的複介電常數之測量，大致上可粗分為腔體法和傳輸 法。腔體法內又可分為量測電容的平板電容法；和量測品質因子(Q)與共振頻率( f0 )的共振腔法; 而傳輸法為主要利用量測反射(S11)或穿透(S21)等散射參數來求解 材料的介電常數，主要分為波導管法、同軸探針法和自由空間法。以下將就各種 方法分為四大類探討其優缺點。 (1)平行板電容法： 此法為最早應用之測量材料介電常數的方法，藉由將待測材料置入平行板 內，量測其電容值的改變量，再依幾何形狀得出其相對介電數值，如圖1.3[1][5]。 此法可簡便地提供準確的介電常數值，但當頻率大於1GHz 之後其時變場的頻率 變化過快導致其誤差會逐漸增大，故不適用於高頻色散性質的量測。 圖 1.3 平行板電容法測量原理圖

(2)共振腔法： 共振腔方法主要是將待測材料置入原先設計好的共振腔體內，藉由量測有無 材料時，在腔體內部共振頻率的改變量求得材料的介電常數。由於材料的形狀並 不一定皆能剛好符合腔體的大小，故其空氣孔隙常成為誤差的來源。也由於選定 的模態關係，常會由於不均勻的材料表面而激發出別的模態的波，產生誤差。對 於那些不能填滿腔體的材料，對於其大小和擺放位置，常見的解決方法為腔體微 擾法[6][7]，藉由在選定的模態下得出和材料及腔體幾何形狀有關的常數值，再 由共振頻率的改變量及Q值求得介電常數值。共振腔法可檢測的吸收係數範圍大 至在 10-2 ~10-5 [8]，雖然只能檢測低吸收係數的材料，不過其精確性也是各種方法 中最準確的。另外共振腔法由於腔體的關係，通常只能獲得在選定的某單一操作 頻率下材料的介電性質，無法大範圍的求得材料和頻率的色散性質。 (3)傳輸線法： 傳輸線法主要又分為矩形波導管法和同軸探針法，矩形波導管法主要是藉由 量測散射參數(S-parameter)，並代入固定的模態之邊界條件下得出的傳波常數 中，得出介電常數的關係[9]。或者由數值迭代方法，得出誤差方程最小時的介 電常數值[10]。其中待測材料若不能符合波導管的截面積，則會因為空氣孔隙造 成測量誤差，對於其擺放之位置、形狀、及大小也會對結果有影響[10][11]。至 於它的測量準確性，雖沒有共振腔來得準確，但其可測的材料吸收範圍算是最廣 泛的。而材料的色散性質也能得出，但僅限於本身波導管的可導通頻帶。 同軸探針法，主要是將材料緊靠在同軸傳輸線平坦的末端，藉由電磁波在此末 端的變化，由反射信號求得材料的介電常數[12][13]。其中在[14]裡探討了在求解 時採用的各種理論模型所產生的誤差。由於此法要求同軸傳輸線和材料緊密地貼

合，但往往由於材料的不平整產生了空氣孔隙造成誤差[15]。此法最大的優點在 於不只能測量固體塊材，對於液體、粉末、柔軟材質或生物組織皆能提供可靠的 介電常數值，且能較簡便地達成測量材料隨溫度的變化情形。 (4)自由空間法： 自由空間法，故名思義是指待測材料在自由空間下的測量性質，是將材料固 定在一組微波發射源和接收源中間，經向量網路分析儀得出欲求之散射參數。其 大至上分為三種，最早是在材料的後面加上一金屬板，藉由量測反射參數(S11) 的實驗值並和理論值二者的誤差方程式擬合得出複介電常數值[16]。另一種是藉 由量測穿透頻譜之特性並利用富利葉轉換至時域空間，得出在擺放材料後電磁波 經過之時間差，因而得出介電常數實部值，至於虛部值則經由穿透率的實驗值和 理論值的誤差擬合得出，故此法也稱為自由空間法中的相位法[17]。再來也有同 時考慮反射(S11)和穿透(S21)係數的方式，進而求解傳播常數和特性阻抗構成的聯 立方程式得出複介電常數和複導磁係數[18]。綜合以上自由空間法最大的特點是 能簡便的達成材料的寬頻帶性質測量，至於其缺點則是介電常數的準確性不如腔 體法來得準確，尤其是微小的吸收係數。另外也有所謂空間諧振的問題[19]，指 的是對於某些特殊的頻率點材料的厚度剛好為入射波長的半波長的整數倍時，產 生穿透極大、反射極小的情形，造成該頻率點的介電常數值有著極大的誤差。另 外在反射及穿透係數皆採用的方法中，其求解的過程中會出現多值解，即相位模 糊的問題。 因此同樣在自由空法下，我們設計了利用一維光子晶體模組，來改善對於微 小吸收係數量測的精準度，以及如何避免空間諧振與相位模糊的問題。

1-4 光子晶體簡介

在本節我們先簡單地介紹光子晶體的一些基本性質。光子晶體的概念與相關 理論的形成，是由 E. Yablonovitch 和 S. John 在 1987 年所提出[20]，對於不同 介電常數的介電材料所構成的週期性結構，如圖1.4。在此結構中電磁波經週期 性介質散射後，某些波段的電磁波強度會因破壞性干涉而呈指數衰減，無法在系 統內傳播。其基本原理如同布拉格繞射 (Bragg Diffraction) 一樣，也就是光波會 在光子晶體中產生破壞性干涉，造成類似於電子能帶的光子能帶結構，進而在頻 譜上形成光子能隙。光子能帶和能帶之間出現的帶隙，即為光子頻率帶隙 (Photonic Frequency Bandgap，簡稱 PBG)。具有光子能帶隙的週期性介電結構就 是光子晶體 (Photonic Crystals)，或叫做光子帶隙材料 (Photonic Bandgap Materials)。 圖 1.4 1D,2D,3D 光子晶體結構示意圖 完全能隙是完美的光子晶體才可能具有的特性，但令人更感到興趣的應用， 則是出現在不完美的光子晶體。研究發現，當光子晶體中的某些單元被取消或被 另一種介質取代而形成缺陷時，就會使光子晶體的光子禁帶出現一些“可穿透窗 口＂，即光子禁帶內某些頻率會毫無損失地穿透光子晶體，我們稱其為光子晶體 的缺陷態。而此缺陷態的許多特性，將使得光子晶體在微波及光學領域上具有許 多有價值的應用，諸如：濾波器[31]、高效率反射鏡[32]、改善發光二極體的效

率[33]、高品質因子微諧振腔的製造，以及光子晶體光纖[34]、光子開關[35]、光 子存儲器[36]、光子限幅器等各個方面。所謂一維 (1D) 的光子晶體就是光學上 常常使用的多層膜，現在1D的光子晶體仍是運用最廣泛的材料。雖然以目前的 趨勢來看2D及3D光子晶體具有很大的發展潛力，然而製備上的難度使得其應用 無法較普遍性，所以本篇論文仍以應用1D光子晶體的特性與方便性，來做為探 討的主軸。

第二章 計算及模擬方法

前言:

在本章中，我們除了介紹使用的模擬方法外，也詳細地介紹了如何由反射 係數及等效折射率求解待測材料的一般性質。其中我們使用傳輸矩陣法(TMM) 來做為分析一維光子晶體結構性質的模擬工具，並介紹了在最後求解材料性質時 必需要求解非線性聯立方程組時所用到的布洛依登法，以及可調式光子晶體模組 來達成測量寬頻帶的材料色散性質。

2-1 傳輸矩陣法(Transfer Matrix Method)[21]

2-1.1 單一均勻等向介質層之計算

首先考慮單一介質層n₂，介於兩個半無窮大的介質n n1, 3中，如圖2.1 所示

圖 2.1 單一均勻等向介質層之示意圖

並假設所有的介質均具有均勻性(homogeneous)及等向性(isotropic)，圖 2.1 整個 結構之折射率分佈可以被表示成

1 2 3 , 0 ( ) , 0< , n x n x n x d n d x < ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ _< ⎩ < (2.1.1) 假設以一平面電磁波沿法線以θ 入射介質層 ，則我們可以將電場波動方程式表 示為以下的形式: 2 n E x z( , )=E x( ) exp[( (i tω β− z))] (2.1.2) 其中β為傳播向量在 z 方向上的分量。如果我們假設平面波是由x= −∞處入射， 則電場向量E x( )可以寫成 1 1 2 2 3 ( ) , 0, ( ) , 0< , , x x x x x ik x ik x ik x ik x y ik x d Ae Be x E x Ce De x d Fe d x − − − − ⎧ + < ⎪ =_⎨ + ⎪ _< ⎩ < (2.1.3) 在此我們假設電場向量為 s 極化(垂直入射之 x-z 平面)即 TE 波。A，B，C，D 及 F 為常數。k_1x，k_{2 x}，k_3x為電磁波在各介質中傳輸時，波向量在 x 方向上的 分量，其中 [( i )2 2 1/ 2] ( ) cos , 1, 2,3 ix i i n k n c c i ω _β ω _θ = − = = (2.1.4) i θ 為平面波在各介質中與 x 軸之夾角。A，B，F 分別代表入射波、反射波及透 射波之振幅。 由式 ，再利用Ｍaxwell’s 方程式，我們可推導出在各介質中的磁場向量 的表示式: (2.1.3) ( ) Z H x 1 1 2 2 3 1 2 ( ) 3 ( ), <0, ( ) ( ) 0< < , x x x x x ik x ik x x ik x ik x x Z ik x d x k Ae Be x k H x Ce De x d k Fe d x ωμ ωμ ωμ − − − − ⎧ ₋ ⎪ ⎪ ⎪ =_⎨ − ⎪ ⎪ < ⎪ ⎩ (2.1.5) 其中μ為導磁係數。在此利用E 及_y Hz必需滿足邊界條件，即在x=0 及 x=d 介面

必需要連續，代入這些條件後可得關係式如下 A B+ = C D+ (2.1.6 )a k A B₁x( − ) = k C D₂x( − ) (2.1.6 )b Ce−ik d2x +Deik d2x = F (2.1.6 )c 2 2 ( 2 ( x x ) 3 ik d ik d x x k Ce− −De = k F 2.1.6 )d 在上述四個式子中，我們可將參數B，C，D 及 F 統一以 A 來表示，並經過一些 代數運算步驟後可得到 2 2 1 2 2 4 ( )( ) ( )( ) x x ik d x x i k d k k e F A k k k k k k k k e − − = + + + − − 1x 2x 2x 3x 1x 2x 2x 3x (2.1.7) 及 2 2 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 2 2 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x x i k d x x x x x x x x i k d x x x x x x x x k k k k k k k k e B A k k k k k k k k e − − − + + + − = + + + − − (2.1.8) 而C 及 D 可分別寫成和 F 的關係式 3 2 2 1 (1 ) , 2 x ik d x x k C F e k = + (2.1.9) 3 2 2 1 (1 ) 2 x ik d x x k D F e k − = − (2.1.10) 如果我們利用式(2.1.4)，我們可以寫出各個介面之穿透及反射係數 1 2 12 1 2 , x x x x k k r k k − = + (2.1.11) 2 3 23 2 3 , x x x x k k r k k − = + (2.1.12) 1 12 1 2 2 , x x x k t k k = + (2.1.13) 2 23 2 3 2 _x x x k t k k = + 。 (2.1.14) 將各介質界面穿透及反射係數之表示式代入(2.1.7)(2.1.8)式後，整理可得總穿透

及總反射係數之表示式 12 23 2 12 23 , 1 i i t t e F t A r r e φ φ − − = = + (2.1.15) 及 2 12 23 2 12 23 , 1 i i r r e B r A r r e φ φ − − + = = + (2.1.16) 其中， 2 2 2 2 cos x n d k d π φ θ λ = = D 在此反射率定義為能量的反射比率， R= r2D (2.1.17) 穿透率定義為能量的穿透比率， 3 3 2 1 1 cos , cos n T n t θ θ = (2.1.18) 3 1 1 cos cos n n 3 θ θ 為相速度的修正項。 假如所有介質均為實數且無吸收，則依據能量守衡可以寫出 R T+ = (1, 2.1.19) 在前面的敘述中，我們所計算的為單層均向且均勻的結構。但由前面的分析 中我們可以想見，當計算多層介質結構時，所需要解的方程式將會變的非常複 雜。因此，我們將採用矩陣法來解決此類問題，此種方法尤其適用來解決週期結 構的問題。 現在我們首先考慮前面所描述的單層介質結構的問題，電場可以表示成為由 向右行進波及向左行進波組成，即 E x( )=Re−ik xx +Leik xx ≡ A x( )+B x( ) (2.1.20) 其中±k_x為波向量在x方向上之分量，而R及 為在各均勻層中之常數，L A x 代( )

表向右行進之波的振幅，而B x 代表向左行進波之振幅，在此我們定義 ( ) 1 1 ' 2 ' 2 2 2 ' 3 ' 3 (0 ), (0 ), (0 ), (0 ), ( ), ( ), ( ), ( ), A A B B A A B B A A d B B d A A d B B d − − + + − − + + = = = = = = = = (2.1.21) 在此0−代表x=0 左邊界面，0 代表 x=0 右邊界面。同理，d+ −_及d+_{分別代表x=d} 左邊界面及右邊界面。如果我們將各界面上之電場振幅改以行向量來表示，則 我們可得以下之關係: ' 1 1 1 2 _' 1 2 , A A D D B B − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 (2.1.22 )a 2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 0 , 0 i i A A A e P B B B e φ φ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜_⎜ ⎟_⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠} ⎝ ⎠ (2.1.22 )b ' 3 2 1 2 3 _' 2 3 , A A D D B B − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ _{⎝ ⎠} (2.1.22 )c 其中D 矩陣可以表示成 1 1 , cos - cos cos cos , - for s wave n n D for p wave n n α α α α α α α α α θ θ θ θ ⎧⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ = ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎩ (2.1.23) 其中α =1, 2, 3；而θ 為各介質層中波向量與 x 軸之夾角。而 為波傳播經過此_α 週期層結構之傳播矩陣，其中 2 P 2 k d2 x φ = 。從式(2.1.22) A B A1, , , 1 3′ B3′之關係可 表示為

3 2 3 22 1 1 1 11 1 1 2 2 2 3 1 21 3 3 A A A M M D D P D D B _B M M _B − − ⎛ ′⎞ ⎛ ′⎞ ⎛ ⎞ _{⎜ ⎟} ⎛ ⎞_{⎜ ⎟} = = ⎜ ⎟ _{⎜ ⎟} ⎜ ⎟_{⎜ ⎟} ′ ′ ⎝ ⎠ _{⎝ ⎠} ⎝ ⎠_{⎝ ⎠} (2.1.24) 在此，定義反射及穿透係數分別為 3 1 1 B 0 1 B M r A _′= M ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ 21 1 (2.1.25) 3 3 1 0 1 1 B A t 1 A _{′ =} M ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ (2.1.26) 而反射率及穿透率分別為 2 21 11 , M R M = (2.1.27) 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 11 cos cos 1 , cos cos n n T t n n θ θ θ θ = = M (2.1.28) 其中θ 及₁ θ 為電磁波在介質層中的入射角及出射角。 ₃

2-1.2 多層等向介質結構之矩陣運算法

接下來我們將考慮計算多層等向介質結構(如圖2.2)之矩陣運算法，首先， 我們考慮此結構之折射率分佈如所示: ( 0 0 1 0 1 2 1 2 1 , , < , , < , ( ) , < , , N N N s N n x x n x x x n x x x n x n x x x n x x − < ⎧ ⎪ _< ⎪ ⎪ < ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ _< ⎪ < ⎪⎩ # # 2.1.29) 其中n0代表入射端的折射率，n1, n2, …, nN為各層之折射率，xl代表第l層與第 層介面之位置， 1 l+ ns為出射端之折射率。

圖 2.2 多層均勻等向介質層之示意圖 各層之厚度分別為 1 1 0 2 2 1 1 N N N d x x d x x d x x ₋ = − = − = −

#

(2.1.30) 而電場E x( )之分布可以寫成 0 ( 0) 0 ( 0) 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( )

,

;

( )

,

;

,

x x lx l lx l sx N sx N ik x x ik x x ik x x ik x x l l l ik x x ik x x s s N

A e

B e

x x

l

E x

Ae

Be

x

x x

A e

B e

x

x

− − − − − − − − − −

⎧

₊

_<

⎪⎪

=

_⎨

+

<

⎪ ′

₊

′

_<

⎪⎩

<

_(2.1.31) 其中， 1/ 2 2 2 _{cos , 1, 2, ...,} lx l l l k n n l c c ω _β ω _θ ⎡_{⎛ ⎞} ⎤ =⎢_{⎜ ⎟} − ⎥ = = ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ N (2.1.32) l θ 為電磁波行進第l介質層之入射角度，A_l及B_l代表在x x= _l界面之振幅。依照 前節中所分析的結果，可以得出 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 , 1, 2, ..., l l l l l l l A A D D B B A A PD D l N B B − + − + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.1.33)

其中AN+₁= As′, BN+₁ =Bs′，而D 矩陣及 矩陣可寫成 P 1 1 for s wave , cos - cos cos cos for p wave , - l l l l l l l l l n n D n n

θ

θ

θ

θ

⎧⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ = ⎨ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎩ (2.1.34) 0 0 lx l lx l ik d l _{ik d} e P e− ⎛ ⎞ = ⎜⎜_{⎝ ⎠}⎟⎟ 1 N s l l l s l s s (2.1.35) 由式(2.1.33)整理可得 0 1 1 11 12 0 1 0 2 22 s A A M M A D D PD D B _B M _B − − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ M ′ ′ ⎛ ⎞₌ ⎡ ⎤ _{⎜ ⎟=}⎛ ⎞_{⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎢_⎣ ⎥_{⎦ ⎜ ′⎟} ⎜ ⎟_{⎜ ′⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∏

_{⎝ ⎠ ⎝ ⎠} (2.1.36) 在此，我們可以計算反射及穿透係數分別為 0 21 0 ₀ 1 , s B B M r A ₌ M ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ 1 (2.1.37) 0 ₀ 1 1 s s B A t A ₌ M ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ 1 (2.1.38) 其中， =t tiθ，θ 為穿透係數之相位角。 而反射率及穿透率分別為 2 21 11 M R M = ， (2.1.39) 2 2 0 0 0 0 11 cos cos 1 cos cos s s s s n n T t n n θ θ θ θ = = M ， (2.1.40) 其中θ 及₀ θ 為平面波在晶體中的入射角及出射角。 _s

2-2 多層介電質的等效折射率

2-2.1 合成總場之波阻抗[22]

將任何平行於平坦界面平面上總電場強度與總磁場強度之比值，定義為合成 總場的波阻抗Z。由圖 2.3 可得與 z 座標相依的均勻平面波之波阻抗可寫為 ( ) ( ) ( ) ( ) Z x y E z z H z Ω =

(2.2.1) 對於在無限大介質內沿 方向傳播，即正向入射的單一行進波而言，波阻抗等 於介質之本質阻抗 z + η；同理沿 方向傳播的單一行進波而言，不論z 為何值， 波阻抗皆為

-- z

η。 圖 2.3 雙層介電質上之垂直入射 考慮由圖 2.3 所示，均勻平面波由介質 1 垂直入射於平坦之介面介質 2，介質 2 為一無限延伸的均勻介質。我們可得出在介質1 內之總電場與總磁場分別為 1 1 1 -1 0 -0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( - )1 j z j z x i j z j z i y E z E e e E H z e e β β β β

γ

γ

η

= + = (2.2.2) 其中，Ei、Hi為入射之電場與磁場；Er、Hr為反射之電場與磁場；Et、Ht為透射 之電瑒與磁場；γ為反射係數；β為傳播常數。由(2.2.1)知其比值在介質 1 中與

界面相距z距離處的合成總場波阻抗為 1 1 1 1 -1 1 1 -1 ( ) ( ) ( ) - j z j z x j z j z y E z e e Z z H z e e β β β β

γ

η

γ

+ = = (2.2.3) 另外在交界面上由邊界條件得出γ =( - ) /( )η₂ η₁ η₂ + η₁ ，與介質 1 和介質 2 的 本質波阻抗有關。將其代入(2.2.3)式，並假設在界面左方z=- l處，可得 2 1 1 1 1 1 1 2 cos sin (- ) cos sin l j Z l l j 1 1 l l

η

β

η

β

η

η

β

η

β

+ = + (2.2.4) 當η η₁= ₂時，上式可簡化為η 。表示介質在₁ z=0處沒有不連續的界面，故沒有 反射波。合成總場的波阻抗與介質的本質阻抗相等。

2-2.2 多層介電質的等效阻抗轉換

考慮如圖 2.4 之多層介電質介面的問題時，由於介質 2 中之總場是波在 與 界面上多次反射的結果，可將之寫成兩組分別往 及- 方向傳送的 行進波，並由(2.2.4)式我們可得在 0 z= z d= +z z 0 z= 處，往波的行進方向看進去得到的等效波 阻抗為 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 cos sin (0) cos sin d j Z d j d d

η

β

η

β

η

η

β

η

β

+ = + (2.2.5) 當我們要討論在介質 1 內的波時，就必須處理在z=0處的不連續，而這不連續 可用一無限大介質的等效阻抗來表示(2.2.5)。故在計算介質 1 內的入射波之反射 係數時，不用一一代入邊界條件來解出，只要用一等效阻抗去計算在 處之 等效反射係數 0 z= 0 2 0 2

(0)

-(0)

r i

E

Z

E

Z

1 1

η

η

Γ =

=

+

(2.2.6)

即可。 圖 2.4 多層介電質垂直入射之電場、磁場示意圖

2-2.3 等效折射率

由介質之本質波阻抗的定義知 ₀ r r μ μ η η ε ε = = ，其中η 為真空中之本質阻₀ 抗(377Ω )，ε 及r μ 為相對介電常數和相對導磁係數。假設使用之材料為非磁性r 材料，則μ 為 1。並由材料折射率_r n c _r v ε = = ，得出阻抗和折射率之間的轉換關 係式為 0 n η η = 。代入(2.2.5)式，則我們可獲得兩層介質由介質 1 向介質 2、介質 3 看過去的等效折射率Nin表示為 0 0 2 2 2 2 0 0 3 2 0 0 2 2 2 2 2 2 3 cos sin cos sin in d j d n n N n _{d j d} n n

η

_β

η

_β

η

η

η

_β

η

_β

+ = + (2.2.7) 同除η ，並整理可得 ₀ 3 2 2 2 2 2 2 3 2

cos

sin

cos

sin

in

n

d

jn

N

n

n

d

jn

d

d

β

β

β

β

+

=

+

(2.2.8)

其中 2 2 2 fn c π β = 為垂直入射時，波在介質2 中的傳播常數。 由上述所知，我們已經可以定出多層介質之間的等效折射率，現在我們舉一 模型如圖2.5 來做說明。圖 2.5 是由 5 層介質所構成，且在此我們先簡單假設 為 未知的待測材料層，其餘層的材料性質皆為已知。入射波為正向入射。則由(2.2.8) 3 n 式我們首先可得出由介質 向波行進方向看進去的整體等效折射率 ，而由 (2.2.6)式我們可由實驗量測得出反射係數 1 n Nin γ，並由 1 1 in in n N n N γ = − + (2.2.9) 整理可得 1 1 1 in N n γ γ ⎛ − ⎞ = ⎜ ₊ ⎝ ⎠⎟ (2.2.10) 圖 2.5 5 層介質等效折射率及厚度示意圖 之後我們再假設由介質2 往波行進方向看進去，得出介質 3、4、5 的等效折射率 ，如圖 2.6。則再利用(2.2.8)式和(2.2.10)式求出由 、 及 此三層介質 構成的等效折射率關係式 ( ) eff N + 1 n n2 ( ) eff N + ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 cos sin cos sin eff in eff N d jn N n n d jN

β

β

β

+ + + = + ₂ d d

β

(2.2.11)

再將上式的N_eff( )+ 整理成 的表達式 in N ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin in eff in 2 N d jn d N n n d jN d

β

β

β

β

+ ₌ − − (2.2.12) 其中N_in已經可以由(2.2.10)式的反射係數γ來推算。 圖 2.6 5 層介質等效折射率N_eff( )+ 示意圖 同理由圖2.7 我們也可得出未知待測材料層 右邊，向入射波方向看進去得 出介質 及 的等效折射率 3 n 4 n n₅ ( ) eff N − ，其關係式為 ( ) 5 4 4 4 4 4 4 4 4 5 4 cos sin cos sin eff n d jn N n n d jn 4 4 d d

β

β

β

−

β

+ = + (2.2.13) 圖 2.7 5 層介質等效折射率N_eff( )− 示意圖

故再由(2.2.12)、(2.2.13)，我們可得出以 、 及n2 n3 ( ) eff N − _{等三層介質間 和 的} 關係式可表示為 ( ) eff N + ( ) eff N − ( ) 3 3 3 3 3 ( ) 3 ( ) 3 3 3 3

cos(

)

sin(

)

cos(

)

sin(

)

eff eff eff

N

d

jn

N

n

n

d

jN

β

β

β

− + −

+

=

+

₃

d

d

β

(2.2.14) 其中若n4、n5、d4為已知數值，則由(2.2.13)式可得知在選定的入射頻率下，N_eff( )− 的值。同理若n1、n2、d2為已知參數，則可由反射係數γ得知，介質1 看進去整 體多層介質的等效折射率Nin，再由Nin反推得出Neff( ) + 。

2-2.4 應用等效折射率求解未知材料之性質

在(2.2.14)式中 為未知的待測材料層，若假設其厚度值dn3 3也為已知的一般情 形下，我們可令 ，而由(2.2.12)和(2.2.13)式得出的等效近射率也可寫 成 ， 。 將 其 帶 入(2.2.14) 式 中 ， 並 考 慮 在 3 3r n =n −in_3i + − ( ) eff r i N + =N+−iN ( ) eff r i N − =N−−iN 3 3 3 3 3 3 (nr in di) d c ω β = − = 中，ϕ ϕ 為一複數。故₃ cosϕ 或3 sinϕ 也會為複數，所以必3 需分為實部和虛部討論之。 將其帶入得出之形式如下 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

( )( cos cos ) ( )( sin sin ( )

( )( cos cos ) ( )( sin sin

r i r i r i r i r i r i N iN Re iIm i n in Re iIm N iN n in n in Re iIm i N iN Re iIm 3) ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − − + + − − − + + − + − = − − + + − + ϕ (2.2.15) 將實部及虛部整理後，可得出 3 3 ( ) r i r i A iB N iN n in C iD + ₋ + _{= −} + + (2.2.16) 其中A、B、C、D 分別為 3 3 3 3 3

( _r cos _i sin _i sin _r sin )

3 3 3 3 3

( _i cos _r sin _r sin _i sin

B= −N Re−

ϕ

+N Im−

ϕ

−n Re

ϕ

−n Im

ϕ

₃)

3

(2.2.16b)

3 3 3 3 3

( _r cos _i sin _i sin _r sin )

C = n Re

ϕ

+n Im

ϕ

+N Re−

ϕ

−N Im−

ϕ

3)

(2.2.16c)

3 3 3 3 3

( _i cos _r sin _r sin _i sin

D= −n Re

ϕ

+n Im

ϕ

+N Re−

ϕ

+N Im−

ϕ

(2.2.16d) 再分子分母同乘C iD− 整理成純實部和純虛部的表達式 3 3 3 3 2 2 2 2

(

)

(

)

(

)

(

)

r i r i r i

n AC BD

n AD BC

n BC AD

n AC BD

N

iN

i

C

D

C

D

+

₋

+

₌

+

−

−

₋

−

+

+

+

+

(2.2.17) 所以由實部相等及虛部相等，我們最後可以得到一聯立方程組 3 3 2 2 3 3 2 2

(

)

(

(

)

(

r i r r i i

n AC BD

n AD BC

N

C

D

n BC AD

n AC BD

N

C

D

+ +

+

−

−

⎧

₌

⎪⎪

+

⎨

₋

₊

₊

⎪

₌

⎪

+

⎩

)

)

(2.2.18) 其中 A、B、C、D 內含有cosϕ 及₃ sinϕ 等項為非線性函數，故式子(2.2.18)變成₃ 要求解非線性聯立方程組來解出 和 ，並不容易直接求解。故在下節我們將 討論如何利用數值運算的方法來解出數值解。 3r n n3i

2-3 布洛依登法 (Broyden’s Method)[23][24]

由於我們最後在求解材料的折射率及吸收係數時，會利用到等效折射率法， 最後得到由實部和虛部構成的一個非線性聯立方程組。故在本節我們將介紹一個 對於求解非線聯立方程組上，常用到的方法－布洛依登法 (Broyden’s Method)。 在傳統上對於求解非線性聯立方程組，以所謂的牛頓法即可達成，以下將簡 介牛頓法的方法，並介紹布洛依登如何加以改進而成為布洛依登法，故希洛依登

法也有人稱它為準牛頓法(quasi-Newton methods)。 假設一含有任意變數的非線性聯立方程組f(x) = 0，這裡的 是指 個分量f n 1 2 ( , ,..., )T n f f f 的行向量，並令 是 個分量x n ( , ,..., )x x_{1 2} x_n T的行向量。而藉由一給 予的初始值逐次迭代 f( ，直至設定的誤差範圍內，則跳出運算並輸出結果。即 對於一初始的x值假設 x) 1

0,1, 2,...

r+

=

r

+ Δ

r

r

=

x

x

x

(2.3.1) 其中xr+1是 x 在第(r+ )1 次的迭代值，且xr+1是x的改進近似，故可得出 1

(

r+

)

≈

f x

0

或 f x( r + Δxr)≈0 (2.3.2) 若以n 維泰勒級數展開(2.3.2)則可得 ( r + Δ r)= ( )r + ∇ ( )r Δ +r f x x f x f x x ... (2.3.3) 其中我們忽略_{( )}2等的高次項，並由(2.3.2)式可得 r Δx

( )

r

+ Δ ≈

_r r

0

f x

J

x

(2.3.4) 其中 ，稱為(Jacobian Matrix)。下標 r 表示矩陣在點 的計算值，且 其各分量形式可寫為 ( )r r = ∇ J f x xr

[ ( ) /

r

]

1, 2,...,

1, 2,...,

r

= ∂

f

i

∂

x

j

i

=

n j

=

n

J

x

(2.3.5) 故由(2.3.4)我們可得出最後的改進近似式 1 1 _{( ) 0,1, 2,...} r+ r r r r − = − = x x J f x (2.3.6) 由於Jr可能為奇異矩陣(singular)，此時反矩陣 1 r − J 將無法計算。故布洛依登在每 次迭代時的 1提出了一逐次近似的更新公式[23] r − J 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r r r T r r r T r + − − − − − ⎡ − ⎤ ⎣ ⎦ = − J y p p J J J p J y r r (2.3.7)

其中yr =fr+1 −f 且r 。 1 ( ) ( r _r r − = − p J f x )r ) r r r ) 而詳細的演算步驟如下: 1.首先輸入一個解的初值近似，且計數器r 設為 0。 2.對J_r−1也計算或給予一初值近似。 3.計算 ₍ 1_{) (} 。 r _r r − = − p J f x 4.求一純量 使得||t_r f x( r +t_rp_r) || < || ( ) ||f x ，其中|| ||表示被取的向量範數 (norm)。 5.計算xr+1 =xr +trp 。 6.計算f x( r+1 ，若|| (f xr+1) || < ε (ε 為使用者自行給予的可容忍誤差)，然後 跳出演算程式，否則繼續步驟7。 7.使用(2.3.7)式的更新近似公式得出 1 1 r − + J 。 8.令i i= +1然後回到步驟3。 對於傳統的牛頓法，除了確保函數的偏導數存在外，其函數的偏導數形式也 必須由使用者自行計算，而布洛依登修正了這項缺點，並給予了一正確的近似公 式，使得此法能使用的函數範圍更加廣闊，且省去了計算函數的偏導數形式。對 於大量的未知數構成的複雜方程式系統，布洛依登法的效率尤為顯著。

2-4 可調式光子晶體模組

在[25]的論文中提及了對於一含有缺陷層的一維光子晶體，如何達成穿透頻 率之可調以期應用在濾波器及色散補償器之方面。其主要是以調動缺陷層旁之調

圖 2.8 可 調 式 濾 波 器 調 動 模 組 一 結 構 圖 (nH =2，nL =1，dH =0.375 mμ ，dL =0.75 mμ ) 動層來達成，如圖 2.8。並在此調動模組外再加上一定週期數的光子晶體層數以 增加其Q 值，圖 2.9。若以中心頻率為 100THz 其調動結果如圖 2.10，Q 值的變 化如圖2.11。 圖 2.9 以 光 子 晶 體 設 計 可 調 式 濾 波 器 示 意 圖

圖 2.10 調 動 模 組 在 不 同 調 動 距 離 之 穿 透 頻 譜 (nH =2，nL =1，dH =0.375 mμ ，dL =0.75 mμ )

圖2.11 探 討 調 動 模 組 置 入 光 子 晶 體 Q值 變 化 之 影 響 (n_H =2，n_L=1，d_H =0.375 mμ ，d_L =0.75 mμ )

而調動的模組不只是能調動最接近缺陷層旁的二層而已，如圖 2.12 也可調 動更外層的調動層，由此我們可發現，當調動愈外層的調動層時，其變化範圍之 效果較不佳，比較圖形如2.13。 圖 2.12 調動模組二、三之結構圖 圖 2.13 比 較 不 同 調 動 模 組 之 調 動 範 圍 故由此設計架構下，我們的量測材料通常都設為缺陷層，則藉由調動缺陷層 外圍的光子晶體調動層，便可改變其穿透頻率，進而得出材料在不同頻率下之折 射率或吸收係數的色散性質。

第三章 實驗架構及量測方法

前言:

在計算光子晶體的出射頻譜時，通常都假設平面波入射至無限大的光子晶 體上，雖然無限大的光子晶體在實際上是無法製做的，然而實驗上卻可將待測物 與電磁波發射源之距離R取得夠遠使其滿足遠場條件（即樣品中心與邊緣相位差 ＜λ/16，即R＞2D2_{/λ，式中D為待測物之最大尺寸，λ為入射波波長），此入射條} 件即可視為近似平面波入射；且為避免有限樣品邊緣繞射效應的影響，在發射與 接收系統之間安置一片具有微波吸收角錐材料的金屬板，其中心製成適當的孔洞 以消除有限樣品邊緣的繞射效應。因此實驗為模擬在近似平面波入射條件下，量 測有限樣品構成之1-D光子晶體其穿透和反射頻譜關係。現將儀器架設與量測結 果分述如下:

3-1 儀器設置及架設

量測系統之儀器架設相關方塊示意圖如圖 3.1 所示，所需儀器及其各項功 能分述如下： a. 微波源（Synthesized Sweeper）：其主要功能為提供微波發射來源。 （HP83650A） b. 微波頻率轉換器（Frequency Converter）：其主要功能為提供微波參 考信號及降至中頻（IF）以利信號分析。（HP8511A） c. 微波接收控制儀（Microwave Receiver）：其主要功能為控制微波發

射與接收情形，並使之成為同步信號狀態，並提高系統的靈敏度。 （HP8530A） d. 微波前置放大器（Microwave Preamplifier）：其主要功能為降低雜 訊，並放大S/N 比，並提高系統的靈敏度。（HP8449B） e. 耦合器（Coupler）：其主要目的為提供一參考信號（可調變的），以 利於S/N 比之改善，並提高系統的靈敏度。（HP11629D） f. 喇叭型天線（發射與接收）：ST 公司製作之 DRH-0118：提供一適 當之Beam Width，而能涵蓋整個待測物時，其場型變化落差較小。 本系統之發射/接收天線之 Beam Width 約為±8 度（3dB），故本次待 測物均涵蓋在微波場型之3dB 範圍內。 圖 3.1 量測系統之儀器架設相關流程示意圖 本套系統為自由空間量測系統，是以 HP8530 微波向量網路分析儀為量測

中心，可自由調整發射頻率，其掃頻範圍為10MHz 至 50GHz。量測時其一段掃 頻微波信號，經由發射源輸入號角型天線輻射至待測空間，再由同型號之天線接 收傳輸信號，並接上向量網路分析儀。量測時如比較於內部同步之參考信號，即 可測得待測物之穿透率及相位關係。為避免有限樣品邊緣繞射的影響，在發射與 接收天線之間放置一塊金屬板，尺寸為160cm×160cm，在其中間位置開一缺口， 此開口大小需考慮日後待測樣品尺寸、發射/接收天線位置，以滿足平面波入射 要求下，且能避免開口邊緣繞射(經實驗證明對入射頻率為 2GHz-18GHz，此開 口需大於10cm×10cm)。現因應空間限制，發射/接收天線距金屬板位置為 100cm， 則選定開口為14cm×14cm，本系統架設示意圖如圖 3.2 所示，圖中在金屬板上覆 蓋5 吋角錐型吸波材料，以降低金屬板多次反射效應。本量測系統的動態量測靈 敏度，於2 至 18GHz 可達-50dB。 圖 3.2 微波穿透率量測系統架設示意圖

3-2 量測方法：

本文微波穿透率量測主要依據是將測量反射回波的頻率數據，應用反富立

葉轉換(IFT)功能給出以時間或距離為變量的關係圖，由圖即可清楚分辨出不同 反射回波位置，再視當時實驗條件、背景強度及暗室實際空間判定時域開閘 (time gating)範圍。如此即可確保量測到有意義的反射回波信號，且可濾除不必 要的轉接頭或背景反射信號，進而提昇量測準確度。本文是應用HP8530 微波 向量網路分析儀之反富立葉轉換，及其時域開閘功能，量測待測樣品之穿透率 及反射率。 在實驗量測時，每次將會進行兩次量測，第一次於系統安裝熱機後，將樣 品置於金屬板開口上方，直接量測穿透頻譜響應T1。第二次則是於同樣實驗條 件，移去樣品直接量測全穿透頻率信號T0。因此，量測結果為T1/T0，其中T1表 示樣品穿透信號強度，T0表示全穿透信號強度。 而在量測反射信號時，直接將樣品材料放置在一載台上，並在其後方填滿 5 吋角錐型吸波材料，以減少不必要的反射信號或背景干擾，而發射及接收信 號源皆在其上方300 公分處，彼此在發送和接收訊時會有 1 度的夾角，如圖 3.3。 圖 3.3 微波反射率量測系統架設圖

第一次直接量測光子晶體及待測物之反射頻譜響應R1。第二次再於載台上

放置一金屬平板，量測其自由空間中之反射信號R0，故反射率的量測結果為

R1/R0。

第四章 結果與討論

前言:

在本章我們將討論如何應用光子晶體模組和等效折射率方法求解出待測材 料的各項參數，並以 Matlab 程式語言軟體撰寫出各個需要用到的計算程式，並 模擬出數據結果。在末節我們也進行了微波實驗的量測驗証，並對其結果進行探 討。

4-1 低吸收係數材料之探討

4-1.1 運用傳輸矩陣法求解最佳化之吸收係數

首先在自由空間中談到吸收係數對穿透或反射頻譜的影響時，一般具有較大 吸收係數的單層材料之量測，可以很明顯地觀察出其造成穿透率下降的效應；而 對於一些具有極小吸收係數的材料，往往在量測上不易獲得穿透率或反射率的影 響變化，而得出準確的吸收係數值。故在[26][27]的文獻中首先引入了利用等效 介面法及一些計算上的近似，藉由量測穿透率之峰值，得出窄帶干涉濾波片 (narrow band-pass filter)在光纖通訊頻段的消光係數(k)之檢測方法。故由此我們 也提出了同樣在多層介質光子晶體的結構下，藉由實驗量測得出之穿透頻率與穿 透率，並以傳輸矩陣法(TMM)來進行弱吸收係數的計算。

在 2-1 中我們介紹了傳輸矩陣法(TMM)對於多層介質的結構上，具有較方便 的運算性質，其中對於對稱性的週期結構，如光子晶體結構更是能凸顯其計算上 的迅速性。而也如第一章中介紹的許多測量方法裡，在微波領域裡以自由空間法

能達成簡便且迅速的寬頻帶測量，不用像腔體法只能量測單一頻率下的性質，且 需考慮諸多不同的模態、不同的腔體所產生的不同結果。所以本節主要在探討如 何以自由空間法量測的結果下，得出樣品材料的低吸收係數。由於在許多的自由 空間量測方法中，多以單層材料的性質做為探討。若這些材料具有微小的吸收係 數時，往往會因為此微小的吸收係數，無法造成穿透率或反射率有顯著地改變， 因而在自由空間下，無法達成材料的低吸收係數值之準確測量。故我們提出了將 材料放置如光子晶體之週期性結構的設計，藉由共振腔體與缺陷層之特性，使得 電磁波在整體光子晶體內的來回反射次數增加，進而使得此一微小之吸收係數變 得顯而易見。以下我們考慮了二種不同的設計方法，一種是需要數片待測材料層 並以空氣層為缺陷下的設計；另一種則是將待測材料擺設為缺陷層，並在其外部 加上已知介電性質之材料層。 現在考慮如圖 4.1，為一般具有高低折射率材料所組成的週期性光子晶體結 構。其中二邊空氣的折射率值為n₀，高折射率介質為n_H、低折射率介質為n_L， 厚度均為帶隙中心頻率的四分之一波長結構，中間層為低介質不同厚度時構成的 缺陷層。 圖 4.1 具有缺陷之一維光子晶體結構

若假設以相同的待測材料平板構成如上之週期性結構，並設定此待測材料的折射 率(n_H)為 1.5-0.00145i，n_L為空氣等於 =1，厚度均為帶隙中心頻率為 10GHz 下的四分之一波長厚度。由圖4.2 可得出其穿透頻譜之關係圖。而圖 4.3 表示當 模擬了在吸收係數之參數較大(0.007)或較小(0.0005)時，穿透頻率的下降關係變 化。為了方便觀察起見，我們將横軸的頻率掃描範圍縮小由9.8~10.2GHz 的範 圍。由穿透頻譜計算，我們可得出當吸收係數值較低時，穿透率會下降得較不明 顯；相對地吸收係數較大時，穿透率則會較原本的值下降許多。 0 n 因此藉由量測穿透率的峰值，便能得出其與原本材料之吸收係數值的關係。 故我們利用了傳輸矩陣法(TMM)，在不同地吸收係數下，根據其穿透率之差值， 迭代尋找出最佳化之吸收係數值。並探討在不同地搜尋範圍下，分別給予逐次逼 近的搜尋範圍，來有效率地搜尋出最佳的吸收係數，使得最後得出的穿透率值， 能和實驗所得出的值相比擬。 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 f (GHz) T 圖 4.2 10 周期光子晶體缺陷頻率穿透頻譜圖 (nH=1.5-0.00145i、nL=1、dH=0.5cm、dL=0.75cm)

9.8 9.85 9.9 9.95 10 10.05 10.1 10.15 10.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 f (GHz) T ni=0.00145 ni=0.007 ni=0.0005 圖 4.3 不同吸收係數對應之穿透頻譜圖 (nH=1.5-0.00145i、nL=1、dH=0.5cm、dL=0.75cm) 由圖4.2 知在 10GHz 時，穿透率 T= 0.818375。由於吸收係數值為小數點後 5 位，故我們取小數後 6 位的有效位數以減少運算結果的誤差。並在不同的範圍 下各取100 點逐次逼進最後的正確值，其結果如表 4.1。由最後得出的吸數係數 值為0.00145，與我們當初的設定值相符合。 ni搜尋範圍(100 點) 0.001 ~ 0.1 0.00001~0.001 0.001 ~ 0.002 最佳ni值 0.001 0.001 0.00145 T 差值 0.05080 0.050805 0 表 4.1 結構一ni搜尋範圍與結果 （理論設定ni=0.00145） 另外，我們也以折射率n_H之實部為2 的材料作為假設，以上述的設計結構

並針對不同週期數的待測材料，討論其對吸收係數的檢測結果造成的影響。即探 討在缺陷層左右兩邊週期數不同的情形下吸收係數的檢測範圍，如表4.2。考慮 實驗上常見的0.1dB之誤差以及雜訊的干擾，設定其穿透率可用範圍為 0.99~0.1 之間。我們可得出在兩邊擺放的週期數，由1 個週期到 6 個週期時，nH的吸收係 數值可被檢測的範圍，大致上從10-1到10-7。因此，若是以光子晶體構成的結構， 藉由品質因子夠好的優點，則將可測量到極其微小的吸收係數值。然而，由於不 同的穿透頻率下相同的吸收係數對於穿透率的影響是不同的；且我們也忽略了材 料的色散性質，故此表僅是提供在檢測時的一個參考。在檢測時可由少數層先測 量，若吸收太大則減少層數，吸收太小則增加層數，直到可以量測到適合的穿透 率峰值為止。 週期數 1 2 3 4 5 6 i n 0.5 ~ 0.01 0.2 ~ 6.0×10-4 0.06 ~ 4.0×10-5 0.016 ~ 1.0×10-5 0.004 ~ 3.0×10-6 0.001 ~ 7.0×10-7 " r ε 2.0 ~ 0.04 0.8 ~ 2.4×10-3 0.24 ~ 1.6×10-4 0.064 ~ 4.0×10-5 0.016 ~ 1.2×10-5 0.004 ~ 2.8×10-6 tanδ 0.53~ 0.01 0.2~ 6.0×10-4 0.06~ 4.0×10-5 1.6×10-2~ 1.0×10-5 4.0×10-3~ 3.0×10-6 1.0×10-3~ 7.0×10-7 表 4.2 不同週期數材料之吸收係數檢測範圍 以上提供了一個在自由空間下對於低吸數係數之測量方法，但其需要許多相 同的未知樣品材料才能構成以空氣層為缺陷層的一維光子晶體結構。假若現在待 測之材料只有一片，則我們也可將其置於已知性質的材料層中當作缺陷層，來作 為測量。如圖4.4。這是我們所設計的第二種方法，用來量測並取得待測材料之 吸收係數值。

圖 4.4 待測材料為缺陷層之示意圖 其中我們設定 -0.00145i 為待測材料層，其厚度為 0.75cm，而其餘之 參數也如同上述之設定。 為空氣， 為已知性質的材料層，空氣層厚度為 ， 已知材料層厚度為 。穿透頻譜的特性如圖4.5，可得出其穿透頻率 在11.18GHz 下穿透率為 0.878203。同理也由 TMM 方法代入不同吸收係數迭代 值，求出穿透率誤差值最小時的最佳化吸收係數，如表4.3。 8 1.5 n = 1 3 5 7 9 11 13 15 1 n =n =n =n =n =n =n =n = 2 4 6 10 12 14 2 n =n =n =n =n =n = dL =0.75cm cm 0.375 H d = 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 f (GHz) T 圖 4.5 待測材料為缺陷層之穿透頻譜 （n8=1.5-0.00145i、nH=2、nL=1、dH=0.375cm、dL=0.75cm、d8=0.75cm）